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高中竞赛数学讲义第04讲集合的概念与运算


第 4 讲 集合的概念与运算
本讲内容包括集合及其性质(集合的元素满足确定性、互异性、无序性) ;元素与集合、 集合与集合的关系(属于、包含、子集、空集、全集) ;集合的运算(交、并、补)及容斥原 理等。

“交、并、补”是集合的三种运算。它们的含义可以用“且、或、 非”来理解。这对于运用集合语言描述数学现象,或解读运用集合 语言描述的问题都有帮助。

集合及其运算还有如下一些常用的性质 和公式: 若 A ? B ? B ,则 B ? A ; 若 A ? B ? B ,则 A ? B ;

A? B ? B ? A; A? B ? B ? A;

( A ? B) ? C ? A ? (B ? C) ; ( A ? B) ? C ? A ? (B ? C) ;

A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ; A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ;
[I ( A ? B) ? [I A ? [I B ; [I ( A ? B) ? [I A ? [I B .

容斥原理 在需要对某一个有限集合的元素进行记数时,为了便于计算,常常通过计算 它的若干个子集的元素个数来实现。实质是将整体计数问题转化为局部计数问题。 我们将此 类计数公式通称为容斥原理。 “容”意指这些子集的并集是原集合, “斥”意指这些子集中两 两交集不是空集时,需要将重复的元素个数排斥掉。 通常以 |

X | 表示有限集合 X 中元素的个数,参照 Venn 图可以得到如下计数公式:

| A ? B |?| A | ? | B | ? | A ? B |
A B

| A? B ?C | ?| A| ? | B | ? |C | ?| A? B | ?| B ?C | ?|C ? A| ? | A? B ?C | ??

C A B

A 类例题
例 1 已知数集 A ? { a ? 2 ,

(a ? 1) 2 , a 2 ? 3a ? 3} ,

B ? { a ? b , 1, a ? b ? 5} 。
若A?

B ,求实数 a , b 的值。
两个集合相等是指这两个集合的元素完全相同。由集合中元素的互异性及无序

分析

性,集合 A 中三个元素有且仅有一个为 1。椐此可求出 a ,进而求出 b 。 解 由A?

B ,得1 ? A 。

a ? 2 ? 1 ? a ? ?1 ; (a ? 1) 2 ? 1 ? a ? 0 或 a ? ?2 ; a 2 ? 3a ? 3 ? 1 ? a ? ?1 或 a ? ?2 .
由集合

A

中三个元素有且仅有一个为 1,得

a ? 0 , A ? {1, 2 , 3} ,

B ? {1, b , 5 ? b}。
由A?

B ,得 b ? 2 或 b ? 3 。

因此,所求实数为 a 例2 集合

? 0, b ? 2 或 a ? 0, b ? 3 。

M ? { u | u ? 12m ? 8n ? 4l , m , n , l ? Z } N ? {u | u ? 20 p ? 16q ? 12r , p, q, r ?Z }
( )

的关系是

A M ?N

B M ?N N ?M C M ?N

D M ?N

(1989 年全国高中联赛) 分 析 1 通过化简,认识这两个集合中元素的特征,进而作出判断。 解1

12m ? 8n ? 4l ? 4(3m ? 2n ? l ) ,而 3m ? 2n ? l 可取任意整数,得集 ? {u | u ? 4k , k ? Z} 。
, 设

合 M 表示 4 的倍数的集合,即 M

20 p ? 16q ? 12r ? 4(5 p ? 4q ? 3r ) N ? {u | u ? 4k , k ? Z} 。
所以, M

p ? ?q ? k , r ? 0

, 得

? N ,应选 A 。

分析 2 本题供选择的结论中,均为两集合之间的包含关系。证明集合之间包含关系的 一般方法是“若 a ? A ? a ? B ,则 ;证明集合相等关系的一般方法是“若 A? B”

?A ? B , ? ?B ? A ,
解 2

则A?

B” 。

若 u?M

? u ? 12 m ? 8n ? 4l

。设

m ? r , n ? 2q , l ? 5 p , 则

u ? 20 p ? 16q ? 12r ? N ? M ? N 。


u ? N ? u ? 20 p ? 16q ? 12r

。 设

p ? ?q ? 2n ? l , r ? m

, 则

u ? 12m ? 8n ? 4l ? M ? N ? M 。
由?

?M ? N ? M ? N 。所以应选 A 。 N ? M ?
已知

例 3

M ? {( x, y ) | y ? x 2 } , N ? {( x, y ) | x 2 ? ( y ? a) 2 ? 1} ,

A ? M ? N。
(1) 若 |

A |? 3 ,求实数 a 的值;

(2) 若 A ? ? ,求实数 a 的取值范围。 分析 首先应对题中的集合语言进行解读。M

? N ,意为由集合 M , N 分别表示的

两个方程组成的方程组的解集。 ( 1) 是求实数 a 的值, 使上述方程组有 3 解; (2) 是求实数 a 的取值范围,使上述方程组无解。
2 ? ?y ? x , ? y 2 ? (2a ? 1) y ? a 2 ? 1 ? 0 由? 2 2 ? ? x ? ( y ? a) ? 1,



(*)

? ? (2a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 1) ? 5 ? 4a 。
当a

?
?

5 时, ? ? 0 ,原方程组无解; 4
3 3 5 ?x?? 时, y ? ,原方程组有两解; 4 2 4

当a

当a

?

5 时, ? ? 0 ,方程(*)有两个不等的实根 y1 , y2 。 4

由x

2

? y ? 0 ,得方程(*)两根中,一根为正数另一根为 0 时,原方程组有 3 解;方
2

程(*)两根均为负根时,原方程组无解。 由a

? 1 ? 0 ? a ? ?1,经验算, a ? 1 时,原方程组有 3 解;

?? ? 0 ? 由 ?2a ? 1 ? 0 ? a ? ?1 ,即 a ? ?1时,原方程组无解。 ? 2 ?a ? 1 ? 0
所以,若 |

A |? 3 ,实数 a ? 1



若 A ? ? ,实数 a 的取值范围是 a

? ?1或 a ?

5 。 4

情景再现
1.已知数集{0 ,

? 1, 2a} ? {a ? 1, ? | a | , a ? 1},求实数 a
? x 2 ? ax ? 5 ? 4} 是单元素集合,则实数 a
( )

的值。

(1999 年第十届“希望杯”高一) 2.若 A ? {x | 0 的值为

A ?2 3
3 . 数

B ?2


C

?3

D

不存在这样的实数

(1990 年江苏省数学竞赛)

X ? {x | x ? (2n ? 1)? , n ? Z}


与 )





Y ? {y | y ? (4m ? 1)? , m ? Z} 之间的关系是 A X ?Y B X ?Y C X ?Y

D X ?Y

(1984 年全国高考题)

B 类例题
例 4 设集合 A, B, X 满足: A ?

X ? B ? X ? A ? B,

A? B ? X ? A? B。
若 A, B 为已知集合,求集合 X 。 分析 在研究集合之间的运算时,应理解集合运算的意义并注意应用运算的性质。

解1 由 设

A? B ? X ? A? B ? X ? A? B
或x?B

x? X ? x? A? B ? x? A
x ? X ,得
,即 x ? ( A ?

因为

?x ? A ?x ? B 或? ? ?x ? X ?x ? X
由 又

X ) ? (B ? X ) ? A ? B 。

x ? X ? x ? A ? B ,得 X ? A ? B 。

A? X ? A? B ? A? B ? X
? A? B。

所以, X 解2 所以, 由

A? B ? X ? A? B ? X ? A? B,

X ? X ? ( A ? B) ? ( A ? X ) ? (B ? X ) ? A ? B 。
已知集合 A ? {x ? R |

例5

x 2 ? (a ? 2) x ? 2a ? 4 ? 0} ,

B ? {x ? R | x 2 ? (2a ? 3) x ? 2a 2 ? a ? 3 ? 0} ,
若 A? B

? ? ,求实数 a

的取值范围 。

分析

由题意,两个一元二次方程

x 2 ? (a ? 2) x ? 2a ? 4 ? 0



x 2 ? (2a ? 3) x ? 2a 2 ? a ? 3 ? 0 中,至少有一个方程有实数解。采用直接方法是求
两个方程有解集合的并集;或采用间接方法是求两个方程无解集合的交集的补集。 解 1 由二次方程

x 2 ? (a ? 2) x ? 2a ? 4 ? 0 ,得

?1 ? (a ? 2) 2 ? 4(?2a ? 4) ? a 2 ? 4a ? 12 ? 0 ? a ? ?6 或 a ? 2 ;
由二次方程

x 2 ? (2a ? 3) x ? 2a 2 ? a ? 3 ? 0 ,得

7 3 ? 2 ? (2a ? 3) 2 ? 4(2a 2 ? a ? 3) ? ?4a 2 ? 8a ? 21 ? 0 ? ? ? a ? ; 2 2
由 A? B

? ? ,得所求实数 a

的取值范围是

7 3 {a | a ? ?6 或 a ? 2} ? {a | ? ? a ? } 2 2 7 3 ? {a | a ? ?6 , ? ? a ? 或 a ? 2} . 2 2
解2 由解 1,得

?? 6 ? a ? 2 ??1 ? 0 7 3 ? ?? ? 7 3 ? M ? {a | ?6 ? a ? ? 或 ? a ? 2} 。 2 2 a ? ? 或a ? ?? 2 ? 0 ? ? 2 2
由 A? B

? ? ,得所求实数 a

的取值范围是

[R M ? {a | a ? ?6 , ?

7 3 ? a ? 或 a ? 2} . 2 2

例 6 不大于 1000 的自然数中,既不是 3 的倍数,也不是 5 的倍数共有多少个? 分析 若不大于 1000 的自然数集合为全集 I ,其中 3 的倍数的集合为 A ,5 的倍数的 集合为 B 。则要求的是

|[ ( A ? B) |。
I

解 设不大于 1000 的自然数集合为全集 I ,其中 3 的倍数的集合为 A ,5 的倍数的集 合为 B ,则

1000 1000 1000 | A| ?[ ] ? 333 , | B | ? [ ] ? 200 , | A ? B | ? [ ] ? 66 。 3 5 15
因此, |

A ? B | ? | A | ? | B | ? | A ? B | ? 333 ? 200 ? 66 ? 467 。

所 以 , 不 大 于 1000 的 自 然 数 中 , 既 不 是 3 的 倍 数 , 也 不 是 5 的 倍 数 共 有

|[ ( A ? B) | ? 1000 ? | A ? B | ? 533(个) 。
I

情景再现
4 . 已 知

A ? {x | x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0} , B ? {x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0}



C ? {x | x 2 ? 2 x ? 8 ? 0},且 A ? C ? ?
(1)若 A ? B (2)若 A ? B



? ? ,求实数 a 的值;
? A ,求实数 a 的取值范围。

5 .若非空集合

A ? {x | 2a ? 1 ? x ? 3a ? 5}, B ? {x | 3 ? x ? 22} ,则能使
( )

A ? A ? B 成立的所有 a 的集合是
A {a | 1 ? a ? 9} B {a | 6 ? a ? 9}

C {a | a ? 9}
21

D ?
人优秀,物理

(1998 年全国高中数学联赛) 6.某班期末对数学、物理、化学三科的总评成绩进行统计:数学有

有 19 人优秀,化学有 20 人优秀,数学和物理都优秀的有 9 人,物理和化学都优秀的有 6 个,数学和化学都优秀的有 8 个。若该班有 7 人数学、物理、化学三科中没有一科优秀,试 确定该班总人数 S 的范围及仅数学一科优秀的人数 x 的范围。

C 类例题
例 7 设 a , b ? R , A ? {( x ,

y) | x ? n , y ? an ? b n ? Z} ,

B ? {( x , y ) | x ? m , y ? 3m 2 ? 15 m ? Z }, C ? {( x , y ) | x 2 ? y 2 ? 144} ,
是平面 XOY 内的点集,讨论是否存在 a , b 使得 (1) A ? B

??;

(2) (a , b) ? C 同时成立。 (1986 年全国高考题) 分析 首先应对题中的集合语言进行解读。 A ? B

? ? ,意为由集合 A , B 分别表示

的两个方程组成的方程组有整数解; (a , b) ? C ,则给出了 a , b 的允许值范围。 解 集合

A, B

可分别化简为

A ? {( x , y) | y ? ax ? b x ? Z} ,

B ? {( x , y ) | y ? 3x 2 ? 15

x ? Z}。

? y ? ax ? b ? 3 x 2 ? ax ? 15 ? b ? 0 , ? 2 ? y ? 3 x ? 15
? ? a 2 ? 12 (15 ? b) ? 144 ? b 2 ? 180 ? 12b ? ?(b ? 6) 2
仅当 b

? 6 且 a ? ?6 3 (a 2 ? b 2 ? 144 ) 时, ? ? 0 ,方程组有解。此时,原方

程组的解为 ?

?x ? ? 3 , ? y ? 24 .

由于,原方程组的解不是整数解,所以满足条件的实数 a , b 不存

在。 例 8 一次会议有 2005 位数学家参加,每人至少有 1337 位合作者,求证:可以找到 4 位数学家,他们中每两人都合作过。 分析 按题意,可以构造一种选法,找出符合条件的四位数学家。 解 由题意,可任选两位合作过的数学家 a , b ,设与 a 合作过的数学家的集合为

A

,与 b 合作过的数学家的集合为 B 。则 |

A |? 1337 ,

| B |? 1337 。又 | A ? B |? 2005。于是,

| A ? B | ? | A | ? | B | ? | A ? B | ? 1337 ? 1337 ? 2005 ? 669 。
因此,在集合 A ? B 中,有数学家且不是 a , b 。从中选出数学家 c ,并设与 c 合作过 的数学家的集合为 C 。则

| ( A ? B) ? C |? 2005, | C |? 1337

。于是,

| A ? B ? C | ? | A ? B | ? | C | ? | ( A ? B) ? C | ? 669 ? 1337 ? 2005 ? 1
因此,在集合 A ? B ? C 中 ,有数学家且不是 a , b , c 。又可从中选出数学家 d 。则 数学家 a , b , c ,

d ,他们中每两人都合作过。即原命题得证。

情景再现
7.设

f ( x) ? x 2 ? bx ? c ( b , c ? R ) , A ? {x | x ? f ( x) , x ? R } ,

B ? {x | x ? f ( f ( x)) , x ? R}。若集合 A 是单元素集,则 A ? B 。
8.计算不超过 120 的合数及 质数的个数。

习题 4
1.已知集合 M

? { x | x ? t 2 ? 4t ? 2 , t ? R } ,

N ? { y | y ? x 2 ? 4 x ? 2 , x ? R }, P ? { ( x , y) | y ? x 2 ? 4 x ? 2 , x ? R } ,
则集合 M , N , P 的关系是 ( )
[来源:Zxxk.Com]

A M ?N?P C M ?N?P
2.由 P ? M

B M ?N?P D M ?N?P
能够推出 ( )

? P?N

A M ?N C P ? [I M ? P ? [I N
3.设 a ?R, A ? {x ? R | | B 的真子集,则 a 的取值范围是

B P?M ? P?N D [I P ? M ? [I P ? N
(1985 年上海数学竞赛)

x ? a |? 1} , B ? {x ? R | | x ? 1 |? a 2 }。若 A 不是
( )

A ?1 ? a ? 1
4.已知 A

B a ? ?2 或 a ? 1

C ? 2 ? a ?1

D ?2? a ?0

? {( x, y ) | y ? ax ? 1} , B ? {( x, y ) | y ? x 2 } ,又 A ? B ? ? ,求实数

a 的取值范围。
5. 设 A ? {x | ?2 ?

x ? a} , B ? {y | y ? 2x ? 3, x ? A}



C ? {z | z ? x 2 , x ? A} 且 C ? B ,求实数 a 的取值范围。
6. 设 M

? {a | a ? x 2 ? y 2 , x, y ? Z },求证:

(1) 一切奇数属于 M ; (2) 形如 4k (3)

? 2 (k ? Z ) 的数不属于 M



M

中任意两个数的积仍属于 M 。

7. 设 A ? {n | 100

? n ? 600 , n ? N},则集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整
[来源:学科网 ZXXK]

除的数的个数为__________。 (1994 年江苏省数学竞赛) 8 .已知对任意实数

x x ,函数 f ( x) 都有定义,且 f 2 ( x) ? 2 x 2 f ( ) ,如果集合 2

A ? {a | f (a) ? a 2 } 不是空集,试证明 A 是无限集。 (1994 年江苏省数学竞赛)
9 .设

A, B 是坐标平面上的两个点集, Cr ? {( x, y ) | x 2 ? y 2 ? r 2 } ,若对任何

r?0

都有 Cr

? A ? Cr ? B ,则必有 A ? B 。
(1984 年全国数学联赛)

此命题是否正确?

10.设 S 为满足下列条件的有理数集合: (1)若 a ? S , b ? S ,则 a ? b ? S ,

ab ? S



(2)对任意一个有理数 r ,三个关系 r ? S ,

? r ? S , r ? 0 有且仅有一个成立。

证明: S 是由全体正有理数组成的集合。 (1972 年奥地利数学竞赛)

答案
情景再现
1. 设 a ? 1 ?
[来源:学科网 ZXXK]

0 ? a ? 1,经检验符合题意;

? | a |? 0 ? a ? 0 ,经检验不合题意;
a ? 1 ? 0 ? a ? ?1,经检验符合题意。
故所求的值为 a

? ?1 。
的解集。当两个不等式的解集有共同的边界

2.

2 ? ? x ? ax ? 5 ? 4 集合 A 表示不等式组 ? 2 ? ? x ? ax ? 5 ? 0

点,或者两个不等式的解集中,有一个是单元素集时,不等式组解集有可能为单元素集。 由此,不等式 x

2

? ax ? 5 ? 4 可化简为 x 2 ? ax ? 1 ? 0 ,当 a ? ?2 时

,此不等

式的解集为单元素集。故应选 B 。 3. 由 2n ? 1 选C 。 4.

(n ? Z ) 与 4m ? 1 (m ? Z ) 都表示全体奇数,所以, X ? Y 。故应

B ? {x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0} ? { 2 , 3 }, C ? {x | x 2 ? 2 x ? 8 ? 0} ? { ? 4 , 2 }。
(1) 由 A ? C

??

且 A? B

??

,得

3

是集合 A 的元素。将

3

代入方程

x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0 , 得 a 2 ? 3a ? 10 ? 0 , 解 此

方程得

a ? ?2 或

a ? 5 。经检验,所求实数 a 的值为 a ? ?2 ;
(2) 由 A ? B ?

A ? A ? B ,又 A ? C ? ? ,所以集合 A 为 ?
,


或 {3} . 由

(1 ) , A ? {3} 不可能。当 A ? ?

? ? a 2 ? 4(a 2 ? 19 ) ? 0 ? a ? ?
因此,所求实数 a 的取值范围是 a 5.

2 57 2 57 或a? . 3 3


??

2 57 2 57 或a? 3 3

A ? A ? B 即 A ? A ? B 。因此,
?2a ? 1 ? 3 ? 1 ? a ? 9 。所以,应选 A 。 ? 3 a ? 5 ? 22 ?

6.



A ? {该班数学成绩优秀的学生} B ? {该班物理成绩优秀的学生}

C ? {该班化学成绩优秀的学生}


| A | ? 21 , | B | ? 19 , | C | ? 20 , | A ? B | ? 9 ,

| B ?C | ? 6 , | C ? A| ? 8 , | A? B ?C | ? k .
| A? B ?C | ?| A| ? | B | ? |C | ?| A? B | ?| B ?C | ?|C ? A| ? | A? B ?C | ? 21 ? 19 ? 20 ? 9 ? 6 ? 8 ? k ? 37 ? k .
由 A? B ?C 是 A? B ,

B ? C , C ? A 的子集,得

[来源:Zxxk.Com]

k ? min{ 9 , 6 , 8 } ? 0 ? k ? 6 。
因此, 37

? 0 ? 7 ? S ? 37 ? 6 ? 7 ? 44 ? S ? 50



x ? | A ? [ I B ? [ I C | ? | A ? [ I (B ? C) | ?| A? B ?C | ?| B ?C | ?| A ? B ? C | ?(| B | ? | C | ? | B ? C |) ? 37 ? k ? (19 ? 20 ? 6) ?k?4
因此, 4

? x ? 10 。 44 ? S ? 50 ;

所以,该班总人数 S 的范围是

仅数学一科优秀的人数 x 的范围是 7. 若集合 A 是单元素集,设 A ? { ?} 即

4 ? x ? 10



f ( x) ? x ? ( x ? ? ) 2 ,则

f ( x) ? ( x ? ? ) 2 ? x ,

f ( f ( x)) ? x ? [( x ? ? ) 2 ? x ? ? ]2 ? ( x ? ? ) 2 ? x ? x ? ( x ? ? ) 2 [( x ? ? ? 1) 2 ? 1] ? ( x ? ? ? 1) 2 ? 1 ? 0 ? f ( f ( x)) ? x ? 0 ? x ? ? . ? B ? {? } ? A .
8. 不超过 120 的合数的质因数 ? 因此不超过 120 的合数必 定是质数 2, 120 ? 11,

3,5,7 的倍数。
设I

? {n ? N | 1 ? n ? 120},

A ? { I 中 2 的倍数} , B ? { I 中 3 的 倍 数 }, C ? { I 中 5 的倍数} , D ? { I 中 7 的 倍 数 }。
120 120 | A| ?[ ] ? 60 , | B | ? [ ] ? 40 , 2 3 120 120 |C |?[ ] ? 24 , | D | ? [ ] ? 17 , 5 7
[来源:Zxxk.Com]



| A? B | ?[

120 120 ] ? 20 , | B ? C | ? [ ]?8, 2?3 3? 5

| A?C | ?[ | A? D | ?[

120 120 ] ? 12 , | B ? D | ? [ ]?5, 2?5 3? 7 120 ]?8, 2?7 |C ? D| ?[ 120 ]?3, 5? 7

120 ]?4, 2 ? 3? 5 120 | A?C ? D | ?[ ] ?1, 2?5? 7 120 | A? B ? D | ?[ ]?2, 2 ? 3? 7 | A? B ?C | ?[

| B?C ? D| ?[

120 ] ?1, 3? 5? 7 120 ]? 0. 2 ? 3? 5? 7

| A? B ?C ? D | ?[

不超过 120 且是 2,3,5,7 的倍数共有

60 ? 40 ? 24 ? 17 ? 20 ? 12 ? 8 ? 8 ? 5 ? 3 ? 4 ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 ? 93 .
所以,不超过 120 的合数共有 93 ? 4 不超过 120 的质数共有120

? 89 (个) (除去四个质数) ;

? 89 ? 1 ? 30 (个) (1 不是质数) 。

习题 4
1. 由

x 2 ? 4 x ? 2 ? ( x ? 2) 2 ? 2 ? ?2 , 得 M ? N ? ( ? ? , ? 2] 。 又 集 合

M , N 表示数集, P 表示点集,所以, M ? N ? P 。故应选 B 。
2. 解1 设P

? {1, 2 , 3, 4}, M ? {1, 5} , N ? {2 , 5} ,
? P?N 。

则P?M

经验算, A , 解2 由

B , C 均不正确,所以,应选 D 。

P ? M ? P ? ([I P ? M ) , P ? N ? P ? ([I P ? N ) ,

所以, [ I 3.

P ? M ? [ I ?N 。故应选 D 。

A ? {x ? R | | x ? a |? 1} ? [a ? 1, a ? 1] ,
B ? {x ? R | | x ? 1 |? a 2 } ? [1 ? a 2 , 1 ? a 2 ].
2 2 ? ?a ? 1 ? 1 ? a , ? ?a ? 1 ? 1 ? a , 若 A 是 B 的真子集,则 ? 或? 2 2 ? ?a ? 1 ? 1 ? a . ? ?a ? 1 ? 1 ? a .
解得 a ? ?2 或 a

? 1。所以,若 A 不是 B 的真子集,则 ? 2 ? a ? 1 。故应选 C 。
无解。

4.

由题意,方程组 ?

? y ? ax ? 1
2 ?y ? x

? y ? ax ? 1 ? x 2 ? ax ? 1 ? 0 ,得 由方程组 ? 2 ?y ? x

? ? a2 ? 4 ? 0 ? ? 2 ? a ? 2.
所以实数 a 的取值范围是 ? 2 ? 5.

a ? 2。

B ? {y | y ? 2x ? 3, x ? A} ? [?1, 2a ? 3] ,
?[a 2 , 4] , ? C ? {z | z ? x 2 , x ? A} ? ?[0 , 4] , ? 2 ?[0 , a ] ,
当? 2 ?

? 2 ? a ? 0, 0 ? a ? 2, a ? 2.

1 1 a ? 0 时, 2a ? 3 ? 4 ? a ? ? . ? ? ? a ? 0 ; 2 2

当0 ? 当a

1 a ? 2 时, 2a ? 3 ? 4 ? a ? ? . ? 0 ? a ? 2 ; 2

? 2 时, 2a ? 3 ? a 2 ? ? 1 ? a ? 3 . ? 2 ? a ? 3 .

综上,所求实数 a 的取值范围是 ? 6。 (1)奇数集合可表示为 P

1 ? a ? 3。 2

? {a | a ? 2n ? 1 , n ? Z} 。

a ? P ? a ? 2n ? 1 ? (n ? 1) 2 ? n 2 ? a ? M ;
(2) 因为

x 2 ? y 2 ? ( x ? y )( x ? y ) 。
x? y


x? y

同为奇数或同为偶数,所以,

x2 ? y2

或为

2m ? 1 (m ? Z ) ,或为 4m (m ? Z ) ,不可能为形如 4k ? 2 (k ? Z ) 的数。故
形如 4k

? 2 (k ? Z ) 的数不属于 M



(3) 设 所以,

2 2 2 2 p , q ? M ,则 p ? x1 ? y1 , q ? x2 ? y2

x1, x2 , y1, y2 ? Z ,

2 2 2 2 p ? q ? ( x1 ? y1 )( x2 ? y2 ) ? ( x1x2 ? y1 y2 ) 2 ? ( x1 y2 ? x2 y1 ) 2 ? M 。
7. 设 B

? {b ? A | b ? 7k ? 2 , k ? N} 。
600 ? 2 99 ? 2 ] ?[ ] ? 85 ? 13 ? 72 ; 7 7



| B |? [

由100 又 57 k

? 57 k ? 600 ? 2 ? k ? 10 。
? 7 ? 8k ? k ,故当 k ? 2 或 9 时, 57 k 被 7 除余 2。 ? 2 ? 70 (个) 。

所以,集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的个数为 72 8. 由题意,存在非零实数 x ?

A ,得 f ( x) ? x 2 ? 0

x x x f 2 ( x) ? 2 x 2 f ( ) ? f 2 ( x) ? 2 x 2 f ( ) ? 2 f 2 ( x) f ( ) 2 2 2 x ? x 2 ? f ( x) ? 2 f ( x) f ( ) 2 x x2 x ? f( )? ? ( )2 . 2 2 2
即 由

f ( x) ? x 2 ?

x x f ( ) ? ( ) 2 。又非零实数 x 可无限平分,所以原命 2 2

题得证。 9. 命题不正确。反例如下: 取 A ? {( x, y) |

y ? x, ? 1 ? x ? 1},

B ? {(x, y) | y ? x, x ? 0 且 x ? R},

则集合 A, B 满足 Cr 10。

? A ? Cr ? B ,但集合 A 不是集合 B 的子集。

由(2)知, 0 ? S 。 对任意非零有理数 r ,由(2) ,得 r ? S 或 ? r ? S 。再由(1)

r ? r ? (?r )( ?r ) ? r 2 ? S 。于特例中,取 r ? 1 ? 1? S 。
于(1)中,由1 ? S 数都是集合 S 的元素。 设任意正有理数 r

? 1 ? 1 ? 2 ? S ? 1 ? 2 ? 3 ? S ? ?,得全体正整

?

p , q

p, q ? N *, ( p, q) ? 1 。
,又



p, q ? N * ? p, q ? S ? pq ? S
1 ?

1 1 ?Q ? 2 ? S q q

,则

pq ?

q2

p ? S 。即全体正有理数都是集合 S 的元素。 q

又由(2) ,全体负有理数不可能是集合 S 的元素,所以集合 S 是由全体正有理数组 成的集合。

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