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【数学】2.1.1 椭圆及其标准方程 课件2(人教A版选修1-1)


第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单几何性质

教学目标
知识与能力:
理解椭圆的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点 的概念;

掌握椭圆的简单几何性质、会用椭圆的简单几何性质解决实 际问题.

过程与方法:
注重数形结合、分类讨论思想的应用 ;

>注重探索、合作能力的培养.

情感态度与价值观:
在合作、互动的教学氛围中,培养学生科学探索精神,激励学生 学习数学的兴趣.

教学重难点
重点:
掌握椭圆的简单几何性质. 利用椭圆的简单几何性质解决问题

难点:
对椭圆的简单几何性质的理解。

导入新课
问题:观察生活中的椭圆(略),大家有何感受? 让大家体验椭圆的形成过程(生生互动)

“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空

y
观察椭圆 的形状, 问题: (1)你能看出它的范围吗? (2)它具有怎样的对称性?

x2 y2 + 2 = 1(a>b>0) 2 a b
O x

(3) 椭圆上哪些点比较特殊呢?

y
B2 A1

b F1

a F2

o c
B1

A2

x2 1、范围:由 2 ? 1, a

y2 ? 1得: 2 b

-a≤x≤a,

-b≤y≤b 知

结论: 椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中

椭圆的对称性

Y P1(-x,y)

P(x,y)

O P2(-x,-y)

X

y 2、对称性:
A1 B2

b F1

a F2

o c
B1

A2

从图形上看,椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
从方程上看: (1)把x换成-x方程不变,图象关于y轴对称;

(2)把y换成-y方程不变,图象关于x轴对称;
(3)把x换成-x,同时把y换成-y方程不变,图象关于原点成中心 对称。

3、椭圆的顶点 2 2 x y ? ? 1( a ? b ? 0) 2 2 a b
令 x=0,得 y=?,说明椭圆与 y轴的交点? 令 y=0,得 x=?说明椭圆与 x轴的交点?
B2 (0,b)

y

*顶点:椭圆与它的对称轴 的四个交点,叫做椭圆的 顶点。
*长轴、短轴:线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。

(-a,0) F1

A1

b

a F2

o c
B1 (0,-b)

A2 (a,0)

根据前面所学有关知识画出下列图形
x y ? ?1 (1 ) 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2

x2 y2 ? ?1 (2) 25 4
y
4 3 B 2 2 1

A1

A2 x

A1

A2 x

-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

123 4 5

B1

-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4

我们发现椭圆的扁平程度不一,那么用什么量可 以刻画椭圆的扁平程度呢?

4、椭圆的离心率

c 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比:e ? 叫做椭圆的离心率。 a [1]离心率的取值范围:0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响: 1)e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小,椭 圆就越扁 2)e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越大,椭 圆就越圆 [3]e与a,b的关系: 2 2 2

c e? ? a

a ?b b ? 1? a a
2

2

?再认识!
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
y P

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a y
F2 P

不 同 点




F1

O

F2

x

O

F1

x

焦点坐标 相 同 点 定 义

F1 ? -c , 0?,F2 ? c , 0?

F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
a 2 = b2 + c 2

a、b、c 的关系
焦点位置的判断

分母哪个大,焦点就在哪个轴上

标准方程 范围

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称

|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前

对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系

(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b

c e ? a

a2=b2+c2

同前

口答.

已知椭圆方程为
10

x y ? ?1 25 4
4 。


2

2

它的长轴长是:
焦距是:

。短轴长是:
.离心率等于:

焦点坐标是:

。顶点坐标是:



例题讲解
例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴 的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 解:把已知方程化为标准方程

于是a=5,b=4,c=3. 因此,椭圆长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8, 离心率e=3/5, 两个焦点坐标分别为(-3,0)和(3,0), 四个顶点的坐标分别为 (-5,0),(5,0),(0,-4)和(0,4).

x y ? 2 ? 1, 2 5 4

2

2

例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是:
焦距是:

10 。短轴长是:
。 离心率等于:

8

6

焦点坐标是: (?3, 0) 外切矩形的面积等于:

(?5, 0) (0, ?4) 。顶点坐标是: 。

3 5




80



解题的关键:2 1、将椭圆方程转化为标 2 x y 准方程 ? ? 1 明确a、b
25 16

2、确定焦点的位置和长轴的位置

例2.过适合下列条件的椭圆的标准方程: Q(0, ?2) ; (1)经过点 P(?3, 0) 、 3 (2)长轴长等于 20 ,离心率等于 5 . 解:(1)由题意, a ? 3 b ? 2 ,又∵长轴在 x
2 2 x y 轴上,所以,椭圆的标准方程为 ? ? 1 9 4 c 3 . e? ? 2a ? 20 , (2)由已知, a 5

c ? 6 ,∴ b2 ? 102 ? 62 ? 64 ∴ a ? 10 ,
2 2



2 2 y x x y ? ?. 1 ? ?1 或 所以椭圆的标准方程为 100 64 100 64

课堂小结
1. 范围:
椭圆 框内.
2 x 2 (y a>b>0 )位于直线 x=±a和y=±b所围成的矩形 + = 1 a2 b2

2. 对称性:
椭圆关于x轴、y轴都是对称的,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭 圆的对称中心,椭圆的对称中心是椭圆的中心.

3. 顶点:
椭圆与它的对称轴x轴,y轴的四个交点叫做椭圆的顶点. y B1(0,b)

x2 y2 椭圆 顶点坐标分别为 A1(-a, + 2 =1 2 a 0),B1b 0),A2(a, (0,-b),B2(0,b)如
图所示.

A2 A1 o B2(0, b) x

-

4. 离心率
把椭圆的焦距与长轴长的比 即e= ,取值范围为0<e<1 .

c 称为椭圆的离心率,用 e表示, c a a

离心率对椭圆形状的影响:
1)e 越接近 1, c 就越接近 a, 从而 b就越小, 椭 圆就越扁. 2)e 越接近 0, c 就越接近 0, 从而 b就越大, 椭 圆就越圆. 3)当且仅当a=b时,c=0,这时这两个焦点重合,图形变成圆,它的方 程为x2+y2=a2.


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