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高中数学竞赛辅导讲义第一讲 集合与简易逻辑【讲义】


第一章 集合与简易逻辑 一、基础知识 定义 1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,

用大写字母来表示;集合中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素 x 在 集合 A 中,称 x 属于 A,记为 x ? A ,否则称 x 不属于 A,记作 x ? A 。例如,通 常用 N,Z,Q,B,Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数

集、正有理 数集, 不含任何元素的集合称为空集, ? 来表示。 用 集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法: 将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号 隔开表示集合的方法,如{1,2,3};描述法:将集合中的元素的属性写在大括 号内表示集合的方法。例如{有理数}, {x x > 0} 分别表示有理数集和正实数集。

定义 2

子集:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B

中的元素,则 A 叫做 B 的子集,记为 A ? B ,例如 N ? Z 。规定空集是任何集 合的子集,如果 A 是 B 的子集,B 也是 A 的子集,则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集,而且 B 中存在元素不属于 A,则 A 叫 B 的真子集。 定义 3 交集, A I B = {x x ? A且x ? B}. 并集, A U B = {x x ? A或x ? B}. 补集,若 A ? I , 则C1 A = {x x ? I , 且x ? A} 称为 A 在 I 中的补集。

定义 4

定义 5

定义 6

差集, A \ B = {x x ? A, 且x ? B} 。

定义 7

集合 {x a < x < b, x ? R, a < b} 记作开区间 (a, b) ,集合

{x a ? x ? b, x ? R, a < b} 记作闭区间 [a, b] ,R 记作 (-?,+?).

定理 1

集合的性质:对任意集合 A,B,C,有:

(1) A I ( B U C ) = ( A I B ) U ( A I C ); (2) A U ( B I C ) = ( A U B ) I ( A U C ) ; (3) C1 A U C1 B = C1 ( A I B ); (4) C1 A I C1 B = C1 ( A U B ). 【证明】这里仅证(1)(3) 、 ,其余由读者自己完成。 (1)若 x ? A I ( B U C ) ,则 x ? A ,且 x ? B 或 x ? C ,所以 x ? ( A I B) 或 x ? ( A I C ) , x ? ( A I B) U ( A I C ) ; 即 反之,x ? ( A I B) U ( A I C ) , x ? ( A I B) 则 或 x ? ( A I C ) ,即 x ? A 且 x ? B 或 x ? C ,即 x ? A 且 x ? ( B U C ) ,即 x ? A I ( B U C ). (3)若 x ? C1 A U C1 B ,则 x ? C1 A 或 x ? C1 B ,所以 x ? A 或 x ? B ,所以 x ? ( A I B) ,又 x ? I ,所以 x ? C1 ( A I B ) ,即 C1 A U C1 B ? C1 ( A I B ) ,反之也 有 C1 ( A I B) ? C1 A U C1 B. 定理 2 加法原理:做一件事有 n 类办法,第一类办法中有 m1 种不同的方法,第

二类办法中有 m2 种不同的方法,…,第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完 成这件事一共有 N = m1 + m2 + L + mn 种不同的方法。 定理 3 乘法原理:做一件事分 n 个步骤,第一步有 m1 种不同的方法,第二步有

m2 种不同的方法,…,第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事一共有 N = m1 × m2 × L × mn 种不同的方法。 二、方法与例题

1.利用集合中元素的属性,检验元素是否属于集合。 例1 设 M = {a a = x 2 - y 2 , x, y ? Z } ,求证:

(1) 2k - 1 ? M , (k ? Z ) ;

(2) 4k - 2 ? M , (k ? Z ) ;

(3)若 p ? M , q ? M ,则 pq ? M .

[证明](1)因为 k , k -1 ? Z ,且 2k - 1 = k 2 - (k - 1) 2 ,所以 2k - 1 ? M .

(2)假设 4k - 2 ? M (k ? Z ) ,则存在 x, y ? Z ,使 4k - 2 = x 2 - y 2 ,由于 x - y 和
x + y 有相同的奇偶性,所以 x 2 - y 2 = ( x - y )( x + y ) 是奇数或 4 的倍数,不可能

等于 4k - 2 ,假设不成立,所以 4k - 2 ? M . (3)设 p = x 2 - y 2 , q = a 2 - b 2 , x, y, a, b ? Z ,则 pq = ( x 2 - y 2 )(a 2 - b 2 )

= a 2 a 2 + y 2 b 2 - x 2 b 2 - y 2 a 2 = ( xa - yb) 2 - ( xb - ya) 2 ? M

(因为 xa - ya ? Z , xb - ya ? Z ) 。

2.利用子集的定义证明集合相等,先证 A ? B ,再证 B ? A ,则 A=B。 例2 设 A,B 是两个集合,又设集合 M 满足

A I M = B I M = A I B, A U B U M = A U B ,求集合 M(用 A,B 表示) 。 【解】先证 ( A I B ) ? M ,若 x ? ( A I B) ,因为 A I M = A I B ,所以

x ? A I M , x ? M ,所以 ( A I B ) ? M ; 再证 M ? ( A I B ) ,若 x ? M ,则 x ? A U B U M = A U B. 1)若 x ? A ,则 x ? A I M = A I B ;2)若 x ? B ,则 x ? B I M = A I B 。所以 M ? ( A I B ). 综上, M = A I B. 3.分类讨论思想的应用。 例3 A = {x x 2 - 3x + 2 = 0}, B = {x x 2 - ax + a - 1 = 0}, C = {x x 2 - mx + 2 = 0} ,若

A U B = A, A I C = C ,求 a, m. 【解】依题设, A = {1,2} ,再由 x 2 - ax + a - 1 = 0 解得 x = a - 1 或 x = 1 ,

因为 A U B = A ,所以 B ? A ,所以 a -1 ? A ,所以 a - 1 = 1 或 2,所以 a = 2 或 3。 因为 A I C = C , 所以 C ? A , C = ? ,则 D = m 2 - 8 < 0 ,即 - 2 2 < m < 2 2 , 若 若 C ? ? ,则 1 ? C 或 2 ? C ,解得 m = 3. 综上所述, a = 2 或 a = 3 ; m = 3 或 - 2 2 < m < 2 2 。 4.计数原理的应用。 例4 集合 A, C 是 I={1, 3, 5, 7, 9, B, 2, 4, 6, 8, 0}的子集, 若 A U B = I , (1)

求有序集合对(A,B)的个数; (2)求 I 的非空真子集的个数。 【解】 (1)集合 I 可划分为三个不相交的子集;A\B,B\A, A I B, I 中的每个元 素恰属于其中一个子集,10 个元素共有 310 种可能,每一种可能确定一个满足条 件的集合对,所以集合对有 310 个。

(2)I 的子集分三类:空集,非空真子集,集合 I 本身,确定一个子集分十步, 第一步,1 或者属于该子集或者不属于,有两种;第二步,2 也有两种,…,第 10 步,0 也有两种,由乘法原理,子集共有 210 = 1024 个,非空真子集有 1022 个。 5.配对方法。 例 5 给定集合 I = {1,2,3, L, n} 的 k 个子集: A1 , A2 ,L , Ak ,满足任何两个子集的 交集非空,并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质,求 k 的值。 【解】将 I 的子集作如下配对:每个子集和它的补集为一对,共得 2 n -1 对,每一 对不能同在这 k 个子集中,因此,k ? 2n -1 ;其次,每一对中必有一个在这 k 个子 集中出现,否则,若有一对子集未出现,设为 C1A 与 A,并设 A I A1 = ? ,则 A1 ? C1 A ,从而可以在 k 个子集中再添加 C1 A ,与已知矛盾,所以 k ? 2 n -1 。综 上, k = 2 n -1 。 6.竞赛常用方法与例问题。 定理 4 容斥原理;用 A 表示集合 A 的元素个数,则 A U B = A + B - A I B ,

A U B U C = A + B + C - A I B - A I C - B I C + A I B I C ,需要 xy 此结论 可以推广到 n 个集合的情况,即 ?

U Ai = ? Ai - ? Ai I A j +
i =1 i =1 i? j

n

n

1?i < j < k ? n

?

Ai I A j I Ak - L + (-1) n -1 I Ai .
i =1

n

定义 8

集合的划分:若 A1 U A2 U L U An = I ,且 Ai I A j = ?(1 ? i, j ? n, i ? j ) ,

则这些子集的全集叫 I 的一个 n -划分。

定理 5 定理 6

最小数原理:自然数集的任何非空子集必有最小数。 抽屉原理:将 mn + 1 个元素放入 n(n > 1) 个抽屉,必有一个抽屉放有不少

于 m + 1 个元素, 也必有一个抽屉放有不多于 m 个元素; 将无穷多个元素放入 n 个 抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。 例6 求 1,2,3,…,100 中不能被 2,3,5 整除的数的个数。

【解】 记 I = {1,2,3, L,100}, A = {x 1 ? x ? 100, 且x能被2整除( 记为2 x)} , B = {x 1 ? x ? 100,3 x}, C = {x 1 ? x ? 100,5 x} ,由容斥原理, é100 ù é100 ù AU BUC = A + B + C - AI B - BIC - C I A + AI BIC = ê + + ? 2 ú ê 3 ú ? ? ? é100 ù é100 ù é100 ù é100 ù é100 ù ê 5 ú - ê 6 ú - ê 10 ú - ê 15 ú + ê 30 ú = 74 ,所以不能被 2,3,5 整除的数有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? I - A U B U C = 26 个。 例7 S 是集合{1,2,…,2004}的子集,S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7,

问 S 中最多含有多少个元素? 【解】将任意连续的 11 个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两 个数至多有一个属于 S,将这 11 个数按连续两个为一组,分成 6 组,其中一组 只有一个数,若 S 含有这 11 个数中至少 6 个,则必有两个数在同一组,与已知 矛盾,所以 S 至多含有其中 5 个数。又因为 2004=182×11+2,所以 S 一共至多含 有 182×5+2=912 个元素,另一方面,当 S = {r r = 11k + t , t = 1,2,4,7,10, r ? 2004, k ? N } 时,恰有 S = 912 ,且 S 满足题目 条件,所以最少含有 912 个元素。 例8 求所有自然数 n(n ? 2) ,使得存在实数 a1 , a 2 , L, a n 满足:

{ ai - a j }1 ? i < j ? n} = {1,2,L ,

n(n - 1) }. 2

【解】 当 n = 2 时,a1 = 0, a 2 = 1 ; n = 3 时,a1 = 0, a 2 = 1, a3 = 3 ; n = 4 时, 当 当 a1 = 0, a 2 = 2, a3 = 5, a 4 = 1 。下证当 n ? 5 时,不存在 a1 , a 2 , L, a n 满足条件。 令 0 = a1 < a 2 < L < a n ,则 a n = n(n - 1) . 2

所以必存在某两个下标 i < j , 使得 ai - a j = a n - 1 , 所以 a n - 1 = a n -1 - a1 = a n -1 或 an - 1 = an - a2 , a2 = 1 , 即 所以 a n = n(n - 1) n(n - 1) , a n -1 = a n - 1 或 a n = ,a 2 = 1 。 2 2

(ⅰ) a n = 若

n(n - 1) , a n -1 = a n - 1 , 考虑 a n - 2 , a n - 2 = a n - 2 或 a n - 2 = a n - a 2 , 有 2

即 a 2 = 2 ,设 a n - 2 = a n - 2 ,则 a n -1 - a n - 2 = a n - a n -1 ,导致矛盾,故只有 a 2 = 2.

考虑 a n - 3 ,有 a n - 3 = a n - 2 或 a n - 3 = a n - a3 ,即 a3 = 3 ,设 a n - 3 = a n - 2 ,则 a n -1 - a n - 2 = 2 = a 2 - a 0 ,推出矛盾,设 a3 = 3 ,则 a n - a n -1 = 1 = a3 - a 2 ,又推出 矛盾, 所以 a n - 2 = a 2 , n = 4 故当 n ? 5 时,不存在满足条件的实数。 n(n - 1) , a 2 = 1 ,考虑 a n - 2 ,有 a n - 2 = a n -1 或 a n - 2 = a n - a3 ,即 2

(ⅱ)若 a n =

a3 = 2 ,这时 a3 - a 2 = a 2 - a1 ,推出矛盾,故 a n -1 = a n - 2 。考虑 a n - 3 ,有 a n - 3 = a n - 2 或 a n - 3 = a n - a3 ,即 a3 =3,于是 a3 - a 2 = a n - a n -1 ,矛盾。因此 a n - 2 = a n - 3 ,所以 a n -1 - a n - 2 = 1 = a 2 - a1 ,这又矛盾,所以只有 a n - 2 = a 2 ,所以
n = 4 。故当 n ? 5 时,不存在满足条件的实数。

例9

设 A={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9,……,n},在 A 中取三个数,B

中取两个数组成五个元素的集合 Ai , i = 1,2, L,20, Ai I A j ? 2,1 ? i < j ? 20. 求 n 的最小值。

【解】 nmin = 16. 设 B 中每个数在所有 Ai 中最多重复出现 k 次,则必有 k ? 4 。若不然,数 m 出现
k 次( k > 4 ) 3k > 12. 在 m 出现的所有 Ai 中,至少有一个 A 中的数出现 3 次, ,则

不妨设它是 1,就有集合{1, a1 , a 2 , m, b1 } {1, a3 , a 4 , m, b2 }, {1, a5 , a 6 , m, b3 } ,其中 ai ? A,1 ? i ? 6 ,为满足题意的集合。 ai 必各不相同,但只能是 2,3,4,5,6 这 5 个数,这不可能,所以 k ? 4. 20 个 Ai 中,B 中的数有 40 个,因此至少是 10 个不同的,所以 n ? 16 。当 n = 16 时,如下 20 个集合满足要求: {1,2,3,7,8}, 9,10}, {1,3,4,10,11}, {1,3,5,13,14}, {1,3,6,12,15}, {1,4,5, 7,9}, {1,4,6,13,16}, {1,5,6,8,11}, 9,11}, {2,3,6,14,16}, {2,4,5,8,10}, 12,13}, {3,4,5,12,16}, {3,4,6,8,9}, 14,15}。 例 10 集合{1,2,…,3n}可以划分成 n 个互不相交的三元集合 {x, y, z} ,其中 x + y = 3 z ,求满足条件的最小正整数 n. {3,5,6,7,10}, {4,5,6, {2,4,6,7,11}, {2,5,6, {2,3,4,13,15}, {2,3,5, {1,2,4,12,14}, {1,2,5,15,16}, {1,2,6,

【解】 设其中第 i 个三元集为 {xi , y, z i }, i = 1,2, L, n, 则 1+2+…+ 3n = ? 4 z i ,
i =1

n

所以

n 3n(3n + 1) = 4? z i 。当 n 为偶数时,有 8 3n ,所以 n ? 8 ,当 n 为奇数时,有 2 i =1

8 3n + 1 ,所以 n ? 5 ,当 n = 5 时,集合{1,11,4},{2,13,5},{3,15,6}, {9,12,7},{10,14,8}满足条件,所以 n 的最小值为 5。 三、基础训练题 1.给定三元集合 {1, x, x 2 - x} ,则实数 x 的取值范围是___________。

2.若集合 A = {x ax 2 + 2 x + 1 = 0, a ? R, x ? R} 中只有一个元素,则 a =___________。 3.集合 B = {1,2,3} 的非空真子集有___________个。

4.已知集合 M = {x x 2 - 3 x + 2 = 0}, N = {x ax + 1 = 0} ,若 N ? M ,则由满足条件 的实数 a 组成的集合 P=___________。 5.已知 A = {x x < 2}, B = {x x ? a} ,且 A ? B ,则常数 a 的取值范围是 ___________。 6.若非空集合 S 满足 S ? {1,2,3,4,5} ,且若 a ? S ,则 6 - a ? S ,那么符合要求的 集合 S 有___________个。 7.集合 X = {2n + 1 n ? Z }与Y = {4k ± 1 k ? Z } 之间的关系是___________。

8.若集合 A = {x, xy, xy - 1} ,其中 x ? Z , y ? Z 且 y ? 0 ,若 0 ? A ,则 A 中元素 之和是___________。

9.集合 P = {x x 2 + x - 6 = 0}, M = {x mx - 1 = 0} ,且 M ? P ,则满足条件的 m 值 构成的集合为___________。 10.集合 A = {x y = 2 x + 1, x ? R + }, B = { y y = - x 2 + 9, x ? R} ,则

A I B = ___________。 11.已知 S 是由实数构成的集合,且满足 1) 1 ? S ;2 )若 a ? S ,则 如果 S ? ? ,S 中至少含有多少个元素?说明理由。 12. 已知 A = {( x, y ) y = a x }, B = {( x, y ) y = x + a}, C = A I B , C 为单元素集合, 又 求实数 a 的取值范围。 四、高考水平训练题 1.已知集合 A = {x, xy, x + y}, B = {0, x , y} ,且 A=B,则 x = ___________, y = ___________。 1 ?S 。 1- a

2. I = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A ? I , B ? I , A I B = {2}, (C1 A) I (C1 B ) = {1,9}, (C1 A) I B = {4,6,8} ,则 A I (C1 B ) = ___________。 3.已知集合 A = {x 10 + 3 x - x 2 ? 0}, B = {x m + 1 ? x ? 2m - 1} ,当 A I B = ? 时, 实数 m 的取值范围是___________。 ì ü 1 ? ? 4.若实数 a 为常数,且 a ? A = í x = 1?, 则a = ___________。 ? ax 2 - x + 1 ? ? ?

5.集合 M = {m 2 , m + 1,-3}, N = {m - 3,2m - 1, m 2 + 1} ,若 M I N = {-3} ,则 m = ___________。 6.集合 A = {a a = 5 x + 3, x ? N + }, B = {b b = 7 y + 2, y ? N + } ,则 A I B 中的最小元 素是___________。 7.集合 A = {x - y, x + y, xy}, B = {x 2 + y 2 , x 2 - y 2 ,0} ,且 A=B,则
x + y = ___________。

8.已知集合 A = {x ___________。 9.设集合

x +1 < 0}, B = {x px + 4 < 0} ,且 B ? A ,则 p 的取值范围是 2- x

A = {( x, y ) y 2 - x - 1 = 0}, B = {( x, y ) 4 x 2 + 2 x - 2 y + 5 = 0}, C = {( x, y ) y = kx + b} , 问:是否存在 k , b ? N ,使得 ( A U B ) I C = ? ,并证明你的结论。 10.集合 A 和 B 各含有 12 个元素, A I B 含有 4 个元素,试求同时满足下列条 件的集合 C 的个数:1) C ? A U B 且 C 中含有 3 个元素;2) C I A ? ? 。 11. 判断以下命题是否正确: A, 是平面上两个点集, r = {( x, y ) x 2 + y 2 ? r 2 } , 设 B C 若对任何 r ? 0 ,都有 C r U A ? C r U B ,则必有 A ? B ,证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题 m2 x -1 , x > 2}, B ? ?, 且B ? A ,则实数 m 的 mx + 1

1.已知集合 A = {x x < 0}, B = {z z = 取值范围是___________。

2.集合 A = {1,2,3, L,2n,2n + 1} 的子集 B 满足:对任意的 x, y ? B, x + y ? B ,则集 合 B 中元素个数的最大值是___________。 3. 已知集合 P = {a, aq, aq 2 }, Q = {a, a + d , a + 2d } , 其中 a ? 0 , a ? R , P=Q, 且 若 则实数 q = ___________。 4.已知集合 A = {( x, y ) x + y = a, a > 0}, B = {( x, y ) xy + 1 = x + y } ,若 A I B 是 平面上正八边形的顶点所构成的集合,则 a = ___________。 5.集合 M = {u u = 12m + 8n + 4l , m, l , n ? Z } ,集合 N = {u u = 20 p + 16q + 12r , p, q, r ? Z } ,则集合 M 与 N 的关系是___________。

6.设集合 M = {1,2,3,L ,1995} ,集合 A 满足: A ? M ,且当 x ? A 时, 15 x ? A , 则 A 中元素最多有___________个。 7.非空集合 A = {x 2a + 1 ? x ? 3a - 5}, B = {x 3 ? x ? 22} ,≤则使 A ? A I B 成立的 所有 a 的集合是___________。 8.已知集合 A,B,aC(不必相异)的并集 A U B U C = {1,2, L, n} , 则满足条件 的有序三元组(A,B,C)个数是___________。 9.已知集合 A = {( x, y ) ax + y = 1}, B = {( x, y ) x + ay = 1}, C = {( x, y ) x 2 + y 2 = 1} , 问:当 a 取何值时, ( A U B) I C 为恰有 2 个元素的集合?说明理由,若改为 3 个 元素集合,结论如何? 10.求集合 B 和 C,使得 B U C = {1,2, L,10} ,并且 C 的元素乘积等于 B 的元素 和。

11.S 是 Q 的子集且满足:若 r ? Q ,则 r ? S ,- r ? S , r = 0 恰有一个成立,并且 若 a ? S , b ? S ,则 ab ? S , a + b ? S ,试确定集合 S。

12.集合 S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的若干个五元子集满足:S 中的 任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中,问:至多有多少个五元子集? 六、联赛二试水平训练题 1. S1 , S 2 , S 3 是三个非空整数集,已知对于 1,2,3 的任意一个排列 i, j , k ,如果 x ? S i , y ? S j ,则 x - y ? S i 。求证: S1 , S 2 , S 3 中必有两个相等。 2.求证:集合{1,2,…,1989}可以划分为 117 个互不相交的子集 Ai (i = 1,2,L ,117) ,使得(1)每个 Ai 恰有 17 个元素; (2)每个 Ai 中各元素之 和相同。 3.某人写了 n 封信,同时写了 n 个信封,然后将信任意装入信封,问:每封信 都装错的情况有多少种? 4.设 a1 , a 2 , L, a 20 是 20 个两两不同的整数,且整合 {ai + a j 1 ? i ? j ? 20} 中有 201 个不同的元素, 求集合 { ai - a j 1 ? i < j ? 20} 中不同元素个数的最小可能值。 5.设 S 是由 2n 个人组成的集合。求证:其中必定有两个人,他们的公共朋友的 个数为偶数。 6.对于整数 n ? 4 ,求出最小的整数 f (n) ,使得对于任何正整数 m ,集合 {m, m + 1, L, m + n - 1} 的任一个 f (n) 元子集中,均有至少 3 个两两互质的元素。 7.设集合 S={1,2,…,50},求最小自然数 k ,使 S 的任意一个 s 元子集中都 存在两个不同的数 a 和 b,满足 (a + b) ab 。

8.集合 X = {1,2, L,6k}, k ? N + ,试作出 X 的三元子集族&,满足: (1)X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含; (2) & = 6k 2 ( & 表示 & 的元素个数) 。

9.设集合 A = {1, , ,m } ,求最小的正整数 m ,使得对 A 的任意一个 14-分划 2L A1 , A2 ,L , A14 ,一定存在某个集合 Ai (1 ? i ? 14) ,在 Ai 中有两个元素 a 和 b 满足 b<a? 4 b。 3


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