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弧齿锥齿轮小轮齿面拓扑结构的精益设计


第 卷第 期 年 月

机 械 工 程 学 报
CHINESE JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING

Vo l . .

No.

弧齿锥齿轮的齿面拓扑结构的精益设计
曹雪梅 邓效忠
(河南科技大学机电工程学院 洛阳 471039)
摘要:基于预控齿面印痕和传动误差的要求,提出一种全新的基于共轭齿面修正的齿面设计方法。该方法突破了 以往齿轮设计的局限性,无需对接触迹线上的设计点进行高阶齿面参数的控制,根据预控传动误差的需求建立与 大轮齿面共轭的小轮辅助齿面,在此基础上根据预控齿面印痕的需求对小轮辅助齿面上的每个网格点进行修正, 从而得到精确满足齿面印痕和传动误差需求的小轮齿面。该设计方法可以实现对全齿面拓扑结构的精确控制。算 例分析表明本文设计方法的有效性。该设计方法不仅适用于弧齿锥齿轮副,而且可推广应用于其他齿轮副的设计,为 实现预控啮合性能齿轮副设计提供了新的方法和途径。 关键词:弧齿锥齿轮 中图分类号:TH132.4 传动误差 齿面印痕 齿面设计

0 前言

*

随着弧齿锥齿轮在汽车、工程机械、航空及机 床等领域得到越来越广泛的应用, 机械装备向重载、 高速的方向发展,齿轮副啮合质量直接影响到主机 的效率、振动噪声、运动精度和寿命,因而对齿面 设计与制造提出越来越高的要求。 小轮齿面的设计主要有两种途径:一种是首先 设计小轮切齿调整参数, 进而可确定齿面拓扑结构; 该方法主要应用于摇台结构的铣齿机;另一种直接 根据啮合性能的需求设计齿面啮合点的拓扑结构, 齿面加工在 Free-form 锥齿轮机床上才能实现。 两种设计途径都需要对接触迹线上的设计参 考点进行控制。 如局部综合法[1-4]预控在参考点二阶 接触参数,但无法控制远离参考点的齿面性质, 接 触迹线可能出现严重弯曲、瞬时接触椭圆长轴长度 变化剧烈等现象; 基于摇台结构的齿面主动设计[5-6] 的方法结合了局部综合法的特点,不仅控制其中一 个参考点的二阶接触参数,还控制齿面另外两个啮 合点的位置和传动误差的幅值以达到对齿面的全局 控制。这种基于机床加工参数描述齿面的设计,便 于加工,但不能直接进行齿面拓扑修正,只能通过 对加工参数的修正间接修正齿面拓扑结构。基于 Free-form 锥齿轮机床的齿面设计方法[7-9]直接设计 和控制接触迹线上每一点的零至二阶齿面结构。远 离接触迹线上的齿面拓扑结构只能通过控制接触迹
?

线上的二阶齿面参数间接控制。这种齿面设计途径 在加工上具有一定的局限性。 本文提出一种全新的齿面设计方法,不仅控制 接触迹线上每一点的齿面参数,并且对整个齿面拓 扑结构都进行有效的控制。齿面加工不仅可以在 Free-form 锥齿轮机床上实现, 同时由于整个齿面的 拓扑结构都精确控制,为反求切齿调整参数奠定了 坚实的基础。

1 齿面印痕和传动误差
齿面印痕是衡量弧齿锥齿轮啮合质量的关键 指标,对齿轮的平稳运转、使用寿命和噪音有直接 影响。印痕参数主要包括接触迹线的方向、位置及 瞬时接触椭圆的长度。 在已有的齿面印痕设计中接触椭圆长轴的设 计主要通过控制两齿面在啮合点的主曲率、主方向 来实现。这是一种近似的设计方法,远离啮合点处 的齿面拓扑结构无法直接控制。 传动误差是影响齿轮系统噪声、振动的主要因 素。传动误差定义为:当小轮转过一角度时,大轮相 对于理想位置之偏离,即
0 ??2 ? (?2 ? ?2 ) ? (?1 ? ?10 )

Z1 Z2

(1)

式中

Z——齿数

? ——齿轮啮合传动的转角

? 0 ——初始转角



年 月

机械工程学报
Ym2
Yg

2

1,2——小轮和大轮 理想的齿轮传动是共轭的,但完全共轭的齿轮 副没有任何可调性,制造和安装误差、 承载变形都会 造成负荷集中而使轮齿破坏。点接触齿面的准共轭 特性克服了以上不足,在整个啮合过程中的瞬时传 动比是变化的,齿面上仅在设计参考点处的瞬时传 动比等于齿轮副的名义传动比,其余啮合位置都是 非共轭的,均存在传动误差。 因此, 传动误差形状和 幅值是影响弧齿锥齿轮传动动态性能、齿面接触质 量和振动噪音的主要因素。 齿轮副的啮合质量控制主要在于控制传动误 差与齿面印痕,齿面拓扑结构设计的目地是根据传 动误差与齿面印痕的需求,精确的控制齿面拓扑结 构。

Ya Y2

?g

?2
Om2 , Og
X m2

?g

Z2
Za

?2

Oa

w( g )
Z m2 , Z g

O2

w(2)
Xa , X2

Xg

图 1 大轮加工坐标系

?2 ? ?g mG2
中,

(2)

将大轮刀具切削面通过坐标变换到 S 2 坐标系
r2 ? ug , ? g , ?g ? ? M 2,a ??2 ? M a,m2 M m2,g ??g ? re ? ug , ? g ? (2)

2 小轮齿面拓扑结构设计模型
设计原理如下。 (1)根据给定的大轮加工参数设计大轮齿面 ?2 ,并在大轮齿面上进行网格规划,计算每个网格 ij 点的位矢 r2 及法矢; (2)根据大轮齿面 ?2 设计与之完全共轭的小 轮辅助齿面 ?0 ,即在啮合过程中 ?2 和 ?0 线接触, 且满足预先设计的传动误差。计算与大轮齿面规划 ij ij 点 r2 对应的小轮辅助齿面 ?0 上的规划点的位矢 r0 及法矢; (3) 根据接触迹线的位置及方向确定大轮齿面 ?2 上的啮合点及小轮辅助齿面 ?0 上对应的啮合点; (4) 根据瞬时接触椭圆的长度对小轮辅助齿面 ?0 进行修正, 即确定小轮辅助齿面 ?0 上的每个规划 ij 点的位矢 r0 修正量,从而得到精确满足传动误差与 齿面印痕的需求小轮齿面 ? 1 ;其拓扑结构表示为每 个规划点的位矢 r1ij ;

式中, M m2,g ——摇台坐标系 Sg 到机床固定坐 标系 S m2 的坐标变换矩阵; M a,m2 ——机床固定坐 标 系 S m2 到 辅 助 坐 标 系 Sa 的 坐 标 变 换 矩 阵 ;

M2,a ——辅助坐标系 Sa 到被加工大轮动坐标系
S 2 的坐标变换矩阵;re 大轮刀具切削面的位矢; ug
和 ?g 是曲面参数。 大轮加工过程中大轮刀具面和大轮齿面的啮 合方程为

? ?re ?re ? ?re ? ?0 ? ? ? ? ?u g ?? g ? ? ??g

(3)

联立方程式(2)和式(3)求解,即可得到大 轮齿面方程的表达式:

r2 ? r 2(? g, ? g)
3.2 大轮齿面规划点的确定
R
(n,m)

(4)

3 大轮齿面方程及齿面网格点的确定
3.1 大轮齿面的表达 大轮采用双面法加工,切齿参数按文献 [1] 选 用。 大轮加工坐标系如图 1 所示。 w( g ) 为摇台旋转角速度,角 ?g 为摇台转角; w(2) 为被加工大轮旋转角速度, 角 ?2 为被加工大轮 转角。在加工过程中滚比 mG2 恒定,?2 和 ?g 之间有 如下关系:
(n,1) (i,j) (1,m)

(1,1)

L

图 2 齿面网格点

图2为在大轮齿面上网格点规划示意图, 在大轮 齿面旋转投影坐标系中进行网格划分,在全齿面上

3 月

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机械工程学报
ij 根据啮合方程(8)和大轮齿面任一网格点 M 2 的位矢及法矢可解出在小轮动坐标系 S1 中齿面上 ij ij 对应点 M 0 的位矢 r0 及其法矢,该小轮齿面与大轮 齿面啮合时为线接触,且满足传动误差要求。同时 可求解出在该网格点参与啮合时的大轮啮合转角 ij ij 和小轮啮合转角 ?1 。 ?2 4.2 小轮辅助齿面上接触迹线的确定

沿齿长方向取m点,齿高方向取n点。齿面上任一网 ij 格点 M 2 (i=1-n;j=1-m)在旋转投影坐标系中的坐 [10] 标为(Lij,Rij),满足位置方程 :

x2 (?gij , ?gij ) ? Lij y2 (?gij , ?gij )2 ? z2 (?gij , ?gij )2 ? Rij

(5)

求解方程组,即可得到大轮齿面上任一网格点 ij 的位矢 r2 及其法矢。

4 小轮齿面拓扑结构的确定
4.1 与大轮齿面共轭的小轮辅助齿面的确定

根据给定的接触迹线的位置及方向在大轮齿面 上设计接触迹线,进而求出小轮辅助齿面上接触迹 线。如图4所示。设计接触迹线为直线,通过点 P 2, ij 与根锥夹角为?2 。大轮齿面上的网格点 M 2 在与小 ij ij 轮辅助齿面啮合时转角为 ?2 ,P 2 为在该啮合转角
R

Yd Y1 Yh

Y2 Xd X2

?2

P2ij

?1
Zh

?
w2 w
1

ij M2

?2
X1

Z2

P2

?1

Zd

?2

L

Z1
图 3 大小轮啮合坐标系

图 4 大轮齿面网格点与接触迹线

下大轮齿面上接触迹线上的点。 ij 接触迹线上点 P 2 应满足啮合方程

图3所示为大小轮啮合坐标系, X 2 为大轮旋转 2 轴,w 为大轮旋转角速度,角 ?2 为大轮啮合转角; X1 为小轮旋转轴, w1 为小轮旋转角速度,角 ?1 为 小轮啮合转角。当两轮角速度之比等于齿数比时, 传动误差为零。考虑到制造和安装误差、承载变形 等因素的影响,一般将传动误差设计为左右对称的 抛物线形,即

*ij *ij ij (9) n ? v12 ? f (?g ,?g ,?2 )?0 ij 根据 P 2和P 2 点的位置关系可列出位置方程
ij *ij *ij g (?g , ?g , ?2 )?0

(10) 求解方程组(9)和(10)即可求出 P 点的位 矢和法矢,继而可求出小轮辅助齿面接触迹线上对 ij 应点 P 0 的位矢和法矢。 4.3 小轮齿面的确定
ij 2

1 ' m21 (?1 ? ?10 ) 2 (6) 2 ' 式中, m 21 为传动比函数的一阶导数值,可根

?? 2 ?

据传动误差的幅值需求计算得到。 由式(1)和(6)可得大轮啮合转角 ? 2 和小轮 啮合转角 ?1 的关系:

?2 ?

Z1 1 ' 0 (?1 ? ?10 ) ? ?2 ? m21 (?1 ? ?10 )2 (7) Z2 2

在传动误差的形状设计中也可根据传动的更高 [11] 要求设计高阶传动误差 。 两个齿面啮合时应满足啮合方程:

小轮辅助齿面与大轮齿面啮合时仅能保证传动 误差满足设计需求,两齿面处于线啮合状态,要实 现点接触且满足预置接触椭圆半轴长度,必须对小 轮辅助齿面进行修正,即根据给定的接触椭圆长轴 半径值对小轮辅助齿面上相应的网格点位矢修正。 预置接触椭圆半轴长度定义为两齿面之间的距 离 ?? ? 0.00635mm 时,对应的接触椭圆半轴长 度。 ij 对于小轮辅助齿面上任一网格点 M 0 沿法线方 向的位矢修正量 ? 应满足

??

l2 0.00635 a2

(11)

n ? v12 ? f (?g ,?g ,?2 ) ? 0

(8)

ij 式中,a —预置接触椭圆半轴长度;l — M 0 点



年 月

机械工程学报

4

ij 到P 0 点在切平面上的投影长度。 小轮齿面上任一网格点 M 1ij 的位矢 r1ij 可表示 为 ij (12) r1ij ? r0 ? ? nij 0 分别对小轮辅助齿面所有网格点进行修正,即 可构造出满足传动误差和齿面印痕要求的小轮齿 面。

4 算例
用该方法对一对弧齿锥齿轮进行设计,轮坯参 数见表 1,传动误差设计为:抛物线型,齿对转换 点处的幅值工作面为 11.5 角秒(") ,非工作面为 11.5 角秒(") ;齿面印痕设计为:大轮接触迹线与 根锥的夹角为工作面 28?、非工作面 28?,接触椭圆 长轴半径与齿宽的比值为 0.15。
表1
参数 刀盘直径 DC2/mm 刀顶距 pw2/mm 压力角α 2/(?) 径向刀位 Sr2 /mm 角向刀位 q2 /mm 滚比 mp2 垂直轮位 Em2 /mm 轴向轮位 XG2 /mm 床位 XB2 /mm 轮坯安装角 r2/(?)

图 5 小轮辅助齿面与小轮基准面偏差图

轮坯参数
大轮加工参数 304.8 3.429 凸面 19 凹面 21 236.892 35.665 1.523 0.000 0.000 -1.622 40.201

图 6 小轮齿面与小轮基准面偏差图

表2
参数 齿数 z 模数 m/mm 中点螺旋角β/(?) 螺旋方向 轴交角г /(?) 分锥角γ/(?) 顶锥角γf /(?) 根锥角γr/(?) 外锥距 Aw /mm 齿宽 bw /mm 齿顶高 ha /mm 齿根高 hf /mm 齿顶隙 hc /mm

大轮加工参数
小轮 20 4.25 25 左旋 51.152 10.117 10.950 9.752 278.341 43 4.89 2.91 0.80 2.11 5.69 0.80 41.033 41.400 40.201 右旋 大轮 86

从图5可以看出, 小轮辅助齿面与大轮齿面为线 接触,由于控制了传动误差,齿面沿接触迹线产生 修正量; 从图6可以看出, 小轮齿面与大轮齿面为点 接触,不仅沿接触迹线产生修正量,由于对接触印 痕的控制,瞬时接触线也产生修正量。 图7所示为大轮和小轮齿面接触迹线。 从图中可 以看出, 大轮齿面的凸面和凹面接触迹线都为直线, 且与根锥夹角为28?, 满足预先对齿面印痕的设计要 求。小轮凸面和凹面接触迹线略有弯曲。保证大轮 齿面接触迹线为直线,无法同时保证小轮齿面接触 迹线为直线。
大轮凹面接触迹线 大轮凸面接触迹线

以大轮齿面完全共轭的小轮齿面作为基准面 (传动误差为零,且线接触) ,如图5所示为小轮辅 助齿面 (仅控制传动误差幅值且与大轮齿面线接触) 与基准面的齿面偏差图。 如图6所示为小轮齿面 (控 制传动误差幅值与齿面印痕,与大轮齿面点接触) 与基准面的齿面偏差图。

小轮凹面接触迹线

小轮凸面接触迹线

图 7 齿面接触印痕图

5 月

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机械工程学报

小轮齿面的拓扑表示为离散点坐标,通过双三 次NURBS ( 非均匀有理B 样条) 曲面拟合,得到数 [12] 字化齿面 ;依据空间啮合理论对数字化齿面进行 齿面接触分析,可计算得到工作面与非工作面的传 动误差, 如图8所示。 从图中可以看出工作面传动误 差幅值为11.321";非工作面传动误差幅值为11.39 7" , 预控传动误差幅值为11.5", 出现偏差的原因在 于:作TCA分析时对齿面进行数字化拟合的拟合误 差,从而引起的传动误差幅值的微小改变。

这种设计方法可以精确控制传动误差和齿面印痕。 该设计方法不仅适用于弧齿锥齿轮副,而且可 推广应用于其他齿轮副的设计,为实现预控啮合性 能齿轮副设计提供了新的方法和途径。 参 考 文 献
[1] LITVIN F L, Local synthesis and tooth analysis of face-milled of spiral bevel gears[J]. NASA, CR4342,1990. [2] LITVIN F L. Computerized design, simulation of meshing, and contact and stress analysis of face-milled formate generated spiral bevel gears[J]. Mechanism and Machine Theory, 2002,37(5):441-459. [3] 方宗德,刘涛,邓效忠.基于传动误差设计的弧齿锥齿 轮啮合分析[J].航空学报, 2002, 23(3):226-230. Fang. Z.D , Liu T, Deng X Z. Tooth Contact Analysis of Spiral Bevel Gears Based on the Design of Transmission Error[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2002,23(3):226-230. (in Chinese)

(a) 工作面

[4] [5]

方宗德,高重合度螺旋锥齿轮的设计与仿真 [J] .西北 工业大学学报,2002,20(2):213-217. 曹雪梅,方宗德,张金良.弧齿锥齿轮的齿面主动设计 [J],机械工程学报,2007,43(8):155-158. Cao X M, Fang Z D, Zhang J L. FUNCTION-ORIENTED ACTIVE TOOTH SURFACE DESIGN OF SPIRAL BEVEL Chinese) GEARS[J].CHINESE JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING, 2007,43(8):155-158. (in

(b)非工作面 图 8 传动误差图

[6] 曹雪梅, 方宗德, 许浩. 弧齿锥齿轮的齿面主动设计及试 验验证[J]. 机械工程学报, 2008,44(7):209 -214 Cao X M, Fang Z D, Xu H. FUNCTION-ORIENTED ACTIVE TOOTH SURFACE DESIGN OF SPIRAL BEVEL GEARS AND EXPERIMENTAL

5 结论
目前采用的齿面设计方法无论是控制接触迹 线上切齿计算参考点的零至三阶接触参数还是控制 接触迹线上每一点的零至二阶参数,通过对设计点 的高阶控制实现对设计点齿邻域的控制,无法实现 对整个齿面的控制,在加工时需采用单面法加工。 本文提出一种全新的齿面设计方法,在建立与 大轮齿面共轭的小轮基准齿面的基础上,根据传动 误差的形状及幅值、齿面接触迹线的位置、方向及 瞬时接触椭圆长轴的长度对小轮基准齿面进行修 正, 从而得到能精确满足啮合性能要求的小轮齿面。 这种设计方法可以实现对整个齿面的精确控制,为 双面法加工调整参数的反求奠定了基础。 算例表明,
[7]

TESTS[J].CHINESE JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING, 2008,44(7):209-214. (in Chinese) 吴训成,毛世民,吴序堂.点啮合齿面主动设计理论和 方法[J].机械科学与技术,2000,19(3):347-349. Wu X C, Mao S M, Wu X T. On Function-Oriented Design of Point-Contact Tooth Surfaces[J].MECHANICAL SCIENCE AND TECHNOLOGY, 2000,19(3):347-349. (in Chinese) [8] 周凯红, 唐进元, 曾韬. 基于预定啮合特性的点啮合齿 轮的 CNC 制造技术研究 [J] . 机械工程学报 , 2009, 45( 9) : 173-182. ZHOU K H, TANG J Y, ZENG T. Research on CNC manufacture of meshing characteristics-based design point-contact tooth surface [J] . Chinese Journal of



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Mechanical Engineering, 2009, 45(9): 173-182. ( in Chinese) [9] 周凯红, 唐进元, 严宏志 . 基于预定啮合特性的点啮合 齿 面 设 计 方 法 [J] . 航 空 动 力 学 报 , 2009, 24(11) : 2612-2617. ZHOU K H, TANG J Y, Yan H Z. Research on meshing characteristics-based design of point-contact tooth surface [J]. Journal of Aerospace Power, 2009, 45(9): 173-182. (in Chinese) [10] 方宗德, 曹雪梅. 航空弧齿锥齿轮齿面坐标测量的数据 处理[ J ] . 航空学报, 2007, 28( 2) : 456-4591 FANG Z D, CAO X M. Measuring date processing of aviation spiral bevel gears by using coordinate measurement[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2007, 28( 2) : 456- 4591 ( in Chinese) [11] 魏冰阳,方宗德,周彦伟,等. 基于变性法的高阶传 动误差设计与分析[J] . 西北工业大学学报, 2003, 21( 6) : 757 ~760. Wei B Y,Fang Z D,Zhou Y W,et al. On improving design of spiral bevel gear with higher-order transmission error curve [J]. Journal of Northwestern Polytechnical University,2003,21(6): 757 ~ 760.( in Chinese) [12] 张军辉,方宗德,王成.基于 NURBS 的弧齿锥齿轮 真实齿面的数字化仿真. 航空动力学报, 2009, 24( 7) : 1672-1676 Zhang J H,Fang Z D,Wang C. Digital Simulation of Spiral Bevel Gears’Real Tooth Surfaces Based on Non-Uniform Rational B-Spine. Journal of Aerospace Power,2009,24(7) : 1672-1676 ( in Chinese) Abstract : Transmission errors and contact pattern have determinative effects on the gearing performances of a gear drive, so a new approach for design of spiral bevel gears is proposed, based on a predesigned parabolic function of transmission errors with limited magnitude of maximal transmission errors and a predesigned linear function of contact path. This approach is based on three meshing points. By controlling their magnitudes of transmission errors and the positions on the tooth surface, the allover control of engagement quality is realized. The advantages of the function-oriented active tooth surface design are the reduction of level of noise and the obtaining of favorable shape and dimensions of contact pattern, and moreover, the gearing performance in whole tooth contact could be controlled directly in design. The goals are achieved by application of local synthesis algorithm, local conjugate theory and machining principle of spiral bevel gears. Function-oriented active tooth surface design provides an innovative designing approach for the spiral bevel gears and is quite important for the gears in high speed, heavy duty or with special requirements. Key words:Spiral bevel gears Transmission errors pattern Tooth surface design Contact

CAO Xuemei DENG Xiaozhong ( School of Mechanical & Electronical Enginerring, Henan University of Science & Technology, Luoyang 471039 )

作者简介:曹雪梅,女,1970 年出生,博士,主要研究方向为现代机械 设计理论与方法,现从事曲齿锥齿轮先进设计与检测技术研究。

TOOTH SURFACE DESIGN OF SPIRAL BEVEL GEARS

E-mail: 2004xuemeicao@mail.nwpu.edu.cn


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