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【预-讲-练-结教学法】人教版高中数学必修四 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(练)


人教版必修四

2. 4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(练)
一、选择题 1.若 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为( A. C. 65 5 13 5 B. 65 D. 13 )

[答案] A a· b [解析] ∵cosθ= |a|· |b| = 2×(-4)+3×7 4+9· 16+4

9 = 5 , 5

∴a 在 b 方向上的投影|a|cosθ = 22+32× 5 65 = . 5 5 )

2.(08· 海南文)已知平面向量 a=(1,-3),b=(4,-2),λa+b 与 a 垂直,则 λ=( A.-1 C.-2 [答案] A [解析] a=(1,-3),b=(4,-2), ∴λa+b=λ(1,-3)+(4,-2)=(λ+4,-3λ-2), ∵λa+b 与 a 垂直, ∴λ+4+(-3)(-3λ-2)=0, ∴λ=-1,故选 A. 3.(2010· 重庆南开中学)平面向量 a 与 b 的夹角为 60° ,a=(2,0),|b|=1,则 a· b=( 1 A. 2 C. 3 2 B.1 D. 3 B.1 D.2

)

[答案] B 1 [解析] |a|=2,a· b=|a|· |b|· cos60° =2×1× =1. 2 15 → → 4.已知△ABC 中,AB=a,AC=b,a· b<0,S△ABC= ,|a|=3,|b|=5,则 a 与 b 的夹角 4 是( )
-1-

A.30° C.210° [答案] B

B.150° D.30° 或 150°

[解析] 由 a· b<0 知,a、b 夹角是钝角, ∵S△ABC= 15 1 15 1 ,∴ ×3×5×sinA= ,∴sinA= , 4 2 4 2

∵A 为钝角,∴A=150° . 5.已知向量 a=( 3,1),b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a· b= 3,则 b 等于( A.? 3 1? ? 2 ,2? 1 3 B.? , ? ?2 2 ? D.(1,0) )

1 3 3? C.? , ?4 4 ? [答案] B

[解析] 方法 1:令 b=(x,y)(y≠0),则 ① ?x +y =1, ? ? 3x+y= 3, ② 将②代入①得 x2+( 3- 3x)2=1,即 2x2-3x+1=0, 1 3 ∴x=1(舍去,此时 y=0)或 x= ?y= . 2 2 方法 2:排除法,D 中 y=0 不合题意;C 不是单位向量,舍去;代入 A,不合题意,故 选 B. → → → 6.(2010· 四川理,5)设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,BC2=16,|AB+AC| → → → =|AB-AC|,则|AM|=( A.8 C .2 [答案] C → → → → [解析] ∵|AB+AC|=|AB-AC|,∴△ABC 是以 A 为直角顶点的三角形, → 1→ 1 又 M 是 BC 的中点,则|AM|= |BC|= ×4=2. 2 2 π ? 7.(2010· 河北省正定中学模拟)已知向量 a=(2cosθ,2sinθ),b=(0,-2),θ∈? ?2,π?,则 向量 a,b 的夹角为( 3π A. -θ 2 π C. +θ 2 ) π B.θ- 2 D.θ
-22 2

)

B.4 D.1

[答案] A [解析] 解法一:由三角函数定义知 a 的起点在原点时,终点落在圆 x2+y2=4 位于第二 象限的部分上 π (∵ <θ<π),设其终点为 P,则∠xOP=θ, 2 3π ∴a 与 b 的夹角为 -θ. 2

a· b -4sinθ 解法二:cos〈a,b〉= = |a|· |b| 2×2 3π ? =-sinθ=cos? ? 2 -θ?, π ? 3π ?π ? ∵θ∈? ?2,π?,∴ 2 -θ∈?2,π?, 3π 又〈a,b〉∈(0,π),∴〈a,b〉= -θ. 2 8.若非零向量 a、b 满足|a+b|=|b|,则( A.|2a|>|2a+b| C.|2b|>|a+2b| [答案] C [解析] 由已知(a+b)2=b2,即 2a· b+|a|2=0. ∵|2a+b|2-|2a|2=4a· b+|b|2=|b|2-2|a|2 符号不能确定,∴A、B 均不对. ∵|a+2b|2-|2b|2=|a|2+4a· b =|a|2-2|a|2=-|a|2<0.故选 C. → → → 9.设 A(a,1)、B(2,b)、C(4,5)为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若OA与OB在OC方向 上的投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为( A.4a-5b=3 C.4a+5b=14 [答案] A → → → → OA· OC OB· OC [解析] 据投影定义知, = → → |OC| |OC|
-3-

)

B.|2a|<|2a+b| D.|2b|<|a+2b|

)

B.5a-4b=3 D.5a+4b=14

→ → → → → → ?OA· OC-OB· OC=0?BA· OC=0, ?4(a-2)+5(1-b)=0?4a-5b=3. 10.(08· 浙江)已知 a、b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)· (b-c) =0,则|c|的最大值是( A.1 C. 2 [答案] C [解析] 由(a-c)· (b-c)=0 得 a· b-(a+b)· c+c2=0,即 c2=(a+b)· c,故|c|· |c|≤|a+b|· |c|, 即|c|≤|a+b|= 2,故选 C. 二、填空题 11.已知 a=(1,2),b=(-2,1),则与 2a-b 同方向的单位向量 e 为________. 4 3? [答案] ? ?5,5? [解析] ∵2a-b=2(1,2)-(-2,1)=(4,3), ∴同方向的单位向量 e= (4,3) 4 +3
2 2=

) B.2 D. 2 2

?4,3?. ?5 5?

12.(2010· 金华十校)△ABO 三顶点坐标为 A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)是坐标平面内 → → → → → → 一点,满足AP· OA≤0,BP· OB≥0,则OB· AB的最小值为________. [答案] 3 → → [解析] ∵AP· OA=(x-1,y)· (1,0)=x-1≤0,∴x≤1,∴-x≥-1, → → ∵BP· OB=(x,y-2)· (0,2)=2(y-2)≥0, ∴y≥2. → → ∴OP· AB=(x,y)· (-1,2)=2y-x≥3. 13.设向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b.若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2 的值是 ________. [答案] 4 [解析] ∵a+b+c=0,∴c=-(a+b). ∵(a-b)⊥c,∴(a-b)· [-(a+b)]=0. 即|a|2-|b|2=0,∴|a|=|b|=1, ∵a⊥b,∴a· b=0, ∴|c|2=(a+b)2=|a|2+2a· b+b2=1+0+1=2. ∴|a|2+|b|2+|c|2=4.
-4-

三、解答题 14.已知向量 a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),t∈R. (1)求|a+tb|的最小值及相应的 t 值; (2)若 a-tb 与 c 共线,求实数 t. 4?2 49 [解析] (1)a+tb=(2t-3,2+t),|a+tb|2=(2t-3)2+(2+t)2=5t2-8t+13=5? ?t-5? + 5 , 4 7 5 当 t= 时,|a+tb|取得最小值 . 5 5 3 (2)a-tb=(-3-2t,2-t),因为 a-tb 与 c 共线,所以 3+2t-6+3t=0,即 t= . 5 → → → → → → → 15.已知AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,-3),若BC∥DA,AC⊥BD. (1)求 x、y 的值; (2)求四边形 ABCD 的面积. → → → → [解析] (1)AD=AB+BC+CD=(4+x,y-2), → ∴DA=(-4-x,2-y), → → 由BC∥DA得,x(2-y)+y(4+x)=0① → → → AC=AB+BC=(6+x,y+1), → → → BD=BC+CD=(x-2,y-3), → → 由AC⊥BD得, (6+x)(x-2)+(y+1)(y-3)=0② 由①②解得 x=2,y=-1 或 x=-6,y=3. → → (2)当 x=2,y=-1 时,AC=(8,0),BD=(0,4), 1→ → 1 ∴S 四边形 ABCD= |AC|· |BD|= ×8×4=16; 2 2 → → 当 x=-6,y=3 时,AC=(0,4),BD=(-8,0), 1→ → 1 ∴S 四边形 ABCD= |AC|· |BD|= ×4×8=16. 2 2 1 3 16.已知 a=( 3,-1),b=? , ?. ?2 2 ? (1)求证:a⊥b; (2)若存在不同时为 0 的实数 k 和 t,使 x=a+(t-3)b,y=-ka+tb,且 x⊥y,试求函数 关系式 k=f(t); (3)求函数 k=f(t)的最小值.

-5-

[解析] (1)由 a· b=

3 3 - =0,得 a⊥b. 2 2

(2)由 x⊥y 得,x· y=[a+(t-3)b]· (-ka+tb)=0,即-ka2-k(t-3)a· b+ta· b+t(t-3)b2=0. -ka2+t(t-3)b2=0. 1 ∴k= t(t-3). 4 3 1 1 9 t- ?2- , (3)k= t(t-3)= ? 4 4? 2? 16 3 9 所以当 t= 时,k 取最小值- . 2 16 17.如图所示,已知△ABC 中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD 是 BC 边上的高, → 求AD及点 D 的坐标.

[解析] 设点 D 的坐标为(x,y),∵AD 是 BC 边上的高, → → → → ∴AD⊥BC,CD与BC共线. → → 又AD=(x-2,y+1),BC=(-6,-3). → CD=(x+3,y+1),
? ? ?-6(x-2)-3(y+1)=0, ?2x+y-3=0, ∴? 即? ?-3(x+3)+6(y+1)=0, ?x-2y+1=0, ? ? ? ?x=1, 解得? ?y=1, ?

→ ∴D 点坐标为(1,1),∴AD=(-1,2). → → → 18.已知 O 为平面直角坐标系的原点,设OA=(2,5),OB=(3,1),OC=(6,3).在线段 OC 上是否存在点 M,使 MA⊥MB.若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. → → → [解析] 设OM=tOC,t∈[0,1].则OM=(6t,3t), 即 M(6t,3t). → → → ∴MA=OA-OM=(2-6t,5-3t), → → → MB=OB-OM=(3-6t,1-3t). → → ∵MA⊥MB,∴MA· MB=(2-6t)(3-6t)+(5-3t)(1-3t)=0,
-6-

1 11 即 45t2-48t+11=0,t= 或 t= . 3 15 22 11? ∴存在点 M,M 点的坐标为(2,1)或? ? 5 , 5 ?.

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