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2012-2013高中数学 2-3-4基本初等函数的导数公式及导数的运算法则同步检测 新人教B版必修1


选修 2-2

1.2.2 第 1 课时 基本初等函数的导数公式及导数的运 算法则 (一)

一、选择题 7? 1 3 ? 1.曲线 y= x -2 在点?-1,- ?处切线的倾斜角为( 3? 3 ? A.30° C.135° [答案] B [解析] y′|x=-1=1,∴倾斜角为 45°. 2.设 f(x)= 3 1 A.- 6 7 C.

- 6 [答案] B 1 -
2

)

B.45° D.60°

1

x

x x

,则 f′(1)等于(

)

B. D.

5 6 7 6

3.若曲线 y=x 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为( A.4x-y-3=0 C.4x-y+3=0 [答案] A B.x+4y-5=0 D.x+4y+3=0

4

)

[解析] ∵直线 l 的斜率为 4,而 y′=4x ,由 y′=4 得 x=1 而 x=1 时,y=x =1, 故直线 l 的方程为:y-1=4(x-1)即 4x-y-3=0. 4.已知 f(x)=ax +9x +6x-7,若 f′(-1)=4,则 a 的值等于( A. C. 19 3 10 3 B. D. 16 3 13 3
3 2

3

4

)

[答案] B
-1-

[解析] ∵f′(x)=3ax +18x+6, 16 ∴由 f′(-1)=4 得,3a-18+6=4,即 a= . 3 ∴选 B. 1 4 3 2 5.已知物体的运动方程是 s= t -4t +16t (t 表示时间,s 表示位移),则瞬时速度为 0 4 的时刻是( ) B.0 秒、2 秒或 16 秒 D.0 秒、4 秒或 8 秒

2

A.0 秒、2 秒或 4 秒 C.2 秒、8 秒或 16 秒 [答案] D

[解析] 显然瞬时速度 v=s′=t -12t +32t=t(t -12t+32),令 v=0 可得 t=0,4,8. 故选 D. 6.(2010·新课标全国卷文,4)曲线 y=x -2x+1 在点(1,0)处的切线方程为( A.y=x-1 C.y=2x-2 [答案] A [解析] 本题考查了导数的几何意义,切线方程的求法,在解题时应首先验证点是否在 曲线上,然后通过求导得出切线的斜率,题目定位于简单题. 由题可知,点(1,0)在曲线 y=x -2x+1 上,求导可得 y′=3x -2,所以在点(1,0)处的 切线的斜率 k=1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线 y=x -2x+1 的 切线方程为 y=x-1,故选 A. 7.若函数 f(x)=e sinx,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为( A. π 2 B.0 D.锐角
x
3 3 2 3

3

2

2

)

B.y=-x-1 D.y=-2x-2

)

C.钝角 [答案] C

π x x 4 4 [解析] y′|x=4=(e sinx+e cosx)|x=4=e (sin4+cos4)= 2e sin(4+ )<0,故倾斜 4 角为钝角,选 C.

? π π? 8.曲线 y=xsinx 在点?- , ?处的切线与 x 轴、 直线 x=π 所围成的三角形的面积为 ? 2 2?
( A. π 2
2

)

B.π
2

2

C.2π

1 2 D. (2+π ) 2
-2-

[答案] A

? π π? [解析] 曲线 y=xsinx 在点?- , ?处的切线方程为 y=-x,所围成的三角形的面积 ? 2 2?
为 π . 2 9.设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则
2

f2011(x)等于(
A.sinx C.cosx [答案] D

) B.-sinx D.-cosx

[解析] f0(x)=sinx,

f1(x)=f0′(x)=(sinx)′=cosx, f2(x)=f1′(x)=(cosx)′=-sinx, f3(x)=f2′(x)=(-sinx)′=-cosx, f4(x)=f3′(x)=(-cosx)′=sinx,
∴4 为最小正周期,∴f2011(x)=f3(x)=-cosx.故选 D. 10.f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f(x)、g(x)满足 f′(x)=g′(x),则

f(x)与 g(x)满足(
A.f(x)=g(x)

) B.f(x)-g(x)为常数 D.f(x)+g(x)为常数

C.f(x)=g(x)=0 [答案] B

[解析] 令 F(x)=f(x)-g(x),则 F′(x)=f′(x)-g′(x)=0,∴F(x)为常数. 二、填空题

?π ? 1 2 11.设 f(x)=ax -bsinx,且 f′(0)=1,f′? ?= ,则 a=________,b=________. ?3? 2
[答案] 0 -1 [解析] f′(x)=2ax-bcosx,由条件知

?-bcos0=1 ? ?2π π 1 ? 3 a-bcos 3 =2 ?
3 2

,∴?

?b=-1 ? ? ?a=0

.

12.设 f(x)=x -3x -9x+1,则不等式 f′(x)<0 的解集为________. [答案] (-1,3) [解析] f′(x)=3x -6x-9,由 f′(x)<0 得 3x -6x-9<0,∴x -2x-3<0,∴-1 <x<3.
2 2 2

-3-

13.曲线 y=cosx 在点 P? [答案] - 3 2

?π ,1?处的切线的斜率为______. ? ? 3 2?

[解析] ∵y′=(cosx)′=-sinx, π 3 ∴切线斜率 k=y′|x=π =-sin =- . 3 2 3 14. 已知函数 f(x)=ax+be 图象上在点 P(-1,2)处的切线与直线 y=-3x 平行, 则函数
x

f(x)的解析式是____________.
5 1 x+1 [答案] f(x)=- x- e 2 2 [解析] 由题意可知,f′(x)|x=-1=-3, ∴a+be =-3,又 f(-1)=2, 5 1 -1 ∴-a+be =2,解之得 a=- ,b=- e, 2 2 5 1 x+1 故 f(x)=- x- e . 2 2 三、解答题 15.求下列函数的导数: 1 1 1 2 (1)y=x(x + + 3);(2)y=( x+1)( -1);
-1

x x

x

1+ x 1- x 4x 4x (3)y=sin +cos ;(4)y= + . 4 4 1- x 1+ x 1 ? 2 1 1? 3 [解析] (1)∵y=x?x + + 3?=x +1+ 2,

?

x x?

x

2 2 ∴y′=3x - 3;

x

(3)∵y=sin +cos 4 4

4

x

4

x x x

? ?2 2 2 =?sin +cos ? -2sin cos 4 4? 4 4 ?
2

x

2

x

1 2x 1 1-cosx 3 1 =1- sin =1- · = + cosx, 2 2 2 2 4 4

-4-

1 ∴y′=- sinx; 4 1+ x 1- x (1+ x) (1- x) (4)∵y= + = + 1-x 1-x 1- x 1+ x = 2+2x 4 = -2, 1-x 1-x
2 2

∴y′=?

? 4 -2?′=-4(1-x)′= 4 . ? 2 2 (1-x) (1-x) ?1-x ?

16.已知两条曲线 y=sinx、y=cosx,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点 处,两条曲线的切线互相垂直?并说明理由. [解析] 由于 y=sinx、y=cosx,设两条曲线的一个公共点为 P(x0,y0), ∴两条曲线在 P(x0,y0)处的斜率分别为

若使两条切线互相垂直,必须 cosx0·(-sinx0)=-1, 即 sinx0·cosx0=1,也就是 sin2x0=2,这是不可能的, ∴两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直. 17.已知曲线 C1:y=x 与 C2:y=-(x-2) .直线 l 与 C1、C2 都相切,求直线 l 的方程. [解析] 设 l 与 C1 相切于点 P(x1,x1),与 C2 相切于点 Q(x2,-(x2-2) ). 对于 C1: ′=2x, y 则与 C1 相切于点 P 的切线方程为 y-x1=2x1(x-x1), y=2x1x-x1.① 即 对于 C2:y′=-2(x-2),与 C2 相切于点 Q 的切线方程为 y+(x2-2) =-2(x2-2)(x-
2 2 2 2 2 2 2

x2),
即 y=-2(x2-2)x+x2-4. ∵两切线重合,∴2x1=-2(x2-2)且-x1=x2-4, 解得 x1=0,x2=2 或 x1=2,x2=0. ∴直线 l 的方程为 y=0 或 y=4x-4. 18.求满足下列条件的函数 f(x): (1)f(x)是三次函数,且 f(0)=3,f′(0)=0,f′(1)=-3,f′(2)=0; (2)f′(x)是一次函数,x f′(x)-(2x-1)f(x)=1. [解析] (1)设 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0) 则 f′(x)=3ax +2bx+c 由 f(0)=3,可知 d=3,由 f′(0)=0 可知 c=0, 由 f′(1)=-3,f′(2)=0 可建立方程组?
?f′(1)=3a+2b=-3 ? ? ?f′(2)=12a+4b=0
2 3 2 2 2 2 2





-5-

解得?

? ?a=1 ? ?b=-3
3


2

所以 f(x)=x -3x +3. (2)由 f′(x)是一次函数可知 f(x)是二次函数, 则可设 f(x)=ax +bx+c(a≠0)
2

f′(x)=2ax+b,
把 f(x)和 f′(x)代入方程,得

x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1
整理得(a-b)x +(b-2c)x+c=1 若想对任意 x 方程都成立,则需
2

?a-b=0 ? ?b-2c=0 ?c=1 ?
2

?a=2 ? 解得?b=2 ?c=1 ?



所以 f(x)=2x +2x+1.

-6-


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