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2数列的概念


§2.1 数列的概念与简单表示法(第一课时)
主备人: 陈红玲 使用人:

【课前预习学案】
一.预习目标:理解数列及其有关概念;了解数列和函数之间的关系;了解数列 的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列,会根 据其前几项的特征写出它的一个通项公式. 二.预习重,难点:数列及其有关概念,通项公式及其应用.根据一些数

列的前几 项,抽象、归纳出数列的通项公式. 三.问题思考: 1、在数列 1, 2,3,5,8,13,x,34,55,…中,x 的值是( ) A、19 B、 20 C、 21 D 、22 2、观察下面数列的特点,用适当的数填空 (1)______ , 1 1 1 , , ,_______ ; 4 9 16

(2)

3 5 17 33 , ,_______ , , ,_______ 。 2 4 16 32
? kn ? 5, 且 a 8 ? 11

a 3 .已知数列 ? n ? , a n

,则 a1 7

?

_________ .

4 根据下列数列的前几项的值,写出它的一个通项公式。 (1)数列 0.7,0.77,0.777,0.7777,…的一个通项公式为 (2)数列 4,0,4,0,4,0,…的一个通项公式为
15

. .

(3)数列

,

24 5

,

35 10

,

48 17

,

63 26

,? ,

2

的一个通项公式为
2an 1 ? an

a 5.已知数列 ? n ? 满足 a1

? ?2



a n ?1 ? 2 ?

,则 a 4

?

.

【课内探究学案】
一. 问题探究 1 导入:①三角形数:1,3,6,10,…
② 正方形数:1,4,9,16,25,…

⒈ 数列的定义:_______________________________________ 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同 而排列次序不同,那么它们就是不同的数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重 复出现.
-1-

⒉ 数列的项:_________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ⒊数列的一般形式:____________________________________________________ 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关 系?这一关系可否用一个公式表示?(引导学生进一步理解数列与项的定义,从 而发现数列的通项公式)对于上面的数列②,第一项与这一项的序号有这样的对 应关系: 项
1
1 2 1 3 1 4 1 5

↓ 序号 1

↓ 2

↓ 3

↓ 4

↓ 5
? 1 n

这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式: a n

来表示其对应关系

即:只要依次用 1,2,3…代替公式中的 n,就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子,练习找其对应关系 ⒋ 数列的通项公式:__________________________________________________ _____________________________________________________________________ 注意:⑴并不是所有数列都能写出其通项公式,如上述数列④; ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,… 它的通项公式可以是 a n
? 1 ? ( ? 1) 2
n ?1

,也可以是 a n

? | cos

n ?1 2

? |.

⑶数列通项公式的作用:①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列 中的一项. 数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第 项,又是这个数列中所 有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给了数列的 通项公式,这个数列便确定了,代入项数就可求出数列的每一项. 5.数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函 数 an
? f (n)

,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

反过来,对于函数 y=f(x),如果 f(i)(i=1、2、3、4…)有意义,那么我们可以 得到一个数列 f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…,f(n),… 6.数列的分类: 1)根据数列项数的多少分: 有穷数列:___________________________________________________ 无穷数列:___________________________________________________ 2)根据数列项的大小分: 递增数列:___________________________________________________ 递减数列:___________________________________________________
-2-

常数数列:___________________________________________________ 摆动数列:___________________________________________________ 二、例题分析: 例 1. 下列数列哪些是有穷数列?哪些是无穷数列?哪些是递增, 递减数列?哪些 是常数列? (1)1,
1 2

, ,…,
3

1

1 n

,…;

(2)1,2, 2 2 ,…, 2 63 ; (3)0,10,20,…,1000; (4)6,6,6,….

例 2. 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:
2 4 15 6 8

10

(1) ,
3 1 2


9 2

35



63

, 99 ,…

25

(2) ,2, ,8, 2 ,… (3)5,55,555,5 555,55 555,… (4)5,0,-5,0,5,0,-5,0,… (5)1,3,7,15,31,…

例 3.已知数列的通项公式为 a n

? n ? 8 n ? 15
2



(1)求这个数列的第 10 项; (2)3 是不是这个数列中的项,为什么?

-3-

例 4.已知数列 ?a n ? 的通项公式为 a n =( n ? 2 ) ( 大值?试求出 a n 的最大值。

9 10

) n ,试问 n 取何值时, a n 取最

五.【课堂练习】
1.下列说法正确的是 ( )

A.数列 1,3,5,7 可表示为 ?1,3,5 , 7 ? B.数列 1,0, ? 1, ? 2 与数列 ? 2 , ? 1, 0 ,1 是相同的数列
? n ? 1? ? ? C.数列 ? n ?
1? 1 k
*

的第 k 项是

D. 数列可以看做是一个定义域为正整数集 N 的函数 2.已知 a n ?1
? an ? 3 ? 0

,则数列 ?a n ? 是 C.



) D. 摆动数列

A. 递增数列

B.

递减数列

常数列

3..数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…的第 100 项是 _______ .
8 15 7

24

4. 数列-1, ,5



9

,…的一个通项公式是________ .
? 3n
2

5.数列 ?a n ? 的通项公式为 a n A. 第 4 项 B. 第5项

? 28 n

,则数列 ?a n ? 各项中最小项是 D. 第7项





C.

第6项

六.课堂小结:
数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列. 数列的通项公式:如果数列 ?a n ? 的第 n 项 a n 与 n 之间的关系可以用一个公式 来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
-4-

数列的分类

七.作业:

§2.1.数列的概念与简单表示法(第二课时)
【课前预习学案】
一.预习目标:
1.了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同; 2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项; 3.理解数列的前 n 项和与 a n 的关系; 4.会由数列的前 n 项和公式求出其通项公式。

二,复习:
1. 数列:______________________________________________________ 2. 数列的项:____________________________________________________ 3.数列的表示:___________________________________________________ 4. 数列的通项公式:_______________________________________________ 5.数列的表示形式:______________________________________________________ 6.有穷数列:_________________________ 7.无穷数列:_________________________

三.问题思考:
1..数列 1,3, 6 ,10 , x , 21 , 28 , ? 中,由给出的数之间的关系可知 x 的值是( A.12 B. 15 C. 17
? 2 n ? 3n
2



D.

18
?

2.数列 { a n } 的前 n 项和 S n

,则 a n , a1

______ 。 ,则 a 6 的值是 ( D. 1 9
? a3

3. 4. 在数列 { a n } 中, a n ? 1 A. ? 3

? an? 2 ? an

? 2, a 2 ? 5

)

B. ? 11

C. ? 5

4. 5.数列 ?a n ? 中, a 1 =1, 对于所有的 n≥2,n∈N*都有 a 1 ? a 2
a3

… a n = n 2 ,则

+ a 5 =________.

【课内探究学案】
-5-

一.引入:观察钢管堆放示意图,寻其规律,建立数学模型. 模型:自上而下: 第 1 层钢管数为 4;即:1 ? 4=1+3 第 2 层钢管数为 5;即:2 ? 5=2+3 第 3 层钢管数为 6;即:3 ? 6=3+3 第 4 层钢管数为 7;即:4 ? 7=4+3 第 5 层钢管数为 8;即:5 ? 8=5+3 第 6 层钢管数为 9;即:6 ? 9=6+3 第 7 层钢管数为 10;即:7 ? 10=7+3 若用 a n 表示钢管数,n 表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且 a n =
an

与 a n ?1 什么关系呢?

二.递推公式:____________________________________ 三.例题分析:
例 1.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式 (1)
a 1 =0, a n ?1 = a n +(2n-1)
2an

(n∈N);

(2) (3)

a 1 =1, a n ?1 = a n ? 2

(n∈N); (n∈N).

a 1 =3, a n ?1 =3 a n -2

例 2 .已知下列各数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 的公式,求 ?a n ? 的通项公式 (1)
Sn

=2n -3n;

2

(2)

Sn

= 3 -2.

n

-6-

例 3.在数列 ?a n ? 中, a 1 =1, a 2 =
a4 .

2 3



1 an ? 2

+

1 an

=

2 a n ?1

(n ?

N

,且 n

?3

) ,求 a 3 ,

例 4.设 ?a n ? 是首项为 1 的正项数列,且 ? n ? 1?a n2?1 通项公式。

? na n ? a n ? 1 a n ? 0 , n ? N
2

?

,求它的

例 5. 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n (1)若 a10
?
? b10

? n ? pn
2

,数列 { b n } 的前 n 项和 Tn

? 3n ? 2 n
2



,求 p 的值;

(2)取数列 { b n } 中的第 1 项, 第 3 项, 第 5 项,

构成一个新数列 { c n } , 求数列 { c n } 的通项公式.

-7-

五.【课堂练习】
1. 设数列
2 , 5 , 2 2 , 11, ? , 则 2 5

是这个数列的

A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项 2、若一数列的前四项依次是 2,0,2,0,则下列式子中,不能作为它的通项公式 的是( ) 。 (A)an= 1-(-1)n (B)an=1+(-1)n+1
n?

(C)an=2sin2

2

(D)an=(1-cosnπ )+(n-1)(n-2)

3.

3 1 5 3 7 , , , , ,? 数列 5 2 1 1 7 1 7

的一个通项公式是 ___________
? ? ? an ? 2 n ? 3n ? 1
2

。 ________ 。

4. 数列 { a n } 满足 a1 ? a 2

,则 a 4

? a 5 ? ? ? a10 ?

5. 根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律, 猜测第 n 个图中有___________ 个点. 。
。 。。。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。。。 。 。。。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。

(1)

(2)

(3)
1 ( n ? 1)
2

(4)

(5)

6.若数列 ?a n ? 的通项公式 a n =

,记 f( n )=2(1- a 1 )(1- a 2 )…(1- a n ),试通

过计算 f(1),f(2),f(3)的值,推测出 f( n )=________. (用含 n 的代数式表示).

六.课堂小结: 七.作业: 八.教学反思:

-8-


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