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二项式定理PPT (1)


? 【学习目标】1. 能从特殊到一般理解二项式定理 ;会求二项展开式 ? 2. 熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项 ? 3. 能正确区分“项”、“项的系数”、“项的二 项式系数”等概念 ? 【学习重点】参与并深刻体会二项式定理形成过 程,掌握二项式,系数,字母的幂次,展开式项 数的规律;应用二项式定理对二项式进行展开。 ? 【学习难点】掌握运用多项式乘法以及组合知识 推导二

项式定理的过程 ? 【学法指导】利用从特殊到一般的思想方法,观 察、归纳、大胆猜想、证明从而得出二项式定理

回顾、提出问题:

(a ? b) ? a ? 2ab ? b
2 2

2

展开后其项的形式为:a2 , ab , b2 这三项的系数与各项在展开式中出现的次数有关。
当b的次数为0时,则相对应的项a2前的系数为C20

考虑b的 次数和每 一项系数 的关系

当b的次数为1时,则相对应的项ab前的系数为C21
当b的次数为2时,则相对应的项b2前的系数为C22

(a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = a2 +2ab+ b2
如果考虑a的 次数的话,又和每一项系数的 关系会有什么结论呢?

尝试二项式定理的发现 :
3

(a ? b) ?(a ? b)(a? b)(a? b)
? C a ? C a b ? C ab ? C b
0 3 3 1 2 3 2 3 2 3 3 3

考虑b的 次数

a

3

ab

2

ab

2

b

3

C

0 3

C

1 3

C

2 3

C

3 3

尝试二项式定理的发现 :
4

考虑b的 次数
3 4 3 4 4 4

(a ? b) ?(a ? b)(a? b)(a? b) (a ? b)
? C a ? C a b ? C a b ? C ab ? C b
0 4 4 1 3 4 2 2 2 4

a

4

ab
C
1 4

3

ab
C
1 n

2 2

ab

3

b
C

4

2 4

4 4 n n

: (a ? b) ?
n

C、

C 、C
n -1 n

探求得:
(a ? b) ? C a ? C b
1 2

(a ? b) ? C a ? C ab ? C b 3 2 3 3 (a ? b) ? C a ? C a b ? C ab ? C3b
2 2 2 2 3

0 1 1 0 2 2 0 3 3

1 1 1 1 2 1 2 3

(a ? b) ? C a ? C a b ? C a b ? C ab ? C b
4 0 4 4 1 3 4 2 2 2 4 3 4 3
n

4 4 4

n 1 n -1 r n -r r n n (a ? b) ? C0 b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b n a ? Cn a

二项式定理:
0 n 1 n?1 k n ?k k n n (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ? ? ? ? ? Cn a b ? ? ? ? ? Cn b (n ? N * )

右边的多项式叫做 (a ? b) 的展开式,其中的系 数 C k ?k ? 0,1,2,?, n? 叫做二项式系数。
n

n

式中的 C n a

k

n? k

b 叫做二项式通项,用

k

即通项为展开式的第 k

? 1 项。
k n n? k

表示, Tk ?1

通项公式 Tk ?1 ? C a

b

k

定理:
(a ? b) ? C a ? C a b ? ? ? ? ? C a
n 0 n n k n 1 n?1 n n ?k

b ? ? ? ? ? C b (n ? N )
k n n n *

剖 析

1.二项式系数规律:

C 、C 、C 、 ? ? ? 、C
0 n 1 n 2 n

n n

2.指数规律: (1)各项的次数均为n; (2)二项展开式中a的次数由n降到0, b的次数由0升到n. 3.项数规律: 二项展开式共有n+1个项

练习:设a=1, b=x,则:

思考:展开式中第K项的二项 式系数和系数是一回事吗?
例如:

(2 ? x) ? C 2 ? C 2 x ? C 2 x ? C 2 x ? C x
4 0 4 4 1 3 4 2 2 2 4 3 1 3 4

4 4 4

* 某一项除X外的代数式为项的系数如:第二项的系数
为: C
1 4

2 ? 32
3

1 ,二项式系数为: C4

?4

项的系数和二项式系数可以相等吗?

1 4 例1、求(2 ? ) 的展开式. x
1 4 0 4 1 3 1 2 2 1 2 3 1 1 3 (2 ? ) ? C4 2 ? C4 2 ( ) ? C4 2 ( ) ? C4 2 ( ) x x x x 4 1 4 ? C4 ( ) x 32 24 8 1 ? 16 ? ? 2? 3? 4 x x x x
1 解:不妨设 a ? 2, b ? ,再展开. x

例2 (1)求(1 ? 2 x) 的展开式的第4项的二
7

项式系数与系数 7 解: (1 ? 2 x) 的展开式的第4项是
T3?1 ? C ?1
3 7
3 7 3

7?3

? (2x)
3

3

? C ?2 ? x

? 35 ? 8x
? 280 x3

3

所以展开式的第4项的系数是280

二项式系数

C ? 35
3 7

1 9 例2(2)求 ( x ? x ) 的展开式中

x

3

的系数

1 9 解: ( x ? ) 的展开式的通项是 x
k 9 9? k

1 k k k 9?2 k Tk ?1 ? C x (? ) ? (?1) C9 x x 根据题意,得 9 ? 2k ? 3 则 k ? 3

因此,x 的系数是 (?1) C ? ?84
3 3 9

3

课堂检测:
1. ( x ?1) 的展开式的第6项的系数(
10

D


5 10

A.

C

6 10

B. ? C

6 10

C.

C

5 10

D.

?C

2. 3.求
( )

的展开式中

的系数为( -160 )

24 的展开式中的常数项

这节课我们学到了哪些知识点?
二项展开式、二项式定理及相关概念

使用了什么数学思想方法?
从特殊到一般,归纳猜想的数学思想
类比

1)区别二项式系数,项的系数 2)掌握用通项公式求二项式系数,项的系数及项
0 n 1 n?1 2 n? 2 2 (a ? b) ? C n a ? C na b ? C n a b ? ?

n

①项数:共n+1项

(a ? b) 的展开式通项T k ?1 ? C a
n

?C a

k n?k n

b ?
k

?C b

n n n

k n?k n

bk的特点:

②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列; b的指数从0逐项递增到n,是升幂排列。
0 1 2 n ③二项式系数规律:Cn 、Cn、Cn、 ? ? ? 、Cn

课本练习题1、2、 3 、4 习题1.3A组2、3、 5

回顾、提出问题:

(a ? b) ? a ? b
1

(a ? b) ? a ? 2ab ? b
2 2

2

(a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b 4 3 4 3 2 2 4 (a ? b) ? a + a b + a b + ab + b
3 3 2 2 3

……

(a ? b) ? ? (n ? N )
n *

(a ? b) ? C a ? C a b ? ??? ? C a b ? ??? ? C b
n 0 n n 1 n?1 n r n ?r r n

n n n

(2 ? x) ? C 2 ? C 2 x ? C 2 x ? C 2 x ? C x
4 0 4 4 1 3 4 2 2 2 4 3 1 3 4

4 4 4

则称某一项除X外的代数式为项的系数如:第二项的系数 为: 1 3 ,二项式系数为: C 1 ? 4

C4 2 ? 32

4

探究:
你会化简下面的代数式吗?
1 Cn0 ( x ?1)n ? Cn ( x ?1)n?1 ? Cn2 ( x ?1)n?2 ? ...? (?1)r Cnr ( x ?1)n?r ? ...? (?1)n Cnn

解: 通过观察可以看出上面的代数式很象 二项展开式,通过逆向思维可以看出: n n 它是 ?( x ?1) ?1? ? x 的二项展开式 即原式=

x

n


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