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2015高考数学总复习专题系列——推理与证明.板块二.直接证明与间接证明.学生版


板块二.直接证明与 间接证明 典例分析
题型一:综合法
【例1】若

1 1 ? ? 0 ,则下列结论不正确的是 a b
B. ab ? b2 C.

(

)

A. a 2 ? b 2

b a ? ?2 a b

D. a ?

b ? a ? b

【例2】如果数列 ?an ? 是等差数列,则( ) 。 (A) a1 ? a8 ? a4 ? a5 (C) a1 ? a8 ? a4 ? a5 (B) a1 ? a8 ? a4 ? a5 (D) a1a8 ? a4 a5

【例3】在△ABC 中若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( (A) 30 或60
0 0

)
0

(B) 45 或60

0

0

(C) 60 或1200

(D) 300 或1500

1 【例4】下列四个命题:①若 0 ? a ? ,则 cos ?1 ? a ? ? cos ?1 ? a ? ;②若 0 ? a ? 1 ,则 2 7 1 ? 1 ? a ? 2a ;③若 x、y ? R,满足 y ? x 2 ,则 log2 ? 2x ? 2 y ? 的最小值是 ;④ 8 1? a 2 2 若 a、b ? R,则 a ? b ? ab ? 1 ? a ? b 。其中正确的是( ) 。

(A) ①②③

(B) ①②④

(C) ②③④

(D) ①②③④

【例5】下面的四个不等式:① a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca ;② a ?1 ? a ? ?

1 ;③ 4

a b ? ? 2 ;④ a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ?ac ? bd?2 .其中不成立的有 b a
(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

?

??

?

【例6】已知 a, b ? R 且 a, b ? 0 ,则在①

b a a2 ? b2 ? ab ;② ? ? 2 ; a b 2

1

③ ab ? ( ( A

a?b 2 a ? b 2 a2 ? b2 ) ;④ ( ) ? 这四个式子中,恒成立的个数是 2 2 2
B 2个 C 3个 D 4个

) 1个

【例7】已知 a, b, c 均大于 1, 且o l g A ac ? b
1 x

c a

?o l g

c b

则下列各式中, 一定正确的是 ( ? 4, C bc ? a D ab ? c



B ab ? c
a y

【例8】已知不等式 ( x ? y )( ? ) ? 9, 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值是 ( A.2 ) B.4 C.6 D.8

【例9】 ? 、 ? 为锐角 a ? sin ?? ? ? ? ,b ? sin ? ? sin ? ,则 a、b 之间关系为 A. a ? b B. b ? a C. a ? b D.不确定





【例10】设 M 是 ?ABC 内一点,且 AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30? ,定义 f (M ) ? (m, n, p) ,
1 其中 m、n、p 分别是 ?MBC , ?MCA , ?MAB 的面积,若 f ( P) ? ( , x, y) ,则 2
1 4 ? 的最小值是 x y

( B.9 C.16 D.18



A.8

【例11】若函数 y ? (m ? 1) x 2 ? 2mx ? 3 是偶函数,则 f ( ? ) , f (a 2 ? a ? 1) (a∈R) 的大小关系是 f ( ? )

3 4

3 4

f (a 2 ? a ? 1) .

【例12】设 a ? 0, b ? 0, c ? 0, 若a ? b ? c ? 1, 则 ? ? ?

1 a

1 b

1 c

【例13】函数 y ? f ? x ? 在(0,2)上是增函数,函数 y ? f ? x ? 2? 是偶函数,则
f ?1? , f ? 2.5? , f ? 3.5? 的大小关系是

.

【例14】已知 a ? 2, b ? 5 ,向量 a与b 的 夹角为 1200 ,则 (2a ? b ).a =

?

?

?

?

?

?

?

2

【例15】定义运算 a ? b ? ?

? a ( a ? b) ,例如, 1 ? 2 ? 1 ,则函数 ?b (a ? b)

f ( x) ? x2 ? (1 ? x ) 的最大

值为 _________________ .

【例16】若 a ? b ? c ,n ? N * , 且

1 1 n ? ? 恒成立, 则 n 的最大值是 a?b b?c a?c



【例17】已知集合 M 是满足下列条件的函数 f(x)的全体: ①当 x ? [0,??) 时,函数值为非负实数; ②对于任意的 s, t ? [0, ??) ,都有 f (s) ? f (t ) ? f ( s ? t ) 在三个函数 f1 ( x) ? x, f 2 ( x) ? 2 x ? 1, f 3 ( x) ? ln(x ? 1) 中,属于集合 M 的 是 。

【例18】给出下列四个命题: ①若 a ? b ? 0 ,则
1 1 ? ; a b 1 1 ?b? ; a b

②若 a ? b ? 0 ,则 a ? ③若 a ? b ? 0 ,则

2a ? b a ? ; a ? 2b b 2 1 ? 的最小值为 9. a b

④若 a ? 0 , b ? 0 ,且 2 a ? b ? 1 ,则 其中正确命题的序号是

.(把你认为正确命题的序号都填上)

【例19】如图,在直四棱柱 A1B1C1D1—ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条件 (或任何能推导出这个条件的其他条件,例如 ABCD 是正方形、菱形等)时, 有 A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情 形)



3

【例20】用一根长为 12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗),要使 这个窗户通过的阳光最充足,则框架的长与宽应为 .

b, c ? 0 ,求证: abc ≥ (a ? b ? c)(b ? c ? a)(a ? c ? b) . 【例21】若 a ,

【例22】若 a , b, c ? R? ,求证: a a bb cb ≥ (abc)

a ?b? c 3

【例23】已知 a,b,c 是全不相等的正实数,求证

b?c?a a?c?b a?b?c ? ? ?3 a b c

【例24】证明:已知: a ? 0, b ? 0 ,求证:

a b ? ? a? b b a

【例25】已知 ? ? (0,

?
2

), 求 y ? sin ? cos2 ? 的最大值。
1 2 ? log a ? . 8

【例26】设 0 ? a ? 1, x 2 ? y ? 0 ,求证: log a

(a x ?a y )

【例27】某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的 总存储费用为 4 x 万元, 要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则x? 【例28】在锐角三角形 ABC 中,求证: sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C 吨.

题型二:分析法
【例29】设 m ? n , x ? m4 ? m3 n , y ? n3m ? n4 ,则 x 与 y 的大小关系为( (A) x ? y ; (B) x ? y ; (C) x ? y ; (D) x ? y ) 。

【例30】已知 c ? 1, a ? c ? 1 ? c , b ? c ? c ?1 ,则正确的结论是( (A) a ? b (B) a ? b (C) a ? b
4

) 。

(D)a、b 大小不定

【例31】设 a、b 、m 都是正整数,且 a<b,则下列不等式中恒不成立的是( (A) (D)

) 。

a a?m ? ?1 b b?m a a?m ? ?1 b b?m

a a?m ? b b?m b?m b ? (D) 1 ? a?m a
(B)

【例32】已知 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ,且 f ?1? ? 2 ,则 f ?1? ? f ? 2? ? ??? ? f ? n ? 不能等于 ( ) 。 (B) f ?

(A)f(1)+2f(1)+?+nf(1) (C)n(n+1)

? n(n ? 1) ? ? 2 ? ?

(D)n(n+1)f(1)

【例33】 6 ? 2 2与 5 ? 7 的大小关系是__________.

【例34】在十进制中 2004 ? 4 ?100 ? 0 ?101 ? 0 ?102 ? 2 ?103 ,那么在 5 进制中数码 2004 折合成十进制为 。

【例35】设 P ? 2, Q ? 7 ? 3, R ? 6 ? 2 ,那么 P, Q, R 的大小顺序 是 。

【例36】有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌 手,甲说: “是乙或丙获奖。 ”乙说: “甲、丙都未获奖。 ”丙说: “我获奖了。 ” 丁说: “是乙获奖。 ”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是

b, c 是△ ABC 的三边长,求证: a4 ? b4 ? c4 ? 2(a2b2 ? b2c2 ? c2 a2 ) 【例37】若 a ,

【例38】△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列, 求证:
1 1 3 ? ? 。 a?b b?c a?b?c

【例39】用分析法证明:若 a>0,则 a 2 ?

1 a
2

? 2 ? a?

1 ?2。 a

5

【例40】设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)  若函数 f ( x ? 1) 与 f ( x) 的图象关于轴对称, 求证

1 f ( x ? ) 为偶函数。 2

【例41】自然状态下鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其 再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响,用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总 量, n ? N ? ,且 x1 >0.不考虑其它因素,设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量 都与 xn 成正比,死亡量与 x n 成正比,这些比例系数依次为正常数 a, b, c . (Ⅰ)求 xn ?1 与 xn 的关系式; (Ⅱ)猜测:当且仅当 x1 , a, b, c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持 不变?(不要求证明)
2

【例42】设函数 f ( x) ? x sin x( x ? R) . (1)证明: f ( x ? 2k? ) ? f ( x) ? 2k? sin x, k ? Z ; (2)设 x0 为 f ( x) 的一个极值点,证明 [ f ( x0 )]2 ?
4 x0 . 2 1 ? x0

【例43】已知二次函数 f ?x? ? ax2 ?bx ? c , (1)若 a ? b ? c 且 f ?1? ? 0 ,证明: f ?x ? 的图像与 x 轴有两个相异交点; (2) 证明: 若对 x1 , x 2 , 且 x1 ? x2 , f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ,则方程 f ?x ? ? 必有一实根在区间 ( x1 , x 2 ) 内; (3)在(1)的条件下,是否存在 m ? R ,使 f ?m? ? ?a 成立时, f ?m ? 3? 为正数.

f ?x1 ? ? f ?x 2 ? 2

题型三:反证法
6

【例44】下列表中的对数值有且仅有一个是错误的:

x
lg x

3

5

8

9

15

2a ? b

a?c

3 ? 3a ? 3c
=

4a ? 2b

3a ? b ? c ? 1

请将错误的一个改正为 lg

【例45】用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,反设正确 的是( ) (B) 假设三内角都大于 60°; ( A ) 假设三内角都不大于 60°;

(C) 假设三内角至多有一个大于 60°; (D) 假设三内角至多有两个大于 60°。

【例46】已知 p 3 ? q 3 =2,关于 p+q 的取值范围的说法正确的是 (A)一定不大于 2 (C)一定不小于 2 2 (B)一定不大于 2 2 (D)一定不小于 2 )





【例47】否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是 ( (A)有一个解

(B)有两个解 (C)至少有三个解 (D)至少有两个解

【例48】设 a, b, c 大于 0,则 3 个数: a ? (A)都大于 2 (C)都小于 2

1 1 1 , b ? , c ? 的值 ( b c a

)

(B)至少有一个不大于 2 (D)至少有一个不小于 2 )

【例49】已知α∩β=l,a ? α、b ? β,若 a、b 为异面直线,则 ( (A) a、b 都与 l 相交 (C) a、b 中至多有一条与 l 相交 (D) a、b 都与 l 相交

(B) a、b 中至少一条与 l 相交

【例50】用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60°”时,反设正确的 是( ) B、 假设三内角都大于 60 度; A、假设三内角都不大于 60 度;

C、假设三内角至多有一个大于 60 度;D、 假设三内角至多有两个大于 60 度。 【例51】命题“关于 x 的方程 ax ? 0(a ? 0) 的解是唯一的”的结论的否定是 ( ) B、两解 C、至少两解 D、无解或至少两解

A、无解

7

【例52】用反证法证明命题“如果 a ? b, 那么 3 a ? 3 b ”时,假设的内容应为 _____________. 【例53】用反证法证明“ f ( x) ? x2 ? px ? q ,求证: f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个 不小于

1 ”时的假设为 2 1 1 ? 2 ? a ? ? 2 ?b ”时的假设为 a b

【例54】用反证法证明“若 a ? b >0,则

【例55】用反证法证明命题“ a, b ? N , ab 可以被 5 整除,那么 a , b 中至少有一个能被 5 整 除。 ”那么假设的内容是

【例56】证明: 2, 3, 5 不能为同一等差数列的三项.

【例57】对于直线 l:y=kx+1,是否存在这样的实数 k,使得 l 与双曲线 C:3x 2 -y 2 =1 的交点 A、B 关于直线 y=ax(a 为常数)对称?若存在,求出 k 的值;若不存 在,请说明理由。

【例58】已知 a , b?R, a3 ? b3 = 2 ,求证: a ? b ≤ 2
? ? ?
6

【例59】若 a, b, c 均为实数,且 a ? x2 ? 2 y ? , b ? y 2 ? 2 z ? , c ? z 2 ? 2 x ?
2 3



求证: a, b, c 中至少有一个大于 0。 【例60】求证:形如 4 n ? 3 的正整数不能写成两个整数的平方和

【例61】若 a1 ? 0 、 a1 ? 1, an?1 ? (1)求证: an?1 ? an ; (2)令 a1 ?

2an ( n ? 1,2,?, ) 1 ? an

1 ,写出 a2 、 a3 、 a4 、 a5 的值,观察并归纳出这个数列的通 2

项公式 an ;
8

(3)证明: 存在不等于零的常数 p, 使 { an ? p } 是等比数列, 并求出公比 q 的值.
an

【例62】设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x3 ? ax 在 [1,??) 上是单调函数. (1)求实数 a 的取值范围; (2)设 x0 ≥1, f ( x) ≥1,且 f ( f ( x0 )) ? x0 ,求证: f ( x0 ) ? x0 .

【例63】设集合 W 由满足下列两个条件的数列 {an } 构成: ①
an ? an? 2 ? an?1 ; 2

② 存在实数 M ,使 an ≤ M . ( n 为正整数)
{bn } 中, ⑴在只有 5 项的有限数列 {an } , 其中 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? 3, a4 ? 4 , a5 ? 5 ; b1 ? 1 , b2 ? 4 , b3 ? 5 , b4 ? 4 , b5 ? 1 ; 试判断数列 {an } , {bn } 是否为集合 W 的元素;

⑵设 {cn } 是各项为正的等比数列, Sn 是其前 n 项和, c3 ? 证明数列 {Sn } ?W ;并写出 M 的取值范围;

1 7 , S3 ? , 4 4

⑶设数列 {d n } ?W , 且对满足条件的 M 的最小值 M 0 ,都有 dn ? M n ? n ? N* ? . 求证:数列 {dn } 单调递增.

【例64】设 f ( x) 是定义在 [0,1] 上的函数,若存在 x * ? (0,1) ,使得 f ( x) 在 [0, x * ] 上单 调递增,在 [ x * ,1] 上单调递减,则称 f ( x) 为 [0,1] 上的单峰函数, x * 为峰点, 包含峰点的区间为含峰区间. 缩短其含峰区间长度的方法. (1)证明:对任意的 x1 , x 2 ? (0,1) , x1 ? x 2 ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 (0, x2 ) 为含峰 区间;若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 ( x1 ,1) 为含峰区间; (2)对给定的 r (0 ? r ? 0.5) ,证明:存在 x1 , x 2 ? (0,1) ,满足 x2 ? x1 ? 2r ,使得 由(1)所确定的含峰区间的长度不大于 0.5 ? r ;
9

对任意的 [0,1] 上的单峰函数 f ( x) ,下面研究

(3)选取 x1 , x 2 ? (0,1) , x1 ? x 2 ,由(1)可确定含峰区间 (0, x2 ) 或 ( x1 ,1) ,在所 得的含峰区间内选取 x3 ,由 x3 与 x1 或 x3 与 x2 类似地可确定一个新的含峰区间.在第 一次确定的含峰区间为 (0, x2 ) 的情况下,试确定 x1 , x 2 , x3 的值,满足两两之差的 绝对值不小于 0.02,且使新的含峰区间的长度缩短到 0.34. (区间长度等于区间的右端 点与左端点之差)

【例65】已知数列 ?an ? 满足: a1 ?

3(1 ? an ?1 ) 2(1 ? an ) 1 ? , , an an ?1 ? 0 ;数列 ?bn ? 满足: 1 ? an 1 ? an ?1 2

2 bn ? a2n?1 ? an (n ≥1) .

⑴求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; ⑵证明:数列 ?bn ? 中的任意三项不可能成等差数列.

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