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24.2.2直线和圆的位置关系第1课时上课用


活动一、复习提问:

1、点与圆有几种位置关系?
C.

.B

.A

2、怎样判定点和圆的位置关系?
大于 (1)点到圆心的距离____半径时,点在圆外。 等于 (2)点到圆心的距离____半径时,点在圆上。 小于 (3)点到圆心的距离____半径时,点在圆内。

(1)如图,在太阳升起的过程中,太阳和地平线会有 几种位置关系?我们把太阳看作一个圆,地平线看作 一条直线,由此你能得出直线和圆的位置关系吗?

(2)如图,在纸上画一条直线 l,把钥匙环看作一个圆,在纸上移 动钥匙环,你能发现在钥匙环移动的过程中,它与直线l的公共点的 个数吗?

(3)你能用实物演示这个过程吗?

(1)直线和圆的公共点个数的变化情况如何? 公共点个数最少时有几个?最多时有几个? (2)通过刚才的研究,你认为直线和圆的位 置关系可分为几种类型呢?

我们一起来归纳:
1.直线与圆的位置关系(图形特征---用公共点的个数来区分) 特点:直线和圆有两个公共点,叫做 直线和圆相交,这时的直线叫做圆的割线.

.
A

.O

.
B

特点:直线和圆有唯一的公共点, 叫做直线和圆相切.这时的直线叫切线, 唯一的公共点叫切点.

.O

.
切点 A

.O 特点:直线和圆没有公共点,叫 做直线和圆相离.

小小体会
我们可以根据直线与圆的公共点的个数来判断 直线与圆的位置关系.

.

议一议:仿照点和圆的位置关系的判 定方法,你还有其他的方法来判断直线与 圆的位置关系吗?能否根据圆心到直线的 . 距离和圆半径的数量关系来判断?
..

.Or
d
B A

H

相离

l

观察讨论:当直线与圆相离、 相切、相交时,圆心到直线的距 离d与半径r有何关系? 1、直线与圆相离

.O
d

d>r d=r d<r

r .D

.
C

l
相切

2、直线与圆相切

d

Or
.
E

.F 相交

l

3、直线与圆相交

小结:
判定直线 与圆的位置关系的方法有____种: 两
直线与圆的公共点 (1)根据定义,由________________

的个数来判断; 圆心距d与半径r (2)根据性质,由_________________ 的关系来判断。

在实际应用中,常采用第二种方法判定。

1.根据直线和圆相切的定义,经过点A用直尺近似地画出 ⊙O的切线.

A

· O

2.圆的直径是13cm,如果直线与圆心的距离分别是 (1)4.5cm ; (2) 6.5cm ; (3) 8cm,

那么直线与圆分别是什么位置关系? 有几个公共点?
6.5cm 6.5cm


d=4.5cm


d=6.5cm



6.5cm

A

M

B

N d=4.5cm< r = 6.5cm

d=8cm

解 (1) 圆心距

D 直线与圆相交,
直线与圆相切,

有两个公共点; (2)圆心距 d=6.5cm = r = 6.5cm 有一个公共点; (3)圆心距 d=8cm>r = 6.5cm 没有公共点.

直线与圆相离,

总结:
直线与圆的 位置关系

相离
.O r d ┐ l

相切
.o d r ┐ . l
A

相交
.O d r ┐ . lC





. B

公共点个数

公共点名称
直线名称 圆心到直线距离 d与半径r的关系

下面我们共同完成作图后,再回答问题:
(1)任意画一个半径为r的⊙O。 (2)任意画⊙O的一条半径 OD。 (3)过D作直线l⊥OD。 直线l满足 第一:经过半径的外端 第二:垂直于这条半径 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线。
o r

D

P

l

判断 1.经过半径外端的直线是圆的切线( × 2.与半径垂直的直线是圆的切线( × 注意:若直线满足①, 若直线满足②, ) )

都不是切线!

而不满足②;

而不满足①。

O

O

l

例1

直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB是⊙O的切线.

证明: 连接OC ∵ 在△OAB中, OA=OB,
∴OC⊥AB

CA=CB

∵ OC为⊙O的半径
∴AB是⊙O的切线

如果知道直线是圆的切线,有什么性 质定理呢?

2.AB是⊙O的弦,C是 ⊙O外一点,BC是⊙O的 切线,AB交过C点的直 径于点D,OA⊥CD,试判 断△BCD的形状,并 说明你的理由.

3.AB是⊙O的直径,AE平 分∠BAC交⊙O于点E,过 点E 作⊙O的切线交AC的 延长线于点D,试判断 △AED的 形状,并说明理由.

随堂练习
1.已知圆的半径等于5厘米,圆心到直线l的距离是:(1)4 厘米;(2)5厘米;(3)6厘米.直线l与圆分别有几个公共点? 分别说出直线l和圆的位置关系. 2.已知圆的半径等于10厘米,直线l和圆只有一个公共点, 求圆心到直线l的距离. 3.如果⊙O的直径为10厘米,圆心O到直线AB的距离为10 厘米,那么⊙O和直线AB有怎样的位置关系?

?

4.已知:如图所示,∠AOB=30°,P为OB上一点, 且OP=5 cm,以P为圆心,以R为半径的圆和直线OA有 A 怎样的位置关系?为什么? ? ①R=2 cm; ? ②R=2.5 cm; ? ③R=4 cm.
O P B

是是非非
1、直线与圆最多有两个公共 点 。…………………( √ )

.O

是是非非
2、若C为⊙O上的一点,则过点C的直线与 ⊙O相切。… … … …( × )

.O

.C

是是非非
3 、若A、B是⊙O外两点, 则直线AB 与⊙O相离。… … … … …( × )

.A2
.A1 .A .O

.B2
.B1 .B

是是非非
4、若C为⊙O内一点,则过点C的
直线与⊙O相交。( √ )

C .

O .

应用迁移
在△ABC中,AB=10cm,BC=6cm,AC=8cm, (1)若以C为圆心,4 cm长为半径画⊙C,则⊙C与AB的 位置关系怎样? (2)若要使AB与⊙C 相切,则⊙C的半径应当是多少? (3)若要以AC为直径画⊙O,则⊙O与AB、BC的位置 关系分别怎样?

? 解:过C作CD⊥AB,垂足为D . ? 因为BC2+AC2=62+82=100,AB2=102=100, ? 所以BC2+AC2= AB2,故△ABC是直角三角形,根据三角 形面积相等得: ? (1)若以C为圆心,4cm长为半径画⊙C ,因为4cm< 4.8cm,所以⊙C与AB的位置关系为相离. ? (2)若要使AB与⊙C相切,则⊙C的半径应为4.8cm . ? (3)若以AC为直径画⊙O,由于BC⊥AC,故⊙O与BC 相切;⊙O与AB相交.



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