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【课堂新坐标】2015届高考数学(理)一轮总复习课后限时自测:第10章-第8节 离散型随机变量的均值与方差]


课后限时自测
A组 一、选择题 1. 已知某一随机变量 X 的概率分布列如下, 且 E(X)=6.3, 则 a 的值为( X P A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】 由分布列性质知:0.5+0.1+b=1,∴b=0.4. 4 0.5 a 0.1 9 b ) 基础训练

∴E(X)=4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3,∴a=7. 【答案】

C ) X P -1 1 2 0 1 3 1 1 6

2.已知 X 的分布列为(

1 23 1 则在下列式子中:①E(X)=-3;②D(X)=27;③P(X=0)=3. 正确的个数是( ) D.3

A.0 B.1 C.2 【解析】

1 1 1 E(X)=(-1)×2+1×6=-3,故①正确.

1? 1 ? 1? 1 ? 1? 1 5 ? D(X)=?-1+3?2×2+?0+3?2×3+?1+3?2×6=9,故②不正确. ? ? ? ? ? ? 由分布列知③正确. 【答案】 C )

3.已知随机变量 X+η=8,若 X~B(10,0.6),则 E(η),D(η)分别是( A.6 和 2.4 B.2 和 2.4 C.2 和 5.6 D.6 和 5.6 【解析】 由已知随机变量 X+η=8,所以有 η=8-X.

因此,求得 E(η)=8-E(X)=8-10×0.6=2, D(η)=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4.

【答案】

B

4.一射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率都为 0.6,现有 4 颗子弹,则射击停止后剩余子弹的数目 X 的期望值为( A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4 【解析】 X 的所有可能取值为 3,2,1,0,其分布列为 X P 3 0.6 2 0.24 1 0.096 0 0.064 )

∴E(X)=3×0.6+2×0.24+1×0.096+0×0.064=2.376. 【答案】 C

5.(2014· 济南质检)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒, 对于没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期 望为( )

A.100 B.200 C.300 D.400 【解析】 记不发芽的种子数为 ξ,则 ξ~B(1000,0.1),

∴E(ξ)=1000×0.1=100. 又 X=2ξ,∴E(X)=E(2ξ)=2E(ξ)=200. 【答案】 二、填空题 6.已知 X 的分布列为 X P -1 1 2 0 1 6 1 a B

设 Y=2X+1,则 Y 的数学期望 E(Y)的值是________. 【解析】 1 1 1 由分布列的性质,a=1-2-6=3,

1 1 1 1 ∴E(X)=-1×2+0×6+1×3=-6, 2 因此 E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=3. 【答案】 2 3

7.某公司有 5 万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利 12%;

如果失败,一年后将丧失全部资金的 50%.下表是过去 200 例类似项目开发的实 施结果: 投资成功 192 例 投资失败 8例

则该公司一年后估计可获收益的期望是________元. 【解析】 由题意知,一年后获利 6 000 元的概率为 0.96,获利-25 000 元 的概率为 0.04. 故一年后收益的期望是 6 000×0.96+(-25 000)×0.04=4 760(元). 【答案】 4 760

8.(2011· 浙江高考)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司 2 投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 ,得到乙、丙两公司 3 面试的概率均为 p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记 X 为该毕业生得 1 到面试的公司个数. 若 P(X=0)=12, 则随机变量 X 的数学期望 E(X)=________. 【解析】 1 ∴p=2. 随机变量 X 的分布列为: X P 0 1 12 1 1 3 2 5 12 3 1 6 1 1 由题意知 P(X=0)=3(1-p)2=12,

1 1 5 1 5 E(X)=0×12+1×3+2×12+3×6=3. 【答案】 三、解答题 9.(2013· 北京高考)如图 10-8-2 是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数 趋势图. 空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示 空气重度污染.某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市,并停 留 2 天. 5 3

图 10-8-2 (1)求此人到达当日空气重度污染的概率; (2)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望; (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证 明) 【解】 设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市”(i=1,2,?,13).根

1 据题意,P(Ai)=13,且 Ai∩Aj=?(i≠j). (1)设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则 B=A5∪A8.所以 P(B)= 2 P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)=13. (2)由题意可知,X 的所有可能取值为 0,1,2,且 P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11) 4 =P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=13, P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13) 4 =P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=13, 5 P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=13. 所以 X 的分布列为: X P 0 5 13 1 4 13 2 4 13

5 4 4 12 故 X 的数学期望 EX=0×13+1×13+2×13=13. (3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 10. 如图 10-8-3 所示, 是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单

位:吨)的频率分布直方图.

图 10-8-3 (1)求直方图中 x 的值; (2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取 3 位居民(看作有放回的抽样), 求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列、数学期望与方差. 【解】 (1)依题意及频率分布直方图知,

0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得 x=0.12. (2)由题意知,X~B(3,0.1).
0 因此 P(X=0)=C3 ×0.93=0.729, 1 P(X=1)=C3 ×0.1×0.92=0.243, 2 P(X=2)=C3 ×0.12×0.9=0.027, 3 P(X=3)=C3 ×0.13=0.001.

故随机变量 X 的分布列为 X P 0 0.729 1 0.243 2 0.027 3 0.001

X 的数学期望为 E(X)=3×0.1=0.3. X 的方差为 D(X)=3×0.1×(1-0.1)=0.27. B组 能力提升 1.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球 3 次,一旦 发球成功,则停止发球,否则一直发到 3 次为止,设学生一次发球成功的概率为 p(p≠0),发球次数为 X,若 X 的数学期望 E(X)>1.75,则 p 的取值范围是( 7? ? A.?0,12? ? ? 【解析】 ?7 ? B.?12,1? ? ? 1? ? C.?0,2? ? ? ?1 ? D.?2,1? ? ? )

X 的可能取值为 1,2,3,

∵P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2, ∴E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3, 1 5 由 E(X)>1.75,即 p2-3p+3>1.75,得 p<2或 p>2(舍), 1 ∴0<p<2. 【答案】 C

2.(2014· 连云港质检)马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布列如 下表: X P(ξ=x) 1 ? 2 ! 3 ?

请小牛同学计算 ξ 的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?” 处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案 Eξ=________. 【解析】 设 P(ξ=1)=x,

则 P(ξ=3)=x, 由分布列性质, ∴P(ξ=2)=1-2x, 因此 Eξ=1· x+2· (1-2x)+3· x=2. 【答案】 2

3.(2014· 石家庄模拟)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排 一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间 (分钟/人) 1至4件 x 1 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 y 2.5 17 件及以上 10 3

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望; (2)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互 独立, 求该顾客结算前的等候时间不超过 (注: 将频率视为概率) ...2.5 分钟的概率. 【解】 (1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45,所以 x=15,y=20.该超

市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体, 所收集的 100 位顾客一次购物的 结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本,将频率视为概率得 15 3 30 3 25 1 20 P(X=1)=100=20, P(X=1.5)=100=10, P(X=2)=100=4, P(X=2.5)=100 1 10 1 =5,P(X=3)=100=10. X 的分布列为

X P X 的数学期望为

1 3 20

1.5 3 10

2 1 4

2.5 1 5

3 1 10

3 3 1 1 1 E(X)=1×20+1.5×10+2×4+2.5×5+3×10=1.9. (2)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟”, Xi(i=1,2)为该 顾客前面第 i 位顾客的结算时间,则 P(A)=P(X1=1 且 X2=1)+P(X1=1 且 X2=1.5)+P(X1=1.5 且 X2=1). 由于各顾客的结算相互独立,且 X1,X2 的分布列都与 X 的分布列相同,所 以 P(A)=P(X1=1)×P(X2=1)+P(X1=1)×P(X2=1.5)+P(X1=1.5)×P(X2=1) 3 3 3 3 3 3 9 =20×20+20×10+10×20=80. 9 故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为80.


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