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2015四川高考理科数学模拟试题


2015 四川高考数学模拟试题(理科)
考试时间:120 分钟;满分:150 分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷(选择题

共 50 分)

一、选择题(共 10 小题,每题 5 分,满分 50 分,在每题给出的四个选项中,有且只有 一个选

项是正确的)
x?2 2 1 .若集合 A ? x ? Z | 2 ? 2 ? 8 , B ? x ? R | x ? 2 x ? 0 , 则 A (CR B) 所含的

?

?

?

?

元素个数为( A.5

) B.4 C. 3 D.2 )

2.若复数 z ? 1 ? i ? A. ?1

a ?i 是实数(其中 a ? R , i 是虚数单位) ,则 a ? ( 1? i B. 0 C. 1 D. 2
,则 f [ f (ln 2 ? 2)] =( B. 2 C.5

3.设 A. log5 15

) D. log5 (3e 2 ? 1)

4.在 ?ABC 中, AB ? 2 , BC ? 3 , ?ABC ? 60? , AD 为 BC 边上的高, O 为 AD 的中点,若 AO ? ? AB ? ? BC ,则 ? ? ? 的值为 A.

2 3

B.

3 4

C.

5 6

D. 1 )

5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为(

A.

2 2

B.

5 2

C.

6 2

D. 3

?3 x ? y ? 2 ? 0 m ? y (m ? 0) 的最大值 6.设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,若目标函数 z ? x ? 2 ? x ? 0, y ? 0 ?
为 2 ,则 y ? sin( mx ? A. y ? sin( 2 x ?

?
3

) 的图 象向右平移

?
6

)

B. y ? sin( x ?

?
6

? 后的表达式为 6

)
1

C. y ? sin 2 x

D. y ? sin( 2 x ?

2? ) 3

7. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn (n ? N * ) , 且满足 S15 ? 0 ,S16 ? 0 , 则

S1 S 2 , ,, a1 a2

S15 中最大的项为( a15
A.



S6 a6

B.

S7 a7

C.

S9 a9

D.

S8 a8

8.现有 8 名青年,其中 5 名能任英语翻译工作,4 名能胜任电脑软件设计工作,且每 人至少能胜这两项工作中的一项,现从中选 5 人,承担一项任务,其中 3 人从事英语翻 译工作,2 人从事软件设计工作,则不同的选派方法有 A.60 种 B.54 种 C.48 种 D.42 种 9.已知点 P, A, B 在双曲线 斜率之积为

x2 y2 ? ? 1 上,直线 AB 过坐标原点,且直线 PA , PB 的 a2 b2


1 ,则双曲线的离心率为( 3
B.
3

A.

2 3 3

15 3

C. 2

D.

10 2
) .

10.若函数 y ? x ? 2ax ? a 在 (0,1) 内无极值,则实数 a 的取值范围是( A. [0, ]

3 2

B.

3 (??,0] ? [ , ??) C. ( ??,0) 2 第 II 卷(非选择题 共 100 分)


D. [ , ??)

3 2

二、填空题(共 5 小题,每题 5 分,满分 25 分,请将答案填写在答题卡中的横线上)
5 11. (1 ? x)(2 x ? ) 的展开式中的常数项为

1 x

12.若采用系统抽样方法从 420 人中抽取 21 人做问卷调查,为此将他们随机编号为1 ,

2 ...... 420 ,则抽取的 21 人中,编号在区间 ?241,360? 内的人数是
13.已知实数 是________.



,执行如图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 103 的概率

2

14.已知实数 x , y 满足 x ? y ? 0 ,且 x ? y ? 2 ,则

1 2 ? 的最小值为 2x ? 4 y x ? y



15.对于定义域为[0,1]的函数 f ( x ) ,如果同时满足以下三个条件: ①对任意的 x ? [0,1] ,总有 f ( x) ? 0 ② f (1) ? 1

③若 x1 ? 0, x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 ,都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立; 则称函数 f ( x) 为理想函数.下面有三个命题: (1)若函数 f ( x) 为理想函数,则 f (0) ? 0 ; (2)函数 f ( x) ?2 ?1( x ?[0,1]) 是理想函数;
x

x ?[0,1] , 使 得 f ( x0 ) ?[0,1] , 且 ( 3 ) 若 函 数 f ( x) 是 理 想 函 数 , 假 定 存 在 0 f [ f ( x0 )] ? x0 ,则 f ( x0 ) ? x0 ;
其中正确的命题是_______. (请填写命题的序号) 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分,其中 16 至 19 题,每题 12 分,20 题满分 13 分, 21 题满分 14 分,解答应写出必要的演算过程、文字说明和解题步骤) 16. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,设 S 为 △ABC 的面积,满足 4S ? 3(a2 ? b2 ? c2 ) . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 1 ?
tan A 2c ,且 AB BC ? ?8 ,求 c 的值. ? tan B b

17. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 是各项均为正数的等差数列,其中 a1 ? 1 ,且

a2、a4、a6 ? 2 成等比数列;数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? bn ? 1 .
(Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)如果 cn ? anbn ,设数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,是否存在正整数 n ,使得 Tn ? Sn 成立,若存在,求出 n 的最小值,若不存在,说明理由. 18. (本小题满分 12 分)2015 年 3 月 15 日,中央电视台揭露部分汽车 4S 店维修黑幕, 国家工商总局针对汽车制造行业中的垄断行为加大了调查力度, 对汽车零部件加工的相 关企业开出了巨额罚单.某品牌汽车制造商为了压缩成本,计划对 A 、 B 、 C 三种汽 车零部件进行招标采购, 某著名汽车零部件加工厂参入了该次竞标, 已知 A 种零部件中 标后即可签合同,而 B 、 C 两种汽车零部件具有很强的关联性,所以公司规定两者都 中标才能签合同,否则都不签合同,而三种零部件是否中标互不影响.已知该汽车零部 件加工厂中标 A 种零部件的概率为 部件签订合同的概率为

3 1 ,只中标 B 种零部件的概率为 , B 、 C 两种零 4 8

1 . 6
3

(Ⅰ)求该汽车零部件加工厂 C 种汽车零部件中标的概率; (Ⅱ) 设该汽车零部件加工厂签订合同的汽车零部件种数为 X , 求 X 的分布列与期望. 19 . ( 本小 题 满分 12 分) 如 图 ,在 四 棱锥 ? ? ?? CD 中 , ?? ? 平 面 ??CD , ?? ? ?? ? ?D ? 2 ,四边形 ??CD 满足 ?? ? ?D , ?C//?D 且 ? C ? 4 ,点 ? 为

?C 中点,点 ? 为 ?C 边上的动点,且

?? ? ?. ?C

(Ⅰ)求证:平面 ?D? ? 平面 ??C ; (Ⅱ) 是否存在实数 ? , 使得二面角 ?? D???的余弦值为 的值;若不存在, 说明理由. 20. (本小题满分 13 分)设椭圆 C:

2 ?若存在, 试求出实数 ? 3

x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ), F1 , F2 为左、右焦点,B 2 a b
2 , O 为坐标原点. 2

为短轴端点,且 S?BF1F2 ? 4 ,离心率为

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 是否存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交点 M 、

N ,且满足 | OM ? ON |?| OM ? ON | ?若存在,求出该圆的方程,若不存在,说明理
由. 21. (本小题满分 14 分)设函数 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ? ? 2 ? a ?? x ?1? ? 2 f ? x ? . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 g ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若对任意 x ? ? 0, ? , g ? x ? ? 0 恒成立,求实数 a 的最小值; (Ⅲ)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x1 , y2 ? 是函数 y ? f ? x ? 图象上任意不同两点,线段 AB 中点为 C ? x0 , y0 ? ,直线 AB 的斜率为 k.证明: k ? f ? ? x0 ? .

? ?

1? 2?

4

参考答案 1.D【解析】由 由 两个元素 2、C. 【解析】 ,得 或 ,得 ,因此 ,解得 ,由于 ,因此 , , 所含

z ? 1? i ?

a ? i ?1 ? i ??1 ? i ? ? ? a ? i ? ? 2 ? a ? ? i ? ? 是实数, 1? i 1? i 1? i

? 2 ? a ? 1, ? a ? 1 ,故选 C.
3 . B 【 解 析 】 由 题 可 知 , 自 变 量 ln 2 ? 2 ? 3 , 故 f (ln 2 ? 2) ? 4eln 2 ? 8 ,

f (8) ? log5 25 ? log5 52 ? 2 ,即有 f [ f (ln 2 ? 2)] =2.
4. A 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系, 由题意, 知 | BD |? 1 , | AD |? 3 , | DC |? 2 , ∴ AO ? (0, ?

3 ) , AB ? (?1, ? 3) , BC ? (3,0) , 2

? ??? ? 3? ? 0 3 ? ∵ AO ? ? AB ? ? BC , ∴ (0, ? ,解得 ) ? ? (?1, ? 3) ? ? (3, 0) , 即 ? 2 ?? 3? ? ? 3 ? ? 2
1 ? ?? ? 2 ? 2 ,∴ ? ? ? ? .故选 A. ? 3 ?? ? 1 ? 6 ?

5.B【解析】由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,平面 AED ? 平面 BCDE ,四 E 边 长 为 1 的 正 方 形 , 则 棱 锥 的 高 为 1 , 四 边 形 B C D是

1 1 1 2 1 5 ,故选 B . S AED ? ?1?1 ? , S ABC ? S ABE ? ?1? 2 ? , S ACD ? ?1? 5 ? 2 2 2 2 2 2

5

6 . C 【解析】作出可行域与目标函数基准线 y ? ?

m m ? y 过点 B(1,1) 时, z 取得最大值,即 1 ? ? 1 ,解得 m ? 2 ;则 y ? sin( 2 x ? ) 2 2 3 ? ? ? 的图像向右平移 个单位后得到的解析式为 y ? sin[ 2( x ? ) ? ] ? sin 2 x . 6 6 3

2 x ,由线性规划知识,可得当直线 m

z ? x?

7.D【解析】由 S16 ? S15 ? a16 ,又 S15 ? 0 , S16 ? 0 ,所以 a16 ? 0 . 又 S15 ?

(a1 ? a15 )n 2a8 ? n ? ? 0,? a8 ? 0 . 所 以 数 列 的 公 差 小 于 0 , 且 a1 ? 0 . 所 以 2 2 9(a1 ? a9 ) 9 ? 2a5 S ? ? 0 .所以 9 <0,因为前八项是递减且为 2 2 a9

S17 ? 0,? a9 ? 0 .由 S9 ?

正,由

Sn n a1 S S ? ( ? 1) 所以前八项 { n } 递增,又有 8 >0.故选 D. an 2 an an a8

8.D【解析】解:设能胜任两种工作的那个人为 A, 3 2 记为 A 不选派 A 的方法数 C4 C3 =12; 2 2 A 被选为英语翻译工作的方法数 C4 C3 =18; 3 1 A 被选为电脑软件设计工作的方法数 C4 C3 =12, 故不同的选法种数为 42,故选 D. 9.A【解析】因为直线 AB 过原点,且在双曲线上,所以 A, B 两点关于原点对称,则可设

A( x1, y1) , B ( - x1, - y1) , P ( x2 , y2 )
y2 - y1 y2 + y1 ? x2 - x1 x2 + x1


, 所 以 kPA =

y2 - y1 y + y1 , kPB = 2 ,由题意得 x2 - x1 x2 + x1

kPA ?kPB

2 2 2 x12 y12 x2 y2 y2 - y12 1 = 1 =1 , 相 减 得 , 又 由 , = 2 a 2 b2 a 2 b2 x2 - x12 3

2 2 x2 - x12 y2 - y12 =0 a2 b2



2 - y12 1 b2 y2 = = 2 a 2 x2 - x12 3



1 b2 = a2 3







6

c a 2 + b2 e= = = a a2

4 2 a 2 3 3 = 故正确答案为 A 2 a 3

10.B【解析】 y? ? 3x2 ? 2a ,①当 a ? 0 时, y? ? 0 ,所以, y ? x3 ? 2ax ? a 在 ? 0,1? 单 调递增,在 ? 0,1? 无极值,符合题意,所以 a ? 0 ;②当 a ? 0 时, y? ? 0 即 3x 2 ? 2a ? 0 解 得 : x1 ? ?

? ? 6a ? ? 6a 6a 6a ? , 当 x ? ? ??, ? ? , ?? , x2 ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 时 , y ?0 , 当 3 3 3 ? ? ? ?

3 ? 6a 6a ? 时 , y? ? 0 , 所 以 y ? x ? 2ax ? a 的 单 调 递 增 区 间 为 : x ?? ? , ? ? 3 3 ? ? ?

? ? ? 6a ? ? 6a 6a 6a ? 6a ;单调递减区间为: ? ? ,当 x ? ? 时原函数 ?? , ? , , ?? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 3 3 ? 3 ? ? ?
取得极大值,当 x ?

6a 时, 原函数取得极小值,要满足原函数在 ? 0,1? 内无极值, 需满足: 3

3 6a ?3 ? ? 1 解得: a ? ,综合①②, a 的取值范围为 ? ??,0? ? ? , ?? ? ,所以答案为 2 3 ?2 ?
11.40
5 r 5? r r 5? r r 5? 2 r 【解析】 (2 x ? ) 的展开式的通项为 Tr ?1 ? C5 (2 x ) ( ) ? 2 C5 x , 5 ? 2r ? 0 ,

1 x

1 x

r?

5 3 5?3 不合题意, 5 ? 2r ? ?1 , r ? 3 ,因此展开式中的常数项为 C5 2 ? 40 . 2

12.6 【解析】因为区间

?241,360? 内的人数共有 360 ? 241 ? 1 ? 120, 每 20 人抽取一人,因此共

120 =6 ?241,360? 内的人数是 6 人 抽 20 人,即编号在区间
13.

9 14

【解析】 设实数 x∈[2, 30], 经过第一次循环得到 x=2x+1, n=2, 经过第二循环得到 x=2 (2x+1) +1,n=3 经过第三次循环得到 x=2[2(2x+1)+1]+1,n=4 此时输出 x,输出的值为 8x+7,令 8x+7≥103 得 x≥12, 由几何概型得到输出的 x 不小于 103 的概率为 P ? 14.

30 ? 12 9 ? . 30 ? 2 14

5 6

【解析】

7

1 x? y 2(2 x ? 4 y ) 1 2 1 1 2 ? ? ( ? ) [(2 x ? 4 y ) ? ( x ? y )] ? [3 ? ? ] 2x ? 4 y x ? y 6 2x ? 4 y x ? y 6 2x ? 4 y x? y
因为 x ? y ? 0 , 所以 2 x ? 4 y ? 0 , 由基本不等式得 x ? y ? 0, 15.①②③ 【解析】 ( 1) 取 x1 ? x2 ? 0 , 代 入 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 可得 ( , f 0) ?( f 0) ?( f 0) 即 ( f 0) ? 0 , 由 已 知 对任意的 x ?[0,1] , 总 有 ( f x) ? 0可得 ( f 0) ? 0 , ∴ f (0) ? 0 ;
x ( 2 ) 显 然 f ( x) ?2 ?1( x ?[0,1]) 在 [0, f 0) ? 0 ; ② f (1) ? 1 . 1] 上 满 足 (

1 2 1 5 ? ? (3 ? 2) ? . 2x ? 4 y x ? y 6 6

若 x1 ? 0, x2 ? 0 , 且 x1 ? x2 ? 1 , 则有

( f x1 ? x2) ?[ ( f x1) ?( f x2) ] ? 2x1

? x2

?1 ?( [ 2x1 ?1 ) ? (2x2 ?1 ) ]? (2x2 ?1 )(2x1 ?1 ) ? 0,

故 ( f x) ? 2x ? 1 满 足 条 件 ① ② ③ , 所 以 ( f x) ? 2x ? 1 为 理 想 函 数 . 由 条 件 ③ 知 , 任 给 m、n ? [0, 1] , 当 m< n 时 , 由 m< n 知 n ? m ? [0, 1] , ∴ ( . f n) ?( f n ? m ? m) ?( f n ? m) ?( f m) ?( f m) 若 ( f x0)>x0 , 则 ( f x0) ? f[( f x0 ) ] ? x 0, 前 后 矛 盾 ; 若 ( f x0)<x0 , 则 ( f x0) ? f[( f x0 ) ] ? x 0, 前 后 矛 盾 . 故 ( f x0) ? x0 . ∴ 三 个 命 题 都 正 确 , 答案为①②③.
1 16. 【解析】 (Ⅰ) S ? ab sin C ,且 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab cos C . 2 1 因为 4S ? 3(a2 ? b2 ? c2 ) ,所以 4 ? ab sin C ? 2 3ab cos C , 2

所以 tan C ? 3 , (Ⅱ)由 1 ?

因为 0 ? C ? ? ,所以 C ?

π ; 3

tan A 2c 得: ? tan B b

cos A sin B ? sin A cos B 2c , ? cos A sin B b



sin C 2c ? cos A sin B b

又由正弦定理得 cos A ?

1 , 2

∴ A ? 60 ,

∴△ABC 是等边三角形, ∴ AB ? BC ? c ? c ? cos120 ? ?8 , 所以 c ? 4 . 17. 【解析】 (1)设数列 {an } 的公差为 d ,依条件有 a42 ? a2 (a6 ? 2) ,
8

即 (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? d )(a1 ? 5d ? 2) ,解得 d ? ? 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 1 ? (n ? 1) ? n .

1 (舍)或 d ? 1 , 2

1 (1 ? bn ) , 2 1 当 n ? 1 时, 2S1 ? b1 ? 1,解得 b1 ? , 3 1 1 1 1 当 n ? 2 时, bn ? Sn ? S n ?1 ? (1 ? bn ) ? (1 ? bn ?1 ) ? ? bn ? bn ?1 , 2 2 2 2 1 所以 bn ? bn ?1 , 3 1 1 所以数列 {bn } 是首项为 ,公比为 的等比数列, 3 3 1 故 bn ? n . 3 n (2)由(1)知, cn ? an bn ? n , 3 1 1 1 1 所以 Tn ? 1? ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? n ? n ① 3 3 3 3 1 1 1 1 1 Tn ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? n ? n ?1 ② 3 3 3 3 3 3 3 1 n 1 3 2n ? 3 1 ? n. 得 Tn ? ? ? n ? ? n ? ? 4 4 3 2 3 4 4 3 1 1 (1 ? n ) 3 ?1? 1 . 又 Sn ? 3 1 2 2 ? 3n 1? 3 1 2n ? 1 1 ? n , 所以 Tn ? S n ? ? 4 4 3
由 2Sn ? bn ? 1 ,得 S n ? 当 n ? 1 时, T1 ? S1 , 当 n ? 2 时,

1 2n ? 1 1 ? ? n ? 0 ,所以 Tn ? Sn , 4 4 3

故所求的正整数 n 存在,其最小值是 2. 18. 【解析】 (Ⅰ) 记 A 种零部件为事件 A ;B 种零部件为事件 B ;C 种零部件为事件 C . 由 题意,三个事件相互独立. 设 B 种汽车零部件中标的概率为 p , C 种汽车零部件中标的概率为 q . 则只中标 B 种零部件的概率为 P( ABC ) ? P( A) P( B) P(C ) ? (1 ? ) p(1 ? q)

3 4

B 、 C 两种零部件签订合同,即两种零件都中标,其概率为 P( BC ) ? P( B) P(C ) ? pq .

9

3 1 1 2 ? ? ? (1 ? ) p (1 ? q ) ? p (1 ? q) ? p? ? ? ? ? ? ? 4 8 2 3 由题意, ? ,即 ? ,解得 ? . ? pq ? 1 ? pq ? 1 ?q ? 1 ? ? ? 6 6 ? ? 4 ?
(Ⅱ)由已知, X 的可能取值为 0,1,2,3. 记 B 、 C 两种零部件签订合同为事件 D ,则 p ( D ) ?

1 5 , p( D) ? . 6 6

3 5 5 P( X ? 0) ? P( AD) ? P( A) P( D) ? (1 ? ) ? ? ; 4 6 24 3 5 5 P( X ? 1) ? P( AD) ? P( A) P( D) ? ? ? ; 4 6 8 3 1 1 P( X ? 2) ? P( AD) ? P( A) P( D) ? (1 ? ) ? ? ; 4 6 24 3 1 1 P( X ? 3) ? P( AD) ? P( A) P( D) ? ? ? . 4 6 8 所以 X 的分布列为 0 1 2 3 X 5 5 1 1 P 24 8 24 8
X 的数学期望为 EX ? 0 ?

5 5 1 1 13 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 24 8 24 8 12 1 BC ? 2 , 2

19. 【解析】 (Ⅰ) 取 PB 中点 N ,连结 MN 、 AN ,

M 是 PC 中点,? MN // BC , MN ?


BC // AD ,? MN // AD, MN ? AD ,? 四边形 ADMN 为平行四边形
AP ? AD, AB ? AD ,?AD ? 平面 PAB ,? AD ? AN ,? AN ? MN

AP ? AB ,? AN ? PB ,? AN ? 平面 PBC , AN ? 平面 ADM ,? 平面 ADM ? 平面 PBC .
(Ⅱ)存在符合条件的 ? .以 A 为原点, AB 方向为 x 轴, AD 方向为 y 轴, AP 方向为 z 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 E (2, t , 0) , P(0, 0, 2) , D (0, 2, 0) , B(2, 0, 0) 从而 PD ? (0, 2, ?2) , DE ? (2, t ? 2,0) ,则平面 PDE 的法向量为 n1 ? (2 ? t , 2, 2) , 又平面 DEB 即为 xAy 平面,其法向量 n2 ? (0,0,1) , 则 cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 2 2 ? ? , | n1 | ? | n2 | (2 ? t ) 2 ? 4 ? 4 3

10

解得 t ? 3 或 t

? 1,进而 ? ? 3 或 ? ? .
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,由题意得 a 2 b2

1 3

20. 【解析】 (Ⅰ)因为椭圆 C :

S ?BF1F2 ?
解得 ?

c 2 1 2 2 2 ,a ? b ? c , ? 2c ? b ? 4 , e ? ? a 2 2

?a 2 ? 8, x2 y2 C : ? ? 1. 所以椭圆 的方程为 C 2 8 4 b ? 4, ?
2 2 2

(Ⅱ)假设存在圆心在原点的圆 x ? y ? r ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两 个交点 M , N ,因为

OM ? ON ? OM ? ON ,所以有 OM ? ON ? 0 ,

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,

? y ? kx ? m ? y ? kx ? m 当切线斜率存在时,设该圆的切线方程为 ,解方程组 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 4 ?8
得 x ? 2(kx ? m) ? 8 ,即 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 8 ? 0 ,
2 2

2

2

2

2 2 则△= 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 8) ? 8(8k ? m ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0 ,

2

2

2

2

2

2

x1, 2 ?

? 4km ? 16 k 2 m 2 ? 4(1 ? 2k 2 )( 2m 2 ? 8) 2(1 ? 2k 2 )

,

4km 2m 2 ? 8 , x1 x2 ? 所以 x1 ? x2 ? ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ?
, 要使 OM ? ON ? 0 ,需 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

2 m 2 ? 8 m 2 ? 8k 2 ? ? 0, 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

2 2 所以 3m ? 8k ? 8 ? 0 ,所以 k ?

2

? m2 ? 2 3m 2 ? 8 ? 0 又 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 ,所以 ? 2 , 8 3 m ? 8 ?

所以 m2 ?

2 6 2 6 8 ,即 m ? 或m ? ? ,因为直线 y ? kx ? m 为圆的一条切线, 3 3 3

11

2 6 m2 m2 8 所以圆的半径为 r ? ,r ? , ? ? ,r ? 2 2 2 3m ? 8 3 3 1? k 1? k 1? 8
2

m

所求的圆为 x 2 ? y 2 ?

8 , 3
2 6 2 6 或m ? ? , 3 3

此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ?

x2 y2 2 6 ? ?1 的两个交点为 而当切线的斜率不存在时,切线为 x ? ? ,与椭圆 8 4 3
( 2 6 2 6 2 6 2 6 ,? ) 或 (? ,? ) 满足 OM ? ON ? 0 , 3 3 3 3

综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ?

8 满足条件. 3
2 . x

21. 【解析】 (Ⅰ)当 a = 1 时, g ? x ? ? x ? 1 ? 2 ln x, g ' ? x ? ? 1 ? 当 x ? (0, 2) 时, g ' ? x ? ? 0,g ? x ? 单调递减; 当 x ? (2, ? ?) 时, g ' ? x ? ? 0, g ? x ? 单调递增,

综上, g ? x ? 的单调递增区间为 (2, ? ?) ,单调递减区间为 (0, 2) . (Ⅱ)由题意知: ? 2 ? a ?? x ?1? ? 2ln x ? 0 ,在 x ? ? 0, ? 时恒成立, 即 ? 2 ? a ?? x ?1? ? 2ln x 在区间 ? 0, ? 上恒成立,

? ?

1? 2?

? ?

1? 2?

又 1 ? x ? 0 ,? a ? 2 ?

2 ln x ? 1? 在区间 ? 0, ? 上恒成立. 1? x ? 2?

2 2 1 ? x ? ? 2 ln x ? 2 ? 2 ln x ? 2 ln x ? 1? x x ? 设 h( x) ? 2 ? , x ? ? 0, ? , h '( x) ? 2 2 1? x ? 2? ?1 ? x ? ?1 ? x ?
又令 m ? x ? ?

2 2 ?2 ? 2 x 2 ? 1? -2 ? 2ln x,x ? ? 0, ? ,则 m ' ? x ? ? ? 2 ? = x x x2 x ? 2?

当 x ? ? 0, ? 时, m ' ? x ? ? 0, m ? x ? 单调递减,

? ?

1? 2?

12

?1? ? 1? ? m ? x ? ? m ? ? ? 4 ? 2 ? 2ln 2 ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,即 h ' ? x ? ? 0 在区间 ? 0, ? 恒成立, ?2? ? 2?

?1? ? 1? 所以 h ? x ? 在区间 ? 0, ? 单调递增, h ? x ? ? h ? ? ? 2 ? ?2? ? 2?
故 a ? 2 ? 4 ln 2 . (Ⅲ)证明: k ?

2ln 1 2

1 2 ? 2 ? 4ln 2 ,

x ? x1 y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 又 x0 ? 2 ? 2 x2 ? x1 x2 ? x1
x ? x0

所以 f ' ? x0 ? ? ? ln x ? '

?

ln x2 ? ln x1 1 2 2 ,即证 ? ? x0 x1 ? x2 x2 ? x1 x1 ? x2

不妨设 0 ? x1 ? x2 ,即证: ln x2 ? ln x1 ?

2 ? x2 ? x1 ? , x1 ? x2

?x ? 2 ? 2 ? 1? x ? x1 ? ,设 t ? x2 ? 1 ,即证: ln t ? 2 ? t ? 1? , 即证: ln 2 ? x2 t ?1 x1 x1 ?1 x1
4 ? 2 ? 0 ,其中 t ? (1, ? ?) t ?1 4 ? 2 , t ? (1, 事实上:设 k (t ) ? ln t ? ? ?) t ?1
也就是要证: ln t ?

? t ? 1? ? 4t ? ? t ? 1? ? 0 1 4 ? 则 k '(t ) ? ? 2 2 2 t ? t ? 1? ? t ? 1? ? t ? 1?
2 2

所以 k (t ) 在 (1, ? ?) 单调递增,因此 k ?t ? ? k ?1? ? 0 ,即结论成立.

13


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