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高中数学竞赛试卷2


2006 年全国高中数学联赛河南省预赛
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1. 已知关于 x 的方程 x ? ax ? 1 有一个负根而且没有正根. 则实数 a 的取值范围是()

( A) ?a a ? 1?

( B )? a a? 或 1 a? ??1

(C )? a a? 或 1 a?

?? 1 ( D )? a 0 ? a ? ? 1

2.当 ? 取遍全体实数时,直线 x cos ? ? y sin ? ? 4 ? 2 sin(? ? ()

?
4

) 所围成的图形的面积是

( A) ?

(B ) 4 ?

(C ) 9 ?

( D ) 1? 6

3.数列 ?an ? 中,相邻两项 an , an?1 是方程 x2 ? 3nx ? bn ? 0 的两根,已知 a10 ? ?17 ,则 b51 的值等于()

( A) 5800

( B ) 5 8 4 0 (C ) 5 8 6 0 ( D ) 6 0 0 0

4. 已 知 a, b, c, d是 四 个 不 同 的 有 理 数 , 且 (a ? c)(a ? d ) ? 1,(b ? c)(b ? d ) ? 1 , 则

(a ? c) (b ? c等于() ) ( A) 2 (B ) 1 (C ) 0 ( D ) ? 1

5. 函数 f ( x) ? x2 ? 6 x ? 8 ,如果 f (bx ? c) ? 4 x2 ? 16 x ? 15 ,那么 c ? 2b ? ()

( A) 3

(B ) 7

(C ) ? 3 ( D ) ? 7

6. 已知 p, p ? 14, p ? q 都是质数,并且 p 有唯一的值和它对应,则 q 只能取()

( A) 40

( B ) 4 4 (C ) 7 4 ( D ) 8 6

二、填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1. 直线 l 过抛物线 y 2 ? a( x ? 1)(a ? 0) 的焦点,并且与 x 轴垂直,若 l 被抛物线截得的线段 长为 4,则 a ? _________________ 2. 设 a ? b ? 0 ,那么 a ?
4

32 的最小值是________________ b( a ? b )
2

3 已 知 数 列 ?an ? 满 足 : a1 ? 3, an?1 ? an ? (n ? 1)an ? 1 , 则 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 等 于 ________________ 4. 边长为整数且面积(的数值)等于周长的直角三角形的个数为_______________

5. 过 椭 圆

x2 y 2 m B? F ,n则 ? ? 1 的 一 个 焦 点 F 作 弦 AB , 若 A F ? , 62 22

1 1 ? ? ______________ m n

?1? ?2? ?5? 6. 设 t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,则关于 x 的方程 (t ? 1)(t ? 2)(t ? 3) ? 0 的所有实数解之和等 ?2? ?3? ?6?
于___________ 三、 (20 分) 如图 在矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? a ,又 PA 垂直平面 ABCD , PA ? 4 (1)如在边 BC 上存在一点 Q ,使 PQ ? QD ,求 a 的取值范围; (2)当 BC 上存在唯一点 Q ,使 PQ ? QD 时,求异面直线 AQ 与 PD 所成的角; (3)若 a ? 4 ,且 PQ ? QD ,求二面角 A ? PD ? Q 的大小.

x

x

x

四、 (20 分) 已知椭圆 C :

x2 1 ? y 2 ? 1及定点 P(t ,0)(t ? 0) ,斜率为 的直线 l 经过点 P 并与椭圆 C 交 2 4

与 不 同 的 两 点 A, B , 且 对 于 椭 圆 上 任 意 一 点 M , 都 存 在 ? ? 0, 2? , 使 得

?

?

O M? c o ? s ? O? A s? in ?

O B . 试求出满足条件的实数 t 的值. 成立

五、 (20 分) 已知菱形 ABCD 是椭圆 C : (1) 求证:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的内接四边形. a 2 b2

1 1 为定值; ? 2 OA OB 2 (2) 求菱形 ABCD 面积的最值.

六、 (20 分) 设三个正实数 x, y, z ,试求代数式

16 x ? 9 2 xy ? 9 3 3xyz 的最大值 x ? 2y ? z


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