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专题12.5 二项分布及其应用(教学案)-2014年高考数学(理)一轮复习精品资料(解析版)


【2014 考纲解读】 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念. 2.理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布,并 能解决一些简单的实际问题. 【重点知识梳理】 1.条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件 A 和 B ,在已知事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率叫做条件概 率,用符号 P( B | A) 来表示,其公式为 P( B | A) ?

P ? AB ? P ? A?

? P ? A? ? 0 ? .
n( AB) . n( A)

在古典概型中,若用 n ? A ? 表示事件 A 中基本事件的个数,则 P( B | A) ? (2)条件概率具有的性质: ①非负性: 0 ? P( B | A) ? 1 ; ②规范性: P(Q | B) ? 1 ;

③可加性:如果 B 和 C 是两个互斥事件,则 P( B ? C | A) ? P( B | A) ? P(C | A) . 2.相互独立事件 (1)对于事件 A、B,若 A 的发生与 B 的发生互不影响,则称 A、B 是相互独立事件. (2)若 A 与 B 相互独立,则 P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)·P(A)= P(A)· P(B). (3)若 A 与 B 相互独立,则 A 与 B , A 与 B , A 与 B ,也都相互独立. (4)若 P(AB)=P(A)P(B),则 A 与 B 相互独立. 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中 每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的. (2)二项分布 在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 k,在每次试验中事件 A 发生的概率为 p,那么 在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为

k k p ?1 ? p ? P ? X ? k ? ? Cn

n?k

? k ? 0,1, 2,? , n ? ,此时称随机变量 X 服从二项分布,记作

X ? B ? n, p ? ,并称 p 为成功概率.
【特别提醒】

1.“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系
(1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系; (2)“互斥”强调不可能同时发生,“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一个事件发生 的概率没有影响; (3)“互斥”的两个事件可以独立,“独立”的两个事件也可以互斥.

2.条件概率
条件概率通常是指在事件 A 发生的条件下, 事件 B 发生的概率. 放在总体情况下看: 先求 P(A), P(AB),再求 P B A ? 【高频考点突破】 考点一、条件概率

? ?

P? AB ? .关键是求 P(A)和 P(AB). P ? A?

计算条件概率有两种方法:
(1)利用定义: P B A ?

? ?

P? AB ? n? AB? ;(2)利用古典概型公式: P?B A? ? . P ? A? n ? A?

例 1.盒中装有 6 件产品,其中 4 件一等品,2 件二等品,从中不放回地取产品,每次 1 件.取 两次,已知第二次取得一等品,则第一次取得的是二等品的概率是 ( ) 2 A. 5 3 B. 5 1 C. 2 3 D. 10

考点二、相互独立事件的概率 (1)相互独立事件是指两个试验中,两事件发生的概率互不影响;相互对立事件是指同一次试验 中,两个事件不会同时发生; (2)求用“至少”表述的事件的概率时,先求其对立事件的概率往往比较简单.

1 例 2.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 与 p,且乙投球 2 次 2 1 均未命中的概率为 . 16 (1)求乙投球的命中率 p; (2)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率; (3)若甲、乙两人各投球 2 次,求共命中 2 次的概率.

3 1 9 11 所以甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次的概率为 + + = . 16 64 64 32 考点三、独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验 中,每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中发生的概率 都是一样的. (2)二项分布满足的条件

①每次试验中,事件发生的概率是相同的; ②各次试验中的事件是相互独立的; ③每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生; ④随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发生的次数. 例 3. (1)在全国大学生智能汽车总决赛中,某高校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直 2 角坐标系的平面上从坐标原点出发,每次只能移动一个单位,沿 x 轴正方向移动的概率是 ,沿 y 3 1 轴正方向移动的概率为 ,则该智能汽车移动 6 次恰好移动到点(3,3)的概率为________. 3 (2)一袋中装有 5 个白球,3 个红球,则从袋中往外取球,每次取出一个,记下球的颜色,然 后放回,直到红球出现 10 次停止,用 X 表示取球的次数,则 P(X=12)=________.

【探究提高】1.第(1)题的难点在于如何把问题归结为独立重复试验概型.智能汽车的移动只有 两种可能,每次都是一样的,符合 6 次独立重复试验概型; 3 2.第(2)题并不是纯粹的 n 次独立重复试验问题,整个事件是前 11 次是成功概率为 的独立 8 重复试验恰好发生 9 次和第 12 次也成功的情况,这样就把问题归结为一个独立重复试验问题和一 个相互独立事件同时发生的问题.像这类在事件发生的过程中某个部分是独立重复试验的问题是一 类重要的概率题型. 【经典考题精析】 1. 【2011·辽宁】从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数” ,事 件 B=“取到的 2 个数均为偶数” ,则 P(B|A)=( 1 A. 8 1 B. 4 )

2 C. 5

1 D. 2

2. (2013 上海理 8)盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九个 球,从中任意取出 两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________(结果用最简分数表示) 【答案】

13 . 18
C52 13 ? . C92 18

【解析】9 个数 5 个奇数,4 个偶数,根据题意所求概率为 1 ?

3. 【2013 安徽理 21】某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动, 分别由李老师和张老师负责,已知该系共有 n 位学生,每次活动均需该系 k 位学生参加( n 和 k 都 是固定的正整数) 。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 k 位学 生,且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 x . (Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (Ⅱ)求使 P( X ? m) 取得最大值的整数 m .

所以, 学生甲收到李老师或张老师的通知信息为 (Ⅱ)

2k k 2 ?( ) . n n

4. 【2011·山东】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A、乙对 B、 丙对 C 各一盘. 已知甲胜 A、 乙胜 B、 丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果 相互独立. 求红队至少两名队员获胜的概率.

5. 【2011·全国】根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买 甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率; (2)求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.

6. 【2012·全国】乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次 后,对方再连续发球 2 次,依次轮换,每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲、乙的比赛中, 每次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲 先发球. (1)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (2)ξ 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 ξ 的期望.

(2)P(A2)=0.62=0.36.ξ 的可能取值为 0,1,2,3. P(ξ=0)=P(A2· A)=P(A2)P(A)=0.36× 0.4=0.144,P(ξ=2)=P(B)=0.352,

7 . 【2012·天津】现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择,为增 加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;

(3)ξ 的所有可能取值为 0,2,4. 由于 A1 与 A3 互斥,A0 与 A4 互斥,故 8 P(ξ=0)=P(A2)= , 27 40 P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)= , 81 17 P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)= . 81 所以 ξ 的分布列是
[来源:Z*xx*k.Com]

ξ
来源:Zxxk.Com]

[

0

2

4

P

8 27

40 81

17 81

8 40 17 148 随机变量 ξ 的数学期望 Eξ=0× +2× +4× = . 27 81 81 81 【当堂巩固】 1. 【2011· 广东】甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需 要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概 率相同,则甲队获得冠军的概率为( 3 A. 4 2 B. 3 3 C. 5 1 D. 2 ).

1 2. 小王通过英语听力测试的概率是 , 他连续测试 3 次, 那么其中恰有 1 次获得通过的概率是( 3 4 A. 9 【答案】 A 2 B. 9 C. 4 27 2 D. 27

).

?1?1 ? 1?3-1=4. 【解析】 所求概率 P=C1 3·3 ·1-3 ? ? ? ? 9
3. 【2011· 湖北高考】如图,用 K、A1、A2 三类不同的元件连接成一个系统,当 K 正常工作且 A1、A2 至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知 K、A1、A2 正常工作的概率依次为 0.9,0.8,0.8, 则系统正常工作的概率为( ).

A.0.960 【答案】 B

B.0.864

C.0.720

D.0.576

【解析】 P=0.9× [1 -(1-0.8)2]=0.864. 1 15, ?,则使 P(X=k)取最大值的 k 值为( 4.如果 X~B? 4? ? A.3 【答案】 D 【解析】 采取特殊值法. B.4 C.5 D.3 或 4 ).

?1?3?3?12,P(X=4)=C4 ?1?4 ?3?11,P(X=5)=C5 ?1?5?3?10, ∵P(X=3)=C3 15 4 15 4 ·4 15 4 ? ? ?4? ? ? ? ? ? ? ?4?
从而易知 P(X=3)=P(X=4)>P(X=5).

5.把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件 A, “第二次出现正面”为事件 B, 则 P(B|A)等 于( 1 A. 2 ). 1 B. 4 1 C. 6 1 D. 8

6. 【2011· 辽宁】从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数” ,事件 B =“取到的 2 个数均为偶数” ,则 P(B|A)等于( 1 A. 8 1 B. 4 2 C. 5 ). 1 D. 2

7. 【2011· 济南统考】某单位订阅大众日报的概率为 0.6,订阅齐鲁晚报的概率为 0.3,则至少订 阅其中一种报纸的概率为________. 【答案】 0.72 【解析】 P=1-(1-0.6)(1-0.3)=0.72. 8. 【2011· 湖南高考】如图,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形.将一颗豆子随 机地扔到该圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内” ,B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴 影部分)内” ,则 (1)P(A)=________;(2)P(B|A)=________.

9.某次乒乓球比赛的决赛在甲、乙两名选手之间举行,比赛采用五局三胜制,按以往比赛经验, 2 甲胜乙的概率为 . 3 (1)求比赛三局甲获胜的概率; (2)求甲获胜的概率.

10.某气象站天气预报的准确率为 80%,计算(结果保留到小数点后面第 2 位) (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率; (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率; (3)5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确的概率.
[来源:学科网]

4? 4?3 4 (3)P(C)=C1 4× 1-5 × ≈0.02. ? 5 5?

11.一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有 6 个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红 1 灯的事件是相互独立的,并且概率都是 . 3 (1)设 X 为这名学生在途中遇到红灯的次数,求 X 的分布列; (2)设 Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数,求 Y 的分布列; (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

12.某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员 可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有 60%,参加过计算 机培训的有 75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. (1)任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率;

(2)任选 3 名下岗人员,记 X 为 3 人中参加过培训的人数,求 X 的分布列.


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