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广东省广州市2013届高三毕业班综合测试数学理试题(一)2013广州一模 Word版含答案


试卷类型:A

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(理科)
2013.3 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置 上。

2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷 上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏 涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 如果事件 A, B 相互独立,那么 P A ? B

?

?

? P ? A? ? P ? B ? .

? ? ? 线性回归方程 y ? bx ? a 中系数计算公式

? b ?

i ?1

? ( xi ? x)( yi ? y )
i ?1

n

? ( xi ? x)

n

? ? , a ? y ? bx ,

2

其中 x, y 表示样本均值. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U ? 1, 2,3, 4,5,6 ,集合 A ? 1,3,5 , B ? A. U ? A ? B C. U ? A ? ? B U

?

?

?

?

?2,4? ,则
? ?

B. U ? ? A ?B U

?

?

?

?

D. U ? ? A ? ? B U U

?

?

2. 已知

a ? 1 ? bi ,其中 a,b 是实数,i 是虚数单位,则 a ? b i ? 1?i
B. 2 ? i C. 2 ? i D. 1 ? 2 i

A. 1 ? 2 i

? x ? 2 y ? 1, ? 3.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ? 1 ? 0. ?
A. ?3 4. 直线 x ? B. 0
2

C. 1

D. 3

3 y ? 0 截圆 ? x ? 2? ? y 2 ? 4 所得劣弧所对的圆心角是
B.

A.

? 6 ? 2

? 3
1

2 1 正视图 侧视图

C.

D.

2? 3

5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图 1,则该几何体的体积是 A. 2 B. 1 C.

2

2 3

D.

1 3

2 俯视图 图1

6. 函数 y ? sin x ? cos x

?

? ?sin x ? cos x ? 是
B.奇函数且在 ?

A.奇函数且在 ?0, ? 上单调递增

? ?

??
2?

?? ? ,? ? 上单调递增 ?2 ? ?? ? ,? ? 上单调递增 ?2 ?

C.偶函数且在 ?0, ? 上单调递增

? ?

??
2?

D.偶函数且在 ?

x 7.已知 e 是自然对数的底数,函数 f ? x ? ? e ? x ? 2 的零点为 a ,函数 g ? x ? ? ln x ? x ? 2

的零点为 b ,则下列不等式中成立的是 A. f ? a ? ? f ?1? ? f ? b ? C. f ?1? ? f ? a ? ? f ? b ? B. f ? a ? ? f ? b ? ? f ?1? D. f ? b ? ? f ?1? ? f ? a ?

8.如图 2,一条河的两岸平行,河的宽度 d ? 600 m, 一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B . 已知 AB ? 1 km,水流速度为 2 km/h, 若客船行 驶完航程所用最短时间为 6 分钟,则客船在静水中 的速度大小为 A. 8 km/h C. 2 34 km/h B. 6 2 km/h D. 10 km/h

B ?
水流方向

? A

图2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)

9. 不等式 x ? 1 ? x 的解集是 10. ?0 cos x d x ?
1

. .

11.某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元)有下表的统计资 料:

x
y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

? ? 根据上表可得回归方程 y ? 1.23x ? a ,据此模型估计,该型号机器使用年限为 10 年时
维修费用约 万元(结果保留两位小数) .

?a x ? x ? 1? , ? 12.已知 a ? 0,a ? 1 ,函数 f ? x ? ? ? 若函数 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上的最 ? ? ? x ? a ? x ? 1? , ? ?
大值比最小值大

5 ,则 a 的值为 2
*

.

13. 已知经过同一点的 n n ? N ,n ? 3)个平面,任意三个平面不经过同一条直线.若这 n ( 个平面将空间分成 f

? n ? 个部分,则 f ? 3?

?

,f

?n?

?

.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, 定点 A ? 2, ? ? , B 在直线 ? cos ? ? 3? sin ? ? 0 上运动, 点 当线段 AB 最 2 短时,点 B 的极坐标为 15. (几何证明选讲选做题) 如图 3, AB 是 ? O 的直径, BC 是 ? O 的切线, AC 与 ? O 交于点 D , 若 BC ? 3 , AD ? .
O B D C

? ?

3 ? ?

16 ,则 AB 的长为 5

A



图3

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? 正周 期为 8 .

?
4

) (其中 x ?R , A ? 0 , ? ? 0 )的最大值为 2,最小

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2) 若函数 f ( x) 图象上的两点 P, Q 的横坐标依次为 2, 4 , 为坐标原点, 求△ POQ 的 O 面积.

17. (本小题满分 12 分) 甲, 丙三位学生独立地解同一道题, 乙, 甲做对的概率为

1 , 丙做对的概率分别为 m , 乙, 2

n ( m > n ),且三位学生是否做对相互独立.记 ? 为这三位学生中做对该题的人数,其
分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 4

a

b

1 24

(1) 求至少有一位学生做对该题的概率; (2) 求 m , n 的值; (3) 求 ? 的数学期望.

18. (本小题满分 14 分) 如图 4,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,△ ABC 是边长为 2 的等边三角形,
A1 B1 D C1

AA1 ? 平面 ABC , D , E 分别是 CC1 , AB 的中点.
(1)求证: CE ∥平面 A1 BD ;
A

15 (2)若 H 为 A1 B 上的动点,当 CH 与平面 A1 AB 所成最大角的正切值为 时, 2
求平面 A1 BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值.

C E 图4 B

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且

a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? nan ? (n ? 1)Sn ? 2n (n ? N * ).

(1) 求数列 {an } 的通项公式; (2)若 p,q,r 是三个互不相等的正整数,且 p,q,r 成等差数列,试判断

a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 是否成等比数列?并说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两个焦点分别为 F1 (?2, 0) , F2 2,0 ,点 A(2, 3) 在椭 圆 C1 上, 过点 A 的直线 L 与抛物线 C2 : x ? 4 y 交于 B,C 两点, 抛物线 C2 在点 B,C 处
2

?

?

的切线分别为 l1 ,l2 ,且 l1 与 l 2 交于点 P . (1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 是否存在满足 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 的点 P ? 若存在, 指出这样的点 P 有几个 (不 必求出点 P 的坐标); 若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已 知 二 次 函 数

f ? x ? ? x 2 ? ax ? m ? 1 , 关 于

x 的 不 等 式

f ? x ? ? ? 2m ? 1? x ? 1 ? m 2
的解集为 m, m ? 1 ,其中 m 为非零常数.设 g x (1)求 a 的值; (2) k(k ? R )如何取值时,函数 ? x ? g x ? k ln x ? 1 存在极值点,并求出极 值点; (3)若 m ? 1 ,且 x ? 0 ,求证: ? g x ? 1 ? ? g x n ? 1 ? 2n ? 2 n ?N ). ( ? ?
*

?

?

? ?

?

f ? x? x ?1

.

? ?

? ?

?

?

?

?

n

?

?

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力对照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 D 5 A 6 C 7 A 8 B

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题 5 分,满 分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9. , ?? ? ?

?1 ?2

? ?

10. sin 1

11. 12.38

12. 或

1 2

7 2

13. n ? n ? 2 8,
2

14. ? 1,

? 11? ? ? 6 ? ?

15. 4

说明:① 第13题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分. ② 第14题的正确答案可以是: ?1,

? 11? ? ? 2k ? ? (k ? Z ). 6 ? ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公 式等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:∵ f ( x) 的最大值为2,且 A ? 0 , 1分 ∵ f ( x) 的最小正周期为 8 , 分 ∴ f ( x) ? 2sin( ∴T ? ∴ A? 2. ?????

2?

?

得 ? 8, ? ?

?
4

.

?????2

?

x? ). 4 4

?

?????

3分 (2)解法 1:∵ f (2) ? 2sin ? 分

? ?? ? ? ? ? ? 2 cos ? 2 , 4 ?2 4?

?????4

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
分 ∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ OP ? 8分 ∴ cos ?POQ ? 10 分 ∴ sin ?POQ ? 11 分 ∴ △

?????5

6, PQ ? 2 3, OQ ? 3 2 .

?????

OP ? OQ ? PQ
2 2

2

2 OP OQ

? 6 ? ? ?3 2 ? ? ? 2 3 ? ?
2 2

2

2 6 ?3 2

?

3 . ??? 3

1 ? cos2 ?POQ ?

6 . 3

?????

P

O



Q







S ?

1 2

sin ? O

? P

?

1 6 ? O 2

?

3? 3 2 . Q

2

6 P 3

O

Q

????? 12 分 解法 2:∵ f (2) ? 2sin ? 分

? ?? ? ? ? ? ? 2 cos ? 2 , 4 ?2 4?

?????4

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
分 ∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . (苏元高考吧:www.gaokao8.net) ∴ OP ? (2, 2), OQ ? (4, ? 2) . 8分

?????5

??? ?

????

?????

??? ???? ? ??? ???? ? OP ? OQ 6 3 ∴ cos ?POQ ? cos ? OP, OQ ?? ??? ???? ? . ? ? 3 6 ?3 2 OP OQ
10 分 ∴ sin ?POQ ? 11 分 ∴ △

?????

1 ? cos2 ?POQ ?

6 . 3

?????

P

O



Q







S ?

1 2

sin ? O

? P

?

1 6 ? O 2

?

3? 3 2 . Q

2

6 P 3

O

Q

????? 12 分 解法 3:∵ f (2) ? 2sin ? 分

? ?? ? ? ? ? ? 2 cos ? 2 , 4 ?2 4?

?????4

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
分 ∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ∴直线 OP 的方程为 y ? 分 ∴点 Q 到直线 OP 的距离为 d ? 9分 ∵ OP ? 分 ∴△ POQ 的面积为 S ?

?????5

2 x ,即 x ? 2
4? 2 3

2y ? 0.

?????7

? 2 3.

?????

6,

?????11

1 1 OP ? d ? ? 2 2

6 ? 2 3 ? 3 2.

?????

12 分 17. (本小题满分12分) (本小题主要考查相互独立事件的概率、 离散型随机变量的均值等基础知识, 考查数据处理、 推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想) 解:设“甲做对”为事件 A , “乙做对”为事件 B , “丙做对”为事件 C ,由题意知,

P ? A? ?


1 , P ? B ? ? m, P ? C ? ? n . 2

?????1

(1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ ? ? 0 ”是对立的, 所以至少有一位学生做对该题的概率是 1 ? P 3分 (2)由题意知 P

??

? 0? ? 1 ?

1 3 ? . 4 4

????

??

? 0 ? ? P ABC ?

?

?

1 1 ?1 ? m ? ?1 ? n ? ? 4 , 2 1 1 mn ? , 2 24

?????4 分

P ?? ? 3? ? P ? ABC ? ?
分 整理得

?????5

mn ?

7 1 ,m ? n ? . 12 12
1 1 ,n ? . 3 4
?????

由 m ? n ,解得 m ? 7分 (3)由题意知 a ? P

??

? 1? ? P ABC ? P ABC ? P ABC

?

?

?

?

?

?

?


1 1 1 11 ?1 ? m? ?1 ? n ? ? 2 m ?1 ? n ? ? 2 ?1 ? m ? n ? 24 , ???9 2

b ? P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) =
10 分

1 , 4

?????

∴ ? 的数学期望为 E? ? 0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? 2P(? ? 2) ? 3P(? ? 3) =

13 . 12

???? 12分 18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间 想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) 解法一: (1)证明:延长 A1 D 交 AC 的延长线于点 F ,连接 BF .

∵ CD ∥ AA1 ,且 CD ? ∴ C 为 AF 的中点. ∵ E 为 AB 的中点, ∴ CE ∥ BF .

1 AA , 2 1
?????2 分 ?????3 分

A1 B1

C1

D

H A E B C F

∵ BF ? 平面 A1 BD , CE ? 平面 A1 BD , ∴ CE ∥平面 A1 BD . 分 (2)解:∵ AA1 ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , ∴ AA1 ? CE . 分 ∵△ ABC 是边长为 2 的等边三角形, E 是 AB 的中点, ∴ CE ? AB , CE ?

?????4

?????5

3 AB ? 2

3.

∵ AB ? 平面 A1 AB , AA1 ? 平面 A1 AB , AB ? AA1 ? A , ∴ CE ? 平面 A1 AB . ∴ ?EHC 为 CH 与平面 A1 AB 所成的角. 7分 ∵ CE ? ?????6 分 ?????

3,

在 Rt△ CEH 中, tan ?EHC ?

CE 3 ? , EH EH
?????8

∴当 EH 最短时, tan ?EHC 的值最大,则 ?EHC 最大. 分 ∴当 EH ? A1B 时, ?EHC 最大. 此时, tan ?EHC ?

CE 3 15 ? ? . 2 EH EH
?????

∴ EH ? 9分

2 5 . 5

∵ CE ∥ BF , CE ? 平面 A1 AB , ∴ BF ? 平面 A1 AB . ?????

10 分 ∵ AB ? 平面 A1 AB , A1 B ? 平面 A1 AB , ∴ BF ? AB ,BF ? A1 B . 分 ∴ ?ABA1 为平面 A1BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角). 分 在 Rt△ EHB 中, BH ? 分 ∴平面 A1 BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为 分 解法二: (1)证明:取 A1 B 的中点 F ,连接 DF 、 EF . ∵ E 为 AB 的中点, ∴ EF ∥ AA1 ,且 EF ? ?????12 ?????11

EB 2 ? EH 2 ?

BH 5 ? , cos ?ABA1 ? 5 EB

5 .?13 5

5 . 5

?????14

z A1 C1 B1 D

1 AA1 . 2

?????1 分

1 AA , ∵ CD ∥ AA1 ,且 CD ? 2 1
∴ EF ∥ CD , EF ? CD . ∴四边形 EFDC 是平行四边形. ∴ CE ∥ DF . ?????2 分 ?????3 分

F H A E x B

C

y

∵ DF ? 平面 A1 BD , CE ? 平面 A1 BD , ∴ CE ∥平面 A1 BD . (苏元高考吧:www.gaokao8.net)

?????4 分

(2)解:∵ AA1 ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , ∴ AA1 ? CE . 分 ∵△ ABC 是边长为 2 的等边三角形, E 是 AB 的中点, ∴ CE ? AB , CE ? ?????5

3 AB ? 2

3.

∵ AB ? 平面 A1 AB , AA1 ? 平面 A1 AB , AB ? AA1 ? A ,

∴ CE ? 平面 A1 AB . ∴ ?EHC 为 CH 与平面 A1 AB 所成的角. 7分 ∵ CE ?

?????6 分 ?????

3,

在 Rt△ CEH 中, tan ?EHC ?

CE 3 ? , EH EH
?????8

∴当 EH 最短时, tan ?EHC 的值最大,则 ?EHC 最大. 分 ∴当 EH ? A1B 时, ?EHC 最大. 此时, tan ?EHC ?

CE 3 15 ? ? . 2 EH EH
?????

∴ EH ? 9分

2 5 . 5

在 Rt△ EHB 中, BH ?

EB 2 ? EH 2 ?

5 . 5

∵Rt△ EHB ~Rt△ A1 AB ,

2 5 EH BH ? ? ∴ ,即 5 AA1 AB AA1
∴ AA1 ? 4 . 10 分

5 5 . 2
?????

以 A 为原点,与 AC 垂直的直线为 x 轴, AC 所在的直线为 y 轴, AA1 所在的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 A ? xyz . 则 A (0, 0, 0) , A1 (0, 0, 4) , B ∴ AA1 ? (0, 0, 4) , A1 B ?

(

3, 1, 0 , D (0, 2, 2) .

)

????

????

(
?

???? ? 3, 1, - 4 , A1D ? (0, 2, - 2) .

)

设平面 A1 BD 的法向量为 n = x, y, z ,

?

????
由 n ?A1 B

???? ? 0 , n ?A1 D

0,

得? í

ì 3x + y - 4 z = 0 ? (苏元高考吧:www.gaokao8.net) ? 2 y - 2 z = 0. ? ?

令 y = 1 ,则 z = 1, x =

3.

∴平面 A1 BD 的一个法向量为 n = 分

(

3, 1, 1 .

)

?????12

∵ AA1 ? 平面 ABC , ∴ AA1 = (0, 0, 4) 是平面 ABC 的一个法向量.

????

???? ? ???? ? n ? AA1 5 ∴ cos n, AA1 ? . ???? ? ? 5 n AA1
13 分 ∴平面 A1 BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为

?????

5 . 5

?????14

分 19. (本小题满分14分) (本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前 n 项和等基础知识,考查合情推理、化归 与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力) (1) 解:? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1) Sn ? 2n , ∴ 当 n ? 1时,有 a1 ? (1 ? 1) S1 ? 2, 解得 a1 ? 2 . 分 由 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1)Sn ? 2n , 得 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1)an ?1 ? nSn ?1 ? 2(n ? 1) , 2分 ② ③ ① 得 : ① ② ????? ?????1

(n ? 1)an?1 ? nSn?1 ? (n ? 1)Sn ? 2

.

?????3 分 以下提供两种方法: 法 1:由③式得: (n ? 1)( Sn ?1 ? Sn ) ? nSn ?1 ? (n ? 1) Sn ? 2 , 即 S n ?1 ? 2S n ? 2 ; ?????

4分

? Sn?1 ? 2 ? 2( Sn ? 2) ,
5分

?????

∵ S1 ? 2 ? a1 ? 2 ? 4 ? 0 , ∴数列 {S n ? 2} 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列. ∴ Sn ? 2 ? 4 ? 2n ?1 ,即 Sn ? 4 ? 2n?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2 . 6分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (2n ?1 ? 2) ? (2n ? 2) ? 2n , 分 又 a1 ? 2 也满足上式, ∴ an ? 2n . 分 法 2:由③式得: (n ? 1)an ?1 ? nSn ?1 ? (n ? 1) Sn ? 2 ? n ? Sn ?1 ? Sn ? ? Sn ? 2 , 得 an ?1 ? Sn ? 2 . 4分 当 n ? 2 时, an ? Sn ?1 ? 2 , 5分 ⑤ ????? ④ ????? ?????8 ?????7 ?????

a ⑤-④得: n ?1 ? 2an .
分 由 a1 ? 2a2 ? S 2 ? 4 ,得 a2 ? 4 , ∴ a2 ? 2a1 . 7分 ∴数列 {an } 是以 a1 ? 2 为首项, 为公比的等比数列. 2 分 (2)解:∵ p,q,r 成等差数列, ∴ p ? r ? 2q . 9分 假设 a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 成等比数列, 则 ap ? 1 分 ∴ an ? 2n .

?????6

?????

?????8

?????

?

? ?a

r

? 1? ? aq ? 1 ,
2

?

?

?????10

即 2p ? 1

?

? ?2

r

? 1 ? 2q ? 1 ,
(*) ?????11 分

? ?

?

2

化简得: 2 p ? 2r ? 2 ? 2q . ∵ p ? r, ∴2 13 分
p

? 2r ? 2 2 p ? 2r ? 2 ? 2q ,这与(*)式矛盾,故假设不成立.??

∴ a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 不是等比数列.

?????

14 分 20. (本小题满分14分) (本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化 归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1) 解法 1:设椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2
? a 2 ? 16, ? 2 ?b ? 12. ?

? 22 32 ? 1, ? ? 依题意: ? a 2 b 2 ?a 2 ? b 2 ? 4. ?
2分 ∴ 椭圆 C1 的方程为 3分 解法 2:设椭圆 C1 的方程为

解得: ?

?????

x2 y 2 ? ? 1. 16 12

?????

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2
?????1

根据椭圆的定义得 2a ? AF1 ? AF2 ? 8 ,即 a ? 4 , 分 ∵ c ? 2 , ∴ b2 ? a 2 ? c2 ? 12 . 2分 ∴ 椭圆 C1 的方程为 3分 (2)解法 1:设点 B( x1 ,

?????

x2 y 2 ? ? 1. 16 12

?????

1 2 1 2 1 2 x1 ) , C ( x 2 , x 2 ) ,则 BC ? ( x2 ? x1 , ( x2 ? x12 )) , 4 4 4 1 2 BA ? (2 ? x1 ,3 ? x1 ) , 4

∵ A, B, C 三点共线, (苏元高考吧:www.gaokao8.net)

∴ BC // BA . 4分 ∴ x2 ? x1 ? 3 ?

??? ?

??? ?

?????

?

?

? ?

1 2? 1 2 x1 ? ? x2 ? x12 4 ? 4

?

? ?2 ? x ? ,
1

化简得: ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? 12 . ① 2 分 由 x 2 ? 4 y ,即 y ? 6分 ∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ?

?????5

1 1 2 x ,得 y ? ? x . 4 2

?????

x 1 2 x1 1 x1 ? ( x ? x1 ) , y ? 1 x ? x12 . ② 即 4 2 2 4 x2 1 2 x ? x2 . 2 4
③ ?????8

同理, 抛物线 C2 在点 C 处的切线 l 2 的方程为 y ? 分 设点 P( x, y ) ,由②③得: 而 x1 ? x2 , x ? 则 分 代入②得 y ? 分

x1 x 1 1 2 x ? x12 ? 2 x ? x 2 , 2 4 2 4
?????9

1 ( x1 ? x2 ) . 2

1 x1 x2 , 4

?????10

则 2 x ? x1 ? x2 , 4 y ? x1 x2 代 入 ① 得 4 x ? 4 y ? 12 , 即 点 P 的 轨 迹 方 程 为

y ? x ? 3.
????? 11 分 若 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 ,则点 P 在椭圆 C1 上,而点 P 又在直线 y ? x ? 3 上, ????? 12 分 ∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. 13 分 ?????

∴满足条件 PF1 ? PF2 ? AF ? AF2 的点 P 有两个. 1 14 分 解法 2:设点 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y 2 ) , P( x0 , y 0 ) , 由 x 2 ? 4 y ,即 y ? 分 ∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ?

?????

1 1 2 x ,得 y ? ? x . 4 2

?????4

x1 ( x ? x1 ) , 2
?????

即y? 5分 ∵ y1 ?

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2

x 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? y1 . 2 4
∴ y0 ?

∵点 P( x0 , y 0 ) 在切线 l1 上, 6分 同理, y 0 ? 分

x1 x0 ? y1 . 2



?????

x2 x0 ? y 2 . ② 2

?????7

综合①、②得,点 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? 分 ∵经过 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的直线是唯一的, ∴直线 L 的方程为 y 0 ? 9分 ∵点 A(2,3) 在直线 L 上, 分 ∴点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 . 11 分 ∴ y 0 ? x0 ? 3 .

x x0 ? y . ?????8 2

x x0 ? y , 2

?????

?????10

?????

若 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 ,则点 P 在椭圆 C1 上,又在直线 y ? x ? 3 上,??12 分

∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. 13 分 ∴满足条件 PF1 ? PF2 ? AF ? AF2 的点 P 有两个. 1 14分 解法3:显然直线 L 的斜率存在,设直线 L 的方程为 y ? k x ? 2 ? 3 , ????? ?????

?

?

由? 分

? y ? k ? x ? 2 ? ? 3, ? ? x ? 4 y, ?
2

k x 8 2 消去 y , x ? 4 ? k ? 1 ? 0 得
2

.

?????4

设 B x1 , y1 ,C x2 , y2 ,则 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? 8k ? 12 . 5分 由 x 2 ? 4 y ,即 y ? 6分 ∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ? 分 ∵ y1 ?

?

?

?

?

?????

1 1 2 x ,得 y ? ? x . 4 2

?????

x1 x 1 ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? y1 ? x12 .?7 2 2 2

x 1 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? x12 . 2 4 4 x2 1 2 x ? x2 . 2 4
?????

同理,得抛物线 C2 在点 C 处的切线 l 2 的方程为 y ? 8分

? ? x1 ? x2 x1 1 ? 2k , x ? x12 , ?x ? ?y ? ? ? 2 2 4 由? 解得 ? ? y ? x1 x2 ? 2k ? 3. ? y ? x2 x ? 1 x 2 , 2 ? ? ? 4 ? 2 4
∴ P 2k , 2k ? 3 . 10 分 ∵ PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 , ∴点 P 在椭圆 C1 :

?

?

?????

x2 y2 ? ? 1 上. 16 12

?????

11 分

? 2k ? ∴
16

2

?
2

? 2k

? 3? 12

2

? 1.
?????12

化简得 7k ? 12k ? 3 ? 0 .(*) 分 由 Δ ? 12 2 ? 4 ? 7 ? ?3 ? 228 ? 0 ,

? ?

?????

13 分 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个. ????? 14 分 21. (本小题满分14分) (本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基 础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象 概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1)解:∵关于 x 的不等式 f

? x? ?

? ? 2m ? 1? x ? 1 ? m 2 的解集为 ? m,m ? 1? ,

即不等式 x 2 ? a ? 1 ? 2m x ? m 2 ? m ? 0 的解集为 m, m ? 1 , ∴ x 2 ? a ? 1 ? 2m x ? m 2 ? m ? x ? m

?

?

?

? ?

? ?

?

? ? x ? m ? 1? . ? ? ?

∴ x 2 ? a ? 1 ? 2m x ? m 2 ? m ? x 2 ? 2m ? 1 x ? m m ? 1 . ∴ a ? 1 ? 2m ? ? 2m ? 1 . ∴ a ? ?2 . 2分 (2)解法 1:由(1)得 g x ?????

?

?

?

? ?

?

f ? x? x ?1

?

x2 ? 2x ? m ? 1 m ? ? x ? 1? ? . x ?1 x ?1

∴? x

? ?

? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ?

m ? k ln ? x ? 1? 的 定 义 域 为 x ?1

?1,?? ? .
∴ ? ?( x) ? 1 ? 3分
2 方程 x ? 2 ? k x ? k ? m ? 1 ? 0 (*)的判别式

m

? x ? 1?
?

2

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 k ? . ? 2 x ?1 x ? 1? ?

?????

?

Δ ? ? 2 ? k ? ? 4 ? k ? m ? 1? ? k 2 ? 4m .
2

?????

4分 ①当 m ? 0 时, Δ ? 0 ,方程(*)的两个实根为 x1 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

x2 ?
5分

2 ? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

?????

则 x ? 1, x2 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? x2 , ?? 时, ? ?( x) ? 0 . ∴函数 ? x 在 1, x2 上单调递减,在 x2 ,?? 上单调递增. ∴函数 ? x 有极小值点 x2 . 6分 ②当 m ? 0 时,由 Δ ? 0 ,得 k ? ?2 ?m 或 k ? 2 ?m , 若

?

?

?

?

? ? ? ? ?

?

?

?

?????

k ? ?2 ?m





x1 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1, x2 ?

2 ? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

故 x ? 1,?? 时, ? ?( x) ? 0 , (苏元高考吧:www.gaokao8.net) ∴函数 ? x 在 1,?? 上单调递增. ∴函数 ? x 没有极值点. 7分 若

?

?

? ? ? ? ?

?

?????

k ? 2 ?m





x1 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1, x2 ?

2 ? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

则 x ? 1, x1 时 , ? ?( x ) ? 0; x ? x1 , x2 时 , ? ?( x ) ? 0 ; x ? x2 , ?? 时 ,

?

?

?

?

?

?

? ?( x ) ? 0.
∴函数 ? x 在 1, x1 上单调递增,在 x1 , x2 上单调递减,在 x2 ,?? 上单调递增. ∴函数 ? x 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 . 8分 综上所述, 当 m ? 0 时, k 取任意实数, 函数 ? x 有极小值点 x2 ;

? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?????

? ?

当 m ? 0 时, k ? 2 ?m ,函数 ? x 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 .???9 分 (其中 x1 ?

? ?

2 ? k ? 2

k 2 ? 4m

, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

)

解法 2:由(1)得 g x

? ?

?

f ? x? x ?1

?

x2 ? 2x ? m ? 1 m . ? ? x ? 1? ? x ?1 x ?1

∴? x

? ?

? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ?

m ? k ln ? x ? 1? 的 定 义 域 为 x ?1

?1,?? ? .
∴ ? ?( x) ? 1 ? 3分 若函数 ? x 且 至少有一个零点在 1,?? 上. 4分 令 ? ?( x) ?

m

? x ? 1?

2

?

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 k . ? 2 x ?1 ? x ? 1?

?????

? ?

? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? 存在极值点等价于函数 ? ?( x) 有两个不等的零点,

?

?

?????

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1

? x ? 1?
?

2

? 0,

2 得 x ? 2 ? k x ? k ? m ? 1 ? 0 , (*)

?

则Δ ? 2 ? k 5分

?

?

2

? 4 ? k ? m ? 1? ? k 2 ? 4m ? 0 ,(**)

?????

方程(*)的两个实根为 x1 ? 设h x

2 ? k ? 2

k 2 ? 4m

, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

.

? ?

? x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 ,

①若 x1 ? 1, x2 ? 1 ,则 h 1 ? ? m ? 0 ,得 m ? 0 ,此时, k 取任意实数, (**)成立. 则 x ? 1, x2 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? x2 , ?? 时, ? ?( x) ? 0 . ∴函数 ? x 在 1, x2 上单调递减,在 x2 ,?? 上单调递增. ∴函数 ? x 有极小值点 x2 .

??

?

?

?

?

? ? ? ? ?

?

?

?

?????

6分

? h ?1? ? ? m ? 0, ? m ? 0, ? ②若 x1 ? 1, x2 ? 1 ,则 ? 2 ? k 得? ? k ? 0. ? 1. ? ? 2
又由(**)解得 k ? 2 ?m 或 k ? ?2 ?m , 故 k ? 2 ?m . 分 则 x ? 1, x1 时 , ? ?( x ) ? 0; x ? x1 , x2 时 , ? ?( x ) ? 0 ; x ? x2 , ?? 时 , ?????7

?

?

?

?

?

?

? ?( x ) ? 0.
∴函数 ? x 在 1, x1 上单调递增,在 x1 , x2 上单调递减,在 x2 ,?? 上单调递增. ∴函数 ? x 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 . 8分 综上所述, 当 m ? 0 时, k 取任何实数, 函数 ? x 有极小值点 x2 ; 当 m ? 0 时, k ? 2 ?m ,函数 ? x 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 .???9 分 (其中 x1 ?

? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?????

? ?

? ?

2 ? k ? 2

k 2 ? 4m

, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

)

(2)证法 1:∵ m ? 1 , ∴ g x

? ? ? ? x ? 1? ?
n

1 . x ?1
n

? ? n 1? 1 ? ∴ ? g ? x ? 1? ? ? g x ? 1 ? ? x ? ? ? ? x ? n ? ? ? x? x ? ? ?
n

?

?

1 ? x n ? Cn x n ? 1 ?

? 1 1 1 1 ? 2 n n 1 ? Cn x n ? 2 ? 2 ? ? ? C n ? 1 x ? n ? 1 ? C n n ? ? x n ? n ? x x x x x ? ?

1 2 n ? Cn x n ? 2 ? Cn x n ? 4 ? ? ? Cn ?1 x 2 ? n .

?????

10 分 令 T ? Cn x
1 n?2 2 n ? Cn x n ? 4 ? ? ? Cn ?1 x 2 ? n , n 1 ? Cn ? 2 x 4 ? n ? ? ? Cn x n ? 2

则 T ? Cn x

n ?1 2 ? n

1 2 n ? Cn x 2 ? n ? Cn x 4 ? n ? ? ? Cn ?1 x n ? 2 .

∵ x ? 0, ∴ 2T ? Cn x
1

?

n?2

2 n ? x 2 ? n ? Cn x n ? 4 ? x 4 ? n ? ? ? Cn ? 1 x 2 ? n ? x n ? 2

?

?

?

?

?

??

11 分
1 ? Cn ? 2 x n ? 2 ? x 2 ? n ? Cn2 ? 2 x n ? 4 ? x 4 ? n ? ? ? Cnn ? 1 ? 2 x 2 ? n ? x n ? 2

?

12 分
1 2 n ? 2 C n ? C n ? ? ? C n ?1

?

? ?
?????

0 1 2 n n 0 n ? 2 C n ? C n ? C n ? ? ? C n ?1 ? C n ? C n ? C n

?

? 2 2n ? 2 .
13 分 ∴ T ? 2n ? 2 ,即 ? g x ? 1 ? ? g x n ? 1 ? 2 n ? 2 . ? ? 分
n

?

?

?

?

n

?

?

?????14

? ? n 1? 1 ? 证法 2:下面用数学归纳法证明不等式 ? x ? ? ? ? x ? n ? ? 2n ? 2 . x? x ? ? ?
① 当 n ? 1 时,左边 ? ? x ?

? ?

1? ? 1? 1 ? ? ? x ? ? ? 0 ,右边 ? 2 ? 2 ? 0 ,不等式成 x? ? x?
?????

立; 10 分

? ? k 1? 1 ? ② 假设当 n ? k (k ? N )时,不等式成立,即 ? x ? ? ? ? x ? k ? ? 2k ? 2 , x? x ? ? ?
*

k

? 1? 则 ?x ? ? x? ?

k ?1

? 1 ? ? ? x k ?1 ? k ?1 ? x ? ?

k ? ? 1 ? ?? 1? 1 ?? ? 1? ? 1 ? ? 1 ? ? ? x ? ? ? ? x ? ? ? ? x k ? k ? ? ? ? x ? ? ? x k ? k ? ? ? x k ?1 ? k ? 1 ? x ? ?? x? x? ? x ?? ? x ? ? x ? ? ? ? ? k ? ? 1 ? ?? 1? 1 ? ? x ? ? ?? x ? ? ? ? x k ? k x ? ?? x? x ? ? ?

? ? ? k ?1 1 ? ? ? ? ? x ? k ?1 ? x ? ?? ? ?

?????11



? 2 x?

1 1 ? 2 k ? 2 ? 2 x k ? 1 ? k ?1 x x

?

?

?????

12 分

? 2k ? 1 ? 2 .
分 也就是说,当 n ? k ? 1 时,不等式也成立.

?????13

由①②可得, ? n ?N * ,? g x ? 1 ? ? g x n ? 1 ? 2n ? 2 都成立. ???14 对 ? ? 分

?

?

n

?

?


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