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【数学】2.3.2《圆的一般方程》课件(修改后)


2.3.2《圆的一般方程》

复习回顾:
圆的标准方程的形式是怎样的?

2 2 2 ? ? ( x ? a) ( y ? b) r
其中圆心的坐标和半径各是什么?

?a, b ? r

M(x,y) O C

思考: 下列方程表示什么图形?

1)x2+y2-2x+4y-4=0 (2)x2+y2-2x+4y+5=0

(3)x2+y2-2x+4y+6=0

二、[导入新课]

1、想一想,若把圆的标准方程

( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2
展开后,会得出怎样的形式?

2 ? 2ax ? 2by ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 2 ? y x a b r
由于a,b,r均为常数

令 ? 2a ? D,?2b ? E , a 2 ? b2 ? r 2 ? F

结论:任何一个圆方程可以写成下面形式:

x2 +y 2+Dx+Ey+F=0
探究:是不是任何一个形如
x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 方程表示

的曲线是圆呢?

探究

D 2 E 2 D2 ? E 2 ? 4F 配方可得: ( x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 4

(1)当D2+E2-4F>0时,表示以( ? 为圆心,以(
1 D 2 ? E 2 ? 4F 2

D E ,? ) 2 2

) 为半径的圆

(2)当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解X=-D/2
D E y=-E/2,表示一个点( ? 2 ,? 2 )

(3)当D2+E2-4F<0时,方程(1)无实数解,所以

不表示任何图形。

圆的一般方程: 圆的 标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
圆的一般方程与标准方程的关系:

x2 +y 2+Dx+Ey+F=0

(D2+E2-4F>0)

1 2 2 (1)a=-D/2,b=-E/2,r= D ? E ? 4F 2
(2)标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点:
x2与y2系数相同并且不等于0; 没有xy这样的二次项

例1
(1)已知圆

x ?y
2

2

? Dx ? Ey ? F ? 0

的圆心坐标

为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于 (D)
( A)4,?6,3 ( B) ? 4,6,3 (C) ? 4,6,?3

(D)4,?6,?3

(2).求下列各圆的半径和圆心坐标.

x
圆心

2

?

y

2

? 6x ? 0
半径为 3

?3,0?

2 ? 2b y ? 0, (b ? 0) 2 ? y x
圆心

?0,?b?

半径为

b

例2:求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2) 的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。
解:设所求的圆的方程为: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 A(0,0),B(1,1),C(4,2)在圆上 ?F ? 0 D ? ?8, E ? 6, F ? 0 ? ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ?

新疆

王新敞
学案

x ? y ? 8x ? 6 y ? 0
2 2
新疆

王新敞
学案

D F 1 2 2 r ? D ? E ? 4 F ? 5 ? ? 4,? ? ?3 2 2 2

即圆心坐标为(4,-3),r=5

(1).若已知条件涉及圆心和半径,我们一般采 用圆的标准方程较简单.

(2).若已知三点求圆的方程,我们常采用圆 的一般方程用待定系数法求解.

注:用待定系数法求圆的方程的步骤:
1.根据题意设出所求圆的方程为标准 式或一般式。 2.根据条件列出关于a,b,r或D, E,F的方程。 3.解方程组,求出a,b,r或D,E, F的值,代入方程,就得到要求的方 程.

练习:试判断A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点是否 在同一圆上.
解:设A?B?C三点所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把A?B ?C三点的坐标分别代入圆的方程得

∴过A?B?C三点的圆的方程是x2+y2-2x+2y-23=0,将D(4,3) 代入方程,适合.故A?B?C?D四点在同一圆上.

例3:等腰三角形的顶点是A(4,2),底边的一个端点是

B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨
迹是什么.
解:设另一端点C的坐标为(x,y),依题意,得: |AC|=|AB|, 由两点间距离公式得,
( x ? 4) 2 ? ( y ? 2) 2 ? (4 ? 3) 2 ? (2 ? 5) 2

平方整理得,

(x-4)2+(y-2)2=10.
这是以点A(4,2)为圆心,以 10 为半径的圆,但A?B?C为三角 形的顶点,∴A?B?C三点不共线.当B与C重合时,C(3,5), 当BC为直径时,C(5,-1),

∴端点C的轨迹方程是 (x-4)2+(y-2)2=10(3x+y-14≠0). 故端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心, 除去(3,5)和(5,-1)两点.如下图所示.
10

为半径的圆,但要

规律技巧:在求轨迹方程时,必须考虑C点是三角形的一个顶 点,故A?B?C不能共线,这一点容易造成失误,应引起高度重视.

练习:已知点M与两定点A(1,0),B(2,-1)的距离的比为
1 , 2

求点M的轨迹方程,并指出它是什么曲线.
1 ? , ( x ? 2)2 ? ( y ? 1) 2 2 ( x ? 1) 2 ? y 2

解:设M(x,y),根据题意有

即4[(x-1)2+y2]=(x-2)2+(y+1)2,
∴3x2+3y2-4x-2y-1=0,

例4:已知定点P(m,2)在圆x2+y2-2mx-y+m2+m=0的
外部,求实数m的取值范围. 错解:∵点P(m,2)在圆外, ∴m2+4-2m2-2+m2+m>0, ∴m>-2. 错因分析:本题错误根本原因没理解圆的一般式方程 的定义.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆 时,应有D2+E2-4F>0这个条件,错解中丢掉了这个 隐含条件.

正解:∵点P(m,2)在圆外,

基础强化
1.方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0表示的曲线为圆,则有

(

)

A.A=C≠0

B.D2+E2-4AF>0
C.A=C≠0且D2+E2-4AF>0

D.A=C≠0且D2+E2-4AF≥0
答案:C

2.圆(x+2)2+y2=5关于原点对称的圆的方程为(

)

A.(x-2)2+y2=5
C.(x+2)2+(y+2)2=5

B.x2+(y-2)2=5
D.x2+(y+2)2=5

解析:点(x,y)关于原点(0,0)的对称点是(-x,-y),因此圆
心(-2,0)关于原点(0,0)对称点为(2,0),半径不变,所 以方程为(x-2)2+y2=5. 答案:A

3.圆心为(2,-3),一条直径的两个端点分别落在x轴和

y轴上的圆的方程为(
A.(x+2)2+(y+3)2=52

)

B.(x-2)2+(y+3)2= 2 13
C.(x-2)2+(y+3)2=13

D.(x-2)2+(y-3)2= 2 13

解析:设一条直径的端点坐标分别为(x0,0),(0,y0).由
题意得,
x0 ? 0 0 ? y0 =-3,∴x0=4,y0=-6, ? 2, 2 2

∴圆的半径为 r ? (4 ? 2) 2 ? (0 ? 3) 2 ? 13.
∴所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13. 答案:C

4.已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3), (1)若P(m,m+1)在圆C上,求线段PQ的长及直线PQ 的斜率; (2)若P为圆C上任意一点,求|PQ|的最大值和最小值. 解:(1)点P在圆C上代入得 m2+(m+1)2-4m-14(m+1)+45=0, 解得m=4. ∴点P为(4,5), 故|PQ|=
(4 ? 2) ? (5 ? 3) ? 2 10, k PQ
2 2

5?3 1 ? ? . 4?2 3

(2)由题意知|PQ|取得最大值或最小值时,P点为过Q

与圆心C的直线与圆C的两个交点.易知:
|PQ|最大值为|QC|+R= 6 2 (R为圆C半径).

最小值为|QC|-R=

2 2.


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