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《抛物线》同步训练题


《抛物线》同步训练题
一、选择题 1、抛物线 A.(0,0) 关于直线 B.(-2,-2) 对称的曲线的顶点坐标是( C.(2,2) D.(2,0) )

2、与

关于

对称的抛物线是()

A.

B.

C.

D.

3、抛物线垂点为(1,1),准线为

,则顶点为()

A.

B.

C.

D.

4、设



为抛物线 C.充要

上两点,则 D.不充分不必要



过焦点的()

A.充分不必要 B.必要不充分

5、设 A.0



过焦点的弦,则以 B.1

为直径的圆与准线交点的个数为() C.2 D.0 或 1 或 2

6、在 为()

上有一点

,它到

的距离与它到焦点的距离之和最小,则

的坐标

A.(-2,8)

B.(2,8)

C.(-2,-8)

D.(-2,8)

7、方程 A.椭圆 B.双曲线

表示(

) C.抛物线 D.圆

8、过抛物线焦点 影分别是 A.45° ,

的直线与抛物线相交于 ,则 为( C.90° ).



两点,若



在抛物线准线上的射

B.60°

D.120°

9、已知抛物线 ( 的面积( 为原点)为( ) A.1 B. C.2

)上有一点

,它到焦点

的距离为 5,则

D.

10、过抛物线 大小( ) A.小于



)的焦点且垂直于

轴的弦为



为抛物线顶点,则

B.等于

C.大于

D.不能确定

11、已知 则直线

是抛物线 的斜率是()

的焦点弦,其坐标



满足



A.

B.

C.

D.

12、过已知点

且与抛物线

只有一个公共点的直线有(

).

A.1 条

B.2 条

C.3 条

D.4 条

13、 记定点 距离为 ,则当

与抛物线 取最小值时

上的点

之间的距离为 )



到此抛物线准线



点的坐标为(

A.(0,0)

B.

C.(2,2)

D.

14、若抛物线 ()



)的弦 PQ 中点为



),则弦

的斜率为

A.

B.

C.

D.

15、 过抛物线 那么 长是( A.10 )

的焦点作直线交抛物线于



两点, 如果



B.8

C.6

D.4

16、 已知抛物线 则

( ) C.

) 的焦点弦

的两端点坐标分别为





的值一定等于( A.4 B.-4

D.

17、已知⊙ 的方程是(

的圆心在抛物线 )

上,且⊙



轴及

的准线相切,则⊙

A. C.

B. D.

18、当 A.0 个

时,关于 B.1 个

的方程 C.2 个 D.3 个

的实根的个数是(



19、将直线 公共点,则实数 A.-1

左移 1 个单位,再下移 2 个单位后,它与抛物线 的值等于( ) B.1 C.7 D.9

仅有一个

20、以抛物线 A.相交

( B.相离

)的焦半径 C.相切

为直径的圆与

轴位置关系为(



D.不确定

21、 已知 , 是抛物线 的垂心恰好是此抛物线的焦点,则直线

上两点, 为坐标原点, 若 的方程是( ).

, 且

A.

B.

C.

D.

二、填空题 22、已知直线 __ 与抛物线 _. 交于 、 两点,那么线段 的中点坐标是

23、顶点在原点,焦点在 _________.

轴上且通径(过焦点和对称轴垂直的弦)长为 6 的抛物线方程是

24、抛物线顶点在原点,焦点在 此抛物线方程为_________.

轴上,其通径的两端点与顶点连成的三角形面积为 4,则

25、过点(0,-4)且与直线

相切的圆的圆心的轨迹方程是_________.

26、抛物线

被点

所平分的弦的直线方程为_________.

27、 抛物线 ,则梯形

的焦点为

, 准线



轴于

, 过抛物线上一点





的面积为_______________.

28、已知抛物线

的弦

过定点(-2,0),则弦

中点的轨迹方程是________.

29、探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分,安装灯源的位置在抛物线的焦点 处,如 果 到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径,已知灯口的半径为 30cm,那么灯深为 _________.

30、顶点在原点、焦点在 ____________.

轴上、截直线

所得弦长为

的抛物线方程为

31、已知抛物线 为__________.

与椭圆

有四个交点,这四个交点共圆,则该圆的方程

32、过抛物线 ________.

的焦点作一条倾斜角为

的弦,若弦长不超过 8,则

的范围是

33、已知抛物线 的值为__________.



),它的顶点在直线

上,则

34、抛物线

上一点

到焦点的距离为 3,则点

的纵坐标为__________.

35、已知圆

与抛物线



)的准线相切,则

=________.

36、抛物线

上到直线

距离最短的点的坐标为__________.

37、抛物线

上到直线

的距离最近的点的坐标是____________.

38、

是抛物线的一条焦点弦,若抛物线 的距离为_________.



,则

的中点

到直线

39、 一条直线

经过抛物线 、

( ,垂足为

) 的焦点 、

与抛物线交于 ,



两点, 过 , 为



点分别向准线引垂线 的中点,则

,如果

=__________.

40、过



)的焦点

的弦为



为坐标原点,则

=________.

三、解答题 41、已知 是以原点 求 面积的最小值. 为直角顶点的抛物线 ( )的内接直角三角形,

42、已知抛物线 上两点 当 点距 轴最近时,

, ( 在第二象限), 的面积 .

为原点,且

,求

43、一抛物线型拱桥的跨度为 货箱,问能否安全通过.

,顶点距水面

.江中一竹排装有宽

、高



44、已知抛物线

的一条过焦点的弦被焦点分为



两个部分,求证



45、正方形 中,一条边 上,求正方形的面积.

在直线

上,另外两顶点



在抛物线

46、求抛物线

和圆

上最近两点之间的距离.

47、已知抛物线 ( )的焦点为 ,以 轴上方画半圆,设抛物线与半圆交于不同的两点 、 出 的值;②是否存在这样的 的值;若不存在,说明理由. ,使 、

, 、

为圆心, 为线段

为半径,在 的中点.①求

成等差数列,若存在,求

48、抛物线以 轴为准线,且过点 ,( 抛物线顶点的轨迹是椭圆,且离心率为定值.

)求证不论点

的位置如何变化,

49、知抛物线 的面积为 39

截直线

所得的弦长

,试在

轴上求一点

,使

50、若 , 为抛物线 小值及取得最小值时的 的坐标.

的焦点,

为抛物线上任意一点,求

的最

51、若

的焦点弦长为 5,求焦点弦所在直线方程

52、 动点

是抛物线 的轨迹方程.

上的动点,连接原点



,以

为边作正方形

,求

53、一抛物线拱桥跨度为 52 米,拱顶离水面 6.5 米,一竹排上一宽 4 米,高 6 米的大木箱, 问能否安全通过.

以下是答案 一、选择题 1、C;

2、D

3、A;

4、C;

5、B;

6、B;

7、C;

8、C;

9、C;

10、C;

11、C;

12、C;

13、C;

14、B;

15、B;

16、B;

17、B;

18、D;

19、C

20、C;

21、D;

二、填空题 22、 或 ;

23、



24、



25、



26、

27、3.14;

28、



29、36.2cm

30、

(在已知抛物线内的部分)

31、



32、

33、0,



, ;

34、2;

35、2;

36、

;1

37、 ;

38、

39、(4,2);

40、-4

三、解答题

41、设



,则由







,于是



,即



时,

42、设 程为 时取等号),此时

,则 ,将 ,

,因为 代入,得点 ,

,所以 的横坐标为 , ,所以 .

,直线

的方

(当且仅当

43、取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为

轴建立直角坐标系,则桥墩的两端坐标分别 ,则 时, ,

为(-26,-6.5),(26,-6.5),设抛物线型拱桥的方程为 ,所以 而 ,抛物线方程为 .当

,故可安全通过.

44、焦点为 ,设焦点弦 ,结论显然成立;当

端点 , 与 轴不垂直时,设

,当 垂直于 所在直线方程为 ,这时

轴,则 ,于是

,代入抛物线方程整理得 ,命题也成立.

45、设

所在直线方程为



消去



又直线



间距离为 或

从而边长为



,面积



46、设



分别是抛物线和圆上的点,圆心

,半径为 1,若

最小,则

也最小,因此 使它到点 的距离最小.为此设



、 ,则

共线,问题转化为在抛物线上求一点 ,



的最小值是

47、①设





在抛物线的准线上射影分别为





,则由抛物线定义得,

又圆的方程为

,将

代入得

②假设存在这样的

,使得

,由定义知点 样的 不存在

必在抛物线上,这与点

是弦

的中点矛盾,所以这

48、设抛物线的焦点为

,由抛物线定义得

,设顶点为

,则 心率 为定值.

,所以

,即

为椭圆,离

49、先求得

,再求得



50、抛物线 ,

的准线方程为

,过 ,要使



垂直准线于 最小, 、

点,由抛物线定义得 、 三点必共线,

即 时

垂直于准线, 与抛物线交点为 点坐标为(2,2).

点,从而

的最小值为

,此

51、

52、设 而证得 因此 ,即

, ≌

,过 ,则有



分别作为

轴的垂线,垂足分别为 、 ,而



, ,

, ,即

为所求轨迹方程.

53、建立坐标系,设抛物线方程为

,则点(26,-6.5)在抛物线上, 抛物线方程为 ,当 时,

,则有

,所以木箱能安全通过.


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