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面面垂直性质及判定


课后练习:
如图 : 河堤斜面与水平面所成 的二面角为 ?, 堤面 60 上有一条直道CD, 它与堤脚的水平线 的夹角为 AB 30?, 沿这条直道从堤脚向上 行走到10m时人升高了 多少(精确到0.1m) ?
E
30 ?

D

G
F

C

9.6.2

平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 小结 作业

两个平面垂直的判定与性质

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9.6.2 平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 小结 作业

建筑工人砌墙时,常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直,如果系有铅锤的线和墙面紧贴, 那么所砌的墙面与地面垂直。大家知道其中的理论根据吗?

——它就是本节课的内容之一:平面与平面垂直的判定定理。

问题

问题2 引入

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9.6.2 平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 判定定理 小结 作业

平面与平面垂直的判定定理是:

如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线,那么这两个平面相互垂直。
α A
D

β

B
C

判定定理 判定定理 证明 证明过程 判定方法

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9.6.2 平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 判定定理 小结 作业
已知:直线AB?平面?,直线AB?平面?。 求证:平面? ?平面?。

α A
D

β
E

B C

证明 判定定理 证明 证明过程 判定方法

退出

9.6.2 平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 判定定理 小结 作业
已知:直线AB?平面?,直线AB?平面?。 求证:平面? ?平面?。

在平面β 内过B点作BE⊥CD。 证明:设? ? β =CD,则AB ? β =B ,

AB ?β ? ? ? AB ? CD ? ? ?ABE是二面角α? CD ?β CD ?β ? ? BE ? CD? 的平面角

α A
D

AB ?β ?
β
E

? ? AB ? BE BE ?β ?

? ? ? ?ABE ? 90? ?

? 二面角α ? CD ?β 为直二面角 。

B C

? 平面α ? 平面β 。
证明 证明过程 判定方法 退出

判定定理

9.6.2 平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 判定定理
面面垂直的判定方法: 1、定义法: 找二面角的平面角

小结

作业

说明该平面角是直角。

(一般通过计算完成证明。)
2、判定定理: 要证两个平面垂直, 只要在其中一个平面内找到 另一个平面的一条垂线。

(线面垂直?面面垂直)

判定定理

判定方法 证明 证明过程 判定方法

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9.6.2 平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 小结 作业

现在你知道用一端系有铅锤的线来检查所砌的 墙面是否和地面垂直的道理了吗?

问题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论



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9.6.2 平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 小结 作业
在刚才的命题中,直线AB,平面? ,平面?有以下三种关系:

直线AB ? 平面β ? ? ? 平面α ? 平面β 。 直线AB ? 平面α ?
如果仍然选取其中两个条件作为前提,另一个条件作为结论
构造这样的一个命题:

平面α ? 平面β ? ? ? 直线AB ? 平面β 。 直线AB ? 平面α ?
请判断命题的真假。

问题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论 问题



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9.6.2 平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 小结 作业
该命题是假命题。 由平面? ?平面?,平面? 内的直线AB不一定能与平面?垂直。

α A
D

α A

β
B
C

D

β

B C

那么在已有条件的基础上,再添加什么条件,可使命题为真?

发现 问题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论



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9.6.2 平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 小结 作业

猜想,得: 若增加条件AB?CD,则命题为真,即

? α ? 直线AB ? 平面α ? ? ? 直线AB ? 平面β 。 A 平面 α ?平面 β ? CD ? D ? AB ? CD ?
B C

平面α ? 平面β

β

猜想 问题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论



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9.6.2 平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 小结 作业

已知:平面? ⊥平面β ,平面? ∩平面β =CD,

A?平面? , AB⊥CD且AB ∩ CD=B。 求证:直线AB⊥平面β 。

α A
D

β
E

B C

问题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论



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9.6.2 平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
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已知:平面? ⊥平面β ,平面? ∩平面β =CD, A?平面? , AB⊥CD且AB交CD于B。 求证:直线AB⊥平面β 。 证明: 在平面β 内过B点作BE⊥CD,
AB ? CD ?

D

β
E

? AB ? BE AB ? CD
BE ?β CD ?β

B
C

BE ? CD ? B

证明过程 问题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论

?

α A

? ? ?ABE是二面角α? CD ?β ? BE ? CD ? ? ? ?ABE ? 90?。 的平面角

α ?β

?

? AB ?β 。



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9.6.2 平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 性质定理 小结 作业

平面与平面垂直的性质定理是: 如果两个平面相互垂直,那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
α A
D

β

B
C

问题 发现 猜想 证明 证明过程 结论



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9.6.2 平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用
1) 面面垂直?线面垂直;

小结

作业

(线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线)
2) 平面? ⊥平面β ,要过平面? 内一点引平面β 的垂线, 只需过这一点在平面? 内作交线的垂线。

α A
D

α A

β
B C

D

β

B C

练习2 问题 发现 猜想 证明 证明过程

结论

注 注

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9.6.2 平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
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直线AB ? 平面β ? 在刚才的三个条件中, ? ? 平面α ? 平面β 。 直线AB ? 平面α ?
再选取两个条件作为前提,另一个条件作为结论构造命题,即

平面α ? 平面β ? ? ? 直线AB ? 平面α 。 直线AB ? 平面β ?
请判断命题的真假。 若是真命题,请给出证明; 若不是,那么添加什么条件可使命题为真?

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9.6.2 平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
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例1

例2

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9.6.2 平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 小结 作业
例1、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面,A为垂足。

求证:平面PAC?平面PBD。
P

A

D

O
B C

例1题目

解答

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9.6.2 平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 小结 作业
例1、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面,A为垂足。

求证:平面PAC?平面PBD。
P

证明: 正方形ABCD中,A ? BD C

A

D

O
B C

? ? PA ? 平面ABCD? ? ? PA ? BD ? BD ? 平面ABCD ? ? AC ? 平面PAC,PA? 平面PAC ? ? AC ? PA ? A ?

? BD ? 平面PAC ? ? 平面PAC? 平面PBD。 ? BD ? 平面PBD ?

例1题目

解答

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9.6.2 平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 小结 作业
例2、已知直线PA垂直于?O所在的平面,A为垂足, AB为?O的直径,C是圆周上异于A、B的一点。 1) 求证:平面PAC?平面PBC; 2) 若PA=AB=a, AC ? 6 a,求二面角A? PB ? C的大小。 3

例2题目 1) 例2解答

2) 例2解答

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9.6.2 平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
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例2、已知直线PA垂直于?O所在的平面,A为垂足, AB为?O的直径,C是圆周上异于A、B的一点。 1) 求证:平面PAC?平面PBC; 证明:

AB是圆O的直径 ? ? ? BC ? AC C是圆周上异于A、B 的一点?

? BC ? 平面PAC ?
例2题目 1) 例2解答 例2题目

? ? PA ? 平面ABC ? ? BC ? PA ? BC ? 平面ABC ? ? ? AC ? 平面PAC,PA? 平面PAC ? AC ? PA ? A ? ?

? ? 平面PAC? 平面PBC。 BC ? 平面PBC? 2) 例2解答 退出

9.6.2 平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
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例2、已知直线PA垂直于?O所在的平面,A为垂足, AB为?O的直径,C是圆周上异于A、B的一点。 6 2) 若PA=AB=a, AC ? a,求二面角A? PB ? C的大小。 3 解:过点A在平面PAC内作AF??PC,交PC于F, 过点A在平面PAB内作AE??PB,交PB于E,连EF, E F

平面PAC? 平面PBC ?

AF ? PC

? PB ? EF AE ? PB

? ? AF ? 平面PBC ? AE ? PB

? ? ? ? ?

例2题目 1) 例2解答

2) 例2解答

计算

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9.6.2 平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
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2) 若PA=AB=a, AC ?

6 a,求二面角A? PB ? C的大小。 3

2 a, ? PA ? PB ? a, 在Rt ?PAB中,AE ? 2 6 ? PA ? a, AC ? a, EE 3 15 在Rt ?PAC中,PC ? a, FF 3 AF 2 5 在Rt ?AEF中, ?AEF ? sin ? 。 AE 5
退出
PA ? AC 10 AF ? ? a, PC 5

9.6.2 平面与平面垂直的判定定理和性质定理(二)
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1、两个平面垂直的判定定理和性质定理

2、“转化思想”
面面关系
面面平行

线面关系
线面平行

线线关系
线线平行

面面垂直

线面垂直

线线垂直

3、平面? ⊥平面β ,要过平面? 内一点引平面β 的垂线,

只需过这一点在平面? 内作交线的垂线。

退出


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