当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

全国高中数学联赛模拟试题(02)


全国高中数学联赛模拟试题(01)

2009.05.28.

全国高中数学联赛模拟试题一
(一试) 一.填空题 1、设 P1、P2 是抛物线 x2=y 的一条弦,且 P1P2 的垂直平分线方程为 y=-x+3,则弦 P1P2 所在的直线 方程是 .

2、在棱长为 4 的正方体内有一个内切球,过正方体两条互为异

面直线的棱的中点作直线,则该直线被 球面截在球内的线段长为 . 1 的最小正整 125

3、已知数列{an}满足 3an+1+an=4,且 a1=9,其前 n 项的和为 Sn,则满足|Sn-n-6|< 数n是 .

1 π 4、设 a、b、c 分别为方程 x+sinx=1,x+sinx=2 及 x+ sinx=2 的根,且 0<x< ,则 a、b、c 的大 2 2 小关系是 .

5、红、黄、蓝变色灯的拉线开关是这样设计的,接上电源即出现红色,拉第一次开关时,灯色由红变 黄,拉第二次开关时,灯色由黄变蓝,拉第三次开关时,灯色由蓝变红,如此循环往复.现对编号为 1,2, 3,…,2001 的 2001 盏变色灯通上电源,先将编号为 2 的倍数的灯线拉一下,然后再将编号为 3 的倍数的 灯线拉一下,最后将编号为 5 的倍数的灯线拉一下,三次拉完后,黄色灯的盏数为 .

6、设 x1 ,x2 ,y1 ,y2 均为正实数,a= x1x2 + y1y2 ,b= (x1+y1)(x2+y2),则 a、b 的大小关系是 _____________. SE BF SG 1 7、在三棱锥 S-ABC 中 E、F、G 分别在侧棱 SA、SB、SC 上,且满足 = = = ,则截面 EFG EA SF SC 2 把三棱锥分成的两部分的体积之比为_____________. 8、函数 f(x)= x4-3x2-6x+13- x4-x2+1的最大值等于______________________. 9、用 1 或 2 两个数字写 n 位数,其中任意相邻两个位置不全为 1,记 n 位数的个数为 f(n),则 f(10)= ______________________. 三、解答题 13、已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),|f(0)|?2,|f(1)|?1,|f(-1)|?1,求证:当|x|?1 时,|f(x)|? 17 . 8

-1-

全国高中数学联赛模拟试题(01)

2009.05.28.

14、已知复数 zk= xk+ yki(xk,yk∈R,k=1,2,3,…)在复平面上对应的点都在单位圆第一象限 yn-1 xn 内的圆弧上,且 = . xn-1 1-x2n-1 (1)若 x1=a,求{xn}和{yn}的通项公式; (2)若 x1=y1,求{x2nyn+1}的各项和.

x2 y2 2 3 15、已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率 e= ,过点 A(0,-b)和 B(a,0)的直线与原 a b 3 点间的距离为 3 .设直线 y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线交于不同的两点 C,D,且 C,D 两点都在以 A 2

为圆心的同一个圆上,求 m 的取值范围.

-2-

全国高中数学联赛模拟试题(01)

2009.05.28.

(二试)
1、半径为 R 的圆内接凸多边形中,怎样的多边形,其边长的平方和最大?试证明你的结论,并求出最大值.

2、数列{an}定义如下:a1= 2,an+1= 2- 4-an2,数列{bn}定义为:bn=2n 1an,n∈N*. (1)求数列{an}的通项; (2)证明:bn<bn+1,n∈ N*; (3)证明:bn<7,n∈ N*;



-3-

全国高中数学联赛模拟试题(01)

2009.05.28.

3、试确定具有下列性质的所有正整数 n:从集合{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5}中可以分出两个 不相交的非空子集,使得一个子集的所有元素之积等于另一个子集的所有元素之积.

4.今有 100 个筐子,每个筐中都装有苹果与李子,证明:可能从中选出 34 个筐子,它们中装的苹果 1 与李子的重量不少于所有苹果、李子重量的 . 3

-4-

全国高中数学联赛模拟试题(01)

2009.05.28.

全国高中数学联赛模拟试题一 (一试) 一.填空题 1、设 P1、P2 是抛物线 x2=y 的一条弦,且 P1P2 的垂直平分线方程为 y=-x+3,则弦 P1P2 所在的直线 方程是 填 y=x+2. y2-y1 1 解:设 P1(x1,x12),P2(x2,x22),? =1,?x1+x2=1. 弦中点轨迹:x= .与 y=-x+3 交于点 2 x2-x1 1 5 ( , ),直线方程 y=x+b,代入得 y=x+2. 2 2 3、在棱长为 4 的正方体内有一个内切球,过正方体两条互为异面直线的棱的中点作直线,则该直线被 球面截在球内的线段长为 填 2 2. 解:球半径=2.球心(2,2,2),MN 中点(2,1,3).球心到 MN 的距离= 2. 弦长=2 2. 4、已知数列{an}满足 3an+1+an=4,且 a1=9,其前 n 项的和为 Sn,则满足|Sn 1 -n-6|< 的最小正整数 n 是 125 填 7. 1 - 1 - 解:3(an+1-1)=-(an-1).∴ an-1=(- )n 1?(a1-1),?an=1+8?(- )n 1. 3 3 1 (- )n-1 3 1 1 Sn=n+8? ==n-6?[((- )n-1]=n+6-6?(- )n. 1 3 3 (- )-1 3 1 1 ∴ |6?(- )n|< .?n?7. 3 125 1 π 5、设 a、b、c 分别为方程 x+sinx=1,x+sinx=2 及 x+ sinx=2 的根,且 0<x< ,则 a、b、c 的大 2 2 小关系是 填 a<b<c. 解:sinx=1-x,sinx=2-x,sinx=4-2x,?a<b<c, 6、红、黄、蓝变色灯的拉线开关是这样设计的,接上电源即出现红色,拉第一 次开关时,灯色由红变黄,拉第二次开关时,灯色由黄变蓝,拉第三次开关时,灯 色由蓝变红,如此循环往复.现对编号为 1,2,3,…,2001 的 2001 盏变色灯通上 电源,先将编号为 2 的倍数的灯线拉一下,然后再将编号为 3 的倍数的灯线拉一下,最后将编号为 5 的倍 数的灯线拉一下,三次拉完后,黄色灯的盏数为 填 933. 7、设 x1 ,x2 ,y1 ,y2 均为正实数,a= x1x2 + y1y2 ,b= (x1+y1)(x2+y2),则 a、b 的大小关系是 _____________.
-5O




A1

D1

N B1

C1

M D A B C





y

x



全国高中数学联赛模拟试题(01)

2009.05.28.

解:a2=x1x2+y1y2+2 x1x2· y1y2;b2=x1x2+y1y2+x1y2+x2y1,b2?a2.?a?b. SE BF SG 1 9、在三棱锥 S-ABC 中 E、F、G 分别在侧棱 SA、SB、SC 上,且满足 = = = ,则截面 EFG EA SF SC 2 把三棱锥分成的两部分的体积之比为_____________. 1 2 1 1 1 解:SE= SA,SF= SB,SG= SC,Vs-EFG= Vs-ABC,故两部分体积比= . 3 3 2 9 8 11 、 函 数 f(x) = x4-3x2-6x+13 - x4-x2+1 的 最 大 值 等 于
A B
2 2 2 2 2

S E

G F

C

______________________. 解:f(x)= (x -2) +(x-3) - (x -1) +x 即表示抛物线 y=x 上的点到 P(3, 2)及 Q(0,1)距离差的最大值,取抛物线与 PQ 延长线的交点即是所求最大的点. 所求距离= 10.
2 2

12、用 1 或 2 两个数字写 n 位数,其中任意相邻两个位置不全为 1,记 n 位数的个数为 f(n),则 f(10) =______________________. 解:在 f(n-1)后面总可以接 2.又当第 n-1 位是 2 时可以接 1,而 n-1 位为 2 的个数等于 f(n-2). ∴ f(n)=f(n-1)+f(n-2),又 f(1)=2,f(2)=3.?f(10)=144. 又,可用插入法:无 1:1 种;1 个 1:C10=10 种;2 个 1:C9=36 种;3 个 1:C8=56 种;4 个 1:
1 2 3

C4=35 种;共有 144 种. 7
三、解答题 13、已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),|f(0)|?2,|f(1)|?1,|f(-1)|?1,求证:当|x|?1 时,|f(x)|? 解:记 f(0)=c,f(1)=A,f(-1)=B.于是|A|?1,|B|?1,|c|?2. 1 1 则得 a+b+c=A,a-b+c=B,?a= (A+B)-c;b= (A-B). 2 2 1 1 1 1 ∴ f(x)=[ (A+B)-c]x2+ (A-B)x+c= A(x2+x)+ B(x2-x)+c(1-x2) 2 2 2 2 1 1 ∴ |f(x)|? |x2+x|+ |x2-x|+2|1-x2| 2 2
?2-x-2x2,(-1?x<0) =? 2 ?2+x-2x , (0?x?1)

17 . 8

∴ |f(x)|?

17 . 8

14、已知复数 zk= xk+ yki(xk,yy∈R,k=1,2,3,…)在复平面上对应的点都在单位圆第一象限 yn-1 xn 内的圆弧上,且 = . xn-1 1-x2n-1 ⑴ 若 x1=a,求{xn}和{yn}的通项公式; ⑵ 若 x1=y1,求{x2yn+1}的各项和. n 解:⑴ |zk|=1,?xk+yk=1. ∴ yn-1 xn-1 1+(n-2)a xn 1 1 1 1 a = , n= ?x , = ? +1, = +(n-1), n= ? ?x , = y . xn xn-1 xn a xn-1 1-x2n-1 1+xn-1 1+(n-1)a n 1+(n-1)a

1 1 n 1 1 1 2 ⑵ x1=y1= .xn= ,yn= .于是 xnyn+1= = - . 2 n+1 n+1 (n+1)(n+2) n+1 n+2
-6-

全国高中数学联赛模拟试题(01)

2009.05.28.

1 1 ∴ Sn= - . 2 n+2 1 lim ∴ S=n→∞Sn= . 2 x2 y2 2 3 15、已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的离心率 e= ,过点 A(0,-b)和 B(a,0)的直线与原 a b 3 点间的距离为 3 .设直线 y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线交于不同的两点 C,D,且 C,D 两点都在以 A 2

为圆心的同一个圆上,求 m 的取值范围. c 2 3 c2 4 4 3 解:c2=a2+b2, = , 2= ,?c2= a2,b= a. a 3 a 3 3 3 x 3y a 3 直线 AB 方程: - =1,?x- 3y-a=0.与原点的距离= = ,?a= 3.b=1.c=2. a a 2 2 C、D 由直线 y=kx+m, x 与双曲线方程 -y2=1, 3
2

① ②

联立解得,①代入②: (1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0. ③ 2 2 2 2 2 2 由题意,1-3k ≠0,?=36k m +12(m +1)(1-3k )>0.?m +1-3k2>0. 3(m +1) 6km 设 C、D 的横坐标分别为 x1,x2.则 x1+x2= ;x x =- . 1-3k2 1 2 1-3k2
2



由|AC|=|AD|得,x2+(y1+1)2=x2+(y2+1)2,?(x1-x2)(x1+x2)+k(x1-x2)[k(x1+x2)+2m+2]=0. 1 2 由 x1≠x2,故(1+k2)(x1+x2)+2k(m+1)=0, 6km ∴ (1+k2) +2k(m+1)=0,?1-3k2=-4m.代入④中即得,m2-4m>0. 1-3k2 ∴ m>4 或 m<0. 1 又,1-3k2=-4m<1,?m>- . 4 1 故所求 m 的取值范围是- <m<0 或 m>4. 4

(二试)
1、半径为 R 的圆内接凸多边形中,怎样的多边形,其边长的平方和最大?试证明你的结论,并求出最 大值. 解: (1)由余弦定理可知:钝角三角形中,钝角所对边的平方大于另两边的平方和.于是,内接于定 圆的 n 边形,如果有一个角是钝角,则连此角相邻两顶点的 n-1 边形的边长的平方和将大于原 n 边形的平 方和,所以要使内接于圆的多边形各边平方和最大,该多边形的各内角应不超过直角. (2)因为 n 边形的内角和为(n-2)· =[n+(n-4)]· ,故当 n?5 时,[n+(n-4)]· ?(n+1)· , 180° 90° 90° 90° 即 n 边形至少有一个内角是钝角,这样满足条件的多边形只可能是矩形或锐角三角形. (3) α, γ 分别是内接于定圆的三角形的内角, 设 β, 则由正弦定理得三边平方和 S=4R2(sin2α+sin2β+sin2γ). 1 1 ∵ 2α+sin2β+sin2γ=1-cos2α+ (1-cos2β)+ (1-cos2γ) sin 2 2 =2-cos2α-cos(β+γ)cos(β-γ) =2-cos2α+cosαcos(β-γ) 1 1 =2-[cosα- cos(β-γ)]2+ cos2(β-γ), 2 4
-7-

全国高中数学联赛模拟试题(01)

2009.05.28.

1 9 故当 cosα= cos(β-γ),cos(β-γ)=1 时,即 α=β=γ 时,Smax=4R2·=9R2. 2 4 而圆内接矩形的边长平方和=8R2. ∴ 所求最大值为 9R2. 2、数列{an}定义如下:a1= 2,an+1= 2- 4-an2,数列{bn}定义为:bn=2n 1an,n∈ N*. (1)求数列{an}的通项; (2)证明:bn<bn+1,n∈ N*; (3)证明:bn<7,n∈ N*; π 解: (1)设 a1=2sin ,则 4 a2= 2- π 4-4sin2 = 4 π 2-2cos = 4 π π π 2(1-cos )=2sin =2sin 3, 4 8 2 π π 2-2cos k+1=2sin k+2, 2 2


π 一般地,若 ak=2sin k+1,则由递推关系知 ak+1= 2 所以,{an}的通项公式为 an=2sin 2 N*); n+1(n∈ π

π π π + + 2n 2sin n+1 2n 3sin n+2cos n+2 2 2 2 π bn π + (2)由(1)知,bn=2n 2sin n+1,于是 = = =cos n+2<1, π π 2 bn+1 n+3 2 + 2 sin n+2 2n 3sin n+2 2 2 所以,bn<bn+1(n∈ N*); π π π + + (3)因为当 0<x< 时,sinx<x,所以 bn=2n 2sin n+1<2n 2·n+1=2π<7. 2 2 2 所以,n∈ N*时,bn<7. 3、是否能确定具有下列性质的所有正整数 n:从集合{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5}中可以分出 两个不相交的非空子集,使得一个子集的所有元素之积等于另一个子集的所有元素之积.若有,求出 n 的 值,若没有,请说明理由. 解:假定存在自然数 n 满足所指出的性质,即集合{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5}能够分成两个 不相交的非空子集,其中一个子集的所有元素之积等于另一个子集的所有元素之积,则必存在质数 p,能整 除 n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5 这六个连续自然数中的至少两个数.因此,这样的质数 p 只能是 2, 3 或 5,但是,数 n+1,n+2,n+3,n+4 仅有质因子 2 和 3,而在这四个连续数中恰好只有两个为奇数, 这两个奇数不可能有质因子 2,只能有质因子 3,所以这两个奇数必须是 3 的整数次幂,然而,这是不可能 的,因为 3k-3m(k>1,m>1)不可能等于 2,以上得到矛盾,说明满足题设条件的正整数 n 不存在. 4.今有 100 个筐子,每个筐中都装有苹果与李子,证明:可能从中选出 34 个筐子,它们中装的苹果 1 与李子的重量不少于所有苹果、李子重量的 . 3 解:设 100 个筐中苹果的数量为 x1,x2,…,x100,且设 x1?x2?…?x100, 把 i≡1(mod 3) (2?i?100)的 33 个筐子编为 A 组, i≡2(mod 3)(2?i?100)的 33 个筐子编为 B 组, i≡0(mod 3) (2?i?100)的 33 个筐子编成 C 组,各组苹果数量和为 XA,XB,XC, 显然,XA?XB?XC?XA-x2,即 XA-XC?x2?x1.于是 XA+x1?XB+x1?XC+x1?XA.而 XA+XB+XC 1 +x1=A,于是 XA+x1?XB+x1?XC+x1? A. 3 而 A 组+第一筐,或 B 组加第一筐,或 C 组加第一筐中,至少必有一个 34 筐中的李子数?全部李子

-8-

全国高中数学联赛模拟试题(01)

2009.05.28.

1 数量的 ,否则 A+B+C 组+第一筐的 3 倍<李子数量,矛盾. 3 1 于是总可以选出 34 筐,其中苹果与李子的数量都不少于所有苹果与李子数量的 . 3 证明二:设 100 个筐中苹果与李子的数量为(x1,y1),(x2,y2),…,(x100,y100),且设 x1?x2?…?x100, 如果 y1 不是所有筐中李子数最少的,则把第一筐中的苹果不动,而把李子与最少一筐对换使第一筐成 为苹果最多而李子最少的筐;如果第二筐中李子不是次少,则把它的苹果不动而李子与次少的筐对换,使 其李子数次少, 依次类推, 这样至多经过 99 次对换, 就使这 100 筐中的苹果成降序排列而李子成升序排列. 这 样的每次换装,都发生在 i<j,xi?xj,且 yi?yj 的情况下,换成 xi?xj 且 yi??yj?. 1 此时,取出第 1,4,7,10,…,94,97,100 筐这 34 筐,显然这 34 筐中苹果数多于所有苹果的 .又 3 1 由于李子是升序的,故这 34 筐中李子数也不少于所有李子的 . 3 再按换装的逆序,如果最后一次换装时两筐都在选出筐中,则重新换回原来装的李子,这样不影响结 论,如果,只有最后一次换装时其中的一筐在选出的筐中而另一筐不在其中,则取原来两筐中苹果与李子 都较多的一筐换下此筐,此时,苹果与李子中有一个数量不变而另一个增多.如此逆序调整,总是全调整 1 后的苹果与李子数不减,于是全部换完后仍得到原来的 34 筐,其中苹果与李子数量都不少于各自数量的 . 3

删去: 2、若复数 z 满足 z3=27,则 z5+3z4+2242 的值为 填 2728 或 1999. 解:z=3,3?,3?2,若 z=3,则得 243+243+2242=2728; 若 z=3?,3?2,则得 243(?2+?)+2242=2242-243=1999. lim Tn 8、设 f(x)=(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n,在 f(x)中 x2 的系数为 Tn,则n→∞ 3 =_____________. n +2n 1 1 1 3 + 解:f(x)= [(1+x)n 1-(1+x)]其中 x2 的系数=Cn+1= n(n+1)(n+2).故所求极限= . x 6 6 10、函数 y=arcsin(1-x)+arccos2x 的值域为______________________. 1 解:-1?1-x?1,-1?2x?1,?0?x? , 2 ?arcsin(1-x)↘∈[ , ],arccos2x↘∈[0, ],故所求值域为[ ,?]. 6 2 2 6 .

? ?

?

?

-9-


相关文章:
2014年全国高中数学联赛模拟试题(2卷)(附详细解答)
2014 年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试 (考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:___考试号:___得分:___ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分...
全国高中数学联赛模拟试题125答案
全国高中数学联赛模拟试题125答案_IT认证_资格考试/认证_教育专区。河北衡水中学 全国高中数学联赛模拟试题(125) 组编: 王玉瑛 1 河北衡水中学 全国高中数学联赛...
2002年全国高中数学联赛试题及参考答案
2002全国高中数学联赛试题及参考答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1、函数 f (x)=log1/2(x -2x-3)的单...
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(32)
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(32)_学科竞赛_高中教育_教育专区。加试模拟训练题(32) 1、 三个全等的圆有一公共点 O,并且都在一个已知三角形内,每一个圆...
2015年全国高中数学联赛模拟卷二试
2014 年全国高中数学联赛模拟卷(1)加试 (考试时间:150 分钟 满分:180 分) 姓名:___考试号:___得分:___ 一、 (本题满分 40 分) C 在 Rt ?ABC 中, ...
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(2)
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(2)_学科竞赛_高中教育_教育专区。加试模拟训练题(2) 1、 设 xi (i ? 1, 2,3, 4) 为正实数,满足 x1 ? 1, x1 ? x...
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(11)
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(11)_学科竞赛_高中教育_教育专区。加试模拟训练题(11) 1 、已知圆内接五边形 ABCDE 满足 ?ABC 的内切圆半径等于 ?AED 的内切...
历年全国高中数学联赛试题及答案(76套题)_图文
(6)相加得 0=2,矛盾.---20 分 2004 年全国高中数学联赛模拟试卷试题 第一试一、选择题(满分 36 分,每小题 6 分) - 67 - 二、填空题(满分 54 分,...
全国高中数学联赛模拟试题(四)
全国高中数学联赛模拟试题(四)_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。全国高中数学联赛模拟试题(四) 第一试 一、选择题(共 36 分) 1 2 2 1. 设变量 x ...
全国高中数学联赛模拟试题(02)
全国高中数学联赛模拟试题(02)_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学,联赛,模拟试题,数学竞赛全国高中数学联赛模拟试题(01) 2009.05.28. 全国高中数学联赛模拟试题...
更多相关标签: