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正弦定理余弦定理的基本练习题


基本运算类 1、 ?ABC 中, A ? 45? , B ? 60? , a ? 10, 则 b 等于( )

A

5 2

B

10 2

C

10 6 3

D

5 6

答案:D 2、在△

ABC 中,已知 a ? 8 ,B= 600 ,C= 750 ,则 b 等于
A. 4 6 B. 4 5 C. 4 3 D.

22 3

答案:A 3、已知 ?ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, a ? 2, b ? 3, B ? 60? ,则 A =
A. 135
?

B. 45

?

C. 135 或 45

?

?

D. 90

?

答案:B 4、在△ABC 中, a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边, A ? 75?, C ? 45? , b = 2 ,则此三角形的最小边
长为( A. )

6 4

B.

2 2 3

C.

2 6 3

D.

2 4

答案:C 5、在 ?ABC 中,B= 30? ,C= 45? ,c=1,则最短边长为(
A. ) D.

6 3

B.

2 2

C.

1 2

3 2

答案:B
6、在 ?ABC 中,若边 a ? 4

2, c ? 4 ,且角 A ?

?
4

,则角 C=



答案: 30

?

7、在 ?ABC 中,已知 a ? 8 , B ? 60? , C ? 75? ,则 b 的值为(
A. 4 2 B. 4 3 C. 4 6 D.



32 3

答案:C 8、在 ?ABC 中, a ? 15 , b ? 10 , A ? 60? ,则 cos B ? (
A. )

3 3

B.

6 3

C.

3 4

D.

6 4

答案:B 9、在 ?ABC 中,已知 b ? 2 , c ? 1, B ? 450 ,则 C = 答案:30° 10、在 △ B 中, ? A ? AC
3? ? 或 4 4
.

? B? 6 ,则 ?C ? ,B C?3, A 3
3? 4
C.

A.

B.

? 4

D.

? 6

答案:C 11、在△ABC 中, A ? 450 , B ? 300 , b ? 2 ,则 a 边的值为


答案:

2 2


1 12、在 ?ABC 中, 若 a ? 3, cos A ? ? ,则 ?ABC 的外接圆的半径为( 2
A. 3 B. 2 3 C.

1 2

D.

3 2

答案:A 13、△ABC 中, A ? 30? , a ? 8, b ? 8 3, 则此三角形的面积为(
A )

32 3

B

16

C

32 3 或 16

D

32 3 或 16 3

答案:D 14、已知锐角 ?ABC 的面积为 3 3 , BC ? 4 , CA ? 3 ,则角 C 大小为
(A) 30
?

(B) 45

?

(C) 60

?

(D) 75

?

答案:C

15、已知 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a ? 2, b ? 3, cos B ?
为 .

4 ,则 sin A 的值 5

答案:

2 5

?

16、 △ ABC 中,若 AB ? 5,AC ? 3,BC ? 7 ,则 A 的大小为(
A. 150
?

B. 120

?

C. 60

?

D. 30

答案:B 17、在 ?ABC 中,若 b ? 1 , c ? 3 , C ?
2? ,则 a = 3
.

答案:1

18、在△ABC 中,若 c A. 60°

2

? a2 ? b2 ? ab ,则∠C=(
C. 150°

) D. 120°

B. 90°

答案:D 19、在 ?ABC 中, a2 ? c2 ? b2 ? ab ,则 C ? (
A. 60? B. 45? 或 135? C. 120? ) D. 30?

答案:A 20、边长为 5, 7,8 的三角形的最大角的余弦是(
A. ? ). C.

1 7

B.

1 7

11 14

D.

1 14

答案:B 21、若 ?ABC 的内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,且 a2 ? b2 ? c2 ?bc ,则角 A 的大小为 (
A. )

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

? 2? 或 3 3

答案:B 22、在 ?ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,则 A 等于(
A. 120
?



B. 60

?

C. 45

?

D. 30

?

答案:A 23、在Δ ABC 中, 角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c , 已知 A=
A. 1 B. 2 C.

? , a ? 3 , b ? 1 ,则 c ? ( 3
D.

)

3 -1

3

答案:B 24、在 △ ABC 中,若 c ? 2,b ? 6,B ? 120? ,则 a 等于
A. 6 B.2 C. 3 D. 2 ( )

答案:D 25、在 ?ABC 中, a ? 2 , A ? 30? , C ? 120? ,则 ?ABC 的面积为(
A. 2 B. 2 2 C. )

3

D.

3 ?1 2

答案:C 26、在 ?ABC中, B ? 30? ,AB ? 2 3,AC ? 2, ?ABC的面积是 ( 那么
A. 2 3 B. 3 C. 2 3 或 4 3 )

D. 3 或 2 3

答案:D 27、在 ?ABC 中, AB ? 5, BC ? 7, AC ? 8 ,则 ?ABC 的面积是 答案:10 3 28、 ?ABC 中, A ? 120? , b ? 2, S?ABC ? 2 3 ,则 a 等于
。 ;

答案: 2 7 29、在△ABC 中,已知 a ? 4, b ? 6, C ? 1200 ,则 sinA 的值是
A.

57 19

B.

21 7

C.

3 38

D. ?

57 19

答案:A

a 2 ? b2 ? c2 30、已知三角形 ABC 的面积 S ? ,则角 C 的大小为 4
A. 30
0

B. 45

0

C. 60

0

D. 75

0

答案:B 31、在 ?ABC中,若?A ?
2? , AB ? 5, BC ? 7, 则?ABC的面积 = 3


答案:

15 3 4

32、.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b, c,若

b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc, 且AC ? AB ? 4 ,则△ABC 的面积等于
答案: 2 3 33、在△ABC中,B= 中,且 BA ? BC ? 4 3 ,则△ABC的面积是_____
? 3

.网

答案:6 34、在△ABC 中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则边 AC 上的高为
A.

3 2 2

B.

3 3 2

C.

3 2

D. 3 3

答案:B 35、若 ?ABC的面积为 3 , BC ? 2, C ? 60O ,则边长 AB 的长度等于 答案:2
.

边角互化基础训练
36、 ?ABC 中, A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , 在 角 若
A.等腰三角形 C.等腰三角形或直角三角形

? cs B cs o o

a

b A

, ?AC 则 B

的形状一定是 (



B.直角三角形 D.等腰直角三角形

答案:C

37、△ABC 中,若 c ? 2a cos B ,则△ABC 的形状为(
A.直角三角形 B.等边三角形

) D.锐角三角形

C.等腰三角形

答案:C 38、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且 a ? 3b sin A ,则 sin B ?
(A) 3 (B)

3 3

(C)

6 3

(D) ?

6 3

答案:B 39、 ?ABC 中,a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边,且 sin 2 A ? sin 2 C ? (sin A ? sin B)sin B ,则角 C 等 在
于( A. )

? 6

B.

? 3

C.

5? 6

D.

2? 3

答案:B 40、 ?ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin A sin C 那么角 B =___________

答案:

? 3
sin B 的值为 sin C


41、在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则

答案:

3 5

42、 ?ABC 中,a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边,且 sin 2 A ? sin 2 C ? (sin A ? sin B)sin B ,则角 C 等 在
于( A. )

? 6

B.

? 3

C.

5? 6

D.

2? 3

答案:B 43、在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c ,若 3b ? c cos A ? a cosC ,则 cos A ? 答案:
3 3

?

?

b ? C c a 44、 ABC的三个内角 A ,B , 所对的边分别为 a , b , , sin Asin B ? b cos A ? 2a , a ( △ 则
2



A.

2

B. 2 2

C. 3

D. 2 3

答案:A 45、已知:在⊿ABC 中,
A. 直角三角形

c cos C ? ,则此三角形为 b cos B
D. 等腰或直角三角形

B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形

答案:C 46、在△ABC 中,若 3a ? 2b sin A ,则 B 等于(
A. 30
?

)
?

B. 60

?

C. 60 或 120

?

D 30 或 150

?

?

答案:C 47、已知 A, B, C 是 ?ABC 的内角,并且有 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin A sin B ,则 C ? ______。

答案:

? 3


48、在 ?ABC 中,如果 sin A ? 3sin C , B ? 30? , b ? 2 ,则 ?ABC 的面积为

答案: 3 49、在 ? ABC 中, a, b, c 分别是 A, B, C 所对的边,且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C ,则角 A 的大
小为__________.

答案:

? 3

50、在△ABC 中,已知 sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7, 此三角形的最大内角的度数等于________. 答案:1200

余弦定理应用
51、在 ?ABC 中, ?B ?
A. 2

?
3

,三边长 a,b,c 成等差数列,且 ac ? 6 ,则 b 的值是( C. 5 D. 6



B. 3

答案:D

52、在 ?ABC 中,若

cos B ?b ? cos C 2a ? c

(1)求角 B 的大小 (2)若 b ? 13 , a ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积

a2 ? c2 ? b2 ?b 答案:解: (1)由余弦定理得 2 2ac 2 ? 2 2a ? c a ?b ?c 2ab
化简得: a ? c ? b ? ?ac
2 2 2

∴ cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac 1 ? ?? 2ac 2ac 2

∴B=120°…………………6 分 (2) b ? a ? c ? 2accos B
2 2 2

∴ 13 ? (a ? c) ? 2ac ? 2ac ? (? )
2

1 2

∴ac=3 ∴ S ?ABC ?

1 3 3 …………………………………6 分 acsin B ? 2 4

??? ??? ? ? 3 53、在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,cosB= ,且 AB ? BC =—21. 5
( I)求△ABC 的面积; ( II)若 a=7,求角 C。

答案:

54、在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ?
面积等于 3 ,求 a, b ; (II)若 sin B ? 2sin A ,求 △ ABC 的面积.

? . (I)若 △ ABC 的 3

? ? 2 2 ?a ? b ? 2ab cos 3 ? 4, ?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ? 答案:解: (Ⅰ)由题意,得 ? 即? ………………6 分 ?ab ? 4, ? 1 ab sin ? ? 3, ?2 3 ? 2 2 因为 (a ? b) ? 3ab ? (a ? b) ? 3 ? 4 ? (a ? b) 2 ?12 ? 4, 所以 a ? b ? 4, ?a ? b ? 4, 由? 得 a ? b ? 2. ……………………………………………6 分 ?ab ? 4, (Ⅱ)由 sin B ? 2sin A 得, b ? 2a . ………………………………………………7 分
2 2 2 由余弦定理得, 2 ? a ? (2a ) ? 2 ? a ? 2a ?

1 ? 3a 2 , 2

2 3 4 3 ,b? . ……………………………………………10 分 3 3 1 1 2 3 4 3 3 2 3 ? ? ? ∴ S? ABC ? ab sin C ? ? …………………………12 分 2 2 3 3 2 3 12 55、已知 △ ABC 的面积是 30 ,内角 A 、B 、C 所对边分别为 a 、b 、c , cos A ? ,若 c ? b ? 1 ,则 a 13
∴ a? 的值是 .5

答案:5 56、已知:在 ?ABC 中, A ? 120? , a ? 7, b ? c ? 8 .
(1)求 b,c 的值;(2)求 sin B 的值.

? b2 ? c2 ? a2 1 ?? ?cos A ? 答案:解: (1)根据题意 ? 2bc 2 ?b ? c ? 8 ?
解得: ?

,?

?bc ? 15 ?b ? c ? 8

?b ? 3 ?b ? 5 或? ?c ? 5 ?c ? 3
b a ? , sin B sin A

(2)根据正弦定理

当?

?b ? 3 ?b ? 5 3 3 5 3 时, sin B ? ,当 ? 时, sin B ? 14 14 ?c ? 5 ?c ? 3
1 . 4

57、在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2 , c ? 3 , cos B ?
(I) 求 b 的值; (II)求 sin C 的值.

答案:解:(I)由余弦定理 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B
得 b ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3?
2 2 2

………………………………2 分 ………………………………3 分

1 ? 10 . 4

?b ? 10 .
(II)方法一: 由余弦定理得

………………………………5 分

cosC ?

a 2 ? b2 ? c2 2ab

………………………………7 分

?

4 ? 10 ? 9 10 . ? 8 2 ? 2 ? 10

………………………………9 分

? C 是 ?ABC 的内角,

? sin C ? 1 ? cos2 C ?
方法二:

3 6 . 8

………………………………10 分

? cos B ?

1 且 B 是 ?ABC 的内角, 4

? sin B ? 1 ? cos2 B ?
根据正弦定理

15 , 4

………………………………7 分

b c ? sin B sin C

………………………………9 分

c sin B ? 得 sin C ? b

3?

15 4 ?3 6. 8 10

………………………………10 分

58、已知 ?ABC 的周长为 4( 2 ? 1) ,且 sin B ? sin C ? 2 sin A .
(1)求边长 a 的值; (2)若 S ?ABC ? 3 sin A ,求 cos A 的值.

答案:解 (1)根据正弦定理, sin B ? sin C ? 2 sin A 可化为 b ? c ? 2a .
联立方程组 ?

?a ? b ? c ? 4( 2 ? 1) ? ,解得 a ? 4 . ?b ? c ? 2a ?
1 bc sin A ? 3 sin A 2

(2)? S ?ABC ? 3 sin A ,?

?bc ? 6 .

又由(1)可知, b ? c ? 4 2 , 由余弦定理得 ∴ cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 (b ? c) 2 ? 2bc ? a 2 1 ? ? 2bc 2bc 3

59、在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c
(1)若 sin( A ?

) ? 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3

?

答案: (1)
? sin( A ? ) ? 2 cos A,? sin A ? 3 cos A, cos A ? 0, tan A ? 3, 0 ? A ? ? ? A ? 6 3 1 2 2 2 2 (2)在三角形中,? cos A ? , b ? 3c,? a ? b ? c ? 2bc cos A ? 8c , a ? 2 2c 3
由正弦定理得:

?

?

1 2 2c c 2 2 ,而 sin A ? 1 ? cos 2 A ? ? , ? sin C ? .(也可以先推出直角三角形) 3 sin A sin C 3

(也能根据余弦定理得到 cos C ?

2 2 1 , 0 ? C ? ? ? sin C ? ) 3 3

60、在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b cos C ? 3a cos B ? c cos B.
(1)求 cosB 的值; (2)若 BA ? BC ? 2 ,且 b ? 2 2 ,求 a和c 的值.

答案:1(I)解:由正弦定理得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ,
则2 R sin B cosC ? 6 R sin A cos B ? 2 R sin C cos B, 故 sin B cosC ? 3 sin A cos B ? sin C cos B, 可得 sin B cosC ? sin C cos B ? 3 sin A cos B, 即sin(B ? C ) ? 3 sin A cos B, 可得 sin A ? 3 sin A cos B.又 sin A ? 0, 1 因此 cos B ? . 3
(II)解:由 BA? BC ? 2, 可得a cos B ? 2 ,

…………7 分

1 又 cos B ? , 故ac ? 6, 3 2 2 由b ? a ? c 2 ? 2ac cos B, 可得a 2 ? c 2 ? 12, 所以(a ? c) 2 ? 0, 即a ? c,
所以 a ? c ?

6.

…………14 分

61、已知 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边 a, b, c ,已知 a ? 2 , c ? 3 , cos B ?
(2)求 sinC 的值。

1 ;(1)求边 b 的值; 4

答案: b ? a ? c ? 2ac cos B ? 4 ? 9 ? 2 ? 2 ? 3 ?
2 2 2

1 ? 10 ………………3 4

b ? 7 ……………………………………………………………………5
b 2 ? a 2 ? c 2 10 ? 4 ? 9 10 cos C ? ? ? 2ab 8 4 10
? sin C ?
……………………………8

3 6 …………………………………………………………10 8

62、在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知
sin C 的值; sin A 1 (II)若 cosB= , ? ABC的周长为5,求b的长. 4
(I)求

cos A-2 cos C 2c-a = . cos B b

答案:

a b c ? ? ? k, sin A sin B sin C 2c ? a 2k sin C ? k sin A 2sin C ? sin A ? ? , 则 b k sin B sin B cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? . 所以 cos B sin B
(I)由正弦定理,设 即 (cos A ? 2cos C )sin B ? (2sin C ? sin A) cos B , 化简可得 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ). 又 A? B ?C ?? , 所以 sin C ? 2sin A

sin C ? 2. sin A sin C ?2得 (II)由 sin A c ? 2a.
因此 由余弦定得及 cos B ?

1 得 4

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 1 ? a 2 ? 4a 2 ? 4a 2 ? 4 2 ? 4a .
所以 b ? 2 a. 又 a ? b ? c ? 5, 从而 a ? 1, 因此 b=2。

63、在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知
sin C 的值; sin A 1 (II)若 cosB= ,b=2, ?ABC 的面积 S。 4
(I)求

cos A-2 cos C 2c-a = . cos B b

答案:

a b c ? ? ? k, sin A sin B sin C 2c ? a 2k sin C ? k sin A 2sin C ? sin A ? ? , 则 b k sin B sin B cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? . 所以 cos B sin B
(I)由正弦定理,设 即 (cos A ? 2cos C )sin B ? (2sin C ? sin A) cos B , 化简可得 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ). 又 A? B ?C ?? , 所以 sin C ? 2sin A

sin C ? 2. sin A sin C ? 2 得 c ? 2a. (II)由 sin A
因此 由余弦定理

1 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B及 cos B ? , b ? 2, 4 1 得4=a 2 ? 4a 2 ? 4a 2 ? . 4
解得 a=1。 因此 c=2 又因为 cos B ? 所以 sin B ?

1 , 且G ? B ? ? . 4

15 . 4

因此 S ?

1 1 15 15 ac sin B ? ?1? 2 ? ? . 2 2 4 4

64、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ,已知 a ? 2b sin A, c ? 3b
(1)求 B 的值; (2)若 ?ABC 的面积为 2 3 ,求 a, b 的值

答案:解: (1) a ? 2b sin A , sin A ? 2 sin B sin A ? sin B ?
B ? 30? 或 150? , c ? b ,所以 B ? 30?
2 2 2 ? (2)由 b ? a ? c ? 2ac cos30

1 , 2

……………………6 分

2 2 解得 2b ? 3ab ? a ? 0 ? a ? b 或 a ? 2b …………①

…………9 分

又 S ?ABC ?

1 ac sin 30 ? ? 2 3 ? ac ? 8 3 …………② 2

c ? 3b …………③
由①②③ ? 略

?a ? 4 或a ? b ? 2 2 ?b ? 2

…………14 分

65、已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a , b, c ,满足 a ? c ? 2b ,
且 2 cos 2 B ? 8cos B ? 5 , (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? 2 ,求△ABC 的面积。

答案:解: (Ⅰ)∵2cos2B=8cosB-5,
∴2(2cos2B-1)-8cosB+5=0. ∴4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得 cosB=

1 3 或 cosB= (舍去). 2 2

∵0<B<π,∴B=

? . 3

?a?c? a ?c ?? ? 2 2 2 a ?c ?b ? 2 ? ? 1, ? (Ⅱ)法一:∵a+c=2b.∴ cos B ? 2ac 2ac 2
2 2 2

化简得 a2+c2-2ac=0,解得 a=c. ∴△ABC 是边长为 2 的等边三角形. ∴△ABC 的面积等于 3 法二:∵a+c=2b, ∴ sinA+sinC=2sinB=2sin ∴sinA+sin(

2? -A)= 3, 3 2? 2? ∴sinA+sin cosA-cos sinA= 3. 3 3
化简得

? = 3. 3

3 ? 3 sinA+ cosA= 3 ,∴sin(A+ )=1. 2 6 2

∵0<A<π,∴A+ ∴A=

? ? ,C= ,又∵a=2 3 3

? ? = . 6 2

∴△ABC 是边长为 2 的等边三角形. ∴△ABC 的面积等于 3 .

66、△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知:

(Ⅱ)若 A ? 75?, b ? 2 ,求△ABC 的面积 a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B 。 (Ⅰ)B;

答案:

将其带入 a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B 得整理: a ? c ? 2ac ? b
2 2

2

4分

? a 2 ? c2 ? 2ac ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ? cos B ?

2 ? B ? 45? …………………6 分 2

(2)? A ? 75?, b ? 2, B ? 45? ,?C ? 60? ,……………….8 分

由正弦定理有:

2 c 2sin 60? ? ?c? ? 6 …………..10 分 sin 45? sin 60? sin 45?
……………..12 分

1 1 3? 3 ? S? ABC ? bc sin A ? ? 2 ? 6 sin 75? ? 2 2 2
注:此题也可以求 a ,在求面积


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正弦定理、余弦定理超经典练习题
正弦定理余弦定理超经典练习题_初三数学_数学_初中教育_教育专区。非常适合自测目的的练习题,希望大家达到预期目的!希望大家能考到好成绩 正弦定理余弦定理练习题...
正弦定理和余弦定理测试题(新课标)
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正余弦定理练习题(含答案)[1]
余弦定理练习题(含答案)[1]_数学_高中教育_教育专区。正弦定理练习题 1.在△ABC 中,∠A=45° ,∠B=60° ,a=2,则 b 等于( A. 6 B. 2 C. 3 ...
正弦定理、余弦定理基础练习
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正弦定理、余弦定理综合练习题
正弦定理余弦定理综合练习题_数学_高中教育_教育专区。正弦定理余弦定理习题课 知识点: 1、正弦定理:在 ???C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、...
正弦定理余弦定理的基本练习题
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高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解
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