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05曲线运动学生版


曲线运动
1、曲线运动的特点 (1)质点(物体)的空间轨迹是曲线的运动称为曲线运 曲线运动中速度的方向是 (2)曲线一定是变速运动 速度是矢量,既有大小又有方向,不论速度的大小是否改变,只要速度的方向发生改变,就表明速度发生变化。质点做 曲线运动,速度的方向时刻在改变,所以曲线运动一定 2、物体做曲线运动的条件 受力情况与初速度 F 合=0,初速度 v0=0 或 v0≠

0 F 合恒定,且方向与运动方向 F 合方向与 v0 相同 在一条直线上 F 合方向与 v0 相反 运动性质 运动,质点一定有 。 改变的,质点在某一点(或某一时刻)的速度方向是轨迹上该点的 方向.

F 合方向与 v0 不在一条直线上 3、运动的合成与分解 (1)合运动轨迹与分运动轨迹的关系 ①两个分运动在同一直线上时.一个初速为 v0 的匀速运动和一个静止开始的以大小为 a 的匀加速(匀减速)运动.如: 当 a 与 v0 方向相同时,a 前取“+”;当 a 与 v0 方向相反时,a 前取“—”,合运动为初速不为零的匀加速(匀减速)运动。 这一类运动的合运动的轨迹是 ②两个分运动不在同一直线上的情况. 若两个分运动分别是匀速运动时,其运动的方向为合速度的方向,其轨迹是 度为 0,有恒定加速度,物体做直线运动) 若一个分运动为匀速运动,而另一个分运动为初速度为零的匀加速运动时,合速度与合加速度不在一条直线上,由曲线 运动的条件可知,物体的运动方向会不断改变,是 运动. 如质点的初速度为 v0,受到与 v0 方向的夹角为 θ 的合力作用,产生的加速度为 a,经过时间 t,速度为 at,其合速度根 据平行四边形法则得到.如图所示,由于 v0 不变,显然在不同时刻,合速度与 v0 方向的夹角不同. 若两个分运动都是匀加速运动时,当两个分运动的合速度和合加速度在同一直线上时,合运动才是直线运动;当两个分 运动的合速度和合加速度不在同一直线上时,合运动是 4、平抛物体运动的特点 首先弄清平抛物体运动的两个要素:(1)只受 (1)运动轨迹:是一条 度为恒量,是一个 将平抛运动看成是水平方向的 5、平抛运动的规律 平抛运动的有关公式:以抛出点为坐标原点,水平初速度 v0 方向为 x 轴正方向,竖直向 下的方向为 y 轴正方向,建立如图所示坐标系,在该坐标系下,对任一时刻 t: ①速度 分速度 vx= tgθ= ②位移 tgΦ = vy= 合速度 V= ,θ 为合速度 v 与 x 轴的夹角, 分位移 x=v0t y=gt2/2, tgθ=2tgΦ 。 运动。 和竖直方向的 这两个分运动的合运动。 作用.(2)初速度沿 方向,它决定着平抛运动如何分解. 运动. . .(初速 若两个分运动分别是初速度为零的匀加速运动时,其运动的方向为合加速度的方向,运动的轨迹是 .

(2)运动性质:因为仅受重力作用,具有大小、方向都不变的重力加速度 g,加速

(3)处理平抛运动的一般方法及依据:处理这个运动的基本思想方法即运动合成与分解,

可以看出,做平抛运动的物体,其速度的大小和方向都随时间而变化. , Φ 为合位移 s 与 x 轴的夹角,

可以看出,做平抛运动的物体,其位移的大小和方向都随时间而变化.

③平抛运动的轨迹:由 x=v0t 与 y=gt2/2 可知,平抛运动的轨迹是一条抛物线 ④飞行时间:t= (运动时间由高度 h 惟一决定) 运动时间和射程:水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性,又具有等时性.

⑤水平射程: 6、匀速圆周运动

(由 v0、t 共同决定) 相等,这种运动就叫做匀速圆周运动。

(1)定义:质点沿圆周运动,如果在相等的时间里通过的 (2)描述圆周运动的物理量: 线速度的方向就是在圆周该点的 ①线速度: 方向上。

线速度的大小等于质点做匀速圆周运动时通过的弧长跟通过这段弧长所用时间的比值。V= ②角速度:连接运动物体和圆心的半径转过的角度跟所用时间的比,叫做匀速圆周运动的角速度。 在国际单位中,角速度的单位是弧度每秒,符号是 rad/s ③周期:做匀速圆周运动的物体运动 所用的时间叫做周期。 周期的倒数叫做频率。对匀速圆周运动来说,频率就是 1 秒钟里转过的圈数。f=1/T 匀速圆周运动的物体每秒转过的圈数叫转速。当转速的单位为 r/s 时,它和角速度的关系为 三个量的关系: 思考:物体做匀速圆周运动时,v、ω、T 是否改变?(ω、T 不变,v 大小不变、方向变。) (3)匀速圆周运动是一种变速运动,它的速度 7、向心力 向心力的方向总是与物体运动的方向 不改变速度的 8、向心加速度 定义:做圆周运动的物体,在向心力的作用下产生的指向圆心的加速度,叫做向心加速度。 意义:描述线速度的方向改变的快慢。 向心加速度的大小为 F= 向心力的方向总是与物体运动的方向垂直,总是沿着半径指向圆心。所以加速度的方向也是时刻沿半径指向圆心的,这 里特别要注意,向心加速度只改变速度的方向,不改变速度的大小。 对于做匀速圆周运动物体,它所受的向心力大小恒定,方向时刻指向圆心。 例 1、关于运动的合成与分解,下列说法正确的有( A.合速度的大小一定比每一个分速度大 B.两个直线运动的合运动一定是直线运动 C.两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动 D.两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相同 答案:CD 例 2、如图所示,在与水平成 α 角的斜坡上的 A 点,以初速 v0 水平抛出一物体,物体落在同一坡上的 B 点,求: (1)物体的飞行时间及 A、B 间距离; (2)抛出后经多长时间物体离开斜面距离最大,最大距离多少? 解析: (1)设 AB 间距离为L,由 A 到 B 时间为 t,则 解得 ,加速度为 , 在水平方向有 Lcosα=v0t 在竖直方向有 Lsinα=g t2/2 ) 。向心力的大小为 ,总是沿着半径指向圆心。向心力的作用只是改变速度的 , 时刻在改变。它是均匀速率圆周运动的简称。

(2)在垂直于斜面方向上,物体的运动类似于竖直上抛运动,其初速度为

当物体离斜面距离最大时,垂直于斜面方向上的速度为 0,故有

;最大距离

.

例 3、如图所示,两个皮带轮通过皮带传动(皮带不打滑),大轮半径是小轮半径的 2 倍,则两轮边缘上 A、B 两点的线速 度 ,角速度 、周期 和频率 的关系为 ; ; ;

.

答案:1︰1,1︰2,2︰1,1︰2 例 4、原长为 L0 的轻弹簧一端固定一小铁块,另—端连接在竖直轴 OO′上.小铁块放在一水平圆盘上,若圆盘静止,把弹簧 拉长后将小铁块放在圆盘上,弹簧的最大长度为 L0 时小铁块仍可保持静止.现将弹簧长度拉长到 L0 后,把小铁块放在圆 盘上,在这种情况下,圆盘绕其中心轴 00′以一定角速度匀速转动,如图所示,已知小铁块的质量为 m,为保证小铁块不在 圆盘上滑动,圆盘转动的角速度 ω0 最大不得超过多少? 解答:由题意知,小铁块和圆盘之间的最大静摩擦力 fm = k( LO -LO)= 当弹簧拉伸到 LO 时,弹簧的弹力 F = ( LO - LO ) = kLO ,

kLO ,当最大静摩擦力与弹簧的弹力方向相同时,

则使小铁块作圆周运动的向心力最大,故角速度 ω 也就最大,即 要使小铁块不在圆盘上滑动,则圆盘转动的角速度 ω 最大不得超过 圆周运动中的临界问题:

kLO + .

kLO = m LOω2

∴ ω=

(1)如下图所示,没有物体支承的小球,在竖直平面作圆周运动过最高点情况:

①临界条件:绳子和轨道对小球刚好没有力的作用。由



。注意:如果小球带电,且空间在在

电、磁场时,临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力,此时临界速度 ②能过最高点条件: ③不能过最高点条件: (当 时绳、轨道对球分别产生拉力、压力).

(实际上球还没到最高点就脱离了轨道,脱离时绳、轨道和球之间的拉力、压力为零).

(2)如下图所示的有物体支撑的小球,在竖直平面作圆周运动过最高点的临界条件:

v=0(有物体支承的小球不会脱落轨内,只要还有向前速度都能向前运动) (3)如上图(a)的球过最高点时,轻质杆对球产生的弹力情况: ①当 v=0 时,N=mg.(N 为支持力,方向和指向圆心方向相反) ②当 0<v< ③当 v= ④当 v> 时,N 随 v 增大而减小,且 mg>N>0(N 仍为支持力) 时,N=0. 时,N 随 v 增大而增大,且 N>0(N 为拉力,方向指向圆心)

注意:若是上图(b)的小球,此时将脱离轨道作平抛运动,因为轨道对它不能产生拉力 例 5、(1)图(A)为一质量为 m 的小球固定在长为 L 的轻质硬杆末端绕 O 点作圆周运动的情形,试分析小球运动到 最高点处时杆的受力情况; (2)图(B)为一平径为 R 的内壁光滑的金属硬管,内面有一质量为 m 的小球沿管壁作圆周运动,试分析小球运动 到最高点处时管壁的受力情况。

解答: 由于硬杆和硬管的物体支撑作用,小球恰能达最高点的临界速度 v 临界 = 0. (1)小球在竖宜平面内做圆周运动,小球过最高点时,轻质硬杆对小球的弹力有以下几种情况: ① 当 v = 0 时,轻杆对小球有竖宜向上的支持力 N ,其大小等于小球的重力, 即 N = mg. ② 当 0 <v < ③ 当 v = ④当 v > 时,杆对小球的支持力的方向竖直向上,大小随速度的增大而减小,其取值范围是:mg > N > 0 ; 时, N = 0 ; 时,杆对小球有指向圆心的拉力,其大小随速度的增大而增大。

(2)如右图所示的小球过光滑金属硬管最高点时,光滑硬管对小球的弹力有以下几种情况: ① 当 v = 0 时,管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力 N ,其大小等于小球重力,即 N = mg; ② 当 0<v < 0 ; ③ 当 v = ④ 当 v> 时, N = 0; 时,管的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的压力(弹力)其大小随速度的增大而增大。 时, 管的内壁下例对小球有竖宜向上的支持力 N , 大小随速度的增大而减小, 其取值范围是 mg >N >

速度的分解问题(一般把物体运动的实际速度作为合速度进行分解,分解为沿绳方向和垂直绳方向) 例 6、如图所示,纤绳以恒定的速率 v,沿水平方向通过定滑轮牵引小船向岸边运动,则 船向岸边运动的瞬时速度 v0 与 v 的大小关系是( A.v0>v 哪个是分运动. 解:设某一时刻船的瞬时速率 v0 与纤绳的夹角为 θ,根据小船的实际运动方向就是合 速度的方向可知,v0 就是合速度,所以小船的运动可以看作两个分运动的合成:一是沿绳的方 向被牵引,绳长缩短,绳长缩短的速度即等于 v;二是垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动,它不 B.v0<v C.v0=v )

D.以上答案都不对

分析:首先要分析小船的运动与纤绳的运动之间有什么样的关系,即哪个是合运动,

改变绳长,只改变角度 θ 的值.这样就可以将 v0 按如图所示方向进行分解,得:



可见,小船向岸行驶的瞬时速度为 小船过河问题

,所以答案应选 A。

例 7、一条宽度为 L 的河流,水流速度为 Vs,已知船在静水中的速度为 Vc,那么: (1)怎样渡河时间最短?(2)若 Vc>Vs,怎样渡河位移最小?(3)若 Vc<Vs,怎样注河船漂下的距离最短?

分析与解:(1)如图甲所示,设船上头斜向上游与河岸成任意角 θ,这时船速在垂直于河岸方向的速度分量 V1=Vcsinθ,

渡河所需时间为:

.

可以看出: Vc 一定时, 随 sinθ 增大而减小; θ=90 °时, sinθ=1,所以, L、 t 当 当船头与河岸垂直时, 渡河时间最短, (2)如图乙所示,渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于 L,必须使船的合速度 V 的方向与河岸垂直。这是 船头应指向河的上游,并与河岸成一定的角度 θ。根据三角函数关系有:Vccosθ─Vs=0. 所以 θ=arccosVs/Vc,因为 0≤cosθ≤1,所以只有在 Vc>Vs 时,船才有可能垂直于河岸横渡。

.

(3)如果水流速度大于船上在静水中的航行速度,则不论船的航向如何,总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离 最短呢?如图丙所示,设船头 Vc 与河岸成 θ 角,合速度 V 与河岸成 α 角。可以看出:α 角越大,船漂下的距离 x 越短,那 么,在什么条件下 α 角最大呢?以 Vs 的矢尖为圆心,以 Vc 为半径画圆,当 V 与圆相切时,α 角最大,根据 cosθ=Vc/Vs,船头 与河岸的夹角应为:θ=arccosVc/Vs.船漂的最短距离为:.

渡河的最短位移为:

.

平抛实验问题 例 11. 如图为某小球做平抛运动时, 用闪光照相的方法获得的相片的一部分,图中背景方格的边 长为 5cm,g=10m/s2,则 (1)小球平抛的初速度 vo= (2)闪光频率 f= Hz m/s (3)小球过 A 点的速率 vA= m/s

冲刺练习
1.关于物体做曲线运动,下列说法中,正确的是( ) A.物体做曲线运动时所受的合外力一定不为零 B.物体所受的合外力不为零时一定做曲线运动 C.物体有可能在恒力的作用下做曲线运动,如推出手的铅球 D.物体只可能在变力的作用下做曲线运动 2.匀速直线运动的火车上有一个苹果自由落下,关于苹果的运动下列说法正确的是 A.在火车上看苹果做自由落体运动 B.在火车上看苹果在下落的同时向车后运动 C.在地面上看苹果做自由落体运动 D.在地面上看苹果做平抛运动 3.关于做曲线运动物体的速度和加速度,下列说法中正确的是( ) A. 速度、加速度都一定随时在改变 B. 速度、加速度的方向都一定随时在改变 C. 速度、加速度的大小都一定随时在改变 D. 速度、加速度的大小可能都保持不变 4.铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的,已知内外轨道平面与水平面的倾角为 θ,如图所示,弯道处的圆弧半径为 R, 若质量为 m 的火车转弯时速度小于

gRtan? ,则(

)

A.内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B.外轨对外侧车轮轮缘有挤压 C.这时铁轨对火车的支持力等于

mg mg D.这时铁轨对火车的支持力大于 cos? cos?

5.如图所示,轻绳的上端系于天花板上的 O 点,下端系有一只小球。将小球拉离平衡位置一个角度后 无初速释放。当绳摆到竖直位置时,与钉在 O 点正下方 P 点的钉子相碰。在绳与钉子相碰瞬间前后,以 下物理量的大小没有发生变化的是( A.小球的线速度大小 )

B.小球的角速度大小

C.小球的向心加速度大小 D.小球所受拉力的大小 6.如图所示,细杆的一端与一小球相连,可绕过 O 点的水平轴自由转动,现给小球一初速度,使其 做圆周运动,图中 a、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点,则杆对球的作用力可能是( A.a 处为拉力,b 处为拉力 B.a 处为拉力,b 处为推力 C.a 处为推力,b 处为拉力 D.a 处为推力,b 处为推力 7.将甲物体从高 h 处以速度 v 水平抛出,同时将乙物体从同一高度释放,使其自由下落,不计空气 阻力,在它们落地之前,关于它们的运动的说法正确的是( ) )

A

O

a

A.两物体在下落过程中,始终保持在同一水平面上 B.甲物体先于乙物体落地 C.两物体的落地速度大小相等,方向不同 D.两物体的落地速度大小不相等,方向也不相同 8.汽车在水平地面上转弯,地面对车的摩擦力已达到最大值。当汽车的速率加大到原来的二倍时,若使车在地面转弯时仍 不打滑,汽车的转弯半径应( ) C.增大到原来的四倍 D.减小到原来的四分之一 )

A.增大到原来的二倍 B.减小到原来的一半

9.一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面,圆锥筒固定,有质量相同的小球 A 和 B 沿着筒的内壁在 水平面内做匀速圆周运动,如图所示,A 的运动半径较大,则( A.A 球的角速度必小于 B 球的角速度 B.A 球的线速度必小于 B 球的线速度 C.A 球的运动周期必大于 B 球的运动周期 D.A 球对筒壁的压力必大于 B 球对筒壁的压力

10.物体做平抛运动的规律可以概括为两点:(1)水平方向做匀速直线运动;(2)竖直方向做自由落 体运动。为了研究物体的平抛运动,可做下面的实验:如图所示,用小锤打击弹性金属片,A 球水 平飞出;同时 B 球被松开,做自由落体运动。两球同时落到地面。把整个装置放在不同高度,重新 做此实验,结果两小球总是同时落地。则这个实验 A.只能说明上述规律中的第(1)条 B.只能说明上述规律中的第(2)条

C.不能说明上述规律中的任何一条 D.能同时说明上述两条规律 11.如图所示的吊臂上有一个可以沿水平方向运动的小车 A,小车下装有吊着物体 B 的吊钩。在小 车 A 与物体 B 以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时,吊钩将物体 B 向上吊起。A、B 之间 的距离以 d = H-2t2(SI)(SI 表示国际单位制,式中 H 为吊臂离地面的高度)规律变化。对于地面的 人来说,则物体做( 化的曲线运动 A ) A.速度大小不变的曲线运动B.速度大小增加的曲线运动C.加速度大小方向均不变的曲线运动D.加速度大小方向均变

A B
B

C D

12.一条河宽 400 m,水流的速度为 2.5 m/s,船相对静水的速度 5 m/s,要想渡河的时间最短,渡河的最短时间是____s;此 时船沿河岸方向漂移_____m。 13.如图所示,从 A 点以水平速度 v 0 抛出小球,不计空气阻力 。 小 球 垂 直 打 在 倾 角 为 α 的 斜 面 上 , 则 此 时 速 度 大 小 v= ;小球在空中飞行的时间 t = 。 14.汽车沿半径为 R 的圆跑道行驶,跑道的路面是水平的,路面作用于车轮的横向摩擦力的最大值是车重的 1/10,要使汽 车不致于冲出圆跑道,车速最大不能超过_________。 15.两个大轮半径相等的皮带轮的结构如图所示,AB 两点的半径之比为 2 : 1,CD 两点的半径之比也为 2 : 1,则 ABCD 四 点的角速度之比为 ,这四点的线速度之比为 ,向心加速度之比为 。 16. 如图所示, 把质量为 0.6 kg 的物体 A 放在水平转盘上, 的重心到转盘中心 O 点的距离为 0.2 A m,若 A 与转盘间的最大静摩擦力为 3 N,g=10 m/s2,求: (1)转盘绕中心 O 以 ω = 2 rad / s 的角速度旋转,A 相对转盘静止时,转盘对 A 摩擦力的大小与方 向。(2)为使物体 A 相对转盘静止,转盘绕中心 O 旋转的角速度 ω 的取值范围。 17.质量 M = 1 000 kg 的汽车通过圆形拱形桥时的速率恒定,拱形桥的半径 R =10 m。试求:(1) 汽车在最高点对拱形桥的压力为车重的一半时,汽车的速率;(2)汽车在最高点对拱形桥的压力 为零时,汽车的速率。(重力加速度 g=10 m/s2) A O

18.如图所示,在倾角为 37° 的斜坡上,从 A 点水平抛出一个物体,物体落在斜坡的 B 点, 测得 AB 两点间的距离是 75 m,g 取 10 m/s2。求: (1)物体抛出时速度的大小; (2)落到 B 点时的速度大小(结果带根号表示)。 提示:根据水平方向和竖直方向位移公式求出抛出时的速度和运动时间。根据初速度和时间 求出 B 点速度。

19.如图所示,位于竖直平面上的

1 圆弧轨道光滑,半径为 R,OB 沿竖直方向,上端 A 距地面高度为 H,质量为 m 的小球 4

从 A 点由静止释放,到达 B 点时的速度为

2gR ,最后落在地面上 C 点处,不计空气阻力,求:

(1)小球刚运动到 B 点时的加速度为多大,对轨道的压力多大; (2)小球落地点 C 与 B 点水平距离为多少。

20.车站使用的水平传送带装置的示意图如图所示,绷紧的传送带始终保持 3.0 m/s 的恒定速率运行,传送带的水平部 分 AB 距水平地面的高度为 h=0.45 m。 现有一行李包(可视为质点)由 A 端被传送到 B 端, 且传送到 B 端时没有被及时取下, 行李包从 B 端水平抛出,不计空气阻力,g 取 10 m/s2。 (1)若行李包从 B 端水平抛出的初速 v 0=3.0 m/s,求它在空中运动的时间和飞出的水平距离; (2)若行李包以 v 0=1.0 m/s 的初速从 A 端向右滑行,行李包与传送带间的动摩擦因数 μ=0.20,要使它从 B 端飞出的水平距 离等于(1)中所求的水平距离,求传送带的长度 L 应满足的条件。

1.AC

2.AD3.D

4.A 5.A6.AB

7.AD

8.C

9.AC

10.B

11.BC

12.80;200

13.

v0 v0 gR ; 14. 15.1∶1∶2∶2;2∶1∶4∶2;2∶1∶8∶4 10 sin ? g tan ?

16.(1)0.48 N,沿 OA 所在半径指向圆心 O;(2)? ≤5 rad / s 17.(1)7.1 m/s; (2)10 m/s18.(1)20 m/s; (2)10 13 m/s

解析:(1)由题意可得:

?v 0t = L cos 37? ? ?1 2 ? 2 gt = L sin 37? ?
∴ ?

?v 0 = 20 m/s 2 (2)vB= v 0 + ( gt) 2 = 400+900 m/s=10 13 m/s ?t = 3 s

19.(1)2 g,3 mg;(2)2 FN=mg+maB=3 mg

R(H - R) 解析:(1)F 向=m

2 vB v2 =maB∴ aB= B =2g R R

∴ 根据牛顿第三定律可知,小球运动到 B 点对轨道的压力为 3 mg。 (2)∵ t=

2 H - R) ( ( ∴ x=vBt=2 R H - R) g

20.(1)0.3 s,0.9 m; (2)L≥2.0 m 解析:传送带最小长度时,行李包由 A 点端传到 B 端刚好加速到传送带速度 3.0 m/s。

补充练习 1、如图所示,长 L=0.50m 的轻杆,一端固定于 O 点,另一端连接质量 m=2kg 的小球,它绕 O 点在 竖直平面内做圆周运动,通过最高点时, (1)若 v1=1 m/s,求此时杆受力的大小和方向; (2)若 v2=4m/s,求此时杆受力的大小和方向.

2.如图 1—8 所示,A 是用等长的细绳 AB 与 AC 固定在 B、C 两点间的小球,B、C 在同一竖直线上, 并且 BC=AB=L,求:当 A 以多大的角速度绕 BC 在水平面上转动时,AC 绳刚好被拉直?

3.如图所示,半径为 R,内径很小的光滑半圆细管竖直放置,两个质量均为 m 的小球 A、B,以不同的速率进入管内,若 A 球 通过圆周最高点 C,对管壁上部的压力为 3mg,B 球通过最高点 C 时,对管壁内侧下部的压力为 0.75mg,求 A、B 球落地点 间的距离.

C

O B A

4、如图 1 所示,汽车甲以速度 v1 拉汽车乙前进,乙的速度为 v2,甲、乙都在水平面上运动,求 v1∶v2。

分析与解:如图 2 所示,甲、乙沿绳的速度分别为 v1 和 v2cosα,两者应该相等,所以有 v1∶v2=cosα∶1 5、在“研究平抛运动”实验中,某同学只记录了小球运动途中的 A、B、C 三点的位置,取 A 点为坐标原点,则各点的位置 坐标如图所示,当 g=10 m/s2 时,下列说法正确的是( A.小球抛出点的位置坐标是(0,0) B.小球抛出点的位置坐标是(-10,-5) C.小球平抛初速度为 2m/s D.小球平抛初速度为 1m/s BD )

6、小船在 200m 宽的河中横渡,水流速度是 2m/s,船在静水中的航速是 4m/s,求: (1)要使小船渡河耗时最少,应如何航行? (2)要使小船航程最短,应如何航行? (3)若 v 水 = 5m/s,v 船=3m/s,则要求耗时最少如何航行?最短航程是多少? 2.解析:如图所示,AC 绳刚好被拉直时,AC 绳中无张力,小球受重力和 AB 绳的拉 力做圆周运动. 竖直方向,有 Fcos 60°=mg 水平方向,由向心力公式:Fsin 60°= mr?
2

小球做圆周运动的半径 r= l sin 60°

联立三式即得: ?

?

2g l

? FA + mg = m
3.对 A 球? vA

vA2 , FA =3mg R

? 2 gR

? xA ? vA tA ? 4R vB2 , B = 0.75mg F R 对 B 球? vB ? 0.5 gR ? mg - FB = m ? xB ? vBtB ? R
∴⊿x=3R 6、解答:(1)要使小船渡河耗时最少,船头应垂直河岸航行,故 (2)要使小船航程最短,船的合速度应垂直于河岸航行,如图所示, v 船 cosθ - v 水 = 0 cosθ = v 水/v 船 = 2/4 = 0.5 ∴ v 船 cosθ = v 水 ∴θ= 60° tmin = 200/4 = 50 (s)

即船应沿与河岸成 60° 夹角方向航行。 (3) v 水 = 5m/s,v 船=3m/s,耗时最少的航行也就是航程最短的航行。 v 水的箭头处 若 以 为圆心,以 v 船 为半径画弧,则船的合速度 v 可以是从 v 水 尾端处指向圆周上各点 的矢量,如下图所示,要使耗时最少、航程最短,则应使 θ 最大, 故合速度 v 必沿 圆周的切线方向。 ∵ sinθmax = v 船/v 水 = 3/5 = 0.6 ∴ θmax = 37° ∴ α = 90° - 37°= 53°

故船应沿与河岸成 53° (或 127° )夹角方向航行才能使航程最短,其最短航程 smin = d/sinθmax = dv 水/v 船 = 200× = 333.33 m 1. 5/3 (1)24N,方向竖直向下; (2)44N,方向竖直向上


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