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3.1.3空间向量的数量积运算及其加减运算 学案


3.1.3

空间向量的数量积运算及其加减运算
制作人:高二数学组 使用时间:

目标要求
1、掌握空间向量夹角的概念及表示方法,掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方 法及运算规律。 2、掌握两个向量的数量积的主要用途,会用它解决立体几何中一些简单的问题。

预习学案
1、空间向量的夹角

? ? ??? ? ??? ? ? ? 已知两个非零向量 a, b, 在空间中任取一点 O,作 OA ? a, OB ? b, 则∠AOB 叫做
定义

? ? 向量 a, b 的夹角

记法 范围

? ? ? ? ? _______。当< a, b >= 时, a ____ b 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 想一想:< a, b >与< b, a >相等吗?< a, b >与< a, ?b >呢?
2、空间向量的数量积

? ? ? ? ? ? ? ? ?? (1)定义:已知两个非零向量 a, b ,则| a || b | cos ? a, b ? 叫做a, b 的数量积,记作a? . b
(2)数量积的运算律: 数乘向量与向量数量积的结合律 交换律 分配律

? ? (? a)? ? _____ b ? ? a ?b =________ ? ? ? a? b ? c) ? _______ (

两 个 向 量 积 的 性 质

(3)数量积的性质 ? ? ? ? ?? (1)若 a, b是非零向量, 则a ? b ? a? ? 0. b

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)若a与b同向, 则a? ?| a |? b |; 若反向, 则a? ? ? | a |? b | . b | b | ? ? ? ? ? ? 特别地 : a?a ?| a |2 若 | a |? a? . a

? ? ? ? a? b (3)若θ 为 a, b的夹角, 则 cos ? ? ? ? . | a || b |
(4) | a? |?| a |? b | . b |

??

?

?

b 想一想:类比平面向量,你能说出 a ? 的几何意义吗?
3、如何理解空间向量的夹角? (1)任意两个空间向量均是共面的,故空间向量夹角范围同两个平面向量夹角范围一 样,即 [0,? ] ;
三 1

? ?

( (2)空间向量的夹解在 [0,? ] 之间,但直线夹角在 0, ] 内,利用向量求直线夹角 2
时注意转化,两直线的夹角余弦值一定为非负数。 4、如何理解平面向量与空间向量数量积的关系? 由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量, 所以空间两个向量的夹角的定义和取值 范围、两个向量垂直的定义和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等都与平 面向量相同。 5、怎样理解向量的应用? 由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关,所以许多立体几何中的问题,如距离、 夹角、垂直等问题的求解,都可借助向量的数量积运算加以解决。

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a? b (1) a ? =| a || b | cos ? a, b ?, 则 cos ? a, b ?? ? ? , 可用来求两个向量的夹角、两 b | a || b |
条异面直线所成的角。 (2) a ? b ? a? ? 0 ,用于判断空间两个向量(或空间两条直线)的垂直。 b (3) | a |2 ? a? ,用于对向量模的计算,求两点间的距离和线段的长度。 a 拓展: (1)空间向量数量积运算不满足消去律,即 a? ? a? ? c ? b. c b (2)空间向量的数量积运算不满足结合律,即 (a? )? ? a? b? ) 不正确。 b c ( c

?

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2

课上学案
类型一:利用数量积求夹角 例 1:如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求直线 BC1 与 AC 的夹角的大小。

类型二:利用数量积求两点间的距离 例 2:如图,已知线段 AB⊥平面α BC ? α ,CD⊥BC,DF⊥平面α ,且∠DCF=30°, D 与 A 在α 的同侧,若 AB=BC=CD=2,求 A、D 两点间的距离。

类型三:利用数量积证明垂直关系 例 3:如图已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形,且∠C1CB=∠ C1CD=∠BCD,求证 CA1⊥B1D1。



3

课下限时训练
限时:20 分钟 使用时间: 1、设 a, b, c 是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,下列命题: ① (a? )? ? (c? )? ? 0 ; b c a b ② | a | ? | b | ?| a ? b | ; ③ (b? )? ? (c? )? 不与c 垂直; a c a b ④ (3a ? 2b)? a ? 2b) ? 9 | a |2 -4|| . (3 b2 A、①② B、②③ C、③④ D、②④

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2、空间向量 a与b 的夹角为? , 则?的范围是( A、 [0,

? ?

)
D、 (0, ? )

?
2

]

B、 [0, ? ]

C、 (0,

?
2

)

3、 空间四边形 OABC 中, OB=OC, ∠AOB=∠AOC=

?
3

??? ??? ? ? , c ? O C ? 的值为 则o ( s ,AB



A、

1 2

B、

2 2

C、 ?

1 2

D、0

4、设向量 a与b相互垂直,向量c与它们构成的角是60 , 且 | a |? 5,| b |? 3,| c |? 8,
0

? ?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? 那么(a ? 3c)? b ? 2a) ? _____;(2a ? b ? 3c)2 ? _____. (3
5、如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,若棱长为 a,求

???? ???? BA1 ?B1C 。



4



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