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三角函数的图象与性质练习题及答案


三角函数的图象与性质练习题
一、选择题 1.函数 f(x)=sin xcos x 的最小值是 A.-1 1 B.- 2 1 C. 2 ( ) D.1

4π ? 2.如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? ? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的最小值为 ( ) π A. 6 3.已知函数 y=sin A.6 4.已知在函数 f(x)= 3si

n 的最小正周期为 A.1 π B. 4 π C. 3 π D. 2

πx 在区间[0,t]上至少取得 2 次最大值,则正整数 t 的最小值是 ( ) 3 B .7 C.8 D.9

πx 图象上,相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在 x2+y2=R2 上,则 f(x) R ( B .2 ) C.3 D.4 `( D )

5.已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asin ax 的图象不可能是

6.给出下列命题: 2 π? ①函数 y=cos? ?3x+2?是奇函数; 3 ②存在实数 α,使得 sin α+cos α= ; 2

③若 α、β 是第一象限角且 α<β,则 tan α<tan β; 5π? π ④x= 是函数 y=sin? ?2x+ 4 ?的一条对称轴方程; 8 π? ?π ? ⑤函数 y=sin? ?2x+3?的图象关于点?12,0?成中心对称图形. 其中正确的序号为 A.①③ B.②④ C.①④ ( ) D.④⑤ )A.y

π 7.将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是 ( 4 =2cos2x B.y=2sin2x π C.y=1+sin(2x+ ) 4 D.y=cos 2x

π? π 8.将函数 y=sin? ?2x+4?的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移4个单位,所 得到的图象解析式是 A.f(x)=sin x ( ) C.f(x)=sin 4x
1

B.f(x)=cos x

D.f(x)=cos 4x

π π 9.若函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 ,直线 x= 是其图象的一条对 2 3 称轴,则它的解析式是 π? A.y=4sin? ?4x+6? π? C.y=2sin? ?4x+3?+2 ( ) π? B.y=2sin? ?2x+3?+2 π? D.y=2sin? ?4x+6?+2

π? π? π ? 10.若将函数 y=tan? ?ωx+4?(ω>0)的图象向右平移6个单位长度后,与函数 y=tan?ωx+6?的图象重合,则 ω 的最小值为 1 A. 6 ( 1 B. 4 ) 1 C. 3 1 D. 2

11.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ω t+φ)(A>0,ω >0,0<φ<

π )的图象如右图所示, 2
( C.5 3安 ) D.10 安

则当 t=

1 秒时,电流强度是 100
B .5 安

A.-5 安

π 12.已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π,为了得到函数 g(x)=cos ωx 的图象,只要将 4 y=f(x)的图象 π A.向左平移 个单位长度 8 π C.向左平移 个单位长度 4 ( )

π B.向右平移 个单位长度 8 π D.向右平移 个单位长度 4

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) π 2 ? 1 - x 的单调递增区间为______________. 13.函数 y= sin? 2 ?4 3 ? π? π? ?π? π π? 14. 已知 f(x)=sin? f? 且 f(x)在区间? 无最大值, 则 ω=________. ?ωx+3? (ω>0), ?6?=f?3?, ?6,3?上有最小值, π? 15.关于函数 f(x)=4sin? ?2x+3?(x∈R),有下列命题: ①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是 π 的整数倍; π? ②y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos? ?2x-6?; π ? ③y=f(x)的图象关于点? ?-6,0?对称; π ④y=f(x)的图象关于直线 x=- 对称. 6 其中正确的命题的序号是________.(把你认为正确的命题序号都填上)
2

16. 若动直线 x=a 与函数 f(x)=sin x 和 g(x)=cos x 的图象分别交于 M、 N 两点, 则|MN|的最大值为________. 三、解答题(共 40 分) π 17.设函数 f(x)=sin(2x+φ) (-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x= . 8 (1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间.

π 18.已知函数 f(x)=2cos2ωx+2sin ωxcos ωx+1 (x∈R,ω>0)的最小正周期是 . 2 (1)求 ω 的值; (2)求函数 f(x)的最大值,并且求使 f(x)取得最大值的 x 的集合.

19.设函数 f(x)=cos ωx( 3sin ωx+cos ωx),其中 0<ω<2. π π (1)若 f(x)的周期为 π,求当- ≤x≤ 时 f(x)的值域; 6 3 π (2)若函数 f(x)的图象的一条对称轴为 x= ,求 ω 的值. 3

20.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ)+ b (ω >0,|φ|< (1)求 f(x)的表达式;

π )的图象的一部分如图所示: 2

(2)试写出 f(x)的对称轴方程.

3

π 21.函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< )的一段图象如图所示. 2

(1)求函数 y=f(x)的解析式; π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位,得到 y=g(x)的图象,求直线 y= 6与函数 y=f(x)+g(x)的图 4 象在(0,π)内所有交点的坐标.

π 22.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图象的一部分如图所示. 2

(1)求函数 f(x)的解析式; 2? (2)当 x∈? ?-6,-3?时,求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的 x 的值.

4

三角函数的图象与性质练习题及答案
一、选择题 1.函数 f(x)=sin xcos x 的最小值是 A.-1 1 B.- 2 1 C. 2 ( B )

D.1

4π ? 2.如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? ? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的最小值为 ( A ) π A. 6 3.已知函数 y=sin A.6 4.已知在函数 f(x)= 3sin 的最小正周期为 A.1 π B. 4 π C. 3 π D. 2

πx 在区间[0,t]上至少取得 2 次最大值,则正整数 t 的最小值是 ( C ) 3 B .7 C.8 D.9

πx 图象上,相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在 x2+y2=R2 上,则 f(x) R ( D ) B .2 C.3 D.4 `( D )

5.已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asin ax 的图象不可能是

6.给出下列命题: 2 π? ①函数 y=cos? ?3x+2?是奇函数; 3 ②存在实数 α,使得 sin α+cos α= ; 2

③若 α、β 是第一象限角且 α<β,则 tan α<tan β; 5π? π ④x= 是函数 y=sin? ?2x+ 4 ?的一条对称轴方程; 8 π? ?π ? ⑤函数 y=sin? ?2x+3?的图象关于点?12,0?成中心对称图形. 其中正确的序号为 A.①③ B.②④ C.①④ ( C D.④⑤ )

π 7.将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是 ( A ) 4 A.y=2cos2x B.y=2sin2x π C.y=1+sin(2x+ ) 4 D.y=cos 2x

π? π 8.将函数 y=sin? ?2x+4?的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移4个单位,所 得到的图象解析式是 A.f(x)=sin x ( A ) B.f(x)=cos x C.f(x)=sin 4x
5

D.f(x)=cos 4x

π π 9.若函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 ,直线 x= 是其图象的一条对 2 3 称轴,则它的解析式是 π? A.y=4sin? ?4x+6? π? C.y=2sin? ?4x+3?+2 ( D ) π? B.y=2sin? ?2x+3?+2 π? D.y=2sin? ?4x+6?+2

π? π? π ? 10.若将函数 y=tan? ?ωx+4?(ω>0)的图象向右平移6个单位长度后,与函数 y=tan?ωx+6?的图象重合,则 ω 的最小值为 1 A. 6 ( D ) 1 B. 4 1 C. 3 1 D. 2

11.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ω t+φ)(A>0,ω >0,0<φ<

π )的图象如右图所示, 2
( A ) C.5 3安 D.10 安

则当 t=

1 秒时,电流强度是 100
B .5 安

A.-5 安

π 12.已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π,为了得到函数 g(x)=cos ωx 的图象,只要将 4 y=f(x)的图象 π A.向左平移 个单位长度 8 π C.向左平移 个单位长度 4 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) π 2 ? 9 21π 1 - x 的单调递增区间为______________.? π+3kπ, +3kπ? (k∈Z) 13.函数 y= sin? 8 ?8 ? 2 ?4 3 ? π ?π?=f?π?, ?π,π?上有最小值, ωx+ ? (ω>0), 14. 已知 f(x)=sin? f 且 f ( x ) 在区间 无最大值, 则 ω=________. 3 6 3 ? ? ? ? ? ? ?6 3? ( A ) π B.向右平移 个单位长度 8 π D.向右平移 个单位长度 4

14 3
π? 15.关于函数 f(x)=4sin? ?2x+3?(x∈R),有下列命题: ①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是 π 的整数倍; π? ②y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos? ?2x-6?; π ? ③y=f(x)的图象关于点? ?-6,0?对称; π ④y=f(x)的图象关于直线 x=- 对称. 6
6

其中正确的命题的序号是________.(把你认为正确的命题序号都填上)

②③

16.若动直线 x=a 与函数 f(x)=sin x 和 g(x)=cos x 的图象分别交于 M、N 两点,则|MN|的最大值为 ________. 三、解答题(共 40 分) π 17.设函数 f(x)=sin(2x+φ) (-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x= . 8 (1)求 φ; 解 (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. 2

π π (1)令 2× +φ=kπ+ ,k∈Z, 8 2

π 5 1 ∴φ=kπ+ ,又-π<φ<0,则- <k<- , 4 4 4 3π ∴k=-1, 则 φ=- . 4 3π π 3π π 2x- ?, 令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ, (2)由(1)得:f(x)=sin? 4 ? ? 2 4 2 π 5π 可解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 8 8 π 5π +kπ, +kπ?,k∈Z. 因此 y=f(x)的单调增区间为? 8 ?8 ? π 18.已知函数 f(x)=2cos2ωx+2sin ωxcos ωx+1 (x∈R,ω>0)的最小正周期是 . 2 (1)求 ω 的值; 解 (2)求函数 f(x)的最大值,并且求使 f(x)取得最大值的 x 的集合.

1+cos 2ωx (1)f(x)=2 +sin 2ωx+1=sin 2ωx+cos 2ωx+2 2 π π? π? ? = 2? ?sin 2ωxcos4+cos 2ωxsin4?+2 = 2sin?2ωx+4?+2. π 2π π 由题设,函数 f(x)的最小正周期是 ,可得 = , 所以 ω=2. 2 2ω 2 π? (2)由(1)知,f(x)= 2sin? ?4x+4?+2. π π π kπ 当 4x+ = +2kπ,即 x= + (k∈Z)时, 4 2 16 2 π? sin? ?4x+4?取得最大值 1,所以函数 f(x)的最大值是 2+ 2, π kπ ? ? 此时 x 的集合为?x|x=16+ 2 ,k∈Z?. ? ?

19.设函数 f(x)=cos ωx( 3sin ωx+cos ωx),其中 0<ω<2. π π (1)若 f(x)的周期为 π,求当- ≤x≤ 时 f(x)的值域; 6 3 π (2)若函数 f(x)的图象的一条对称轴为 x= ,求 ω 的值. 3

7



f(x)=

π? 1 3 1 1 sin 2ωx+ cos 2ωx+ =sin? ?2ωx+6?+2. 2 2 2 π? 1 ∴f(x)=sin? ?2x+6?+2, 3? 所以 f(x)的值域为? ?0,2?.

(1)因为 T=π,所以 ω=1.

π 5π π π π - , ?, 当- ≤x≤ 时,2x+ ∈? 6 3 6 ? 6 6?

π (2)因为 f(x)的图象的一条对称轴为 x= , 3 π? π π 所以 2ω? ?3?+6=kπ+2(k∈Z), 3 1 ω= k+ (k∈Z), 2 2 1 所以 k=0,ω= . 2 20.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ)+ b (ω >0,|φ|< (1)求 f(x)的表达式; 解 1 又 0<ω<2,所以- <k<1,又 k∈Z, 3

π )的图象的一部分如图所示: 2

(2)试写出 f(x)的对称轴方程.

(1)由图象可知,函数的最大值 M=3,最小值 m=-1, 则 A=

3 ? (?1) 3 ?1 ? 2, b ? ? 1, , 2 2 2 3

又 T ? 2( π ? 将 x=

?
6

) ? π ,∴ ? ?

2π 2π ? ? 2 ,∴f(x)=2sin(2x+φ)+1, T π


π π ,y=3 代入上式,得 ( ? ? ) ? 1 6 3 π π +2kπ ,k∈Z,∴φ= , 6 6

π π ? ? ? ? 2k π ,k∈Z, 3 2 π ) +1. 6

即φ=

∴f(x)=2sin ( 2 x ?

(2)由 2x+

π π π 1 = +kπ ,得 x= + kπ ,k∈Z, 6 2 6 2 π π 1 ) +1 的对称轴方程为 x ? ? kπ ,k∈Z. 6 6 2

∴f(x)=2sin ( 2 x ?

π 21.函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< )的一段图象如图所示. 2

(1)求函数 y=f(x)的解析式; π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位,得到 y=g(x)的图象,求直线 y= 6与函数 y=f(x)+g(x)的图 4 象在(0,π)内所有交点的坐标.

8



2π (1)由题图知 A=2,T=π,于是 ω= =2, T

π 将 y=2sin 2x 的图象向左平移 个单位长度,得 y=2sin(2x+φ)的图象. 12 π π 于是 φ=2× = , 12 6 π 2x+ ?. ∴f(x)=2sin? 6? ?

π? π? π? ? (2)依题意得 g(x)=2sin?2? ?x-4?+6 =-2cos?2x+6?.

?

?

π? π? π? ? ? 故 y=f(x)+g(x)=2sin? ?2x+6?-2cos?2x+6? =2 2sin?2x-12?. π? π? 3 ? 由 2 2sin? ?2x-12?= 6,得 sin?2x-12?= 2 . π π π ∵0<x<π,∴- <2x- <2π- . 12 12 12 5 3 ∴x= π 或 x= π, 24 8 π π π 2π ∴2x- = 或 2x- = , 12 3 12 3

5π ? ?3π ? ∴所求交点坐标为? ?24, 6?或? 8 , 6?.

π 22.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图象的一部分如图所示. 2

(1)求函数 f(x)的解析式; 2? (2)当 x∈? ?-6,-3?时,求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的 x 的值. 解 (1)由图象知 A=2,T=8, 2π π ∵T= =8,∴ω= . ω 4 π π ∵|φ|< ,∴φ= . 2 4

π ? 又图象过点(-1,0),∴2sin? ?-4+φ?=0. π π? ∴f(x)=2sin? ?4x+4?.

π π? π ?π π π? ?π π? (2)y=f(x)+f(x+2)=2sin? ?4x+4?+2sin?4x+2+4?=2 2sin?4x+2?=2 2cos 4x. 2 3π π π -6,- ?,∴- ≤ x≤- . ∵x∈? 3? ? 2 4 6 π π 2 ∴当 x=- ,即 x=- 时,y=f(x)+f(x+2)取得最大值 6; 4 6 3 π 当 x=-π,即 x=-4 时,y=f(x)+f(x+2)取得最小值-2 2. 4

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