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1.7基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)


1.7基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则 (2)

一、复习引入: 1.常见函数的导数公式:
(1)C ' ? 0 (C为常数);
(2)( xa )' ? axa?1 (a ? Q)
(3)(sin x) ' ? cos x (4)(cos x) ' ? ? sin x

(5)(e ) ' ? e
x

x

(6)(a x )' ? a x ln a
1 (8)(log a x) ' ? log a e x

1 (7)(ln x) ' ? x

2.导数的运算法则: 法则1. [u( x) ? v( x)] ? u ( x) ? v ( x)
' ' '

法则2. [u( x)v( x)]? ? u '( x)v( x) ? u( x)v '( x)

[Cu( x)]? ? Cu '( x)
? u ? u ' v ? uv ' 法则3. (v ? 0) ? ? ? 2 v ?v?
'

二、讲解新课:

1.复合函数:由几个函数复合而成的函数,叫
复合函数.由函数y=f(u)与u=φ(x)复合而成的函数 一般形式是y=f(φ(x)),其中u称为中间变量. 2.求函数y=(3x-2)2的导数

3.复合函数的导数:设函数u=φ(x)在点x处有导数 u‘x=φ’ (x),函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数 y‘u=f’ (u),则复合函数y=f(φ(x))在点x处也有导数, 且y‘x=y’u u‘x 或 f'x(φ(x))=f' (u) φ' (x). 4.复合函数的求导法则

复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中
间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.

三、讲解范例:

例1试说明下列函数是怎样复合而成的?

(1) y ? (2 ? x )
(3) y ? cos(

2 3

(2) y ? sin x

2

?
4

? x)

(4) y ? ln sin(3 x ?1)

说明:讨论复合函数的构成时,“内层”、“外 层”函数一般应是基本初等函数,如一次函数、

二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等.

例2写出由下列函数复合而成的函数:

(1) y ? cos u, u ? 1 ? x

2

(2) y ? ln u, u ? ln x

例3求下列函数的导数:

(1) y ? (2x ? 1)
2

5

(2) y ? sin x2

(3) y ? sin (2 x ? ) 3

?

1 (4) y ? sin x
2

(5) y ? ax ? bx ? c
3 2

1? x (6) y ? 5 x
2

(7) y ? (2 x ? 3) 1 ? x
2

注意:在利用复合函数的求导法则求导数后,要
把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可

以由几个基本初等函数组成,所以在求复合函数
的导数时,先要弄清复合函数是由哪些基本初等

函数复合而成的,特别要注意将哪一部分看作一
个整体,然后按照复合次序从外向内逐层求导.

例4 当n∈N*求证:

C ? 2C ? 3C ? ?? nC ? n ? 2
1 n 2 n 3 n n n

n?1

方法一:利用导数证明.

方法二:利用

rC ? n ? C
r n
2

r ?1 n?1

3 例5 已知曲线 y ? 400 ? x ? (100 ? x), (0 ? x ? 100) 5

在点M处有水平切线,求点M的坐标.

四、课堂练习: 1.求下列函数的导数(先设中间变量,再求导). (1)y=(5x-3)4 (2)y=(2+3x)5

(3)y=(2-x2)3

(4)y=(2x3+x)2

2.求下列函数的导数(先设中间变量, 再求导)(n∈N*) (1)y=sinnx (3)y=tannx (2)y=cosnx (4)y=cotnx

五、小结 :

⑴复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,

引入中间变量,将复合函数分解成为较简单的函
数,然后再用复合函数的求导法则求导; ⑵复合函数求导的基本步骤是: 分解——求导——相乘——回代.

六、课后作业:



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