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四川省资阳市2013-2014学年高一数学上学期期末质量检测试题新人教A版


资阳市 2013—2014 学年度高中一年级第一学期期末质量检测 数 学
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 8 页. 全卷共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅

笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束时,将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.集合 A ? {1,, 2 3} , B ? {3, 4},则 A ? B ? (A) {3} (B) {1,, 2 4} (C) {1, 2, 3, 4} (D) ?

2.函数 y ? lg x 的定义域是 (A) (??, ? ?) 3. tan (A) 1 (B) [0, ? ?) (C) (0, ? ?) (D) (??, 0)

7? ? 4
(B)

2

(C) ? 3

(D) ?1

4.如图,等腰梯形中位线的长和高都为 x ( x ? 0 ) ,则它的面积表达式为 (A) S ( x) ?

1 2 x 2
2

(B) S ( x) ? x (D) S ( x) ?

2

(C) S ( x) ? 2 x 5.函数 y ? (A) [1, 2]

1 2 x 4

6 在区间 [3, 4] 上的值域是 x ?1
(B) [3, 4] (C) [2, 3] (D) [1, 6]

2 2 2 3 3 6.三个实数 p ? ( ) ,q ? ( ) 4,r ? log 2 3 的大小关系正确的是 3 3
(A) p ? q ? r 7.设 (B) q ? r ? p (C) r ? p ? q (D) p ? r ? q

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 sin ? ? cos ? ? ? 2 ,则 sin ? cos ? sin ? ? cos ?

1

(A)

4 3
x

(B) ?

2 3
1 a

(C) ?2

(D)

3 2

8.函数 y ? a , y ? ( ) x 与 y ? (a ? ) x ( a ? 0且a ? 1 )的大致图像正确的是

1 a

9.在同一坐标系中,函数 y ? sin x 与 y ? cos x 的图像不具有下述哪种性质 (A) y ? sin x 的图像向左平移

? 个单位后,与 y ? cos x 的图像重合 2

(B) y ? sin x 与 y ? cos x 的图像各自都是中心对称曲线 (C) y ? sin x 与 y ? cos x 的图像关于直线 x ?

?
4

互相对称

(D) y ? sin x 与 y ? cos x 在某个区间 [ x0,x0 ? ? ] 上都为增函数 10.设定义在 R 上的函数 f ( x) 同时满足以下条件:① f ( x ? 1) ? ? f ( x) 对任意的 x 都 成立;② 当 x ? [0, 1] 时, f ( x) ? e ? e ? cos
x

?x
2

? m (其中 e ? 2.71828 ?是自然对数的底

数, m 是常数).记 f ( x) 在区间 [2013, 2016] 上的零点个数为 n ,则

1 2 1 (C) m ? ? ,n ? 3 2

(A) m ? ? ,n ? 6

(B) m ? 1 ? e,n ? 5 (D) m ? e ?1 ,n ? 4

2

资阳市 2013—2014 学年度高中一年级第一学期期末质量检测 数 学 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 三 16 17 18 19 20 21

题号 得分



总分

总分人

注意事项: 1.第Ⅱ卷共 4 页,用钢笔、圆珠笔或签字笔直接答在试题卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请把答案直 接填在题中横线上.

11.计算 lg 3 10 ? ( ) 2 ? ______. 12.已知函数 y ? f ( x) 可用列表法表示如下,则 f [ f (1)] ? ______.

4 9

1

x
y
?

?1
0

0

1
?1
1 2

1

13.函数 y ? ( x ? 1) 中, x 是自变量, ? 是常数.当 ? 在集合 {1,, 2 3, , ? 1} 中取不同

的值时,所得五个函数的图像都要经过的一个定点坐标是________. 14.若 f ( x) ? x(

1 ? a) 是偶函数,则 a ? _______. 2 ?1
x

) ,给出它的以下四个结论:①最小正周期为 ? ;②图像可 4 1 ? 由 y ? sin x 的图像先向左平移 个单位长度,再把所得图像上各点的横坐标变为原来的 2 4 5? ? 倍(纵坐标不变)而得到;③图像关于点 ( , 对称 . 0) 对称;④图像关于直线 x ? 8 8
15.关于函数 y ? sin(2 x ? 其中所有正确的结论的序号是__________. 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 75 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤.

?

3

16.(本题满分 12 分)设全集 U ? R , A ? {x |1 ? 2 x ? 1 ? 5} ,

B ? {x |

1 (?R A ) ?B. ? 2 x ? 4} ,求 A ? B , 2

1 , x 求证: (Ⅰ) f ( x) 是奇函数; (Ⅱ) f ( x) 在 (??, 0) 上是增函数.
17. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ?

4

18. (本题满分 12 分)设 a ? 1 ,函数 y ? log a x 在闭区间 [3, 6] 上 的最大值 M 与最小值 m 的差等于 1 . (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)比较 3 与 6 的大小.
M
m

5

19.(本题满分 12 分)经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近 20 天内的日销售量(件)与价格(元)均为时间 t (天)的函数,且销售 量近似满足 g (t ) ? 80 ? 2t (件) ,价格近似满足 f (t ) ? 20 ?

1 . | t ? 10 | (元) 2

(Ⅰ)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t ( 0 ? t ? 20 )的函数表达式; (Ⅱ)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值.

6

20.(本题满分 13 分)函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0,? ? 0 ,

| ? |?

?
2

, x ? R )的部分图像如下, M 是图像的一个最低点,图像与 x 轴的一个交点坐标

? 2) . 为( , 0) ,与 y 轴的交点坐标为 (0,

?

2

(Ⅰ)求 A,?,? 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x) 的单调递 减区间.

7

21.(本题满分 14 分)利用自然对数的底数 e ( e ? 2.71828 ?)构建三

e 它们具有以 ( x ? 0) . 探究发现, x 下结论:三个函数的图像形成的图形(如图)具有“对称美” ;图形中阴影区 A 的面积为 1 等. M,N
个基本初等函数 y ? e x,y ? ln x,y ? 是函数图像的交点. (Ⅰ)根据图形回答下列问题: ①写出图形的一条对称轴方程; ②说出阴影区 B 的面积; ③写出 M,N 的坐标.

e , x 证明:对任意的正实数 x1,x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x 都有 ? f ( 1 2 ). 2 2
(Ⅱ)设 f ( x) ? e x ? ln x ?

8

资阳市 2013—2014 学年度高中一年级第一学期期末质量检测 数学参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分. 1-5. ACDBC,6-10. CBADC. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 1;12. 0;13. ( 2, 1) ;14.

1 ;15. ①②④. 2

三、解答题: 本大题共 6 个小题,共 75 分. 16.解:由 1 ? 2x ?1 ? 5 ? 2 ? 2 x ? 6 ? 1 ? x ? 3 ,∴ A ? {x |1 ? x ? 3} ; ···· 2 分 由

1 ? 2 x ? 4 ? 2?1 ? 2 x ? 22 ? ?1 ? x ? 2 ,∴ B ? {x | ?1 ? x ? 2} . ··· 4 分 2

∴ A ? B ? {x |1 ? x ? 3} ? {x | ?1 ? x ? 2} ? {x | ?1 ? x ? 3} .········ 7 分

?R A ? {x | x ? 1或x ? 3} , ······················ 9 分 (?R A) ? B ? {x | x ? 1或x ? 3} ? {x | ?1 ? x ? 2} ? {x | ?1 ? x ? 1} . ···· 12 分 ∴
17.证: (1) f ( x) 的定义域为 (??, 0) ? (0, ? ?) ,关于原点对称. ········ 1 分

1 1 1 1 f ( x) ? x ? ,f (? x) ? (? x) ? ? ? x ? ? ?( x ? ) , ········ 3 分 x (? x) x x
∴ f (? x) ? ? f ( x) , f ( x) 是奇函数. ·················· 4 分

0) ,且 x1 ? x2 ,则 ············· 5 分 (2)设任意的 x1,x2 ? (??,
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? 1 1 1 1 ) ? ( x2 ? ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( ? ) x1 x2 x2 x1

9

? ( x1 ? x2 ) ?

x1 ? x2 x x ?1 1 . ······· 10 分 ? ( x1 ? x2 )(1 ? ) ? ( x1 ? x2 ) ? 1 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

∵ x1 ? 0,x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ,∴ x1 ? x2 ? 0,x1 x2 ? 0 , ········· 11 分 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ∴ f ( x) 在 (??, 0) 上是增函数.····················· 12 分 18.解: (1)∵ a ? 1 , y ? log a x 在 (0, ? ?) 上是增函数, ∴ y ? log a x 在闭区间 [3, 6] 上是增函数. ················ 2 分 ∴ M ? ymax ? log a 6,m ? ymin ? log a 3 , ··············· 4 分 由 M ? m ? 1 可知, log a 6 ? log a 3 ? 1, ∴ log a

6 ? log a 2 ? 1 ? a ? 2 . ···················· 6 分 3

(2)由 a ? 2 可知, y ? log 2 x , ··················· 8 分 ∴ M ? log 2 6 ? 1 ? log 2 3,m ? log 2 3 , ················ 10 分 ∴ 3M ? 3
log 2 6

? 31?log2 3 ? 3 ? 3log2 3 ,

6m ? 6log2 3 ? (2 ? 3)log2 3 ? 2log2 3 ? 3log2 3 ? 3 ? 3log2 3 ,
∴ 3M ? 6m . ····························· 12 分 19.解: (1) y ? g (t ) ? f (t ) ? (80 ? 2t ) ? (20 ?

1 | t ? 10 |) ? (40 ? t )(40? | t ? 10 |) ·· 2 分 2

?(30 ? t )(40 ? t ), 0 ? t ? 10. ?? ················ 4 分 ?(40 ? t )(50 ? t ), 10 ? t ? 20.
(2)当 0 ? t ? 10 时, y ? ?t ? 10t ? 1200 ? ?(t ? 5) ? 1225 ,
2 2

y 的取值范围是[1200,1225],在 t ? 5 时, y 取得最大值为 1225; ···· 8 分
同理,当 10 ? t ? 20 时, y 的取值范围是 [600, 1200] , 在 t ? 20 时, y 得最小值为 600. ··················· 10 分 答:第 5 天,日销售额 y 取得最大为 1225 元;

10

第 20 天,日销售额 y 取得最小为 600 元.················ 12 分 20.解: (1)由图可知,函数的周期 T ? 4 ? [ ∴

?

1 . ······················· 4 分 ? 2 1 ? ? 由图像与 x 轴的一个交点坐标为 ( , 0) ,得 A sin( ? ? ? ) ? 0 , 2 2 2 ? 4? ,得 ? ?
∴ sin(

2?

? (? )] ? 4? , 2 2

?

?

4

? ?) ? 0 ? 2
得, ?

?

由 | ? |?

?

?
2

4

? ? ? k? ? ? ? k? ?

?

?? ? ).

?
2

,∴ ? ? ?

?
4

4

( k ? Z ). ········ 5 分

. ··············· 6 分

∴ y ? A sin( x ?

1 2

?
4

当 x ? 0 时, y ? A sin(?

) ? ? 2 ? A ? 2 . ·············· 7 分 4 1 ? 综上可知, A ? 2,? ? ,? ? ? . ················· 8 分 2 4 1 ? 1 ? ? 3? (2)由 y ? 2sin( x ? ) ,令 x ? ? [2k? ? , , 2 k? ? ] ( k ? Z ) 2 4 2 4 2 2
·································· 10 分

?

3? 7? , 4k? ? ] , ··················· 12 分 2 2 3? 7? ∴函数的单调递减区间是 [4k? ? , 4k? ? ] ( k ? Z ). ········ 13 分 2 2 e e 21.解: (1)∵ y ? ( x ? 0 )的图像是反比例函数 y ? ( x ? 0 )的图像位于第 x x
解得 x ? [4k? ? 一象限内的一支, ∴y?

e ( x ? 0 )的图像关于直线 y ? x 对称. x
x

又 y ? e , y ? ln x ? log e x 互为反函数,它们的图像关于直线 y ? x 互相 对称,从而可知: ①三个函数的图像形成的图形的一条对称轴方程为 y ? x . ········· 2 分 ②阴影区 A 、 B 关于直线 y ? x 对称,故阴影区 B 的面积为 1 . ······· 4 分 ③ M (1 ,e),N (e, 1) . ························ 6 分

(2)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2

e x1 ?

e e e e ? ln x1 ? e x2 ? ? ln x2 e x1 ? e x2 ? ? ? ln( x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 , ? 2 2
11

x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x ?x e 2e 2 f( )?e ? ? ln ?e 2 ? ? ln 1 2 , ??8 分 x ? x 2 2 x1 ? x2 2 1 2 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f( 1 2)? 2 2

e x1 ? e x2 ?

e e ? ? ln( x1 x2 ) x1 ? x2 x1 x2 x ?x 2e ?e 2 ? ? ln 1 2 2 x1 ? x2 2

?

e ?e ?e 2
x1 x2

x1 ? x2 2

e e ? x1 x2 x ? x ln( x1 x2 ) 2e ? ? ? ln 1 2 ? ········ 9 分 2 x1 ? x2 2 2

?

x ?x e x1 ? e x2 ? 2 e x1 ? x2 ( x1 ? x2 )e 2e ? ? ? ln 1 2 ? ln x1 x2 2 2 x1 x2 x1 ? x2 2 x ?x e x1 ? e x2 ? 2 e x1 ? e x2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? e ? ln 1 2 ? ln x1 x2 ····· 10 分 2 2 x1 x2 ( x1 ? x2 ) 2

?

( x1 ? x2 ) 2 x ?x ( e x1 ? e x2 ) 2 ? ? ? e ? ln 1 2 ? ln x1 x2 .(*) ······ 11 分 2 2 x1 x2 ( x1 ? x2 ) 2

( x1 ? x2 ) 2 x1 ? x2 ? x1 x2 ? ? 0 , ················· 12 分 ∵ 2 2
x1 ? x2 x ?x ? ln x1 x2 ,即 ln 1 2 ? ln x1 x2 ? 0 . ··········· 13 分 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x 从而可知(*) ? 0 ,即 ? f ( 1 2 ) 对任意的正实数 x1,x2 都成立. 2 2
∴ ln ·································· 14 分 (其它解法请参照评分).

12


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