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2014高中数学(预习自测+课内练习+巩固提高)3.2.1 函数的模型及应用(1)新人教A版必修1


3.2.1 函数的模型及应用(1)
【自学目标】 1. 能根据实际问题的情景建立函数模型,结合对函数性质的研究给出问题的解答; 2. 能利用所学的数学知识分析、研究身边的问题,启发引导学生 数学地观察世界、感 受世界; 3. 培养学生数学地分析问题、探索问题 、解决问题的能力. 【知识要点】 解函数应用题常用函数与方程思想、 转化与化归等思想方法,建立恰当的数学模型; 能力方面要求注意中逻辑推理嫩里、计算能力、阅读理解能力,在具体的解题过程中主要抓 住以下步骤: 第一步:阅读理解、认真审题; 第二步:引进数学符号,建立数学模型; 第三步:利用数学方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答,求得结果; 第四步:再转化成具体问题作出规范解答. 【预习自测】 例 1.某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固定成本为 200 万元,生产每台计算机可 变成本为 3000 元,每台计算机的售价为 5000 元。分别写出总成本 C (万元) 、单位成本 P (万元) 、销售收入 R (万元) 、以及利润 L (万元)关于总产量 x (台)的函数关系式.

例 2.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是 T0 ,经过

? 1 ?h 一 定时间 t 后的 温度是 T ,则 T ? Ta ? ?T0 ? Ta ? ? ? ? ,其中 Ta 表示环境温度, h 称为 ?2?
半衰期. 现在一杯用 88 0 C 热水冲的速溶咖啡,放在 24 0 C 的房间里,如果咖啡降温到

t

40 0 C 需要 20 min ,那么降温到 35 0 C 时,需要多长时间?

1

例 3.在经济学中, 函数 f ? x ? 的边际函数 Mf ?x ? 定义为 Mf ?x ? ? f ?x ? 1? ? f ?x ? 。某公司每 月最多生产 100 台报警系统装置, 生产 x 台 x ? N

?

*

?的收入函数为 R?x? ? 3000 x ? 20 x (单
2

位:元) ,其成本函数 C ?x ? ? 500 x ? 4000 (单位:元) ,利润是收入与成本之差. (1) 求利润函数 P ? x ? 及边际利润函数 MP?x ? ; (2) 利润函数 P ? x ? 与边际利润函数 MP?x ? 是否具有相同的最大值?

例 4.如图所示,有一块半径为 R 的半圆形钢板,计划裁成等腰梯形 ABCD 的形状,它的 下底 AB 是⊙o 的直径,上底 CD 的端点在圆周上,写出这个梯形的周长 y 与腰长 x 之间的 函数式,并写出它的定义域.

D

C

A

B

2

【课内练习】 3 0 1.某物体一天中的温度 T 是时间 t 的函数 T(t)=t -3t+60, 时间单位是小时, 温度单位是 C, 当 t=0 时表示中午 12:00,其后 t 值去为正,则上午 8 时的温度是( ) 0 0 0 0 A.8 C B.1 12 C C.58 C D.18 C 2.某商店卖 A、B 两种不同的价格的商品,由于 A 连续两 次提价 20℅,同时 B 连续两次降价 20℅,结果都以每件 23.0 4 元售出这两种商品各一件,则与价格不提不降的情况相比较, 商店盈利的情况是( ) A.多赚 5.92 元 B.少赚 5.92 元 C. 多赚 28.92℅ D.盈利相同 3.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路, 该产品的广告效应应该是产品的销售额与 广告费之间的差。 如果销售额与广告费的算术平方根成正比, 根据对市场进行抽样调查显示, 每付出 100 元的广告费,所得销售额是 1000 元,问该企业应投入 广告费,才能 获得最大的广告效应。 4.生产某商品 x 吨的费用是 1000+5 x +

1 2 x 出售这种商品 x 吨的价格是每吨 a ? 元, x 元, 10 b

其中 a、b 是常数,若生产的产品都被卖掉,并且当生产量是 150 吨时利润最大,这时每吨 价格是 40 元 ,则 a、b 的值分别是 。 【归纳反思】 1.审好题,审题注意取准自变量与函数值,不要盲目取变量,另外,审题时,切不可在一 些规定的专用名词上纠缠。 2.列出函数解析式时,注意实际问题对自变量取值范围的限制。 3.建立函数模型后,需解 答函数模型,解答主要是方程求解,函数性质的讨论,有时用到 不等式,因此,对计算能力要求较高,另外,在涉及近似计算时,要注意问题的实际意义, 切不可采取简单处理的方法,是用四舍五入法,还是用进位法或取整法,都应视实际情况而 定。 【巩固提高】 1.某种菌种在培养过程中每 20 分钟分裂一次(一个分裂为 2 个) ,经过 3 小时,一个菌种可 繁殖为( ) A.511 个 B.512 个 C.1023 个 D.1024 个 2.某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 10.4%,经过 x 年,绿化面积与原绿化面积之比 为 y,则 y=f(x)的图象大致是( ) y
y

y
1

y

1 0 x

0
0 x

x

0

A

C

x

B

D

3.用活动拉门(总长为 a)靠墙围成一矩形场地(一边利用墙) ,则可以围成的场地的最大 面积为( )

3

A. 1 a 2
2

B. 1 a 2
4

C. 1 a 2
8

D. 1 a 2
16

4.已知镭经过 100 年剩留质 量是原来质量的 0.9567,设质量为 1 的镭经过 x 年后剩留量为 y,则 y 关于 x 的函数关系是( )
x

A. y ? 0.9567 100

B. y ? (

0.9567 x ) 100
x 100

C. y ? 0.9567

100 x

D. y ? 1 ? 0.0424

5.某工厂的产值月平均增长率为 p,则年平均增长率是 6.某厂生产某种产品的固定成本为 200 万元,并且生产量每增加一单位产品,成本增加 1 万元,又知总收入 R 是单位产量 Q 的函数: R(Q) ? 4Q ?

1 Q 2 ,则总利润 L(Q)的最大 200

值是 万元,这时产品的生产数量为 (总利润=总收入-成本). 7.从盛满 aL(a 是常数)纯酒精的容器中倒出 1L,然后用水填满,再倒出 1L 混合液后又用 水填满,这样继续下去,如果倒第 n 次(n ? 1)时共倒出纯酒精 xL,设倒第(n+1)次时共 倒出 f(x)L,则函数 f(x)的表达式为 . 8.某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出,当每辆车的 月租金每增加 50 元时,未出租的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费 150 元, 未租出的车每辆没月需要维护费 50 元。 (1) 当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车?

(2) 当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

9.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律:每生产产品 x (百台) ,其成本为 G(x)万元,其中固定成本为 2 万元,并且每生产 100 台的生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本) 销售收入 R(x)满足 R(x)= ,

?? 0.4 x 2 ? 4.2 x ? 0.8, (0 ? x ? 5), 假定该产品销售平衡,那么根据上述统计规律。 ? 10 .2, ( x ? 5), ?
(1) 要使工厂有盈利,产品 x 应控制在什么范围? (2) 工厂生产多少台产品时赢利最大?并求此时每台产品的售价为多少?

4

5

参 考 答 案 函数的模型及应用(1) 【预习自测】 例 1. C ? 200 ? 0.3x, x ? N *

P?
例 2.

200 ? 0.3, x ? N * x

R ? 0.5x, x ? N *
例 3. ( 1 ) 例 4

L ? 0.2 x ? 200 , x ? N *

25 min

P( x) ? ?20 x 2 ? 2500 x ? 4000 , MP( x) ? 2480 ? 40 x (2)不具有相同的最大值

x2 y?? ? 2 x ? 4 R (0 ? x ? 2 R ) R
【课内训练】 1.A. 2.B. 【巩固提高】 1.B.

3.2500 元.

4.37.5;60.

2.D. 3.C. 4.A. 5. (1 ? p)

12

? 1 .6.250,300.7. f ( x) ?

a ?1 x ? 1 .8.(1)88.(2) a

4050 元,307050 元.9.(1)大于 100 台,而小于 820 台.(2)生产 400 台时赢利最大,每 台 240 元.

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