当前位置:首页 >> 信息与通信 >>

现代控制理论 刘豹 第二章


第2章 线性控制系统的数学模型

目录
2.1 控制系统数学模型的基本概念 控制系统的微分方程 控制系统的传递函数 控制系统的方框图与信号流图

2.2
2.3 2.4

前言
对控制系统的研究,仅仅分析其工作原理及大致的运动 过程是不够的,必须进行定量的分析。定量分析和设计控制 系统首

先要解决的问题是要合适的系统的数学模型,数学模 型就是用数学的方法和形式描述系统中各变量变化及其相互 关系。由于相似性原理,不同类型的系统(比如机械系统、 电气系统、液压系统、气动系统、经济学系统和管理系统等) 可以拥有反映其运动规律的相同形式的数学模型,因此,通 过数学模型研究控制系统,可以摆脱各种类型系统的外部特 征而研究其内在的共性运动规律,这也是自动控制原理能够 研究自动控制共同规律的前提。

前言

另外,数学模型作为一种数学结构,不但为解 决实际问题提供了一种数学方法,同时也可译成算 法语言(或仿真模型)而应用于Matlab等软件中实 现控制系统的计算机辅助分析与设计。本章主要介 绍线性定常连续系统的数学模型及其建立。

2.1控制系统数学模型的基本概念
2.1.1
控制系统数学模型的定义

2.1.2

建立数学模型的方法

2.1.3

数学模型的表示形式

2.1.1控制系统数学模型的定义

控制系统的数学模型是系统中各变量间关系的数学描述。 若系统中各变量变化缓慢,其对时间的各阶导数可忽略不计, 在这种静态条件下,描述系统各变量关系的数学模型称为静 态数学模型。静态数学模型一般是以代数方程表示;若各变 量对时间的变化率不可忽略,在此条件下,表示变量及其各 阶导数之间关系的数学模型称为动态数学模型。动态数学模 型一般是微分方程等形式,控制系统的数学模型绝大部分是 动态数学模型。

2.1.1控制系统数学模型的定义
通常,通过对数学模型的求解,得到系统输出量的表 达式,并由此对系统性能进行分析。建立控制系统的数学 模型时需注意:其一正确性,即用所建的数学模型进行理 论分析,计算的结果应与系统实验与实际运行的结果,在 一定的精度要求范围内相吻合;其二合理性,即对数学模 型的精确度要求也非越高越好,这样得出的数学模型常常 过于复杂,不但理论分析、计算非常困难,而且实践中无 法实现与验证。因此,对控制系统建模往往是在把握本质、 主要影响因素的同时,忽略一些非本质、次要的影响因素, 合理确定对系统模型准确度有决定影响的物理变量及其相 互作用关系,而建立能正确反映系统特性的、最简形式的 数学模型。

2.1.2 建立数学模型的方法
建立控制系统数学模型的方法通常有两大类:一类是 机理建模方法,另一类是实验建模方法。 机理建模法也称解析法,是通过对系统内在机理的分 析,运用各种物理、化学等定律(如牛顿第二定律、基尔 霍夫定律、能量守恒定律、物质不灭定律等),推导出描 述系统的数学表达式,通常称为机理模型。采用机理建模 必须清楚地了解系统的内部结构,所以常称为“白箱”建 模方法。机理模型展示了系统的内在结构与联系,较好地 描述了系统特性。但对所研究系统的内部结构和特性尚不 清楚、甚至无法了解时,系统内部的机理变化规律就不能 确定,此时机理建模方法无法使用。

2.1.2 建立数学模型的方法
实验建模法是利用系统输入、输出的实验数据构造数 学模型的方法。因为此法只依赖于系统的输入输出关系, 即使对系统内部机理不了解,也可以建立模型,所以常称 为“黑箱”建模方法,也称系统辨识。系统辨识因其在实 践中能得到很好的运用,故已发展成为一门较成熟且日臻 完善的现代控制理论体系中的学科。事实上,人们在建模 时,对系统不是一点都不了解,只是不能准确地描述系统 的定量关系,但了解系统的一些特性,例如系统的类型、 阶次等,因此,实用的建模方法是尽量利用人们对物理系 统的认识,由机理分析提出模型结构,然后用观测数据估 计出模型参数,这种方法常称为“灰箱”建模方法,也属 于实验建模法范畴。综上,进行系统建模时,应根据实际 控制系统的具体情况选择行之有效的建模方法。 本章主要讨论解析法,着重介绍几种常用的数学模型。

2.1.3 数学模型的表示形式
数学模型是对系统运动规律的定量描述,根据系统数 学描述方法的不同,可以建立不同形式的数学表达式。时 域中常用的数学模型(以时间 为自变量)有微分方程、差 分方程和状态空间表达式;复域中常用的数学模型(以复 数 或角频率 为自变量)有传递函数、系统方框图、频率特 性等。数学模型虽然有不同的表示形式,但它们之间是可 以互相转换的。本章主要研究微分方程、传递函数和系统 方框图等数学模型的建立和应用(频率特性将在第五章介 绍,差分方程将在第七章介绍,状态空间表达式属现代控 制理论研究范畴,本书未做介绍)。

2.2 控制系统的微分方程
2.2.1
控制系统微分方程描述

2.2.2

控制系统微分方程建立

2.2.3

非线性微分方程的线性化

2.2 控制系统的微分方程

控制系统中的输出量和输入量通常都是时间 的函数,因而可以在时间域内建立微分方程式表 示系统的输入量与输出量间的函数关系。古典控 制理论中主要研究线性定常系统其时域数学模型, 即线性常系数微分方程。

2.2.1控制系统微分方程描述
对于单输入-单输出线性定常系统,若采用微分方程 描述形式如下:

c( n) (t ) ? an?1c( n?1) (t ) ? an?2c( n?2) (t ) ? ... ? a1c(1) (t ) ? a0c(t ) ? bm r ( m) (t ) ? bm?1r ( m?1) (t ) ? ... ? b1r (1) (t ) ? b0r (t )
r (t ) 为系统输入量, c( n) (t ) 是c(t ) c(t )为系统输出量, 其中, ai (i ? 0,1,?, n) , 对 t的 n阶导数, bj ( j ? 0,1,?, m) 是由系统 结构、参数决定的系数。

2.2.1控制系统微分方程描述
线性系统的重要性质是满足叠加原理。如上所述系统, 设系统输入为 r1 (t )时,系统输出为c1 (t ) ;当系统输入为 r2 (t ) 时,系统输出为 c2 (t ) 。如果系统输入为 r (t ) ? ar1 (t ) ? br2 (t ) ,系 统的输出为 c(t ) ? ac1 (t ) ? bc2 (t ) 。因此,对线性系统进行分析和 设计时,如果有几个输入信号同时作用于系统时,可以依次 求出每个输入信号单独作用时的系统输出,然后将它们叠 加即可。

2.2.2控制系统微分方程建立
一般情况下,采用解析法建立控制系统微分方程的步骤是: (1)根据要求,确定系统的输入量和输出量; (2)根据系统的运动性质及结构建立描述系统运动的方程式, 即系统方程式; (3)根据系统中各组成元件所遵循的自然科学规律,列写元 件运动方程式; 在这里需指出,对复杂的系统,可增设中间变量;列写 时按工作条件,忽略一些次要因素,并考虑相邻元件的彼此 影响(负载效应)。 (4)消去中间变量,整理出只含系统输入量和输出量及其各 阶导数的方程;

2.2.2控制系统微分方程建立
(5)将方程标准化,即输出量及其各阶导数在 方程的左边,输入量及其各阶导数在方程的右边, 各导数项按阶次由高到低顺次排列。
采用解析法建立微分方程的关键是系统(包括 元件)遵循的运动定律,下面以电气系统、机械系 统等基本的物理系统为例来说明如何建立描述系统 特性的微分方程。

2.2.2控制系统微分方程建立
1电气系统

电气系统是指由独立电压源、独立电流源、电阻、电感、 电容、运算放大器等元件组成的电路,所遵循的规律为: 独立回路的基尔霍夫电压定律 ; ?u ? 0 独立节点的基尔霍夫电流定律 ; ?i ? 0 基尔霍夫定律是电路中的全局约束条件,可作为系统方程式。 基本组成元件的电阻、电感、电容,其伏-安特性为: du di iC ? C ? UL ? L ? UR ? R ? i dt dt 可作为元件方程式。理想情况下,运算放大器的性质是: 同相端和反相端电压几乎相等,简称“虚短”;同相端和反 相端电流几乎为零,简称“虚断”。

2.2.2控制系统微分方程建立
例2-1 已知图2-1所示 RLC 电路中,电压 ui (t ) 为输入量,电压 uo (t ) 为输出量,求此电气系统的 微分方程。
?

i (t )

L
? uL ?

R
? uR ?
uC

? ? C

ui (t )
?
图2-1 RLC 电路

?

uo (t )
?

2.2.2控制系统微分方程建立
解:设中间变量 回路电流 i (t ) 如图2-1示。 (1)建立系统方程式: 根据基尔霍夫电压定律有,uR ? uL ? uC ? ui ? 0 (2)建立元件方程式: duC (t ) duo (t ) di (t ) i ( t ) ? i ( t ) ? C ? C uR ? Ri(t ) uL ? L C dt dt dt 整理上面的式子,可得系统微分方程

d 2uo (t ) duo (t ) LC ? RC ? uo (t ) ? ui (t ) 2 dt dt

2.2.2控制系统微分方程建立
可将上式写成
2

d uo (t ) duo (t ) T1 ? T2 ? uo (t ) ? ui (t ) 2 dt dt

(2-1)

其中, T1 ? LC T2 ? RC 可见,T1 和 T2 均为此电气系统元件参数决定的, 式(2-1)为典型的二阶线性常系数微分方程,则对应 的系统称为二阶线性定常系统。

2.2.2控制系统微分方程建立

例2-2 已知由理想运算放大器组成的电路如图2-2所示, 电压ui (t ) 为输入量,电压uo (t ) 为输出量,求此电气系统的 微分方程。 i
C

C

iR1 ui (t)

R1 1

iuo(t) R2

图2-2运算放大器电路

2.2.2控制系统微分方程建立
解: (1)建立系统方程式: 根据理想运算放大器的性质,对节点1,有 ?i ? 0 即 iR1 ? iC ? i? ? 0 (2)建立元件方程式:
iR1 ui (t ) ? R1

iC ? C

整理得,系统微分方程为
RC

duo (t ) dt

i? ? 0

duo (t ) ? ?ui (t ) dt

此为一阶线性常系数微分方程(系数 RC 由电路元 件参数决定),即所表示的系统为一阶线性定常系统

2.2.2控制系统微分方程建立
2.机械系统
机械系统指存在机械运动(直线运动、转动)的装置, 遵循物理学的力学定律。 2 d 直线运动系统遵循牛顿第二定律: ?F ? m x dt 2
为线位移,为时间 x m 为物体质量, t F 为物体所受外力, 直线运动的物体一般都要受到粘性摩擦力的作用,用 dx 下式表示: F ? f
B

dt

f 为粘性摩擦系数。粘性摩擦力 FB 与位移变化有关,
即当系统静止时粘性摩擦力的值为零。

2.2.2控制系统微分方程建立
d 2? 转动系统遵循牛顿转动定律: ?M ? J dt 2
M 为物体受到的力矩, J 为物体的转动惯量,? 为 其中, 角位移, 为时间。 对于转动的物体,摩擦力的作用通常体现在摩擦力矩 M B 即 d? MB ? f dt 其中,f 为粘性摩擦系数。粘性摩擦力矩 M B 在系统产生 角位移变化时才出现。 下面通过几个典型机械运动系统的例子介绍机械系统 微分方程的建立。

t

2.2.2控制系统微分方程建立
例2-3 刚体直线运动系统建模:已知由弹簧-质量-阻 尼器组成的机械平移系统如图2-3所示,外力 F (t ) 为输入 量,位移 x(t )为输出量,求此系统的微分方程。

K
F (t )

m
f y (t )

图2-3 弹簧-质量-阻尼器机械平移系统

2.2.2控制系统微分方程建立
解:取向下为力和位移的正方向 对物体 m 受力分析,有四个力的作用:外力 F (t ) (向下)重力 mg (向下)、弹簧的弹力 FK(向 上)、阻尼器的粘性摩擦力 FB (向上),阻尼器的 特点是在压力限度内,阻尼器产生的恢复原状的阻 尼力与阻尼器活塞相对于阻尼器底部运动的线速度 成比例变化,因而阻尼器的阻尼力即是上面所指粘 性摩擦力。

2.2.2控制系统微分方程建立
若设静止时弹簧的伸长量为x0( F (t ) ? 0),初始 平衡时,有 mg ? Kx0

(1)建立系统方程式: d 2x 根据牛顿第二定律 ?F ? m 2 ,有 dt

(2)建立元件方程式:

d 2x F (t ) ? FK ? FB ? mg ? m 2 dt
/

FK ? Kx?(t )
dx(t ) FB ? f dt

x (t ) ? x0 ? x(t )

2.2.2控制系统微分方程建立
整理上面的式子,可得此系统微分方程为
d 2 x(t ) dx m ? f ? Kx(t ) ? F (t ) 2 dt dt

可将上式写成

d 2 x(t ) dx(t ) T1 ? T2 ? T3 x(t ) ? F (t ) 2 dt dt

(2-2)

T1 ? m , T2 ? f ,T3 ? K ,都是由系统组成 其中, 元件参数决定的。式(2-2)表明此机械系统也为 二阶线性定常系统(同例2-1)。

2.2.2控制系统微分方程建立
说明:从上例看出,物体的重力不出现在系 统的运动方程中,即重力对物体的运动方程形式 没有影响。当取平衡点为位移的零点时,可以忽 略重力的作用直接列写系统的原始运动方程,从 而获得描述系统的微分方程,即为系统的动态方 程。

2.2.2控制系统微分方程建立
例2-4 静力平衡系统(质量 m ? 0 )建模:已知如图 xo (t ) 为输出量,求系统 xi (t ) 为输入量, 2-4所示的力学系统, 的运动方程。
xi (t )

K1
1

f

K2

xo (t )

图2-4 机械平移系统

2.2.2控制系统微分方程建立
解:取向下为力和位移的正方向。 (1)建立系统方程式: 根据力的平衡 ?F ? 0 ,有FK1 ? FB ? FK2 ? 0 (2)建立元件方程式:

d ( xi (t ) ? xo (t )) FK1 ? K1 ( xi (t ) ? xo (t )) FB ? f dt
整理上面的式子,可得系统微分方程为

FK2 ? K2 xo (t )

dxo (t ) dxi (t ) f ? ( K1 ? K 2 ) xo (t ) ? f ? K1 xi (t ) dt dt 上式表明,此例中的机械系统属于一阶线性定常系统 (同例2-2)。

2.2.2控制系统微分方程建立
例2-5 刚体转动系统建模:已知具有1级减速的齿轮 M 传动系统如图2-5所示,系统中有2个转轴、2个齿轮, M fz 为作用在 为电动机输出的机械力矩,作用在轴1上, i1为齿轮传动机构(减速 轴2上(输出轴)的负载转矩, ? 1、 ?2 分别为轴1和轴2的转角,求以力 器)的传动比, 矩 M 为输入量,以转角? 1 为输出量的系统微分方程。
1

?1

J1, f1 M1 M2 J2 , f2
2

M

?2

M fz

图2-5 齿轮传动系统

2.2.2控制系统微分方程建立
M 2如图示,M 1为齿轮2作用于齿 解:设中间变量 M 1、 轮1的力矩, M 2 为齿轮2所受的力矩。 (1)建立系统方程式: 根据牛顿转动定律,分别对转轴1和转轴2列写运动方 2 程如下, d ?1 轴1: M ? M 1 ? M B1 ? J1 2

dt

轴2:

M 2 ? M fz ? M B 2

d 2? 2 ? J2 2 dt

2.2.2控制系统微分方程建立
(2)建立元件方程式:

d? 2 d?1 M B1 ? f1 M B2 ? f2 dt dt 若忽略齿轮啮合的功率损耗,则有 M 1?1 ? M 2? 2 减速器的传动比 i1 ? ?1 / ?2 整理上面的式子可得
J 2 d 2?1 f2 d?1 (i1 J1 ? ) 2 ? (i1 f1 ? ) ? iM ? M fz i1 dt i1 dt

M fz J 2 d 2?1 f2 d?1 ?M? 即 ( J1 ? 2 ) 2 ? ( f1 ? 2 ) (2-3) i1 dt i1 dt i1

2.2.2控制系统微分方程建立
该系统同样(同例2-1、2-3)为二阶线性定常系统。 说明:对于单轴转动系统,其微分方程为

d 2?1 d?1 J1 2 ? f1 ? M ? M fz dt dt

(2-4)

从式(2-3)和(2-4)可见,当转动系统的输入量 和输出量都集中在第一个转轴时,所得描述系统的微分 方程是将其他各轴变量(转动惯量、粘性摩擦系数、负 载转矩)向第一个转轴折算后获得。可利用此规律在单 轴转动系统的运动方程的基础上,直接列写多转轴等复 杂机械转动系统的运动方程。

2.2.2控制系统微分方程建立
3.机电系统
以直流(伺服)电动机为例介绍机电系统(装置) 微分方程的建立。伺服电动机把输入的信号电压变为转 轴的角位移或角速度输出,转轴的转向与转速随信号电 压的方向和大小而改变,并且能带动一定大小的负载。 自动控制系统中通常使用的是改变电枢绕组电压控制方 式的电枢控制直流伺服电动机。对直流电动机的建模涉 及电枢回路电压平衡方程(电气系统特性描述)和转矩 平衡方程(刚体转动系统特性描述)的建立,因此对直 流电动机的建模即是对机电装置的综合建模。

2.2.2控制系统微分方程建立
例2-6 电枢控制直流电动机原理如图2-6所示,其工作 原理是将输入的电能转换为机械能,即由输入的电枢电压 u a 在电枢回路中产生电枢电流 ia,再由电流 ia与激磁磁 通相互作用产生电磁转矩 M m ,从而拖动负载运动。试建 立以电枢电压 u a 为输入量,电动机输出轴角速度? 为输出 量的系统微分方程。
?
La ia Ra

?
E a SM

if

?
ua

?

?

?

负 J ,f 载 m m

?

图2-6 直流电动机工作原理图

2.2.2控制系统微分方程建立

解:(1)建立系统方程式: 根据电机学的相关知识可知,对直流电动机有下面两个方程。 电枢回路电压平衡方程:

dia ua ? La ? Ra ia ? Ea dt
其中, Ea 为感应电动势(电枢绕组在磁场中切割磁力线 时产生的反向电动势)。 电动机轴上的转矩平衡方程: d? Jm ? f m? ? M m ? M fz dt

fm

其中,J m 为电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量 为电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。

2.2.2控制系统微分方程建立
(2)建立元件方程式: 感应电动势 E ? C ?? ? n ? K ?
a e e

且有? ? 2? n , Ke 为反电势系数。
60

其中, ? 为磁通, Ce 为电动势常数,

n 为电动机转速,

电磁转矩 M m ? Cm ? ? ? ia ? Kmia

其中,Cm为电磁转矩常数,K m为电动机转矩系数。 综合上述各式,消去中间变量 载的直流电动机运动方程为 d 2? d?
dt
2

ia、Ea 、 M m ,可得带负
dM fz dt ? Ra M fz

La J m

? ( La f m ? Ra J m )

dt

? ( Ra f m ? K m K e )? ? K mua ? La

(2-5)

2.2.2控制系统微分方程建立
在工程应用中,由于电动机设计及制造工艺特点, 通常La 可忽略不计,即取 La ? 0 ,则式(2-5)可简化 为式(2-6) d? Tm ? ? ? Teua ? T fz M fz (2-6) dt Km Ra Ra J m Tm ? Te ? T fz ? Ra f m ? K m Ke Ra f m ? Km Ke Ra f m ? K m Ke 对于空载的直流电动机阻力力矩通常很小,式(2-5)

中可忽略阻转矩 f m? , M fz

Ra J m ?m ? 的相关项。若令 , Ke Km ,

La ?e ? 则可得空载直流电动机的二阶微分方程为 Ra

2.2.2控制系统微分方程建立
d 2? d? 1 ? m? e 2 ? ? m ?? ? ua dt dt Ke
(2-7)

? e 为电动机电磁时 ? m为电动机机电时间常数, 式中, 间常数。 若取 La ? 0,式(2-7)可进一步简化为下面的一阶 微分方程 d? 1 ?m ?? ? ua (2-8) dt Ke 综合上面的几个例子可见,对于不同物理属性的系 统而言,可以用相同表达形式的数学模型描述,即相似 的系统揭示不同物理现象的相似关系。这样,为基于同 一个数学模型的不同物理属性的系统研究提供了方便。

2.2.2控制系统微分方程建立
用解析法建立了线性控制系统的微分方程后,为进

一步分析、计算系统的控制性能,最直接的方法就是求 出微分方程的时间解。但是当微分方程较复杂时,其求 解就比较困难,因而寻求一种简便方法即拉普拉斯变换 法,拉氏变换可将微分方程转换为代数方程,计算过程 简单方便(拉氏变换法在工程数学中有其相关知识,这 里不再阐述,本书附录中附有变换表以供查用)。因此, 对控制系统微分方程的求解既可使用高等数学中的常规 求解方法,也可使用拉氏变换法。拉氏变换实现了时域 与复域的转换,由此,自动控制理论中出现了另外一种 系统数学模型形式-传递函数,下节将详细介绍。

2.2.3 非线性微分方程的线性化
用解析法建立系统机理模型时还应考虑系统模型线性

化的问题。严格地说,实际的控制系统(元件)都不同程 度的存在非线性性(电气系统中磁路饱和、机械转动系统 中死区间隙等),描述系统的数学模型是非线性微分方程, 相应的系统称为非线性系统。这种系统不能用线性叠加原 理,但在一定条件下,可以通过合理的简化、近似,用线 性系统的数学模型近似描述非线性系统,其好处在于可以 借助线性系统的成熟方法、手段进行此类系统分析、设计。 需指出的是,线性化处理方法并非对所有的控制系统都适 用,对包含本质非线性环节的系统需要采取特殊的研究方 法,第8章将详细介绍本质非线性系统分析。

2.2.3 非线性微分方程的线性化
在工程应用中,除了含有强非线性环节或系 统参数随时间变化较大的情况,一般采用近似的 线性化方法—小偏差法(小范围线性近似法), 即在平衡工作点附近的一个小范围内将非线性函 数用泰勒级数展开后,用以变量偏差为自变量的 线性函数代替。

2.2.3 非线性微分方程的线性化
具体方法如下:设连续变化的非线性函数为 y ? f ( x) ,

取 x0 为其平衡工作点,对应有 y0 ? f ( x0 ) 。若函数在 x0 点 邻域内连续可导,则可将其在该平衡工作点附近的小范围 内用泰勒级数展开为:
df ( x) 1 df 2 ( x) 2 y ? f ( x0 ) ? |x ? x0 ( x ? x0 ) ? | ( x ? x ) ? ... x ? x0 0 2 dx 2! dx

若增量 x ? x0 很小时,略去高次幂项,则有
df ( x) y ? y0 ? f ( x) ? f ( x0 ) ? |x ? x0 ( x ? x0 ) dx

2.2.3 非线性微分方程的线性化
令 ?x ? x ? x0
k0 ?

?y ? y ? y0 ? f ( x) ? f ( x0 )
?y ? k0?x

df ( x) |x ? x0 上式即可简化为 dx

略去增量符号就得到了函数 y ? f ( x) 在平衡工作点附 近的线性化方程

y ? k0 x

式中, k0 为与工作点有关的常数。 多变量非线性方程的线性化方法与上述单变量非线 性方程的线性化方法基本相同,只是所用泰勒级数应为 多变量的级数形式。

2.2.3 非线性微分方程的线性化
例2-7 已知水箱液位控制系统原理图如图2-7所示,图 中 C 为水箱横截面积, Q2 为流出流量。若以流入流量 Q1 为输入量,水箱液位高度 h 为输出量,求系统的微分方程。 若液位高度在平衡工作点附近作微量变化,求系统的线性 化微分方程。
控制阀

Q1

h

节流阀

Q2

图2-7 水箱液位控制系统原理图

2.2.3 非线性微分方程的线性化
解:(1)建立系统方程式: dh 根据物料平衡原理,对上面的系统有 Q1 ? Q2 ? C dt (2)建立元件方程式: 根据流体力学的理论,通常条件下水箱系统出水口处的 流态呈紊流状态,即流体在管道传递过程中有能量损失, 有Q2 ? K h ( K 为比例常数)。 整理上面的式子,可得系统的微分方程为
dh C ? K h ? Q1 dt

(2-9)

显然,上式由于存在 h 项而成为非线性方程。

2.2.3 非线性微分方程的线性化
若令水箱系统平衡工作点为 h0, 则在 h0 的邻域内可 将 h 泰勒展开为 当 ?h 足够小时,略去高阶导数项,可得
1 h ? h0 ? ?h 2 h0
d h 1 h ? h0 ? |h?h0 (h ? h0 ) ? ??? ? h0 ? ?h ? ??? dt 2 h0



?h ?

1 ?h 2 h0

2.2.3 非线性微分方程的线性化
略去增量符号,可将 由此,式(2-9)的线性化方程为
C
1 h 线性化近似表示为 2 h h 0

dh K ? h ? Q1 dt 2 h0

说明:上述的线性化过程要求实际的工作情况在工 作点附近,工作点不同时线性化方程也不同,因此需先 确定工作点才能进行正确的线性化转换。另外,变量的 变化必须是小范围的,其近似程度与工作点附近的非线 性情况及变量变化范围有关。

2.3 控制系统的传递函数
2.3.1
传递函数的基本概念

2.3.2

典型环节的传递函数

2.3.3

传递函数的求取

2.3 控制系统的传递函数
拉普拉斯变换法是古典控制理论中用以分析线性控

制系统特性的主要数学工具,应用拉氏变换法将时域中 的微分、积分运算转换为复域中的简单代数运算的同时, 还可将初始条件的影响很容易地考虑进去,从而使时域 中的一些复杂问题分析方便地转换到复域中进行。传递 函数是在用拉氏变换法求解线性常系数微分方程的过程 中引出的一种复域数学模型形式。作为根轨迹分析法和 频域分析法的基本表达式,传递函数是用来间接分析系 统性能的最常用的数学模型。

2.3.1传递函数的基本概念
1.传递函数的定义 若一个一般的线性定常系统,其输入量为 r (t ) ,输 出量为 c (t ),则此系统的运动方程可用微分方程的形式 表示如下:
c(n) (t) ? an?1c(n?1) (t ) ??? a1c(1) (t ) ? a0c(t ) ? bmr (m) (t ) ? bm?1r (m?1) (t ) ??? b1r (1) (t ) ? b0r(t ) 式中 a i (i ? 0,1,?, n) , bj ( j ? 0,1,?, m) 是由系统结构、 参数决定的常系数。控制理论着重分析系统的结构、参数 与系统性能之间的关系,所以为简化分析,令 r (t ) , c(t )及 其各阶导数的初始值为零,即:
c(i ) (0) ? 0 (i ? 0,1,2,?n ?1) , r ( j ) (0) ? 0 ( j ? 0,1,2,?m ?1)

2.3.1传递函数的基本概念
根据拉氏变换的微分定理
(n) n n ?1 n ? 2 (1) ( n ?1) ? L? f ( t ) ? s F ( s ) ? s f (0) ? s f (0) ? ? ? f (0) ? ?

对上面的微分方程进行拉氏变换得
(sn ? an?1sn?1 ??? a1s ? a0 )C(s) ? (bmsm ? bm?1s m?1 ??? b1s ? b0 )R(s)
C (s) bm s m ? bm?1s m?1 ? ? ? b1s ? b0 ? n R(s) s ? an?1s n?1 ? ? ? a1s ? a0

于是有



C (s) bm s m ? bm?1s m?1 ? ? ? b1s ? b0 G( s ) ? ? n R(s) s ? an?1s n?1 ? ? ? a1s ? a0

2.3.1传递函数的基本概念
G ( s) 反映了系统输出与输入之间的关系,描述了系
统的特性,通常称为线性定常系统(环节)的传递函数。 因此,有下列定义 定义:在初始条件为零时,线性定常系统(或元件) 输出信号的拉氏变换式 C ( s)与输入信号的拉式变换式 R( s) 之比,称为该系统(或元件)的传递函数,记为 G ( s ) 。 由此,传递函数的重要特征是由系统结构和参数唯 一确定的、对系统固有特性的一种输入输出外部描述, 并不包含系统内部结构和信号传递关系的任何信息,与 输入信号的形式无关。

2.3.1传递函数的基本概念
例2-8对例2-1的 RLC 电路中,求取以电压 ui (t ) 为输 入量,以电压 uo (t ) 为输出量的系统传递函数 G(s) ?
U( ) o s U( ) i s

解:由前面所讲,可知该电路的微分方程是
d 2uo (t ) duo (t ) LC ? RC ? uo (t ) ? ui (t ) 2 dt dt

根据传递函数的定义,在零初始条件下,对上式取 拉氏变换,得
U( ) 1 o s G( s) ? ? 2 U( s ) LCs ? RCs ? 1 i

可以看出,求系统传递函数的一个方法就是利用它 的微分方程式并取拉氏变换。

2.3.1传递函数的基本概念
2.传递函数的性质 (1)传递函数的概念只适用于线性定常系统,它与线 性常系数微分方程一一对应。传递函数只反映系统在零初 始条件下的系统性能,或者未加输入前系统处于相对静止 状态。当初始条件不为零时,需考虑非零初始条件对系统 输出变化的影响,这点将在后面的内容中介绍。 (2)传递函数只能表示一个输入和一个输出之间的关 系。对同一系统若选择不同的量作为输入、输出量,则传 递函数不同,因而求解时需指明输入和输出量。若系统有 多个输入信号,则利用线性系统的叠加原理,求传递函数 时每次保留一个输入量,令其他输入量为零,最后将得到 的各输出叠加为总输出。

2.3.1传递函数的基本概念
机)的角速度输出 ? 。 解:根据上节的推导,可知电动机简化后的微分方程 为(2-6)式 d?
Tm dt ? ? ? Teua ? T fz M fz

例2-9 求例2-6的电枢控制直流电动机(带负载的电动

即角速度 ? 同时受到电枢电压 u a 输入和负载扰动转矩 M fz 输入的影响。若求输出? ,应考虑 u 产生的 ? 和 M fz a 1 产生的?2 之和。 考虑 u a 作用时,令 M fz ? 0 ,则有
Tm d?1 ? ?1 ? Teua dt

2.3.1传递函数的基本概念
在零初始条件下,对上式取拉氏变换,可得
Te G1 ( s) ? ? U a ( s) Tm s ? 1

? 1 ( s)

(2-10)

考虑 M fz 作用时,令 ua ? 0 ,则有 d? Tm ? ? ? ?T fz M fz
dt

在零初始条件下,对上式取拉氏变换,可得
G2 ( s) ?

?2 ( s)
M fz ( s)

?

?T fz Tm s ? 1

(2-11)

2.3.1传递函数的基本概念
依据式(2-10)和(2-11),可得系统总的角速度输 出为

? ? ?1 ? ?2 ? L?1 ?G1 ( s) ?U a ( s)? ? L?1 ? ?G2 ( s ) ? M fz ( s) ? ?
一般考察电枢控制直流伺服电动机传递函数时,不考

虑总阻转矩,即只针对空载电动机。那么根据例2-6求得的 式(2-7)或(2-8),也可将其传递函数简化为
? ( s)
U a ( s) ?
1 Ke

(? m s ? 1)(? e s ? 1 )

(2-12)

或者

? ( s)
U a (s)

?

? m为电动机机电时间常数, ? e 为电动机电磁时间常数。

? ms ?1

1 Ke

(2-13)

2.3.1传递函数的基本概念
(3)传递函数不能反映系统(或元件)的学科属性 和物理性质。不同系统(或元件),尽管物理构成不同, 但可能具有相同的传递函数。比如例2-1的 RLC 电路和例 2-3的机械平移系统具有相似的微分方程形式,在零初始 条件下做拉氏变换后即可得到相似的传递函数,但这两 个系统却分属于电学和力学两个不同的领域。研究某一 种传函所得到的结论,可以适用于具有这种传递函数的 不同种类系统。

2.3.1传递函数的基本概念
(4)依据不同分析法的需要,传递函数在使用过程 中常以不同的表示形式表达。对于
C (s) bm s m ? bm?1s m?1 ? ? ? b1s ? b0 N (s) G( s) ? ? n ? n ?1 R( s ) s ? an?1s ? ? ? a1s ? a0 D( s )

(2-14)

式中, N (s) ? bm sm ? bm?1sm?1 ??? b1s ? b0 为分子多项式,
D(s) ? sn ? an?1sn?1 ? ?? a1s ? a0 为分母多项式。描述线性定常

系统的传递函数即是一个由有理多项式构成的有理分式。 令 D( s) ? 0 ,称其为系统的特征方程。由此方程求 得的根称为系统的特征根。

2.3.1传递函数的基本概念
表示式其一:
G( s) ? ( s ? z 1 )( s ? z2 )? ( s ? zm ) N (s) ?k ?k D( s ) ( s ? p1 )( s ? p2 )? ( s ? pn )

? (s ? z
j ?1 n i ?1

m

j

)

? (s ? p ) (2-15)
i

其中, k 为根轨迹增益, pi (i ? 1,2, ?, n) 为传递函数 的极点,z j ( j ? 1,2, ?, m) 为传递函数的零点。此种形式 主要用于根轨迹分析法。 由于多项式 N ( s) 和D( s) 的系数均为实数,所以传递函 数若具有复数的零点或极点,它们必为共轭。另外,传 n ,即客观物理世 递函数中通常 m总是小于(或等于) 界的基本属性是一个物理系统的输出不能立即完全复现 输入信号,只有经过一定的时间过程后,输出量才能达 到输入量要求的数值。当传递函数为 n 阶时,称系统为 n 阶系统。

2.3.1传递函数的基本概念
表示式其二
(? s ? 1) ?(? s ? 2??? 2 s ? 1) ? N (s) G( s) ? ?K v 1 ?K D( s ) s (T1s ? 1) ?(T s ? 2?T T2 s ? 1) ?
2 2 2 2 2 2

? (?
s
j1 ?1 n1 v i1 ?1

m1

j1

2 s ? 1)? (? 2 j2 s ? 2?? j ? j2 s ? 1) j2 ?1 n2
2

m2

2 2 ( T s ? 1) ( ? ? i1 ? i2 s ? 2?Ti Ti2 s ? 1) i2 ?1
2

(2-16)

式中,各因式项的特点是常数项为1(若不为零),
K 为系统放大倍数, 称? i , Tj 为系统中各环节的时间常数,

n ? v ? n1 ? 2n2 。此种表达形式主要用 m ? m1 ? 2m 2 ,
于频率特性分析法。 可以证明,式(2-15)和(2-16)中的 k 和 K 成比例 关系。

2.3.1传递函数的基本概念
C (s) (5)根据传递函数的定义G ( s ) ? R ( s ),可得 C (s) ? G(s) R(s)

即已知系统的传递函数和输入信号的拉氏变换式,就 可以求得初始条件为零时系统输出信号的拉氏变换式。同 时,也可以认为一个输出信号总可以看成是一个传递函数 与一个输入信号的乘积形式,因此就有了后述的系统方框 图形式的数学模型。 一般,已知G ( s ) , R( s) 的情况下,求取系统输出量 c(t ) ?1 的思路为c(t ) ? L ?G(s)R(s)?。若令 r (t ) ? ? (t ), 则 R(s) ? 1 ,即 有零初始条件下传递函数的拉氏反变换式为系统的脉冲响应 。

c(t ) ? g ?t ? ? L?1 ?G(s)?

2.3.1传递函数的基本概念
根据将 G ( s )分解为部分分式和的形式,然后取各项拉 氏反变换的思路,将 G ( s ) 取拉氏反变换时,得到的 g (t ) 可以有下面几种情况: 1)当 p1 ,?, pn 为互异实数根时,

g (t ) ? ?1e p1 t ? ?2e p2 t ???ne pn t
2)当 p1 ,?, pn 为互异复数根(pi ? ? i ? j?i )时,

g (t ) ? ??i e?it (sin ?it ? cos ?it )

2.3.1传递函数的基本概念
3)当 为 p1 ,?, pn重根时,

g (t ) ? (?1 ? ?2t ? ?3t 2 ? ?? ?nt n?1 )e p1 t
从上面的表达式中可以看出,传递函数的极点 (也即系统微分方程的特征根)影响系统特性,形 成系统的自由运动模态(系统齐次微分方程的通解) 零点影响各运动模态在响应中的比重,即影响响应 曲线的形状,但不影响系统本质特性,后面时域分 析法中将会阐述。

2.3.2典型环节的传递函数

实际系统往往是复杂的,为分析方便起见, 一般将一个复杂的控制系统分成若干基本组成 部分,称其为“基本环节”。下面介绍典型基 本环节及其传递函数。

2.3.2典型环节的传递函数
1.比例环节
动态方程为

c(t ) ? Kr (t )
G( s) ? C ( s) ?K R( s )

传递函数为

式中,K 为比例常数。比例环节又称放大环节,环 节的输出与输入成比例运算关系。

2.3.2典型环节的传递函数
实例:①电子线路组成的放大器(见图2-8)
R2 R1 ui (t )

_
?
R
uo (t )

图2-8 运算放大器电路
U o ( s) R2 ui (t ) uo (t ) ? ? 动态方程为 R ? R ? 0 可得,传递函数为 U i (s) R1 1 2

②机械系统中的齿轮减速器; ③伺服系统中的测量元件(如第一章实例1中的自整角机 测角线路、实例2中的测速发电机)。

2.3.2典型环节的传递函数
2.积分环节
动态方程为
c (t ) ? ? r (t ) dt
C ( s) 1 G ( s ) ? ? 传递函数为 R( s ) s

积分环节的特点是输出为输入对时间的累积。 实例:①电子积分调节器(见图2-9)
C

ui (t )

R

?
?

uo (t )

R

图2-9 电子积分器

2.3.2典型环节的传递函数
ui (t ) duo (t ) 动态方程为 R ? C dt ? 0
U o ( s) 1 ?? U i ( s) RCs

可得,传递函数为

可见, RC 值越大,积分作用越弱;若 RC 越小,积 分作用越强。 ②对电容器件,其电压 uC (t ) 与电流 i C (t ) 的关系可 描述为 1
uC (t ) ? i ? C
C

(t )dt

C 为电容量,则其传递函数为
G( s) ? U C ( s) 1 ? I C ( s ) Cs

2.3.2典型环节的传递函数
3.惯性环节
C ( s) 1 dc(t ) 动态方程为 T dt ? c(t ) ? r (t ) 传递函数为G( s) ? R( s) ? Ts ? 1

其中,T 为惯性环节的时间常数。 例:①R-C串联电路(见图2-10)
?

R

?

ui (t )
?

C

uo (t )
?

图2-10 R-C串联电路

动态方程为

ui (t ) ? uo (t ) duo (t ) ?C R dt

可得,传递函数为

U o ( s) 1 ? U i ( s) RCs ? 1

2.3.2典型环节的传递函数
②弹簧-阻尼器组成的系统(见图2-11)
xi (t ) xo (t ) f

K

图2-11 弹簧-阻尼器系统

dxo 动态方程为 K ( xi ? xo ) ? f 可得,传递函数为 dt
X o ( s) ? X i (s)
f K

1 s ?1

③空载的直流电动机(忽略总阻转矩); ④对例2-7的线性化的水箱液位控制系统。

2.3.2典型环节的传递函数
4.微分环节
dr (t ) C ( s) G ( s ) ? ?s 传递函数为 R( s) dt 例:①电子微分器(见图2-12)

动态方程为 c(t ) ?

R
ui (t )

C

?
?

uo (t )

R

图2-12 电子微分器 U o ( s) uo (t ) dui (t ) ?C 动态方程为 可得,传递函数为 U i ( s) ? RCs R dt

RC 值越大,微分作用越强;若 RC 越小,微分 可见,

作用越弱。

2.3.2典型环节的传递函数
②测速发电机(以转角 ? 为输入量,以电 枢电压 u f 为输出量) 有
d? uf ? K dt
U f ( s)

则其传递函数为

? ( s)

? Ks

2.3.2典型环节的传递函数
5.一阶微分环节
动态方程为 c(t ) ? ?
dr (t ) ? r (t ) dt

传递函数为

G( s) ?

其中, ? 为环节的时间常数。 例:RC 微分电路(见图2-13)
R

C ( s) ? ? s ?1 R( s )

ui (t )

C

io (t )

图2-13 电子微分器

动态方程为

ui (t ) dui (t ) io (t ) ? ?C R dt
I o ( s) 1 ? (1 ? RCs) U i ( s) R

可得,传递函数为

2.3.2典型环节的传递函数
6.振荡环节
d 2c(t ) dc(t ) 动态方程为 T dt 2 ? 2?T dt ? c(t ) ? r (t ) ( 0<? <1) ?n2 C ( s) 1 传递函数为 G ( s) ? R( s) ? T 2 s 2 ? 2? Ts ? 1 ? s 2 ? 2?? s ? ? 2 n n
2

其中,T(环节的时间常数),(阻尼比),(无阻 ?n ? 1 尼自振角频率)为常数,且 ?n ? 。 T 当0< ?<1时,该环节称为振荡环节,它的输出具有 振荡的形式。 例:①例2-1中的RLC串联电路; ②空载直流电动机(忽略La)

2.3.2典型环节的传递函数
7.二阶微分环节
2 d r (t ) dr (t ) 2 ? 2?? ? r (t ) (0< ?<1) 动态方程为 c(t ) ? ? 2 dt dt

传递函数为

G (s) ?

C (s) ? ? 2 s 2 ? 2?? s ? 1 R(s)

其中,? (环节的时间常数),? 为常数。

2.3.2典型环节的传递函数
8.延迟环节
动态方程为 传递函数为
c(t ) ? r (t ? ? )
G ( s) ? C (s) ? e ?? s R(s)

其中, ? 为常数,称为环节的延迟时间常数。延
迟环节的特点是信号输入后需经过一个时间延迟,输 出才能完全复现输入信号。延迟环节在很多实际控制 系统中都会出现, 例:带式运输机。

2.3.3传递函数的求取
1. 直接法 在列写出控制系统(环节)的微分方程后,在零初始 条件下取其拉氏变换即可得到传递函数表达。 2.运算阻抗法 对于电气网络,可采用运算阻抗法方便地求取系统传 递函数。电路课程已经学习过,电阻R的运算阻抗就是电阻 R 本身,在零初始条件下,电感L的运算阻抗是Ls ,电容的 1 运算阻抗是 Cs。把电路中电阻、电感、电容转换成运算阻 抗形式之后,其电压和电流之间的关系在零初始条件下满 足简单的代数运算关系,即运算形式的欧姆定律U(s) ? Z ? I (s) 由此,可采用普通的电路定律直接求解传递函数。

2.3.3传递函数的求取
例2-10 求图2-10所示 R-C 串联电路的传递函数。 解:由图2-10已知电路图可得运算电路图形式, 如图2-14所示 R
U i ( s)
1 Cs

U o ( s)

图2-14 R-C 串联运算电路图

根据欧姆定律,有
U( 0 s) ? U( i s) 1 Cs R? 1 Cs ? 1 RCs ? 1

这是一个惯性环节。

2.3.3传递函数的求取
例2-11 求图2-15所示运算放大电路的传递函数,电压 u i (t )为输入量,电压 u o (t ) 为输出量。
R2
R2
1 Cs

C
R1 ui (t )

_
?
R
uo (t )
U i ( s)

R1

_
?

U o ( s)

R

图2-15 运放电路

图2-16 运放电路的电阻抗图

解:由已知图2-15可得图2-16所示的运算电路图形式

2.3.3传递函数的求取
根据理想运算放大器的性质,可得
1 R2 Cs ? Z ? 1 R2 Cs ? 1 R2 ? Cs R2

U( ) R2 Z 0 s ?? ?? U( ) R1 R ( ) i s 1 R2 Cs ? 1

由上可知,该电路包含一个惯性环节和一个比例环节。 3.实验法 通过实验的方法可以测取系统在阶跃输入信号作用下 的时间相应,或者测取系统频率特性,即可近似地计算得 出被测系统的传递函数。时域分析法和频域分析法中都将 涉及这部分内容。

2.4 控制系统的方框图与信号流图
2.4.1

系统方框图的概念和绘制
方框图的结构变换 信号流图

2.4.2
2.4.3
2.4.4 2.4.5

梅森(Mason)公式
典型控制系统的传递函数

2.4 控制系统的方框图与信号流图

控制系统的方框图和信号流图都是描述系 统各组成元件之间信号传递关系的数学图形, 可以直观地表示系统各变量之间的运算关系, 是自动控制理论中描述复杂系统的一种简便方 法。

2.4.1系统方框图的概念和绘制
控制系统的传递函数方框图称为系统方框 图,又称动态结构图,是以图形表示的数学模 型,是传递函数的图解化。不同于只能表征系 统输入与输出之间关系的微分方程和传递函数, 系统方框图还能具体地表示系统内部各组成环 节的数学模型及信号传递过程,便于对系统的 分析和计算,是分析控制系统的一个简明而有 效的工具。

2.4.1系统方框图的概念和绘制
1.系统方框图的概念
利用函数方框、信号流线、相加点和分支点四种图形 符号表示系统各个组成环节传递函数,以及取拉氏变换后 的各环节输出量与输入量相互关系的图形形式的数学模型, 称为系统方框图。 函数方框是指把一个环节的传递函数写在一个方框里 面所组成的图形。信号流线是指画在函数方框外面的带箭 头的线段,表示环节的输入/出信号。函数方框和它的信号 流线就表示系统的一个环节,如图2-17所示。

2.4.1系统方框图的概念和绘制
输入信号

G(s)

输出信号

U1 (s)

?

U3 (s)

U 2 ( s)
相加点
信号流线

?

图2-17 函数方框和信号流线

图2-18 相加点

相加点也称为综合点,表示信号的代数和。“+”号表 示相加,“-”号表示相减,见图2-18所示。 分支点是指从一条信号流线上引出另一条或另几条信 号流线的信号引出位置,见图2-19。无论从一条信号流线 或一个分支点引出几条信号流线,它们都是一个信号。
R(s)

?

G(s) H ( s)

C ( s)

分支点(引出点)

图2-19 负反馈系统

2.4.1系统方框图的概念和绘制
2.方框图的绘制
系统方框图的绘制根据是系统各个环节的运动方程 式(动态微分方程式)及其拉氏变换式,因而可按如下 顺序列写系统方程组,并以此绘制方框图: (1) 从输出量开始列写,以系统输出量作为第一个方 程的左边量; (2) 从第二个方程开始每个方程的左边量是前面方程 右边的一个中间变量。列写时尽量采用已出现过的变量, 每个方程左边只有一个量。顺序列写直至输入量至少在 一个方程的右边出现; 说明:除输入量外,在方程右边出现过的中间变量一定 要在某个方程的左边出现过。

2.4.1系统方框图的概念和绘制
(3)将所列写的方程式以函数方框加信号流 线的方式表达出来,然后按信号关系,将各环节 函数方框连接在一起,即得到系统方框图。 说明:一个系统可以具有不同的方框图,但 由方框图得到的输出与输入信号的数学关系应该 是相同的,即系统方框图这种数学模型具有不唯 一性。

2.4.1系统方框图的概念和绘制
例2-12 如图2-20所示二级阻容滤波电路,电压 ui (t ) 为 uo (t ) 为输出量,绘制系统的方框图。 输入量,
?

i1 (t )

R1 u (t ) R2 3 i3 (t ) C1

i2 (t )

?

?

I1 (s) R1 U 3 ( s) R 2
1 C1 s

I 2 ( s)
1 C2 s

?

ui (t )
?

C2

uo (t )
?

U i ( s)
?

I 3 ( s)

U o ( s)
?

图2-20 二级阻容滤波电路

图2-21 二级阻容滤波电路电阻抗图

解:首先由图2-20电路图可以得其运算电路图形式如 图2-21。从输出量 开始按上述步骤列写方程式:
U( ) ? o s
I 2 ( s) ?

1 I 2 (s) C2 s

1 ) ? U( ) ?U( ? 3 s o s R2

2.4.1系统方框图的概念和绘制
U( ) ? 3 s 1 I3 (s) C1 s

I3 (s) ? I1 (s) ? I 2 (s)
I1 ( s ) ? 1 ( ) ? U( ?U ? i s 3 s) R1

将各方程式以函数方框加信号流线形式绘出,并将各 信号用信号流线连接起来即得到如图2-22所示系统方框图。
I1 (s)

Ui ( s )

?
U3 (s)

1 R1

?

I3 (s)

1 C1 s

U3 (s)

I 2 ( s)

?
Uo (s)

1 R2

1 C2 s

Uo (s)

图2-22 系统方框图

2.4.2方框图的结构变换
利用系统方框图分析和设计控制系统时,常常需要对 方框图的结构进行适当的变动或简化,此时要求在等效原 则下,变换的部分保持其输出量、输入量及其相互间的数 学关系不变。 1.等效变换规则 (1)环节串联的等效变换 环节串联是指几个函数方框首尾相连,即前一个方框 的输出是后一个方框的输入,如图2-23(a)。
X 0 (s) G1 (s) X 1 ( s) G2 (s) X 2 (s) G3 (s) X 3 (s)

图2-23(a)环节串联的等效变换

2.4.2方框图的结构变换
根据方框图可知,

X 1 (s) ? G1 (s) X 0 (s) ? ? X 2 (s) ? G2 (s) X 1 (s) ? ? X 3 (s) ? G1 (s)G2 (s)G3 (s) X 0 (s) X 3 (s) ? G3 (s) X 2 ( s) ? ?
结论:环节串联的等效传递函数等于各串联环节传 递函数之积(如图2-23(b))。此结论可以推广到 n 个 环节串联,即 X n (s) ? G1 (s)G2 (s)…Gn (s) X 0 (s) 。
X 0 (s) G1 (s) G2 (s) G3 (s) X 3 (s)

图2-23 (b)环节串联的等效变换

2.4.2方框图的结构变换
(2)环节并联的等效变换 环节并联是指两个或多个环节具有同一个输入量,而 以各自环节输出量的代数和作为总输出量,如图2-24(a)。
G1 ( s) X 0 ( s) G2 (s) G3 (s) X 1 ( s) X 2 (s) X 3 ( s) X 4 ( s)

图2-24 (a) 环节并联的等效变换

2.4.2方框图的结构变换
根据方框图,有

X 4 ( s) ? X1 ( s) ? X 2 ( s) ? X 3 ( s)

= G1(s) X 0 (s) ? G2 (s) X 0 (s) ? G3 (s) X 0 (s) = ?G (s) ? G (s) ? G (s)? X (s)
1 2 3 0

结论:环节并联的等效传递函数等于各并联环节 传递函数的代数和(如图2-24(b))。此结论可以推广 到n个环节并联。
X 0 (s) G1(s) ? G2 (s) ? G3 (s) X 4 (s)

图2-24 (b) 环节并联的等效变换

2.4.2方框图的结构变换
(3)基本反馈回路的等效变换 如图2-25(a)表示一个基本反馈回路。
R(s)
?

? (s)
B(s)

GG (S()s)

C ( s)

R(s)

G( s ) 1 ? G(s) H (s)

C ( s)

H ( s)

(a) 图2-25 反馈回路的等效变换

(b)

根据方框图可知,C (s) ? G(s)? (s) ? G(s)[ R(s) ? B(s)]
整理上式,即可得反馈系统等效闭环传递函数 ? ( s )
? G(s)[ R(s) ? H (s)C ( s)]



?(s) ?

C (s) G ( s) ? R( s) 1 ? G ( s) H ( s)

(2-17)

上式中“+”对应于负反馈,“-”对应于正反馈。

2.4.2方框图的结构变换
(4)相加点和分支点的移动

在系统方框图化简过程中,常常需要对相加点或者 分支点进行移动,以使方框图中形成典型的环节串、并 联和独立的基本反馈回路连接形式。 ①相加点前移,即将一个相加点从一个函数方框的 输出端移到输入端,如图2-26所示。
A(s)

A(s)

G(s)

C (s)

G(s)

C (s)

?
1 G ( s)

?

B(s)

B(s)

图2-26 相加点前移

移动的等效数学关系:
C ( s ) ? AG ( s ) ? B ? G ( s )( A ?

1 B) G(s)

2.4.2方框图的结构变换
②相加点之间的移动,如图2-27所示。
?
B( s ) D(s)

A(s)

A(s)

?

C ( s) D(s)

?

C ( s)

?

B( s )

图2-27 相加点之间的移动

移动的等效数学关系:
D(s) ? A(s) ? B(s) ? C (s) ? A(s) ? C (s) ? B(s)

2.4.2方框图的结构变换
③分支点后移,即将分支点由函数方框的 输入端移到输出端,如图2-28所示。
A(s)

G( s )
A(s)

B(s)

A(s)

G( s )

B(s)

1 G ( s)

A(s)

图2-28 分支点后移

移动的等效数学关系:
1 A ? AG ( s ) G (s)

2.4.2方框图的结构变换
④相邻分支点之间的移动 一条信号流线上的各分支点之间可以随意改变 位置,不必能任何其它改动,如图2-29所示。
A A A A A
A A A A A

图2-29 分支点之间的移动

说明:相加点或分支点的移动限于相加点之间 或分支点之间,两种符号不能跨越不同种符号而进 行移动。

2.4.2方框图的结构变换
2. 方框图的化简 任何复杂的方框图都可以认为由串联、并联和反馈三 种基本结构交织组成,因而可以利用其等效变换规则变换, 即化简方框图。但有时由于一个反馈回路内部存在分支点 (它向回路外引出信号流线)或存在一个相加点(它的输 入信号来自回路以外),而使回路与回路之间形成交叉结 构,所以一般需利用分支点和相加点的移动规则先解除交 叉连接,然后根据典型连接方式的等效变换逐步等效获取 方框图最简形式。

2.4.2方框图的结构变换
例2-13 对例2-12所得的系统方框图进行化简,求闭
环传递函数 ? ( s) ?
U o (s) U i (s)

Ui (s )

A

?

1 R1

?
B

1 C1 s

C

D

?

1 R2

E

1 C2s

F
U o ( s)

图2-31 系统方框图的等效变换图

2.4.2方框图的结构变换
解:对如图2-30所示方框图,将相加点B前移到A,分 支点E后移到F,可得等效变换图2-31。
R1 C2 s

Ui (s)

? ?

1 R1

1 C1 s

?

1 R2

1 C2 s

Uo ( s)

?
R1 C2 s

Ui (s)

?

1 R1C1s ? 1

1 R2C2 s ? 1

Uo (s)

图2-31 系统方框图的等效变换图

2.4.2方框图的结构变换
根据串联、基本反馈回路等效变换规则,可得
1 1 ? U (s) R1C1s ? 1 R2C2 s ? 1 ?( s) ? o ? 1 1 U i (s) 1 ? ? ? R1 ? C2 s R1C1s ? 1 R2C2 s ? 1
1 1 1 1 ? ? ? R1 C1s R2 C2 s ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? R1 C1s R2 C2 s R2 C1s R1 C1s R2 C2 s

2.4.2方框图的结构变换
例2-14 如下2-32图示多回路系统,求闭环传递函数
H 3 (s) R(s)

C (s) R(s)

A

B
G1 (s)

?
G2 (s)

C
G3 (s)

D

?

?

G4 (s)

E
C ( s)

H 2 (s)

H1 (s)

图2-32 多回路系统方框图

解:将各分支点和相加点用字母标记如上图示。根 据等效变换规则可以有不同的变换方法实现方框图的简 化,比如,解法(一)将分支点D后移到E;解法(二) 将相加点C前移到B;

2.4.2方框图的结构变换
解法(三)将分支点E前移到D;解法(四)分别将分 支点D后移到E,相加点C前移到A,相加点B前移到A。可以 分别得到如图2-33(a)、(b)、(c)、(d)所示的等效 变换图。
H 3 (s) R(s)

A
G1 (s)
?

B

?
G2 (s)

C
G3 (s)

D

?

G4 (s)

E
C ( s)

H 2 (s)

1 G4 ( s )

H1 (s)

图2-33(a) 多回路系统方框图的等效变换图

2.4.2方框图的结构变换
1 G2 ( s )

H 3 (s)

R( s )

A

?
G1 (s)

B
G2 (s)

C

?

?

G3 (s)

D

G4 (s)

E
C ( s)

H 2 ( s)

H1 (s)

图2-33(b) 多回路系统方框图的等效变换图
H 3 (s) R(s) G4 (s)

A

B
G1 (s)

?
G2 (s)

C
G3 (s)

D

?

?

G4 (s)

E
C ( s)

H 2 (s) H1 (s)

图2-33(c) 多回路系统方框图的等效变换图

2.4.2方框图的结构变换
1 G1 ( s ) 1 G2 ( s )

H 3 (s)

R( s )
?

A

?

G1 (s)
?
1 G1 ( s )

B

G2 (s)

C

G3 (s)

D

G4 (s)

E
C ( s)

H 2 (s)

1 G4 ( s )

H1 (s)

图2-33(d) 多回路系统方框图的等效变换图
R(s)

A

?

G1 (s)

B

G2 (s)

C

G3 (s)

D

G4 (s)

E
C ( s)

H 3 (s) H 2 (s) ? ? H1 ( s ) G1 ( s )G2 ( s ) G1 ( s )G4 ( s )

图2-33(e) 多回路系统方框图的等效变换图

2.4.2方框图的结构变换
以解(四)为例,经等效变换后,方框图中形成了串联 并联、基本反馈回路这三种典型的连接形式,各条支路经环 节串、并联等效变换之后,系统方框图即可简化为一个单反 馈回路,如图(e)所示。由此系统闭环传递函数为
?( s ) ? C ( s) ? R( s ) G1 (s) ? G 2 (s) ? G3 (s) ? G4 ( s) H 3 ( s) H 2 ( s) 1 ? G1 (s) ? G 2 (s) ? G3 ( s) ? G4 ( s) ? ( ? ? H1 ( s)) G1 (s)G2 (s) G1 (s)G4 (s)
G1 ( s)G2 ( s)G3 ( s)G4 ( s) 1 ? G2 ( s)G3 ( s) H 2 ( s) ? G3 ( s)G4 ( s) H 3 ( s ) ? G1 (s )G2 (s )G3 (s )G4 (s ) H1 (s )

?

2.4.2方框图的结构变换
从图2-33(a)、(b)、(c)、(d)四个 等效变换图可以看出,经等效变换后方框图中均 实现了回路间的解交叉,但只有解法(四)经变 换后仅经过一次基本反馈回路的等效变换即可得 到系统的闭环传递函数,其他三种解法解交叉后 出现回路嵌套,需经过多次基本反馈回路的等效 变换得到传递函数,因而法(四)的变换更简洁, 降低了计算的复杂性。

2.4.3信号流图
信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。 1.信号流图的基本概念 (1)支路:用有向线段表示信号传递路径,见图2-34。
R
G C

支路

节点

图2-34 基本信号流图

在信号流图中信号只能沿着信号线的方向传递,信 号经支路传递时,应将该信号乘以支路增益,即上图中 (说明:在下面关于信号流图的计算中为简便起 C ? R?G 见,将G( s) 简写为 G)。

2.4.3信号流图
(2)节点:表示信号流图中的独立信号点,见图2-34。 节点信号等于流入该节点的所有信号的代数和,从节点上 流出的所有信号均等于该节点上的信号。 对于给定的系统,节点变量的设置是任意的,因此信 号流图也具有不唯一性。 对如图2-35所示的典型信号流图,
1

a
x2

d b
x3 x4 f

g

c
x5 h x6

x1

e

图2-35 典型信号流图

2.4.3信号流图
(3)源节点:仅存在输出信号而不存在输入信号的
节点,用于表示系统中的输入信号。如上图中的 x 1 。 (4)阱节点:仅存在输入信号而不存在输出信号的 节点,用于表示系统中的输出信号。如上图中的 x 6 。 (5)混合节点:既有输入信号又有输出信号的节点, x3 , x4 , x5。 简称为结点。如上图中的 x 2 , (6)前向通道:从输入端源节点到达输出端阱节点 的且每个节点仅通过一次(信号流入该节点一次且流出该 节点一次)的信号传递路径称为前向通道。

2.4.3信号流图
前向通道总增益等于前向通道所包含的各支路的支路 增益之积。上图有2条前向通道:一条是 x 1→ x 2 → x5 → x 6 , 总增益为dh;另一条是 x 1→ x 2 → x3→ x 4 →x5 → x 6 ,总增益 为abch。 (7)回路:起始节点和终止节点为同一节点的且每个 节点仅通过一次的信号传递路径。回路增益等于该回路所 包含的各支路的支路增益之积,上图中3个回路 ae、bf、g。 (8)互不接触回路:不存在公共节点的回路。例如: ae和g;bf和g。 (9)与前向通道不接触回路:某回路与某前向通道不 存在公共节点。如图中的回路bf和前向通道 x 1 → x 2 → x5 → x 6。

2.4.3信号流图
2.信号流图的绘制 信号流图可以根据微分方程绘制,也可以从系统方框 图按照对应关系得到(在方框图上用圆圈标示出信号,用 支路表示函数方框)。 例2-15 绘制与例2-14方框图对应的信号流图。 解:首先根据方框图确定信号流图节点变量e1、e2、 E3、e4、e5,如图2-36所示。
H 3 (s) e4 R(s) e1

?

G1 (s)

e2

?
G2 (s)

e3

?

G3 (s)

G4 (s)

e5 C ( s)

H 2 (s)

H1 (s)

图2-36 系统方框图

2.4.3信号流图
然后根据系统方框图反映的信号传递关系,可得如 图2-37所示信号流图。 ?H
3

1

G1

R

G3 G2 ?H 2 ?H1

G4

C

1

C

图2-37 信号流图

例2-16 绘制下图2-38所示系统方框图对应的信号流图。
G2 (s) R( s ) e2

+

-

e1

G1 (s)

e3

G3 (s)

e4

C (s)

+
G4 (s) H 3 ( s)

图2-38 系统方框图

2.4.3信号流图
解:取信号流图节点变量e1、e2、e3、e4如上图示。 然后根据系统方框图反映的信号传递关系,可得如图2-39 所示信号流图。 G2
1

G1 ?H 3

1

G3 G4

1

R

C

图2-39 信号流图

对于复杂的信号流图或方框图均需经过简化求出系统 传递函数。方框图的等效变换规则同样适用于信号流图, 但化简过程仍十分麻烦,而梅森公式可以实现不需简化信 号流图,即可通过公式直接求取从源节点到阱节点的传递 函数,所以下面将详细介绍此公式的使用。另外,由于系 统方框图与信号流图之间有对应关系,因此梅森公式也可 直接用于系统方框图。

2.4.4梅森(Mason)公式
梅森公式的特点就是可以不对信号流图或系统方 框图做任何结构变换而求取系统传递函数。梅森公式 的一般形式为:
?( s) ?

?P ?
k ?1 k

n

k

?

式中,?( s) 为系统的输出量与输入量之间的传 递函数; ? 称为特征式,? ? 1 ? ? Li ? ? Li L j ? ? Li L j Lk ? ?

2.4.4梅森(Mason)公式
在特征式中,? Li 为各基本反馈回路的回路传递函数 之和(针对信号流图,回路传递函数就是回路增益;针 对系统方框图,回路传递函数等于考虑相加点之前极性 的前向通道与反馈通道传递函数之积。)? Li L j 为两两互 不接触的回路(在系统方框图中指没有共同的函数方框 或信号流线或相加点的回路)的回路增益乘积之和; ? Li L j Lk 为所有三个互不接触的回路的回路增益乘积之和;n为系 统前向通道的个数;Pk为从输入端到输出端的第k条前向 ? k 是指在 ? 中,除去与第k条前向通道相接 通道的增益; 触的回路的回路传递函数所在项,所余下的部分,称为余 因子式。

2.4.4梅森(Mason)公式
例2-17 求例2-15所示信号流图的系统传递函数。 解:图中有1条前向通道,3个回路,没有互不接 触回路,且所有回路均与前向通道相接触,所以,有
P 1 ? G 1G2 G3 G4
? ? 1 ? ?Li ? 1 ? L1 ? L2 ? L3

? 1 ? (?G1G2G3G4 H1 ) ? (?G2G3 H 2 ) ? (?G3G4 H 3 )

根据梅森公式,可得系统闭环传递函数为
G1G2 G3G4 P 1? 1 = ?(s) = 1 ? G1G2 G3G4 H1 ? G2 G3 H 2 ? G3G4 H 3 ?

可见,采用梅森公式计算的结果与例2-14的结果 是一致的。

2.4.4梅森(Mason)公式
及? ? ( s ) ?
C (s) ? ( s ) ? 例2-18 求图2-40所示系统的闭环传递函数 R(s) ? (s)
R( s)



H3 ( s) R(s)

? (s)

G1 (s) G2 (s)

H1 (s)

-

G3 (s)

G4 (s)

C ( s)

H 2 ( s)

图2-40 系统方框图

解:由图2-40的系统方框图可得图2-41所示的系统 ?H 信号流图。
3

R

1

? G1
? H1

G2

1

G3

G4 C ?H 2

1

C

图2-41 系统信号流图

2.4.4梅森(Mason)公式
分别考虑不同输入、输出量时的结构特征。 (1)以 R(s) 为输入量, 以 C ( s)为输出量时,有1条 前向通道,3个回路,且有两个互不接触回路,回路与前 向通道均接触。则有
P 1 ? G1G2 G3 G4 ? ? 1 ? ?Li ? ?Li L j ? 1 ? L1 ? L2 ? L3 ? L1 L2 ? 1 ? (?G1G2 H1 ) ? (?G3G4 H 2 ) ? (?G2G3 H3 ) ? (?G1G2 H1 )(?G3G4 H 2 ) ? 1 ? G1G2 H1 ? G3G4 H 2 ? G2G3 H3 ? G1G2G3G4 H1 H 2
?1 ? 1

可得

?(s) ?

? C ( s) P G1G2 G3G4 ? 1 1 = R(s) ? 1 ? G1G2 H1 ? G3G4 H 2 ? G2G3 H 3 ? G1G2G3G4 H1 H 2

2.4.4梅森(Mason)公式
(2)以 R(s)为输入量,? ( s )为输出量时,有1条前向 通道,3个回路,有两个互不接触回路,1个回路与前向 通道接触,其余两个回路与前向通道不接触。则有
P1 ? 1
? ? 1 ? ? Li ? ? Li Lj ? 1 ? L1 ? L2 ? L3 ? L1 L2 ? 1 ? (?G1G2 H1 ) ? (?G3G4 H 2 ) ? (?G2 G3 H 3 ) ? (?G1G2 H1 )(?G3 G4 H 2 ) ? 1 ? G1G2 H1 ? G3G4 H 2 ? G2 G3 H 3 ? G1G2 G3 G4 H1 H 2

?1 ? 1 ? L2 ? L3 ? 1 ? (?G3G4 H 2 ) ? (?G2 G3 H 3 )

可得 ? ? ( s ) = R ( s )

? (s)

?

1 ? G3G4 H 2 ? G2G3 H 3 ? 1 ? G1G2 H1 ? G3G4 H 2 ? G2G3 H 3 ? G1G2G3G4 H1 H 2

P 1 ?1 ?

2.4.5典型控制系统的传递函数
控制系统的传递函数可以由组成系统的各元件运 动方程式求得,但更方便的是由系统方框图或信号流 图求取。对于如图2-42所示的典型闭环控制系统,在

实际工作中通常同时受到两类信号作用,即:
(1)有用信号:也称参考输入(给定输入),通 常加在控制装置的输入端,即系统输入端。

(2)干扰信号:也称扰动输入信号,一般作用在
被控对象上,也可能出现在其他部件上。

2.4.5典型控制系统的传递函数
F ( s) R(s)

? ( s)

?

G1 (s)

G2 (s)

C ( s)

B(s) H ( s)

图2-42 典型控制系统方框图

R( s) 为参考输入信号; 其中, C ( s) F ( s) 为扰动输入信号; 为输出信号;? ( s ) 为偏差 信号; B( s) 为反馈信号。 在控制系统的分析和设计中,为研究系统在参考输 入或干扰输入作用下产生的系统输出和偏差的情况,下 面研究几个关于典型闭环控制系统的传递函数:

2.4.5典型控制系统的传递函数
(1)闭环系统的等效开环传递函数 在反馈控制系统中,定义前向通道的传递函数与反 馈通道的传递函数之积为系统的等效开环传递函数。如 图2-43所示系统的等效开环传递函数为 G1 (s)G2 (s) H (s) , 记为 G( s) H ( s) 。
R(s)

? (s)

G1 (s)

G2 (s)

C ( s)

-

B(s) H ( s)

图2-43 F(s)为零,C(s)为输出信号时的系统方框图

2.4.5典型控制系统的传递函数
(2)输出对于参考输入的闭环传递函数 当参考输入作用时,应用叠加原理令 F ( s) ? 0, 则如上图2-43所示定义 ?(s) ?
C (s ) 为输出对于参考输 R (s )

入的闭环传递函数。根据等效变换规则有
?( s) ?

G1 ( s )G2 ( s ) C (s) G (s) ? ? R (s) 1 ? G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) 1 ? G ( s) H ( s)

(2-18)

G (s ) 若 H ( s) ? 1 ,则称单位反馈,有 ? ( s) ? 1 ? G (s )

2.4.5典型控制系统的传递函数
(3)输出对于干扰输入的闭环传递函数

当干扰输入作用时,应用叠加原理令 R( s) ? 0,
则图2-43可转化为图2-44,定义 ? F (s) ? 于干扰输入的闭环传递函数。
F ( s) G2 (s)

C (s ) 为输出对 F (s )

C ( s)

G1 (s) H ( s)

图2-44 R(s)为零,C(s)为输出信号时的系统方框图

根据等效变换规则有
G2 ( s) G( ) C (s) 2 s ? F ( s) ? ? ? F (s) 1 ? G1 ( s) H ( s)G2 ( s ) 1 ? G (s)H ( s )

(2-19)

2.4.5典型控制系统的传递函数
(4)偏差信号对于参考输入的闭环传递函数 偏差信号 ? ( s )的大小反映误差的大小,对基于偏差 控制的反馈控制系统而言,有必要研究偏差信号与输入 信号之间的关系。当参考输入作用时,令 F ( s) ? 0 ,图 ? (s) 2-43可转化为图2-45,定义 ? ? F ( s ) ? 为偏差信号对于 F (s) 参考输入的闭环传递函数。
F ( s) G2 (s) H ( s)

-1

? ( s)

+

G1 (s)

图2-46 R(s)为零, 为输出信号时的系统方框图

2.4.5典型控制系统的传递函数
根据等效变换规有
?? F ( s) ? ?G2 ( s ) H ( s ) ?G2 ( s ) H ( s ) ? ( s) ? ? F ( s ) 1 ? G2 ( s ) H ( s )G1 ( s ) 1 ? G ( s) H ( s)

(2-21)

说明:综合上面的(2-18)、(2-19)、(2-20)、 (2-21)可见,反馈控制系统闭环传递函数的一个普通规 律是所有闭环传递函数的分母为 1 ? G( s) H ( s) 。根据叠加

原理,系统的总输出

C (s) ? ?(s) R(s) ? ? F ( s) F ( s) ,总偏

差 ? ( s ) ? ? ? ( s ) R( s ) ? ? ? F ( s ) F ( s ) 。






相关文章:
现代控制理论第3版(刘豹_唐万生)课后答案
现代控制理论第3版(刘豹_唐万生)课后答案 隐藏>> 第一章答案 1-1 试求图 1-27 系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式。 U (s) + - K1 K p s ? ...
现代控制理论知识点汇总
现代控制理论 刘豹 54页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能...第二章 控制系统状态空间表达式的解 ? 一.线性定常系统齐次状态方程( x 二....
现代控制理论
现代控制理论 第一章 96页 1下载券 现代控制理论_第4章 59页 2下载券 喜欢此文档的还喜欢 现代控制理论笔记 24页 免费 刘豹 现代控制理论公式集... 1页 1...
现代控制理论第3章答案
现代控制理论第3章答案 现在控制理论课后题答案(刘豹编写第三版)现在控制理论课后题答案(刘豹编写第三版)隐藏>> 第三章习题 3-1 判断下列系统的状态能控性和能...
现代控制理论(修改最终版)
2 《现代控制理论》(第 3 版)刘豹 唐万生 主编,机械工业出版社,2008 年印。...ΔΟ 状态空间描述变换为约当标准型 第二章 线性系统的运动分析 一、教学基本...
现代控制理论第四章
现代控制理论第二章答案 26页 1财富值 现代控制理论 刘豹 54页 免费 现代控制理论第3章答案 10页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题...
现代控制理论综述论文
现代控制理论综述论文_机械/仪表_工程科技_专业资料。现代控制理论 刘豹论文题目 : 现代控制理论综述 摘要本文是对现代控制理论课程的完整综述, 现代控制理论的主要内...
现代控制理论第4章答案
现代控制理论第4章答案_工学_高等教育_教育专区。现在控制理论课后题答案(刘豹编写第三版)现代控制理论第四章习题答案 4-1 判断下列二次型函数的符号性质: 2 2...
现代控制理论
现代控制理论_第4章 59页 5财富值 现代控制理论中的某些问题... 8页 免费喜欢...现代控制理论 刘豹 54页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出...
现代控制理论第1章答案
现代控制理论第1章答案 现在控制理论课后题答案(刘豹编写第三版)现在控制理论课后题答案(刘豹编写第三版)隐藏>> 第一章答案 第一章答案 1-1 试求图 1-27 系...
更多相关标签:
现代控制理论 刘豹 | 现代控制理论刘豹答案 | 现代控制理论刘豹视频 | 现代控制理论刘豹pdf | 现代控制理论刘豹ppt | 现代控制理论课件刘豹 | 现代控制理论 | 现代控制理论第三版 |