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2011陕西高考数学(理)word版、可编辑、高清无水印


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)

数学(理工类)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本 大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设 a , b 是向量,命题“若 a ? ?b ,则∣ a ∣= ∣ b ∣”的逆命题是(D) A.若 a ? ?b ,则∣ a ∣ ? ∣ b ∣ ∣ ?

∣b ∣ C.若∣ a ∣ ? ∣ b ∣,则 a ? ?b D.若∣ a ∣=∣ b ∣,则 a = - b B. 若 a ? ?b , 则∣ a

2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方程是(B) A. y2 ? ?8x B. y2 ? 8x C. y2 ? ?4x D. y2 ? 4x

3.设函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (? x) ? f ( x), f ( x ? 2) ? f ( x), ,则 y ? f ( x) 的图像可能是 (B)

4. (4x ? 2? x )6 (x∈R)展开式中的常数项是(C) A.-20 B.-15
1

C.15

D.20

5.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是(A) A. 8 ?
2? 3

B. 8 ? D.
2? 3

? 3

C. 8 ? 2?

6.函数 f(x)= x —cosx 在[0,+∞)内 (B) A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点
1 7.设集合 M={y|y= cos x— sin x|,x∈R},N={x||x— i |< 2 ,i 为虚数单位,x∈
2 2

R},则 M∩N 为(C) A. (0,1) B. (0,1] C.[0,1) D.[0,1]

8.右图中, x1 , x2 , x3 为某次考试三个评阅人 对同一道题的独立评分,P 为该题的最终得分。当 x1 ? 6, x2 ? 9. p=8.5 时, x3 等于 (C) A.11 B.10 C.8 D.7 9.设( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,…, ( xn , yn )是变量 x 和 y 的 n 个样本点,
2

直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图) ,以 下结论中正确的是(D) A. x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 B. x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 C.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 D.直线 l 过点 ( x, y) 10.甲乙两人一起去游“2011 西安世园会” ,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览,每个景点参观 1 小时,则最后一小时他 们同在一个景点的概率是(D) A.
1 36

B.

1 9

C.

5 36

D.

1 6

二。选择题 11.设若 f ( x) ? ? ?
?lg x, x ? 0,
2 ? x ? ?0 3t dt , x ? 0, ? a

f ( f (1)) ? 1 ,则 a =

1
.3 或 4

12.设 n ? N? ,一元二次方程 x2 ? 4 x ? n ? 0 有正数根的充要条件是 n = 13.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?? 照此规律, 第 n 个等式为.n ? (n ?1) ? (n ? 2) ? ? (3n ? 2) ? (2n ?1)2



14.植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两 棵树相距 10 米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同
3

学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小 值为
2000

(米) 。

15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题评分) A. (不等式选做题)若关于 x 的不等式 a ? x ? 1 ? x ? 2 存在实数解,则实 数 a 的取值范围是 ? ??, ?3? ?3, ??? 。 B. ( 几 何 证 明 选 做 题 ) 如 图 , ?B ? ?D, AE ? BC, ?ACD ? 90 , 且
A B? 6 , A C ? 4, AD ? ,则 1 2 BE ? . 4 2



C. (坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xoy 中,以原点为极点, x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系, 设点 A, B 分别在曲线 C1 : ? 为参数)和曲线 C2 : ? ? 1 上,则 AB 的最小值为 。 三、解答题:解答写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题, 共 75 分) 。 16. (本小题满分 12 分) 如图,在 ?ABC 中, ?ABC ? 60 , ?BAC ? 90 , AD 是 BC 上的高,沿 AD 把
?ABC 折起,使 ?BCD ? 90
.3

? x ? 3 ? cos ? (? ? y ? 4 ? sin ?



(Ⅰ)证明:平面ADB ⊥平面BDC; (Ⅱ)设E为BC的中点,求 AE 与 DB 夹角的余弦值。

4

答案.解(Ⅰ)∵折起前AD是BC边上的高, ∴ 当 Δ ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB, 又 DB ? DC=D, ∴AD⊥平面BDC, ∵AD 平面 平面 BDC.

? 平面 ABD ? 平面 BDC。
(Ⅱ)由∠ BDC= 90 ? 及(Ⅰ)知 DA,DB,DC 两两垂直,不防设 DB =1,以 D 为坐标 原点,以 DB, DC, DA 所在直线 x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,易得 D(0,0,0) ,B (1,0,0) ,C(0,3,0) ,A(0,0, 3 ) ,E(

1 3 , ,0) , 2 2

?1 3 ? ? AE = ? , , ? 3 ? , ?2 2 ?
DB =(1,0,0,) ,
? AE 与 DB 夹角的余弦值为

AE ? DB cos < AE , DB >= ? | AE | ? | DB |

1 22 22 2 . ? .? ? 22 22 22 22 1? 1? 4 4
1 2

17. (本小题满分 12 分) 如图,设 P 是圆 x2 ? y 2 ? 25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的摄影, M 为 PD 上一点,且 MD ?
4 PD 5

(Ⅰ)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度
4 5

解: (Ⅰ)设 M 的坐标为(x,y)P 的坐标为(xp,yp)
5

? xp ? x, ? 由已知得 ? 5 yp ? y , ? ? 4
∵P 在圆上, ∴ x 2 ? ?

x2 y 2 ?5 ? ?1 y ? ? 25 ,即 C 的方程为 ? 25 16 ?4 ?
4 4 的直线方程为 y ? ? x ? 3 ? , 5 5

2

(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为

设直线与 C 的交点为 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 将直线方程 y ?
2

4 ? x ? 3? 代入 C 的方程,得 5
即 x ? 3x ? 8 ? 0
2

x2 ? x ? 3? ? ?1 25 25
∴ x1 ?

3 ? 41 3 ? 41 , x2 ? 2 2

∴ 线段 AB 的长度为

AB ?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

41 41 2 ? 16 ? ? ?1 ? ? ? x1 ? x2 ? ? ? 41 ? 25 5 ? 25 ?

18. (本小题满分 12 分) 叙述并证明余弦定理。
解 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的 两倍。或:在 ? ABC 中,a,b,c 为 A,B,C 的对边,有

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
证法一 如图

a 2 ? BC ? BC

? ( AC ? AB) ? ( AC ? AB) ? AC ? 2 AC ? AB ? AB
2

2

2

? AC ? 2 AC ? AB COSA ? AB
? b2 ? 2bc cos A ? c2

2

6

即 a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

同理可证 b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
证法二 已知 ? ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,建立直角 坐标系,则 C (b cos A, b sin A), B(c,0) ,

? a 2 ? BC 2 ? (b cos A ? c) 2 ? (b sin A) 2

? b2 cos2 A ? 2bc cos A ? c2 ? b2 sin 2 A b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B
同理可证

b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B, c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C.

19. (本小题满分 12 分)如图,从点 P1(0,0)作 x 轴的垂线交于曲线 y=ex 于点 Q1(0,1) ,曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴交与点 P2。再从 P2 作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2,依次重复上述过程得到一系列点:P1,QI; P2,Q2…Pn,Qn,记 Pk 点的坐标为( xk ,0) (k=1,2,…,n) 。 (Ⅰ)试求 xk 与 xk ?1 的关系(2≤k≤n) ; (Ⅱ)求 PQ 1 1 ? PQ 2 2 ? PQ 3 3 ? ... ? PQ n n
? 解(Ⅰ)设 P k ?1 ( xk ?1 ,0) ,由 y ? e 得 Qk ?1 ( xk ?1 , e
x

xk ?1

) 点处切线方程为

y ? exk?1 ? exk?1 ( x ? xk ?1 ),
由 y ? 0 得 xk ? xk ?1 ?1(2 ? k ? n) 。 ( Ⅱ) x1 ? 0, xk ? xk ?1 ? ?1 ,得 xk ? ?(k ? 1) , 所以 P k Qk ? e
xk

? e?(k ?1) 于是,

Sn ? PQ 1 1 ? PQ 2 2 ? PQ 3 3 ? ... ? P nQn

7

? 1 ? e ? e ? ... ? e

?1

?2

? ( n ?1)

1 ? e? n e ? e1?n ? ? 1 ? e?1 e ?1

20. (本小题满分 13 分) 如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,据统计,通过两条路 径所用的时间互不影响,所用时间落在各时间段内的频率如下表: 时 间 ( 分 10~20 钟) L1 的频率 L2 的频率 0.1 0 0.2 0.1 0.3 0.4 0.2 0.4 0.2 0.1 20~30 30~40 40~50 50~60

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站。 (Ⅰ)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何 选择各自的路径? (Ⅱ)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针 对(Ⅰ)的选择方案,求 X 的分布列和数学期望。
.解(Ⅰ)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站” ,Bi 表示事件“乙选择路径 Li 时, 50 分钟内赶到火车站” ,i=1,2.用频率估计相应的概率可得 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5, P(A1) >P(A2),

? 甲应选择 L

i

P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, P(B2) >P(B1),

? 乙应选择 L

2.

(Ⅱ)A,B 分别表示针对(Ⅰ)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,由(Ⅰ) 知 P( A) ? 0.6, P( B) ? 0.9 ,又由题意知,A,B 独立,

? P( X ? 0) ? P( AB) ? P( A)P(B) ? 0.4 ? 0.1 ? 0.04 P( X ? 1) ? P( AB ? AB) ? P( A)P(B) ? P( A)P(B)
? 0.4 ? 0.9 ? 0.6 ? 0.1 ? 0.42

P( X ? 2) ? P( AB) ? P( A) P( B) ? 0.6 ? 0.9 ? 0.54
? X 的分布列为
8

X P

0 0.04

1 0.42

2 0.54

? EX ? 0 ? 0.04 ? 1? 0.42 ? 2 ? 0.54 ? 1.5.

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) 定义在 (0, ??) 上, f (1) ? 0 ,导函数 f ?( x) ? , g ( x) ? f ( x) ? f ?( x). (Ⅰ)求 g ( x) 的单调区间和最小值; (Ⅱ)讨论 g ( x) 与 g ( ) 的大小关系; (Ⅲ)是否存在 x 0 ? 0 ,使得 g ( x) ? g ( x0 ) ? 对任意 x ? 0 成立?若存在,求 出 x0 的取值范围;若不存在,请说明理由.
.解 (Ⅰ)由题设易知 f ( x) ? ln x , g ( x) ? ln x ?

1 x

1 x

1 x

? g '( x ) ?

x ?1 ,令 g '( x) ? 0 得 x ? 1 , x2

1 , x

当 x ? (0,1) 时, g '( x) ? 0 ,故(0,1)是 g ( x) 的单调减区间, 当 x ? (1, ??) 时, g '( x) ? 0 ,故 (1, ??) 是 g ( x) 的单调增区间, 因此, x ? 1 是 g ( x) 的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为 g (1) ? 1 . (Ⅱ) g ( ) ? ? ln x ? x , 设 h( x) ? g ( x) ? g ( ) ? 2 ln x ? x ?

1 x

1 x

1 ( x ? 1)2 ,则 h '( x) ? ? , x x2

当 x ? 1 时, h(1) ? 0 ,即 g ( x ) ? g ( ) , 当 x ? (0,1) ? (1, ??) 时 h '( x) ? 0 , h '(1) ? 0 , 因此, h( x) 在 (0, ??) 内单调递减, 当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 g ( x ) ? g ( ) , 当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 g ( x ) ? g ( ) . (Ⅲ)满足条件的 x0 不存在. 证明如下: 证法一 假设存在 x0 ? 0 ,使 | g ( x ) ? g ( x0 ) |?

1 x

1 x

1 x

1 对任意 x ? 0 成立, x

9

即对任意 x ? 0 ,有 Inx ? g ( x0 ) ? Inx ? 但对上述 x0 ,取 x1 ? e
g ( x0 )

2 , (*) x

时,有

Inx1 ? g ( x0 ) ,这与(*)左边不等式矛盾,

1 对任意 x ? 0 成立。 x 1 证法二 假设存在 x0 ? 0 ,使 | g ( x ) ? g ( x0 ) |? 对任意的 x ? 0 成立。 x
因此,不存在 x0 ? 0 ,使 | g ( x ) ? g ( x0 ) |? 由(Ⅰ)知, e 又 g ( x) ? Inx ? ∴
g ( x0 )

的最小值为 g ( x) ? 1 。

1 ? I nx ,而 x ? 1 时, Inx 的值域为 (0, ??) , x

x ? 1 时, g ( x) 的值域为 [1, ??) ,

从而可取一个 x1 ? 1 ,使 g ( x1 ) ? g ( x0 ) ? 1 , 即 g ( x1 ) ? g ( x0 ) ? 1 ,故 | g ( x1 ) ? g ( x0 ) |? 1 ? ∴ 不存在 x0 ? 0 ,使 | g ( x ) ? g ( x0 ) |?

1 ,与假设矛盾。 x1

1 对任意 x ? 0 成立。 x

10


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