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2015年全国高中数学联合竞赛辽宁省初赛试卷


2015 年全国高中数学联合竞赛辽宁省初赛试卷 (7 月 5 日上午 8:30-11:00) 一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 本题共有 6 道小题,每小题给出(A),(B),(C),(D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结 论的代表字母写在题后[答]后面的圆括号内.每小题选对得 5 分,不选,选错或选出的代表字母 超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得

0 分. 1.设 a=?[ i] ,其中[x]表示不超过 x 的最大整数,集合 A={x|x∈N*且 x|a},则 A 中元素的个
i=1 24

数是 A.4 B.6 C.8 D.12 2. 若 △ ABC 的 三 边 a,b,c 成 等 比 数 列 , 边 a,b,c 的 所 对 的 角 依 次 为 A,B,C, 且 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1,则角 B 为 A. π 4 B. π 3 C. π 2 D. 2π 3

3.已知函数 f(x)=x2-53x+196+|x2-53x+196|,则 f(1)+f(2)+…+f(50)= A.660 B.664 C.668 D.672 4.已知数列{an}是由正整数组成的递增数列,且 an+2=an+1+2an(n∈ N*),若 a5=52,则 a7= A.102 B.152 C.212 D.272 5.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=1,AD=2,则异面直线 A1D 与 B1D1 间的距离为 A.1 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 2 AM CN = =?,若 B,M,N AC CE

6.如图,M,N 分别为正六边形 ABCDEF 的对角线 AC,CE 的内分点,且 三点共线,则?= F E

A M B A. 3 3 B. 1 3

N

D

C C. 2 2 D. 1 2

二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 7.已知复数 z=a+i(a∈R)在复平面内对应的点在第二象限,且|z(1+i)|>2,则实数 a 的取值范围 是_______. 8.若实数 a,b 满足 a+lga=10,b+10b=10,则 lg(a+b)= _______. 1 9.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1= ,且对任意正整数 m,n,都有 am+n=aman,若 Sn<a 对任意 5 n∈ N*恒成立,则实数 a 的最小值为_______. 10.立方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 M,N 分别在线段 AB,BB1 上(不包括线段的端点),并且 AM=B1N,则 A1M 与 C1N 所成角的取值范围是_______.

111 11.一道数学竞赛题,甲,乙,丙单独解出此题的概率分别为 , , ,其中 a,b,c 都是小于 10 的正 abc 整数.现甲乙丙同时独立解答此题,若三人中恰有一人解出此题的概率为 7 ,则甲乙丙三人都 15

未解出此题的概率为_______. 12. 设 F1,F2 为 椭 圆 C 的 两 个 焦 点 , 若 AB 为 椭 圆 一 条 过 点 F2 的 弦 , 且 在 △ F1AB 中,|F1A|=3,|AB|=4,|BF1|=5,则 tan?F2F1B=_______. 三.解答题(本题共 4 道小题,满分 90 分) 13.(本小题满分 20 分)设实数 a,b,?满足 0<a<b,0≤?≤1. alna-blnb (1)证明:lna+1< <lnb+1. a-b (2)证明:[ ?a+(1-?)b]ln[ ?a+(1-?)b]≤?alna+(1- ?)blnb. 14.(本小题满分 20 分)如图,直角三角形 ABC 外接圆圆心为 O,?C=90o,过 C 作 AB 的垂线, 垂足为 D,作圆 O1 分别切弧BC,边 CD,DB 于 E,F,G,同样作圆 O2 与弧AC,边 CD,DA 相切,设圆 1 O1 半径为 r1,圆 O2 半径为 r2,△ABC 内切圆半径为 r,证明:r= (r1+r2). 2 C
⌒ ⌒

O2 A

F O1 O D G

E B

15. (本小题满分 25 分)已知数列{an}中 a1=1,关于 x 的方程 x2-an+1cosx+2an+1=0 有唯一解. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=[1+ 1 ]n,求证:bn<3. log2(an+1)

(3)设 cn=n2an,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. x2 y2 16. (本小题满分 25 分)双曲线 C: - =1 的左右两个焦点分别为 F1,F2,P 为双曲线上一动点, 4 5 且在第一象限内,已知△PF1F2 的重心为 G,内心为 I. (1)问是否存在点 P,使得 IG∥F1F2?若存在,求出点 P;若不存在,请说明理由; (2)设 A 为双曲线 C 的左顶点,直线 L 过右焦点 F2 与双曲线 C 交于 M,N 两点,若 AM,AN 的 1 斜率 k1,k2,且 k1+k2=- ,求直线 L 的方程. 2


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