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山东省济宁一中2014届高三10月月考数学(理)试题


山东省济宁市第一中学 2011 级月考试题

理 科 数 学
命题:王 敏 审题:张明伦 2013-10 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级、准考证号填写在试卷 和答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后写上新的答案,不能使用涂改 液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若集合 A ? x 3

?

1? x

? 1 , B ? ? x log 3 x ? 1? ,则集合 A ? B ? (
B .?

?

).

A . ? x x ? 1?
2.已知集合 A ?

C . ? x 0 ? x ? 1?

D . ? x 0 ? x ? 1?
) .

?1, a? , B ? ?1,3? ,则“ a ? 3 ”是“ A ? B ”的(
).

A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件
3.函数 y ?

x ln(1 ? x) 的定义域为(
B .[0,1)

A .(0,1)
4.已知 3
log 2 ( log 4 x )

C .(0,1]
? 1 2

D .[0,1]

? 1 ,那么 x
1 2

=(
C .?

).

A.

1 2

B .?

1 2

D . ?2

5 .函数

f ( x) ? x
y

?

1 2

的大致图象是( y

). y

y

0

A

x 0

B

x

0 C

x

0

x

6.已知定义域为 R 的函数

f ? x ? 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? =x 2 ?

1 , x

则 f ? ?1? ? (

).

A . ?2

B. 0

C. 1

D. 2
).

7.已知函数 f ? x ? 的 R 定义域为 ? ?1,0? ,则函数 f ? 2x ?1? 的定义域为(
1

A . ? ?1,1?
8.若函数 f ( x) ?

? 1? B . ? 0, ? ? 2?
2

C . ? -1,0?

?1 ? D . ? ,1? ?2 ?
).

3? x 的定义域为 R ,则实数 m 的取值范围是( mx ? 4mx ? 3

A . ? ??, ???

? 3? B . ? 0, ? ? 4?
1 2
x?2

?3 ? C . ? , ?? ? ?4 ?

? 3? D . ?0, ? ? 4?
).

9.设函数 y ? x 3 与 y ? ( )

的图象的交点为 ( x0 , y0 ) ,则 x0 所在的区间是(

A . ? 0,1?

B . ?1, 2 ?

C . ? 2,3?

D . ? 3, 4 ?

10.若函数 f ( x) ? ?log (? x) , 1

?log 2 x ? ? ?
2

, x?0

a 1 0 x ? 0 ,若 a ? f ( + ) ? ,则实数 a 的取值范围是(
B . ? ??, ?1? ? ?1, ??? D.

) .

A . ? ?1,0? ? ? 0, ???

C . ? ??, ?2? ? ? ?1,0? ? ? 0, ???

+ ? ?2, ?1? ? ? 0,??
).

11.函数 f ( x) ? 2 x ? | log0.5 x | ?1 的零点个数为(

A. 1
12.若 S1
2 1

B. 2
2 1

C. 3

D .4
) .

? ? x 2 dx , S 2 ? ?

2 1 dx , S3 ? ? e x dx 则 S1 、S2 、S3 的大小关系为( 1 x

A . S1 ? S2 ? S3

B . S2 ? S1 ? S3 D . S3 ? S2 ? S1

C . S2 ? S3 ? S1

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.幂函数 y ? f ( x) 的图象经过点(4,

1 1 ) ,则 f ( ) ? ____________. 2 4

14.已知定义域为 R 的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,则 f (2014) ? ____________.
2 15.已知关于 x 的方程 x ? 2 x ? m ? 0 ( m ? 0 )的解集为 M ,则集合 M 中所有的

元素的和的最大值为____________. 16.已知函数 f ( x ) 的定义域为 部分对应值如右图:

x
f ( x)

?1
1

0 2

4 2

5 1

??1,5? ,
象如图所示,下列关于

f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 的图 f ( x) 的命题:
2

①函数 f ( x ) 是周期函数; ②函数 f ( x ) 在[0,2]是减函数; ③如果当 x ? ? ?1, t ? 时, f ( x ) 的最大值是 2,那么 t 的最小值为 0 ; ④函数 y ? f ( x) ? a 的零点个数可能为 0、1、2、3、4 个. 其中正确命题的序号是___________. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分)已知 U ? R ,集合 A ? ? x (1)若 log2 a ? 0 ,求 ? CU B ? ? A ; (2)命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B ,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? log3 (ax2 ? 2x ? 3) , a ? R . (1)若 f ( x ) 的定义域为 R ,求 a 的范围; (2)若 f ( x ) 的值域为 R ,求 a 的范围. 19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) 对任意实数 x、 y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 , f (1)=5 . (1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)求 f ( x ) 在区间 ? ?2,3? 上的值域. 20. (本小题满分 12 分) 某时令蔬菜,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,市场售价与上市时间的关系 用图 1 的一条折线表示;种植成本与上市时间的关系用图 2 的抛物线段表示. (1)写出图 1 表示的市场售价与时间的函数关系 P ? f (t ) ; 写出图 2 表示种植成本与时间的函数关系式 Q ? g (t ) ; (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市纯收益最大?

? x?2 ? ? 0? , B ? x ? x ? a ? ? x ? a 2 ? 1? ? 0 , a ? R . ? x ?3 ?

?

?

(注:市场售价和种植成本的单位:元 / 10 kg ,时间单位:天) 21. (本小题满分 13 分)

图1

2

b 已知真命题:“函数 y ? f ( x) 的图象关于点 P(a、 ) 成中心对称图形”的充要条件为“函数

3

y ? f ( x ? a) ? b 是奇函数”.
(1)将函数 g ( x) ? x3 ? 3x2 的图象向左平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位,求此时图象对应的 函数解析式,并利用题设中的真命题求函数 g ( x) 图象对称中心的坐标; (2)求函数 h( x) ? log 2

2x 图象对称中心的坐标; 4? x

22. (本小题满分 13 分)

已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3ax ? 3a ? 3 . (Ⅰ)求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 x ? [0,2] 时,求曲线 y ? f (x) 的单调区间; (Ⅲ)若 a ?

2 ,求 f ( x) 在 x ? ?0, 2? 上的最大值. 3

4

山东省济宁市第一中学 2011 级月考试题

理 科 数 学 答 案
A B D B C B B 一、选择题: C C B A A 二、填空题:13.2 14.0 15.4 16. ②③④ 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.
17. 解: (1) A ? x 2 ? x ? 3 , 由 log2 a ? 0 得 a ? 1 ,即 B ? x 1 ? x ? 2 , 所以 CU B = x x ? 1或x ? 2 ,所以 ? CU B ? ? A= x 2 ? x ? 3 . (2)因为 q 是 p 的必要条件,所以 p ? q ,所以 A ? B , 因为 a ? 1 ? a ,所以 B ? x a ? x ? a ? 1 ,
2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

2

?

所以 ?

?a ? 2
2 ?a ? 1 ? 3

,解得 a ? ? 2或 2 ? a ? 2 .

18.解: (1)由 f ( x ) 的定义域为 R ,则 ax ? 2 x ? 3 ? 0 恒成立,
2

若 a =0 时, 2 x ? 3 ? 0 , x ? ? 所以 a ? 0 ; 由?

3 ,不合题意; 2 1 . 3
2

?a ? 0 ?? ? 2 ? 4 ? a ? 3 ? 0
2

得: a ?

+ (2)由 f ( x ) 的值域为 R ,所以 y y ? ax ? 2 x ? 3, x ? R ? ? 0,? ? ,
①若 a ? 0 时, y ? 2 x ? 3 可以取遍一切正数,符合题意, ②若 a ? 0 时,需 ?

?

?

?a ? 0 ?? ? 2 ? 4 ? a ? 3 ? 0
2

,即 0 ? a ?

1 ; 3

综上,实数 a 的取值范围为 ?0, ? . 19. 解: (1)令 x ? y ? 0 得, f (0) ? f (0) ? f (0) ,所以 f (0) ? 0 , 令 y ? ? x 得, f (0) ? f ( x) ? f (? x) ,所以 f (? x)= ? f ( x) , 所以,函数 f ( x ) 为奇函数; (2)设 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,所以 f ( x1 ? x2 ) ? 0 ,
5

? 1? ? 3?

则 f ( x1 )=f [( x1 ? x2 ) ? x2 ] =f ( x1 ? x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x2 ) 所以函数 f ( x ) 为增函数; 由 f (2)=f (1 ? 1) ? f (1) ? f (1) ? 10 得, f (?2) ? ?10 ,

f (3) ? f (2 ? 1) ? f (2) ? f (1) ? 10 ? 5 ? 15
所以函数 f ( x ) 区间 ? ?2,3? 上的值域为 ? ?10,15? . 20. 解:由图象求出函数解析式并明确收益与售价和成本的关系: (Ⅰ)由图1可得市场售价与时间的函数关系为:

0 ?300 ? t,? t ? 200 , f (t ) ? ? 2t ? 300, 200 ? t ? 300 ?
由图 2 可得种植成本与时间的函数关系为:

g (t ) ?

1 (t ? 150 ) 2 ? 100 (0 ? t ? 300 ) 200

(Ⅱ)设 t 时刻的纯收益为 h(t ) ,则由题意得: h(t ) ? f (t ) ? g (t ) ,

? 1 2 1 175 0 ?? 200 t ? 2 t ? 2 , ? t ? 200 ? h(t ) ? ? 即: , ?? 1 t 2 ? 7 t ? 1025, ? t ? 300 200 ? 200 2 2 ?
当 (0 ? t ? 200) 时,配方整理得: h(t ) ? ?

1 (t ? 50) 2 ? 100 , 200

所以,当 t ? 50 时, h(t ) 取得区间 [0, 200] 上的最大值 100 . 当 200 ? t ? 300 时,配方整理得: h(t ) ? ?

1 (t ? 350 ) 2 ? 100 200

所以,当 t ? 300 时, h(t ) 取得区间 [200, 300] 上的最大值 87 .5 . 综上所述,在区间 [0, 300] 上可以取得最大值 100 ,此时 t ? 50 , 即从二月一日开始的第 50 天时,上市纯收益最大. 21.解:(1)平移后图象对应的函数解析式为: y ? ( x ? 1) ? 3( x ? 1) ? 2 ,
3 2

整理得 y ? x ? 3x ,由于函数 y ? x ? 3x 是奇函数,
3 3

, 由题设真命题知,函数 g ( x) 图象对称中心的坐标是 (1 ? 2) .
(2)设 h( x) ? log 2

2x b 的对称中心为 P(a, ) ,由题设知函数 h( x ? a) ? b 是奇函数. 4? x
6

设 f ( x) ? h( x ? a) ? b, 则 f ( x) ? log 2

2 x ? 2a 2( x ? a) ?b . ? b ,即 f ( x) ? log 2 4?a? x 4 ? ( x ? a)

2 x ? 2a ? 0 的解集关于原点对称,得 a ? 2 . 4?a? x 2( x ? 2) ? b, ? (?2, . x 2) 此时 f ( x) ? log 2 2? x
由不等式 任取 x ? (?2, 2) ,由 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,得 b ? 1 , 所以函数 h( x) ? log 2
22. 解: (Ⅰ)由:

2x 图象对称中心的坐标是 (2, . 1) 4? x

f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 3a ? f ?(1) ? 3a ? 3 ,

且 f (1) ? 1 ? 3 ? 3a ? 3 ? 3a ? 1 , 所以所求切线方程为: y ? 1 ? (3a ? 3)( x ? 1) , 即: 3(a ? 1) x ? y ? 4 ? 3a ? 0 ; (Ⅱ) 由(Ⅰ)得: f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 3a ? 3( x2 ? 2x ? a) , (1)当 ? ? 4 ? 4 a ? 0 即 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 恒成立, 这时 f ( x ) 在 x ? [0, 2] 上单调递增; (2)当 ? ? 4 ? 4a =0 即 a =1 时, f ?( x) ? 0 恒成立,且只有 x ? 1 时 f ?( x)=0 , 所以 f ( x ) 在 x ? [0, 2] 上单调递增; (3)当 ? ? 4 ? 4 a ? 0 即 a ? 1 时, 令 f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 3a ? 3( x2 ? 2x ? a)=0 得:

x1 ? 1 ? 1 ? a , x2 ? 1 ? 1 ? a (显然 x1 ? x2 )
①当 x1 ? 1 ? 1 ? a ? 0 ,即 a ? 0 时,

( 上恒成立, x2 ? 1? 1? a ? 2 , f ?( x) ? 0 在 x ? 0, 2) f ( x) 在 x ? [0, 2] 上单调递减;
②当 x1 ? 1 ? 1 ? a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 时,

x2 ? 1? 1? a ? 2 ,
所以当 x ? 0,1 ? 1 ? a) 时, f ?( x) ? 0 ,这时 f ( x ) 单调递增, (
7

当 x ? 1 ? 1 ? a,1+ 1 ? a) 时, f ?( x) ? 0 ,这时 f ( x ) 单调递减, ( 当 x? 时, f ?( x) ? 0 ,这时 f ( x ) 单调递增; (1+ 1 ? a,2) 综上:当 a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? [0, 2] 上单调递减; 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 x ? 0,1 ? 1 ? a) 时单调递增, ( 时单调递减, f ( x) 在 x ? 1 ? 1 ? a,1+ 1 ? a) ( 单调递增; f ( x) 在 x ? (1+ 1 ? a,2) 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 x ? [0, 2] 上单调递增; (Ⅲ) 由(Ⅱ)得: (1)当 a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? [0, 2] 上单调递减; 因为 f (0) ? 3(1 ? a) ? 0 , f (2) ? 3a ? 1 ? 0 ,

( 且 f (0) ? f (2) ? 3(1 ? a) ? 3a ?1 ? 3 ? 3a) ? (1 ? 3a) =2 ? 0

所以 f (0) ? f (2) ,
所以 | f ( x) |max ? max{ f (0) , f (2)} = f (0) =f (0) =3(1 ? a) , (2)当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 x ? 0,1 ? 1 ? a) 时单调递增, (

f ( x) 在 x ? 1 ? 1 ? a,1+ 1 ? a) 时单调递减, ( f ( x) 在 x ? 单调递增; (1+ 1 ? a,2)
由 f (0) ? 3(1 ? a) ? 0 ,

f (2) ? 3a ?1 ,

f ( x1) ? x13 ? 3x12 ? 3ax1 ? 3a ? 3 ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a ? 0 ,
同理 f ( x2 ) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ? 0 , 可知:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

所以: f ( x) max ? max{ f (0) , f (2) , f ( x1)} , 若 f (2) ? 3a ? 1 ? 0 即 a ?

1 时, 3

f (0) ? f (2) ? 3(1 ? a) ? 3a ?1 ? 3(1 ? a) ? (1 ? 3a) =2 ? 0
所以 f (0) ? f (2) ,
8

若 f (2) ? 3a ? 1 ? 0 即 a ?

1 时, 3

由 f (0) ? f (2) ? 3(1 ? a) ? 3a ?1 ? 3(1 ? a) ? (3a ? 1) ? 4 ? 6a

1 2 ? a ? 时, f (0) ? f (2) ? 4 ? 6a ? 0 ,即 f (0) ? f (2) , 3 3 2 即:当 0 ? a ? 时, f (0) ? f (2) , 3
得:当 这时 f ( x) max ? max{ f (0) , f ( x1)} ? ? f (0), f ( x1)? ,

由 f ( x1 ) ? f (0) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a ? 3(1 ? a)

?

?

? 2(1 ? a) 1 ? a ? (2 ? 3a)

?
又因为 0 ? a ?

a 2 (3 ? 4a) 2(1 ? a) 1 ? a ? (2 ? 3a)

2 ,所以 2 ? 3a ? 0,3 ? 4 a ? 0 , 3

所以 f ( x1 ) ? f (0) ? 0 , 所以 | f ( x) |max ? f ( x1 ) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a

, (a ? 0) ?3(1 ? a) ? 综上所述: | f ( x) |max ? ? 2 . ?1 ? 2(1 ? a) 1 ? a , (0 ? a ? 3 ) ?

9


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