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2.3.3-4 直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质 学案(人教A版必修2)


2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质 【课标要求】 1.掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理. 2.能运用性质定理解决一些简单问题. 【核心扫描】 1.线面垂直、面面垂直性质定理的应用.(重点) 2.线线、线面、面面垂直关系的相互转化.(难点)

新知导学 1.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线

平行 ? a⊥α? ??a∥b 符号语言 b⊥α? ? 图形语言 ①线面垂直?线线平行 ②作平行线 温馨提示:(1)直线与平面垂直的性质定理阐明了在直线与平面垂直的条件下,可得出直 线与直线平行的结论. (2)该定理可用来判定两直线平行,揭示了“平行”与“垂直”这两种特殊位置关系之间 的转化. 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 作用 α⊥β 符号语言 a?α a⊥l 图形语言 作用 ① 面面垂直?线面垂直 ②作面的垂线 α∩β=l

? ? ??a⊥β ? ?

温馨提示 其他性质 (1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个 平面内.即 α⊥β,A∈α,A∈b,b⊥β?b?α. (2)如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面 内.即 α⊥β,b⊥β?b∥α 或 b?α. 互动探究 探究点 1 垂直于同一直线的两个平面有什么关系? 提示 平行(可用此结论判定面面平行). 探究点 2 两个平面均垂直于一个平面,这两个平面有什么关系? 提示 关系不能确定,平行、相交(垂直)都有可能.

类型一 利用线面垂直性质定理证平行问题

【例 1】 如图所示,在正方体 A1B1C1D1ABCD 中,EF 与异面直线 AC,A1D 都垂直相 交. 求证:EF∥BD1. [思路探索] 分别证明 EF、BD1 都垂直平面 ACB1 即可. 证明 如图所示:

连接 AB1,B1D1,B1C1,BD. ∵DD1⊥平面 ABCD, AC?平面 ABCD,∴DD1⊥AC. 又 AC⊥BD,DD1∩BD=D, ∴AC⊥平面 BDD1B1. 又 BD1?平面 BDD1B1,∴AC⊥BD1. 同理可证 BD1⊥B1C.又 B1C∩AC=C, ∴BD1⊥平面 AB1C. ∵EF⊥AC,EF⊥A1D,又 A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.又 AC∩B1C=C,∴EF⊥平面 AB1C, ∴EF∥BD1. [规律方法] 线面垂直的性质是证明线线平行的方法之一,还可进而证明线面、面面平 行.

【活学活用 1】 如图所示,△ABC 是正三角形,AE 和 CD 都垂直于平面 ABC,且 AE =AB=2a,CD=a,F 为 BE 的中点. 求证:DF∥平面 ABC.

证明 取 AB 的中点 G,连接 FG、GC,则 FG 为△BEA 中位线,∴FG∥AE. ∵AE⊥平面 ABC,FG∥AE, ∴FG⊥平面 ABC. ∵FG⊥平面 ABC,CD⊥平面 ABC,

1 ∴FG∥CD.又 FG= AE=CD=a. 2 ∴四边形 CDFG 为平行四边形,FD∥CG. ∵FD∥CG.CG?平面 ABC,∴DF∥平面 ABC. 类型二 利用面面垂直的性质定理证垂直问题 【例 2】 如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面. 已知 α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l. 求证:l⊥γ. [思路探索] 根据直线和平面垂直的判定定理,可在 γ 内构造两相交直线分别与平面 α,β 垂直;或者由面面垂直的性质易在 α,β 内作出平面 γ 的垂线,再设法证明 l 与其平行即可.

证明 法一 在 γ 内取一点 P, 作 PA 垂直 α 与 γ 的交线于 A, PB 垂直 β 与 γ 的交线于 B, 则 PA⊥α,PB⊥β. ∵l=α∩β,∴l⊥PA,l⊥PB. 又 PA∩PB=P,且 PA?γ,PB?γ, ∴l⊥γ.

法二 在 α 内作直线 m 垂直于 α 与 γ 的交线,在 β 内作直线 n 垂直于 β 与 γ 的交线, ∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥γ,n⊥γ. ∴m∥n.又 n?β,∴m∥β.又 m?α,α∩β=l, ∴m∥l.∴l⊥γ. [规律方法] 面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法,因此,在有面面垂直的条件 下,若需要平面的垂线,要首先考虑面面垂直的性质.

【活学活用 2】 如图,在三棱锥 PABC 中,PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC.求证: BC⊥AB. 证明 在平面 PAB 内,作 AD⊥PB 于 D. ∵平面 PAB⊥平面 PBC, 且平面 PAB∩平面 PBC=PB.

∴AD⊥平面 PBC. 又 BC?平面 PBC,∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴PA⊥BC,∴BC⊥平面 PAB. 又 AB?平面 PAB,

∴BC⊥AB. 类型三 利用面面垂直的性质定理求二面角 【例 3】 在平面四边形 ABCD 中,已知 AB=BC=CD=a,∠ABC=90° ,∠BCD=135° , 沿 AC 将四边形折成直二面角 BACD. (1)求证:平面 ABC⊥平面 BCD; (2)求平面 ABD 与平面 ACD 所成的角的度数. [思路探索] 关于折叠问题, 关键明确在折叠前后哪些量发生变化, 如线与线的位置关系, 角的大小等,要抓住不变量来解题. (1)证明 如图所示,其中图(1)是平面四边形,图(2)是折后的立体图.

在四边形 ABCD 中, ∵AB=BC,AB⊥BC, ∴∠ACB=45° ,而∠BCD=∠ACB+∠ACD=135° , ∴∠ACD=90° ,即 CD⊥AC.又平面 ABC 与平面 ACD 的二面角的平面为直角,且平面 ABC∩平面 ACD=AC, ∴CD⊥平面 ABC,又 CD?平面 BCD,∴平面 ABC⊥平面 BCD. (2)解 过点 B 作 BE⊥AC,E 为垂足,则 BE⊥平面 ACD. 又过点 E 在平面 ACD 内作 EF⊥AD,F 为垂足,连接 BF. 由已知可得 BF⊥AD, ∴∠BFE 是二面角 BADC 的平面角. ∵E 为 AC 的中点, 1 2 ∴AE= AC= a. 2 2 CD 3 3 又 sin∠DAC= = ,EF= AE, AD 3 3 2 3 6 BE ∴EF= a· = a,tan∠BFE= = 3. 2 3 6 EF ∴∠BFE=60° , 即平面 ABD 与平面 ACD 所成的角的度数为 60° . [规律方法] 当一个平面与二面角的一个面垂直时,常利用面面垂直的性质作出二面角 面的垂线,而作出平面角.

【活学活用 3】 如图,在四棱锥 PABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为正方形, 且 PA=AD=2,E、F 分别为 AD、PC 中点. (1)求异面直线 EF 和 PB 所成角的大小; (2)求证:平面 PCE⊥平面 PBC; (3)求二面角 EPCD 的大小.

(1)解 如图,取 PB 的中点 G,连接 FG、AG, ∵E、F 分别为 AD、PC 中点, 1 1 ∴FG 綉 BC,AE 綉 BC, 2 2 ∴FG 綉 AE,∴四边形 AEFG 是平行四边形,∴AG∥FE, ∵PA=AD=AB, ∴AG⊥PB,即 EF⊥PB, ∴EF 与 PB 所成的角为 90° . (2)证明 由(1)知 AG⊥PB,AG∥EF, ∵PA⊥平面 ABCD,∴BC⊥PA, ∵BC⊥AB,AB∩BC=B, ∴BC⊥平面 PAB, ∴BC⊥AG,又∵PB∩BC=B, ∴AG⊥平面 PBC, ∴EF⊥平面 PBC, ∵EF?平面 PCE, ∴平面 PCE⊥平面 PBC. (3)解 作 EM⊥PD 于点 M,连接 FM, ∵CD⊥平面 PAD,∴CD⊥EM, ∴EM⊥平面 PCD,EM⊥PC, 由(2)知 EF⊥平面 PBC,∴EF⊥PC, 又 EM∩EF=E, ∴PC⊥平面 EFM, ∴FM⊥PC, ∴∠MFE 是二面角 EPCD 的平面角或其补角. ∵PA=AD=2, 2 ∴EF=AG= 2,EM= , 2 EM 1 ∴sin∠MFE= = , EF 2 ∴∠MEF=30° ,即二面角 EPCD 的大小为 30° . 方法技巧 转化思想在垂直关系转换中的应用 线线垂直、线面垂直和面面垂直的转换关系如下:

当证明垂直关系时, 要灵活地应用垂直之间的转换关系. 当运用平面垂直的性质定理时, 一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样把面面垂直转化为 线面垂直或线线垂直.

【示例】 如图所示,在四棱锥 VABCD 中,底面四边形 ABCD 是正方形,侧面三角形

VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD. (1)证明 AB⊥平面 VAD; (2)求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的平面角的正切值. [思路分析] (1)用面面垂直的性质 (2)由(1)利用垂线法作平面角. (1)证明 ∵底面四边形 ABCD 是正方形, ∴AB⊥AD.又∵平面 VAD⊥底面 ABCD, AB?平面 ABCD,且平面 VAD∩平面 ABCD=AD, ∴AB⊥平面 VAD.

(2)解 如图所示, 取 VD 的中点 E,连接 AE,BE. ∵△VAD 是正三角形, 3 ∴AE⊥VD,AE= AD. 2 ∵AB⊥平面 VAD, ∴AB⊥VD. 又∵AE∩AB=A, ∴VD⊥平面 ABE. ∴BE⊥VD.因此∠AEB 就是所求二面角的平面角, 2 3 于是 tan∠AEB= . 3 [题后反思] 证明垂直问题,要结合条件充分利用已知或证出的垂直关系的性质灵活地进 行垂直间的转化.

1.平面 α⊥平面 β,a⊥α,则有( A.a∥β B.a∥β 或 a?β C.a 与 β 相交 D.a?β 解析 由已知易得:a∥β 或 a?β. 答案 B 2.(2012· 济宁高一检测)已知平面 α⊥平面 β,则以下说法正确的个数是( ). ①平面 α 内的直线必垂直平面 β 内的无数条直线;②在平面 β 内垂直于平面 α 与平面 β 的交线的直线必垂直于 α 内的任意一条直线;③α 内的任意一条直线必垂直于 β;④过 β 内 的任意一点作平面 α 与平面 β 的交线的垂线,此直线必垂直于 α. A.4 B.3 C.2 D.1 解析 ①②正确,③④不正确. 答案 C 3.已知 a、b 为直线,α、β 为平面.在下列四个命题中,正确的命题是________. ①若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b;②若 a∥α,b∥α,则 a∥b;③若 a⊥α,a⊥β,则 α∥β; ④若 α∥b,β∥b,则 α∥β. 解析 由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真;由“平行于同一平面的两直线平行 或异面或相交”知②假;由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真;易知④假. 答案 ①③ 4.已知 α、β、γ 是三个互不重合的平面,l 是一条直线,给出下列四个命题: ①若 α⊥β,l⊥β,则 l∥α;②若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β;③若 l 上有两个点到 α 的距离相 等,则 l∥α;④若 α⊥β,α∥γ,则 γ⊥β. 其中正确命题的序号是________. 解析 ①也可能是直线 l?α;②正确;③中的两个点可以在平面的两侧;④正确. 答案 ②④

课堂达标 ).

5.如图,在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 中,AB⊥AC,PA⊥平面 ABCD,且 PA =AB,点 E 是 PD 的中点. (1)求证:AC⊥PB; (2)求证:PB∥平面 AEC; (3)求二面角 EACB 的大小.

(1)证明 (1)由 PA⊥平面 ABCD 可得 PA⊥AC. 又 AB⊥AC,所以 AC⊥平面 PAB,所以 AC⊥PB. (2)证明 如图,连接 BD 交 AC 于点 O,连接 EO,则 EO 是△PDB 的中位线, ∴EO∥PB.又 EO?平面 AEC,PB?平面 AEC, ∴PB∥平面 AEC. (3)解 如图,取 AD 的中点 F,连接 EF,FO, 则 EF 是△PAD 的中位线,∴EF∥PA. 又 PA⊥平面 ABCD, ∴EF⊥平面 ABCD.

同理,FO 是△ADC 的中位线, ∴FO∥AB,∴FO⊥AC. 因此,∠EOF 是二面角 EACD 的平面角. 1 1 又 FO= AB= PA=EF, 2 2 ∴∠EOF=45° .而二面角 EACB 与二面角 EACD 互补,故所求二面角 EACB 的大小 为 135° . 课堂小结 1. 直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合, 利用垂直关系可判断 平行,反过来由平行关系也可判定垂直,即两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一 条直线也垂直于这个平面. 2.面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理. 3.灵活进行线线、线面、面面垂直关系之间的转换,是判定和运用垂直关系的关键.


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