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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第10章 第59讲 直线与平面垂直课件 理


1.①若直线m⊥l,则m∥a;②若m⊥a,则m∥l;
③若m∥a,则m⊥l;④若m∥l,则m⊥a.如果直线 ②③④ l⊥平面a,则上述判断正确的是_______ . 2.已知三条直线l、m、n和平面a,m?a,n?a, 充分不必要 则 “ l⊥a” 是 “ l⊥m 且 l⊥n” 的 __________ 条

件.
3.已知PA⊥a,P

B⊥b,垂足分别是A,B,且 垂直 a∩b=l,则l与平面PAB的位置关系是 _______ .

4.如图,直线PA垂直于以AB为直径的圆所在

的平面,C为圆上异于点A和点B的任意一点.有
下列四个结论:①PC⊥BC;②BC⊥平面PAC; ③ ③AC⊥PB;④PA⊥BC.其中不正确的是____ .

依题意,∠ACB=90°,即BC⊥AC.

又PA⊥底面ABC,所以PA⊥BC.
而PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC, 所以BC⊥PC. 综上得①②④正确. 假设③正确,则因为AC⊥PB,AC⊥BC,

所以AC⊥平面PBC,所以AC⊥PC.
显然,这与由PA⊥底面ABC,得PA⊥AC矛盾. 故不正确的结论是③.

5.如图所示,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底

面ABCD,底面ABCD是矩形,则四个侧面中直角 4 三角形的个数为______.

【例1】 如图,在四棱锥P—ABCD中, PA⊥底面ABCD,AB⊥AD, AC⊥CD , ∠ ABC = 60° , PA = AB = BC , E 是 PC 的 中 点.证明: (1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面ABE;

用定义或判定定理 证明线面垂直

【证明】(1)在四棱锥P—ABCD中,因为PA⊥

底面ABCD,CD?平面ABCD,故PA⊥CD.
又因为AC⊥CD,PA∩AC=A,所以CD⊥平 面PAC.

而AE?平面PAC,所以CD⊥AE.
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,得△ABC 是等边三角形,故AC=PA.

因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.

由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,
所以AE⊥平面PCD. 而PD?平面PCD,所以AE⊥PD. 又因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AB. 由已知得AB⊥AD,且PA∩AD=A,所以AB⊥

平面PAD.
又PD?平面PAD,所以AB⊥PD. 因为AB∩AE=A,所以PD⊥平面ABE.

本题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直等

基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.立
体几何的证明关键是学会分析和掌握一些常规的证

明方法.如:已知中点证明垂直时要首先考虑等腰
三角形中的“三线合一”;已知线段或角度等数量 关系较多时最好标示出来,充分进行计算,从而发

现蕴含的垂直等关系;已知线面垂直时会有哪些结
论,是选择线线垂直还是选择面面垂直;要证明结

论或要得到哪个结论,就必须满足什么条件等.

【变式练习1】 如图,E,F分别为直角三角形ABC的直角 边AC和斜边AB的中点,沿EF将△AEF折 起到△A1EF的位置,连结A1B,A1C.求证:

(1)EF⊥平面A1EC;
(2)AA1⊥平面A1BC.

【证明】1?因为E,F 分别为AC和AB的中点, ? 所以EF / / BC, 因为AC ? BC,所以EF ? EC,EF ? A1 E, 又A1 E I CE=E,A1 E ? 平面A1 EC,CE ? 平面A1 EC, 所以EF ? 平面A1 EC.

? 2 ? 取A1C的中点M ,连结EM ,又因为E为AC的中点,
所以EM P AA1,A1 E=CE, 所以EM ? A1C,所以AA1 ? A1C, 又因为EF ? 平面A1 EC,A1 A ? 平面A1 EC,所以AA1 ? EF, 又EF P BC,所以AA1 ? BC, 又A1C ? BC=C,所以AA1 ? 平面A1 BC.

用线面垂直的性质 定理证明线线垂直
【例2】 已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,?ACB=90?, CB=1,CA= 3,,C1C= 6,M 是CC1的中点, 求证:A1B ? AM .

【证明】如图,∠ACB=90°, 所以BC⊥AC. 又在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,CC1⊥平面ABC,所以BC⊥CC1. 而AC∩CC1=C, 所以BC⊥平面AA1C1C, 所以BC⊥AM. 连结A1C. 可以证明Rt△ACM∽Rt△AA1C,所以AM⊥A1C. 而 A1C∩BC = C , 所 以 AM⊥ 平 面 A1BC , 所 以 A1B⊥AM.

证明线线垂直常构造一个 平面经过一条直线与另一条直 线垂直,从而达到由线面垂直 证明线线垂直的目的.

【变式练习2】 如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱AA1= 6, 底面ABCD是菱形,AB=2,?ABC=60?,P为侧棱 BB1上的动点.

?1? 求证:D1P ? AC; ? 2 ? 设AC ? BD=O,
B1P 求当 等于多少时, PB PO ? 平面D1 AC ?

【解析】1? 证明: ? 因为ABCD为菱形, 所以AC ? BD. 连结B1 D1. 因为D1 D ? 底面ABCD, 所以AC ? D1 D. 又BD I D1 D=D,所以AC ? 平面BB1 D1 D. 因为D1 P ? 平面BB1 D1 D,所以D1 P ? AC .

B1 P ? 2 ?当 =1时,PO ? 平面D1 AC. PB 证明:连结D1O,因为底面ABCD是菱形, 所以O是AC,BD的中点, 因为PA=PC,OA=OC,所以PO ? AC, 又因为?ABC=60?,AB=2, 所以V ABC是等边三角形,BO=DO= 3, D1 D 6 OB 3 在矩形D1 DBB1中,有 ? ? 2, = = 2, DO BP 3 6 2 所以VD1 DO∽VOBP,所以?D1OD+?POB=90?, 所以PO ? D1O,又D1O I AC=O,所以PO ? 平面D1 AC.

通过计算证明线 线垂直
【例3】

如 图 , 在 正 方 体 ABCD -
A1B1C1D1 中,E是BB1 的中点, O 是 底 面 正 方 形 ABCD 的 中

心.求证:OE⊥平面ACD1.

【证明】如图,连结AE,CE,D1O,D1B1,D1E. 设正方体DB1的棱长为a.易证AE=CE. 又因为AO=OC,所以OE ? AC . 在正方体DB1中易求出: 6 D1O= DD ? DO = a, 2 3 2 2 OE= BE1 ? OB = a, 2 3 2 2 D1E= D1B1 ? B1E = a,所以D1O 2+OE 2=D1E 2, 2 所以D1O ? OE.
2 1 2

因为D1O ? AC=O,D1O,AC ? 平面ACD1, 所以OE ? 平面ACD1.

要证线面垂直可找线线垂 直,这是几何中证明线面垂直 时常用的方法,在证明线线垂 直时,要注意从数量关系方面

找垂直,如利用勾股定理等.

【变式练习3】 直棱柱ABCD-A1B1C1D1 中,底面ABCD 是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°, AB = 2AD = 2CD = 2. 求 证 : AC⊥ 平 面 BB1C1C.

【证明】直棱柱ABCD-A1B1C1D1中, BB1 ? 平面ABCD,所以BB1 ? AC . 又因为?BAD=?ADC=90?,AB =2AD=2CD=2, 所以AC= 2,?CAB=45?, 所以BC= 2,所以BC ? AC . 而BB1 ? BC=B,BB1,BC ? 平面BB1C1C . 所以AC ? 平面BB1C1C .

1.有下列四个命题: ①若一条直线垂直于一个平面内无数条直线,则 这条直线与这个平面互相垂直; ②若两条直线互相垂直,其中一条垂直于一个平 面,则另一条直线与该平面平行; ③若两条直线同时垂直于同一个平面,则这两条 直线互相平行;

④若一条直线和一个平面不垂直,则这个平面内 不存在与该条直线垂直的直线. ①②④ 其中错误的命题是_______________.

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,棱长

为2,M是AD1 上任意一点,M到平面 2 BCB 的距离是_______.
1

3.如图,在正方形SG1G2G3中, E,F分别是G1G2,G2G3的中 点,D是EF的中点,现沿SE, SF及EF把这个正方形折成 一个几何体,使G1,G2,G3三点重合于点G,这 样,下列五个结论:①SG⊥平面EFG;②SD⊥ 平面EFG;③GF⊥平面SEF;④EF⊥平面GSD; ①④ ⑤GD⊥平面SEF.其中正确的是_______.

4.在几何体ABCDE中,?BAC= ,DC ? 平面 2 ABC,EB ? 平面ABC,F 是BC的中点,AB=AC. 求证: ? DC P 平面ABE; ?1

?

? 2 ? AF ? 平面BCDE.

【证明】1?因为DC ? 平面ABC,EB ? 平面ABC, ? 所以DC / / EB. 又因为DC ? 平面ABE,EB ? 平面ABE, 所以DC / / 平面ABE.

? 2 ?因为DC ? 平面ABC,所以DC ? AF .
又因为?BAC= ,且AB=AC,所以AF ? BC. 2 而BC ? DC=C,所以AF ? 平面BCDE.

?

5.如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、 N分别是AB、PC的中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°, 求证:MN⊥平面PCD.

【证明】(1)连结AC,取其 中点O,连结NO、MO,并 延长MO交CD于R. 因为N为PC的中点,

所以NO为△PAC的中位线,所以NO∥PA.
而PA⊥平面ABCD,所以NO⊥平面ABCD,所 以NO⊥CD. 又四边形ABCD是矩形,M为AB的中点,O为 AC的中点,所以MO⊥CD.

而MO∩NO=O, 所以CD⊥平面MNO,所 以
CD⊥MN.

(2)连结NR, 则∠NRM=∠PDA=45°. 又O为MR的中点, 且NO⊥MR,

所以△MNR为等腰三角形且∠NRM=
∠NMR=45°, 所以∠MNR=90°,所以MN⊥NR. 又 MN⊥CD , 且 NR∩CD = R , 所 以 MN⊥平面PCD.

1.在线面垂直的定义中,一定要 弄清楚“任意”与“无数”这两个术 语内涵的差异,后者存在于前者 中.“任意”的理解最终转化为“两

条相交直线”,证明时此条件不可缺
少.

2.判定线面垂直的方法,主要有五种: ①利用定义; ②利用判定定理; ③结合线线平行:若a / / b,a ? ?,则b ? ?; ④面面垂直的性质: 若? ? ?,? ? ?=b,a ? ?,a ? b,则a ? ?; ⑤面面平行的性质: 若? / / ?,a ? ?,则a ? ? .

3.面面垂直的性质的理解中三个条 件也不可缺少,即:

①两个平面垂直;
②其中一个平面内的直线; ③垂直于交线.所以无论何时见到已知两 个平面垂直,都要首先找其交线,看是否 存在直线垂直于交线来决定是否该作辅助

线,这样就能目标明确,事半功倍.


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