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万有引力定律及其应用知识点与考点总结


万有引力定律及其应用
考点一:万有引力在天体上问题上的应用 一. 开普勒运动定律 1.开普勒第一定律:所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上 2.开普勒第二定律;对于每一个行星而言,太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相 等。 3.开普勒第三定律:所有行星的轨道的长半轴的三次方跟周期的二次方的比值都相等,表达 式
r T

3 2

? k

二.万有引力定律 1.内容:自然界中的任何两个物体都是相互吸引的,引力的大小跟着两个物体的质量的乘积 成正比,跟它们的距离的平方成反比。
F ? G m1m 2 r
2

2.公式:

其中 G=6.67×10 N·m /kg ,叫做引力常量。 3.适用条件 两个可以视为质点的物体之间,或者是两个均匀球之间。 三.万有引力定律在天体运动中应用 基本思路:万有引力提供向心力 基本规律 ①由 G
Mm r
2

-11

2

2

? m

v r

2

可得: v ?

GM r GM r
3

②由 G

Mm r
2

? m ? r 可得: ? ?
2

由G

Mm r
2

? 2? ? ? m? ? r 可得: T ? ? T ?
? ma 向 可得: a 向 ? GM r
3

2

4? r
2

3

GM

④由 G

Mm r
2

由此可得,线速度、角速度、向心加速度与 r 成反比,周期 T 与 r 成正比。 万能公式: mg ? G
Mm R
2

得, gR ? G M
2

考点二:万有引力在人类航天上的应用 1.第一宇宙速度(环绕速度) :
v1 ? 7.9 km s ,是最小的发射速度,最大的环绕速度。

每个星球都有其自己的第一宇宙速度。
GMm ? mg ? m v
2

第一宇宙速度的算法:

r

2

r ,r 为星球的半径,M 为星球质量

v ?

GM r

(1)

(2)

v?

gr

注:星球第一宇宙速度相当于求解贴着星球表面飞行的卫星的速度。当
7 . 9 m s? k v ? 11.2 m s k

时,卫星绕地球旋转,其轨道是椭圆,地球位于一个焦点上。
v 2 ? 1 1 .2 km s ,是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度,

2.第二宇宙速度(脱离速度) :

当 11.2 km s ? v ? 16.7 km s ,卫星脱离地球的束缚,成为太阳系的一颗小行星。 3.第三宇宙速度(逃逸速度) :
v 3 ? 1 6 .7 km s ,是物体挣脱太阳的引力束缚需要的最小发射

速度。当 v ? 16.7 km s 时,卫星跑到太阳系以外的宇宙空间中去。 问题及方法 问题 1:对近地卫星与同步卫星的理解方法 1.近地卫星的轨道半径近似等于地球的 R,其运行的速度
v1 ? 7 .9 km s ,是所有卫星的最大
2

绕行速度,运行周期 T ? 85 m in ,是所有卫星的最小周期;向心加速度 a ? g ? 9 .8 m s , 是所有卫星的最大加速度。 2.地球同步卫星的五定 (1)周期一定 T=24h (2)角速度一定:其绕地运行的角速度等于地球自转的角速度。 (3)轨道一定 a. 所有同步卫星的轨道必在赤道平面内 b. 所 有 同 步 卫 星 的 轨 道 半 径 都 相 同 , 即 在 同 一 轨 道 运 动 , 其 确 定 的 高 度 约 为
3 .5 9 ? 1 0 km
4

(4)环绕线速度一定:线速度大小都为 3 .0 8 km s ,环绕方向为地球自转方向 (5)向心加速度大小一定:其向心加速度大小都约为 0 .2 3 m s
2

问题 2:万有引力定律的解题方法 根据适用条件,用填补法 例 1、 如图 5-2 所示,阴影区域是质量为 M、半径为 R 的球体挖去一个小圆球后的剩余

部分,所挖去的小圆球的球心和大球体球心间的距离是 离球心 O 距离为 2R、质量为 m 的质点 P 的引力.

R 2

,求球体剩余部分对球体外

练习 1.假设将质量为 M 的铅球放在地心处,在地球内部的 A 处挖去质量为 M 的物体, 则铅球受到的万有引力大小?方向?(地球半径为 R,OA=R/2) 2.假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为 d。已知质量分布均匀的球 壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为
A. 1 ?
d R

B. 1 ?

d R

C. (

R ?d R

)

2

D. (

R R ?d

)

2

问题 3 :天体的质量、密度的求解方法 通过观察绕天体做匀速圆周运动的卫星的周期 T、半径 r,由万有引力等于向心力,即
? 2? ? ? m? ? r ? T ? ,得天体质量
2

G

Mm r
2

M ?

4? r
2

3

GT

2

.

(1)若已知天体的半径 R,则天体的密度ρ =

3? r GT
2

3 3

R

(2) 若天体的卫星环绕天体表面运动, 其轨迹半径 r 等于天体的半径 R,其周期为 T,则天体
? ?
3? GT
2

的密度



例题 1.把地球绕太阳公转看做是匀速圆周运动轨道,平均半径为 1.5×108 km,已知引力 常量为:G=6.67×10-11 N·m2/kg2,则可估算出太阳的质量大约是多少千克?(结果取一位 有效数字) 2、已知月球的半径为 R,表面重力的加速度为 g,万有引力恒量为 G,忽略月球自转的影 响,则月球平均密度的表达式为:

3.已知地球的半径为 R,地面的重力加速度为 g,万有引力常量为 G,如果不考虑地球自 转的影响,那么地球的平均密度的表达式为________.

问题 4.重力与万有引力的关系
(1)地球对物体的吸引力就是万有引力,重力只是万有引力的一个分力,万有引力的另一 个分力是物体随地球自转所需的向心力。如图 6-1-1 所示。 (2)物体在地球上不同的纬度处随地球自转所需的向心力的大小不同,重力大小也不同: 两极处:物体所受重力最大,大小等于万有引力,即 mg ? G
Mm R
2



F向 o F G

图 6-1-1

赤道上:物体所受重力最小, mg ? G

Mm R
2

? mR ? 自
2

自赤道向两极,同一物体的重力逐渐增大,即 g 逐渐增大。 (3)一般情况下,由于地球自转的角速度不大,可以不考虑地球的自转影响,近似的认为
mg ? G Mm R
2

例题 已知火星的半径为地球半径的一半,火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的 4/9 倍,则火星的质量约为地球质量的多少倍? 问题 5 卫星的变轨问题 思考方法:卫星做匀速圆周运动,当速度增大时,卫星将做离心运动,当速度减小时,物体 做向心运动 例题 如图所示,a、b、c 是在地球大气层外圆形轨道上运行的 3 颗人造卫星,下 列说法正确的是: ) (

A.b、c 的线速度大小相等,且大于 a 的速度 B.b、c 的向心加速度大小相等,且大于 a 的向心加速度 C.c 加速可以追上同一轨道上的 b,b 减速可以等候同一轨道上的 c D.a 卫星由于某种原因,轨道半径缓慢减小,其线速度将变大 练习 2009 年 5 月,航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后,在 A 点从 圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ,B 为轨道Ⅱ上的一点,如图所示,关于航天飞机的 运动,下列说法中正确的有 (A)在轨道Ⅱ上经过 A 的速度小于经过 B 的速度 (B)在轨道Ⅱ上经过 A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过 A 的动能 (C)在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 (D)在轨道Ⅱ上经过 A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过 A 的加速度

答案:ABC 问题 5:天体问题中的多星问题的思考方法 (1)双星问题 a 两星的角速度相同 b 运动中各自的位置与它们的轨迹圆心三点共线,且向心力分别由对方的万 有引力提供

双星:两星相互环绕,万有引力作为每一个卫星环绕对方的向心力。 双星 A 和 B(如图 6-2-1)有:

r A ? rB ? r

?A ? ?B

T A ? TB

A
①线速度公式:
G m AmB r
2

? mA

vA rA

2

? mB

vB rB

2

rA O rB
2

②角速度公式:

G

m AmB r
2

? m A r A ? ? m B rB ?
2 2

G

m AmB r
2

? 2? ? ? 2? ? ? mA? ? rA ? m B ? ? rB ? T ? ? T ?

2

B
图 6-2-1

练习:两个星球组成双星,它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点做周期相 同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为 R,其运动周期为 T,求两星的总质量? (2) 三星问题:除三星的角速度相同外,还应注意分析各星做匀速圆周运动的向心力的 大小以及轨道半径 例题:宇宙中存在一些离其他恒星较远的,由质量相等的三颗星组成的三星系统,通 常可忽略其他星体对他们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式, 一种是三颗星位于同一直线上, 两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行, 另一种 形式三颗星位于等边三角形三个项点上, 并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行设每个星体 的质量均为 m (1)试求第一种形势下星体运动的线速度和周期 (2)假设两种形式星体的运动周期相同,第二种形势下星体之间的距离应为多少

作业:1.经长期观测发现,A 行星运行的轨道半径为 R0,周期为 T0 但其实际运行的轨 道与圆轨道总存在一些偏离,且周期性地每隔 t0 时间发生一次最大的偏离.如图 所示,天文学家认为形成这种现象的原因可能是 A 行星外侧还存在着一颗 未知行星 B,则行星 B 运动轨道半径为( ) A. R
? R0 t0 2 ( t 0 ? T0 ) 2

A O

3

B. R ? R 0

t0 t0 ? T

C.

R ? R0 3

t0 (t 0 ? T0 )
2

D. R ? R 0 3

t0

2

t 0 ? T0

2.2011 年 12 月美国宇航局发布声明宣布,通过开普勒太空望远镜项目证实了太阳系外第 一颗类似地球的、 可适合居住的行星。 该行星被命名为开普勒一 22b (Kepler 一 22b) , 距离地球约 600 光年之遥,体积是地球的 2.4 倍。这是目前被证实的从大小和运行轨 道来说最接近地球形态的行星, 它每 290 天环绕着一颗类似于太阳的恒星运转一圈。 若 行星开普勒一 22b 绕恒星做圆运动的轨道半径可测量, 万有引力常量 G 已知。 根据以上 数据可以估算的物理量有( A.行星的质量 ) C.恒星的质量 D.恒星的密度

B.行星的密度

3.如右图,三个质点 a、b、c 质量分别为 m1、m2、M(M>>m1,M>>m2) 。在 c 的万有引力作用下, a、 在同一平面内绕 c 沿逆时针方向做匀速圆周运动, b 它们的周期之比 Ta∶ Tb=1∶k;从图示位置开始,在 b 运动一周的过程中,则 ( A.a、b 距离最近的次数为 k 次 B.a、b 距离最近的次数为 k+1 次 C.a、b、c 共线的次数为 2k D.a、b、c 共线的次数为 2k-2 4.2011 年 8 月 26 日消息,英国曼彻斯特大学的天文学家认为,他们已经在银河系里发现 一颗由曾经的庞大恒星转变而成的体积较小的行星, 这颗行星完全由钻石构成。 若已知万有 引力常量,还需知道哪些信息可以计算该行星的质量 A.该行星表面的重力加速度及绕行星运行的卫星的轨道半径 B.该行星的自转周期与星体的半径 C.围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及运行半径 D.围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及公转线速度 ( ) )

5.质量为 m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行,其运动视为匀速圆周运动。已知 月球质量为 M,月球半径为 R,月球表面重力加速度为 g,引力常量为 G,不考虑月球自 转的影响,则航天器的( A.线速度 v
? GM R



B.角速度 ω =

gR

C.运行周期 T

? 2?

R g

D.向心加速度 a

?

Gm R
2

6.关于卫星绕地球做匀速圆周运动的有关说法正确的是( ) A.卫星受到的地球引力对其做正功 B.卫星的轨道半径越大,其线速度越大 C.卫星的轨道半径越大,其周期越小 D.卫星受到的地球引力提供为圆周运动所需之向心力 7.未发射的卫星放在地球赤道上随地球自转时的线速度为 v1、加速度为 a1;发射升空后在 近地轨道上做匀速圆周运动时的线速度为 v2、加速度为 a2;实施变轨后,使其在同步卫星轨 道上做匀速圆周运动,运动的线速度为 v3、加速度为 a3。则 v1、v2、v3 和 a1、a2、a3 的大小 关系是( ) A.v2>v3>vl C.v2>v3=v1 a2>a3>alB.v3>v2>v1 a2=a1>a3D.v2>v3>vl a2>a3>al a3>a2>a1

8.2011 年 9 月 29 日晚 21 时 16 分,我国将首个目标飞行器天宫一号发射升空.2011 年 11 月 3 日凌晨神八天宫对接成功,完美完成一次天空之吻.若对接前两者 在同一轨道上运动,下列说法正确的是( ) A.对接前 “天宫一号”的运行速率大于“神舟八号”的运行速率 B.对接前“神舟八号”的向心加速度小于“天宫一号”的向心加速度 C.“神舟八号” D.“神舟八号” 先加速可实现与“天宫一号”在原轨道上对接 先减速后加速可实现与“天宫一号”在原轨道上对接

9. 已知某星球的平均密度是地球的 n 倍, 半径是地球的 k 倍, 地球的第一宇宙速度为 v, 则该星球的第一宇宙速度为 ( A.
n k v

) D.
nk v

B. nk

kv

C. k

nv

10. 嫦娥一号奔月旅程的最关键时刻是实施 首次“刹车”减速.如图所示,在接近月球时, 嫦娥一号将要利用自身的火箭发动机点火减速, 以被月球引力俘获进入绕月轨道.这次减速只有 一次机会,如果不能减速到一定程度,嫦娥一号 将一去不回头离开月球和地球,漫游在更加遥远的深空;如果过分减速,嫦娥一号则可能直 接撞击月球表面.该报道的图示如下.则下列说法正确的是( )

A.实施首次“刹车”的过程,将使得嫦娥一号损失的动能转化为势能,转化时机械能 守恒. B.嫦娥一号被月球引力俘获后进入绕月轨道,并逐步由椭圆轨道变轨到圆轨道. C.嫦娥一号如果不能减速到一定程度,月球对它的引力将会做负功. D. 嫦娥一号如果过分减速, 月球对它的引力将做正功, 撞击月球表面时的速度将很大. 11.设地球同步卫星离地面的距离为 R ,运行速率为 v,加速度为 a ,地球赤道上的物体 随地球自转的向心加速度为 a0,第一宇宙速度为 v0,地球半径为 R0.则以下关系式正确 的是( )

A.

B.

C.

D.

12. 来自中国航天科技集团公司的消息称, 中国自主研发的北斗二号卫星系统今年起进 入组网高峰期,预计在 2015 年形成覆盖全球的卫星导航定位系 统。此系统由中轨道、高轨道和同步轨道卫星等组成。现在正在 服役的北斗一号卫星定位系统的三颗卫星都定位在距地面 36000km 的地球同步轨道上.目前我国的各种导航定位设备都要 靠美国的 GPS 系统提供服务, 而美国的全球卫星定位系统 GPS 由 a R R0 R0 a v = = = a0 R0 R v 0 24 颗卫星组成,这些卫星距地面的高度均为a20000km.则下列说法中正确的是(0 )R + R 0 A.北斗一号系统中的三颗卫星的动能必须相等 B.所有 GPS 的卫星比北斗一号的卫星线速度大 C.北斗二号中的每颗卫星一定比北斗一号中的每颗卫星高 D.北斗二号中的中轨道卫星的加速度一定大于高轨道卫星的加速度 13.如图 1-3-16 所示,极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨 道). 若已知一个极地卫星从北纬 30°的正上方, 按图示方向第一次运行至南纬 60°正上方

时所用时间为 t,地球半径为 R(地球可看做球体),地球表面的重力加速度为 g,引力常量 为 G.由以上条件可以求出( )

A.卫星运行的周期 B.卫星距地面的高度 C.卫星的质量 D.地球的质量 14.嫦娥一号月球探测器发射时在绕地球运行中,进行了四次变轨,其中有一次变轨是提 高近地点的高度,使之从距地 2 0 0 km ,上升到距地 6 0 0 km ,这样既提高了飞船飞行高度, 又减缓飞船经过近地点的速度,于是增长测控时间,关于这次变轨说法正确的是( A.变轨后探测器在远地点的加速度变大 B.应在近地点向运动后方喷气 C.应在远地点向运动后方喷气 D.变轨后探测器的周期将变小 15.飞船在轨道上运行时,由于受大气阻力的影响,飞船飞行轨道高度逐渐降低,为确 保正常运行,一般情况下在飞船飞行到第 30 圈时,控制中心启动飞船轨道维持程序.则可 采取的具体措施是 ( ) )

A.启动火箭发动机向前喷气,进入高轨道后与前一轨道相比,运行速度增大 B.启动火箭发动机向后喷气,进入高轨道后与前一轨道相比,运行速度减小 C.启动火箭发动机向前喷气,进入高轨道后与前一轨道相比,运行周期增大 D.启动火箭发动机向后喷气,进入高轨道后与前一轨道相比,运行周期增大 16. 为了迎接太空时代的到来, 美国国会通过一项计划: 在2050年前建造成太空升降机, 就是把长绳的一端搁置在地球的卫星上, 另一端系住升降机, 放开绳, 升降机能到达地球上, 人坐在升降机里。 科学家控制卫星上的电动机把升降机拉到卫星上。 已知地球表面的重力加 速度g=10m/s ,地球半径R=6400km,地球自转周期为24h。某宇航员在地球表面用体重计称 得体重为800N,站在升降机中,某时刻当升降机以加速度a=10m/s 垂直地面上升,这时此 人再一次用同一体重计称得视重为850N,忽略地球公转的影响,根据以上数据( A.如果把绳的一端搁置在同步卫星上,可知绳的长度至少有多长 B.可以求出升降机此时距地面的高度 C.可以求出升降机此时所受万有引力的大小 D.可以求出宇航员的质量 17. 2010 年 10 月 1 日“嫦娥二号”探月卫星沿地月转移轨道直奔月球, 在距月球表面 100km 的 P 点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获,进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后,卫星在 P 点又经过第二次“刹车制动” ,进入距月球表面 100km 的圆形工作轨道Ⅱ,绕月球做匀速圆 周运动,如图所示.则下列说法正确的是( ) )
2 2

A.卫星在轨道Ⅰ上运动周期比在轨道Ⅱ上长 B.卫星在轨道Ⅰ上运动周期比在轨道Ⅱ上短 C. 卫星沿轨道Ⅰ经 P 点时的加速度小于沿轨道Ⅱ经 P 点时的加速 度 D.卫星沿轨道Ⅰ经 P 点时的加速度等于沿轨道Ⅱ经 P 点时的加速度 18.设一卫星在离地面高 h 处绕地球做匀速圆周运动,其动能为 E K 1 ,重力势能为 E P 1 。与 该卫星等质量的另一卫星在离地面高 2h 处绕地球做匀速圆周运动,其动能为 E K 2 ,重力势 能为 E P 2 。则下列关系式中正确的是( A. E K 1 > EK 2 ) B. E P 1 > E P 2 D. E K 1 ? E P 1 < E K 2 ? E P 2

C. E K 1 ? E P 1 ? E K 2 ? E P 2

19.有 A、B 两颗行星绕同一颗恒星 M 做圆周运动,旋转方向相同,A 行星的周期为 T1,B 行星的周期为 T2,在某一时刻两行星相距最近,则() A.经过时间 t=T1+T2 两行星再次相距最近 B.经过时间 t=T1T2/(T2-T1),两行星再次相距最近 C.经过时间 t=(T1+T2 )/2,两行星相距最远 D.经过时间 t=T1T2/2(T2-T1) ,两行星相距最远 20.】宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统,四星系统离其他恒星较远,通常可 忽略其他星体对四星系统的引力作用.已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式: 一种是四颗星稳定地分布在边长为 a 的正方形的四个顶点上, 均围绕正方形对角线的交点做 匀速圆周运动,其运动周期为 ;另一种形式是有三颗星位于边长为 a 的等边三角形的三 ,而第四颗星刚好位

个项点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行,其运动周期为 于三角形的中心不动.试求两种形式下,星体运动的周期之比
T1 T2

.

3 答案: 2.C 1.A 14.C 15.BD 20.【答案】

3.D 4.CD 17.AD

5.AC

6.D 7.A 8.D 9.C 10.BCD 11.C 12.BD 13.ABD

16.ABD
T1 T2 =

18.AD 19.BD

( 4 - 2 )(3 - 3 ) 4

【解析】对三绕一模式,三颗绕行星轨道半径均为 a , 所受合力等于向心力,因此有
2 ?G m
2 2

a O

a r

O

co s 3 0 ?+ G

m a

2 2

=m

4? T1
2

2

a



( 3a )

解得 T1 =

2

2 (3 -

3 )? a Gm

3



对正方形模式,四星的轨道半径均为
4? T2
2

2 2

a ,同理有

2 ?G

m a

2 2

co s 4 5 ?+ G

m

2 2

2

=m

2 2

a ③

图4

( 2a)
4(4 2 )? a
2 3

解得 T 2 =

2



7G m



T1 T2

=

( 4 - 2 )(3 - 3 ) 4


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