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2.1.1 椭圆及其标准方程 第二课时


2.2椭圆及其标准方程

1

?椭圆的标准方程的特点:
Y
M M F1 (-c,0)
2 2

Y F2(0 , c)

O

F2 (c,0)

X
2

O
F1(0,-c)

/>
X

x y ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 a b

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1 (2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 (3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。反 之求出a.b.c的值可写出椭圆的标准方程。 (4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点就在哪一 2 2 个轴上。并且哪个大哪个就是a

?再认识!
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
y P

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a y
F2 P

不 同 点




F1

O

F2

x

O

F1

x

焦点坐标 相 同 点 定 义

F1 ? -c , 0 ?,F2 ? c , 0 ?

F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
a 2 = b2 + c 2

a、b、c 的关系
焦点位置的判断

分母哪个大,焦点就在哪个轴上
3

求法:

一定焦点位置;二设椭圆方程;三求a、b的值.

四、焦点三角形面积问题
x2 y 2 例:设F1,F2是椭圆 ? ? 1的两个焦点, M为椭圆上的点, 9 4 若MF1 ? MF2,则?MF1F2的面积为_____
y

M

F1

o

F2

x

4

[例 2]

如图所示, 已知椭圆的方程

x2 y2 为 4 + 3 =1,若点 P 在椭圆上,F1,F2 为椭圆的两个焦点,且∠PF1F2=120° , 求△ PF1F2 的面积. [思路点拨] 因为∠PF1F2=120°,|F1F2|=2c,所以要

求S△PF1F2,只要求|PF1|即可.可由椭圆的定义|PF1|+|PF2| =2a,并结合余弦定理求解.

[精解详析]

由已知 a=2,b= 3,

所以 c= a2-b2=1,|F1F2|=2c=2, 在△ PF1F2 中,由余弦定理得 |PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|· |F1F2|· cos 120° , 即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|. 由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4, ①

即|PF2|=4-|PF1|. 6 将②代入①解得|PF1|=5,



1 1 6 3 3 3 ∴S△ PF1F2=2|PF1|· |F1F2|· sin 120° =2× 2× 2 = 5 . 5× 3 因此所求△ PF1F2 的面积是5 3.

[一点通]

椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1、F2 构成的

△ F1PF2 称为焦点三角形,解关于椭圆中的焦点三角形问题时 要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理、勾 股定理等知识.对于求焦点三角形的面积,若已知∠F1PF2, 1 可利用 S=2|PF1|· |PF2|sin∠F1PF2 求面积,这时可把|PF1|· |PF2| 看成一个整体,运用公式 |PF1|2+|PF2|2=4a2-2|PF1||PF2|及余 弦定理求出|PF1|· |PF2|,而无需单独求出|PF1|和|PF2|,这样可以 减少运算量.

x2 y 2 【例】如图所示, 点P是椭圆 ? ? 1上的一点, 5 4 F1和F2分别是椭圆的左? 右焦点, 且?F1PF2 ? 30?, 求 F1PF2的面积.

9

x2 y 2 [解]在椭圆 ? ? 1中, a ? 5, b ? 2, c ? 1. 5 4 又P在椭圆上, ? PF1 ? PF2 ? 2a ? 2 5① 又 ?F1PF2 ? 30?, 根据余弦定理得 PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos30? ? F1F2 ? 4② ①式平方减②式, 得 (2 ? 3 ) | PF1 ? PF2 |? 16, ? PF1 ? PF2 ? 16(2 ? 3), ?S
F1PF2 2 2 2

?

1 PF1 PF2 ? sin30? ? 8 ? 4 3. 2

10

例1 已知△ABC的一边BC固定,长为6,周长为16, 求顶点A的轨迹方程。

解: AB ? BC ? AC ? 16, BC ? 6
.

y

A

? AB ? AC ? 10, 且10 ? BC 根据椭圆的定义知所求轨迹是椭圆, B o C 且B、C为焦点 以BC的中点为原点,BC所在的直线为x轴建立直 角坐标系。 所以可设椭圆的标准方程为 : x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x

2a ? 10, 2c ? 6 ? a ? 5, c ? 3, b ? a ? c ? 16
2 2 2

∴所求椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ?1 25 16

( y ? 0)

11

[例3]

(12分)已知圆B:(x+1)2+y2=16及点A(1,0),C

为圆B上任意一点,求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P 的轨迹方程. [思路点拨] P为AC垂直平分线上的点,则|PA|=|PC|,

而BC为圆的半径,从而4=|PA|+|PB|,可得点P轨迹为以A、

B为焦点的椭圆.

[精解详析]如图所示,连接AP,∵l垂直平分AC, ∴|AP|=|CP|. ∴|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4, ∴P点的轨迹是以A,B为焦点的椭圆. ∵2a=4,2c=|AB|=2, ∴a=2,c=1,b2=a2-c2= x2 y2 ∴点P的轨迹方程为 4 + 3 = (10分) (12分) (8分) (3分)

[一点通]
种思路:

求解有关椭圆的轨迹问题,一般有如下两

(1)首先设出动点的坐标为(x,y),然后通过题干中给 出的等量关系列出等式,然后化简等式得到对应的轨迹方 程; (2)首先分析几何图形中的几何关系,若几何关系满 足椭圆的定义,可以设出对应椭圆的标准方程,再求出其

中a,b的值,得到椭圆的轨迹方程.

五、与椭圆有关的轨迹 2 2 x ? y ? 4 上任取一点P,向x轴作垂线段 例2 在圆 PD,D为垂足。当点P在圆上运动时,求线段PD中点M 的轨迹方程。轨迹是什么图形? 解:设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为 ? x0 , y0 ? 则
y0 x ? x0 , y ? 2

? x0 ? 2 x, y0 ? y
P( x0 , y0 )在圆x 2 ? y2 ? 4上
2 2 ? x0 ? y0 ?4

y M

辅 助 点 P 法
x

将x 0 ? x ,

y0 ? 2 y代入上述方程 x2 ? y2 ? 1 4

0

D

得 x 2 ? 4 y 2 ? 4即

15

例.如图,已知点A(-5,0),B(5,0).
直线AM,BM交于点M,且它们的斜率之积

是- 4/9,求点M的轨迹方程.
y
M

直译法

A

O

B

x

16

7.△ABC的三边a,b,c成等差数列,A,C的坐标分 别为(-1,0),(1,0),求顶点B的轨迹方程. 解:由已知得 b=2,又 a,b,c 成等差数列,
∴a+c=2b=4,即|AB|+|BC|=4, ∴点 B 到定点 A、C 的距离之和为定值 4,由椭圆定义知 B 点的轨迹为椭圆,其中 a′=2,c′=1. ∴b′2=3. 又∵A、B、C 三点共线时不能构成三角形, x2 y2 ∴顶点 B 的轨迹方程为 4 + 3 =1(y≠0).

8.已知动圆M过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2

=64的内部与其相内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解: 设动圆 M 和定圆 B 内切于点 C, 由|MA|=|MC|得|MA| +|MB|=|MC|+|MB|=|BC|=8,即动圆圆心 M 到两定点 A(-3,0),B(3,0)的距离之和等于定圆的半径, ∴动圆圆心 M 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆, 且 2a=8,2c=6,b= a2-c2= 7, x2 y2 ∴M 的轨迹方程是16+ 7 =1.

例.一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内
切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线
Y

解法1:如图:设动圆圆心为P(x,y), 半径为R,两已知圆圆心为O1、O2。 分别将两已知圆的方程 x2+y2+6x+5=0 x2+y2-6x-91=0 配方,得 (x+3)2+y2=4 (x-3)2+y2=100

P

X

O1

O2

当⊙P与⊙O1: (x+3)2+y2=4外切时,有 |O1P|=R+2



当⊙P与⊙O2: (x-3)2+y2=100内切时,有 |O2P|=10-R ②
①、②式两边分别相加,得 |O1P|+|O2P|=12 即

( x ? 3) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 12

19

化简并整理,得 即可得

3x2+4y2-108=0

x2 y2 ? ?1 36 27

所以,动圆圆心的轨迹是椭圆

20

1.用待定系数法求椭圆的标准方程时,若已知焦点的位 置,可直接设出标准方程;若焦点位置不确定,可分两种情

况求解;也可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)求解.
2.解决与椭圆有关的轨迹问题时,要注意检验所得到的 方程的解是否都在曲线上. 3.涉及椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义列出 |PF1|+|PF2|=2a求解,因此回归定义是求解椭圆的焦点三角

形问题的常用方法.

~ 求曲线方程的方法:
代入法:或中间变量法,利用所求曲线上的 动点与某一已知曲线上的动点的关系,把所求动 点转换为已知动点满足的曲线的方程,由此即可 求得动点坐标x,y之间的坐标。

22

解:设点M的坐标为(x, y), 点P的坐标为(x , y ),则
0 0

点P ?的坐标为(x ,0).
0

由PM = 2MP ?得:(x - x , y - y ) = 2(x - x,-y) ,即
0 0 0


0 0

? x - x = 2(x - x) , ? ? y - y = 2(-y) x = x, y = 3y.
0 0 0 0 0 2 2

∵ P(x , y )在圆x + y = 9上, 代入得 x + 9y = 9,
2 2

x 即 + y =1,∴点M的轨迹是一个椭圆. 9
2 2

23

作业:1.椭圆 =1(a>b>0)的三个顶点为 B1 (0,-b),B2 (0,b),A(a,0),焦点 F(c,0)且B1F⊥AB2,求该椭圆的离心率。
2.已知正方形 ABCD,则以 A、 B 为焦点,且过 C、 D 两点 的椭圆的离心率为________.

x2 y2 a 2 + b2

3.已知点 M (4, 0), N (1, 0), 若动点 P满足 ? ? ? MN ? MP ? 6 | NP |,求动点 P的轨迹方程。
24

P
m
F1

o

n
2c

F2

m ? n ? 4c cos?F1 PF2 ? 2m n
2 2 2

2

? m ? n ? 2a
2

2b ? ?1 mn 2 2 m?n 2 2 b 2 b 2 ? mn ? ( ) ?a ? ?1 ? 2 ?1 2 mn a
4a ? 2m n? 4c cos?F1PF2 ? 2m n
当且仅当 m ? n时; cos有最小值; ?F1PF2有最大值 即:当P位于上、下端点时; ?F1PF2有最大值
25

2

小结:
一个定义: |MF1|+|MF2|=2a >2c>0
x2 y2 y2 x2 二个方程: 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 与 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? a b a b

三种数学思想: 换元思想 分类讨论思想 数形结合思想
26

3.椭圆的标准方程再认识:
x2 y2 椭圆的标准方程: (1)焦点在x轴上 a 2 + b 2 =1 (a>b>0) y2 x2 ? 2 ? 1 (a>b>0) (2)焦点在y轴上 2 a b (1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1. (2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2. (3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值.

(4)椭圆的标准方程中,焦点的位置由分母的大小来确定. (5)椭圆的标准方程是由三个参数a、b、c及焦点位置唯一确定, 即只要知道三个参数a、b、c的值,就可以写出椭圆的标准方程. 因此我们需要求椭圆的标准方程时,应该运用待定系数法: (其步骤是:先设方程、再求参数、最后写出方程),其关键是求a、 b的值.zxxk
王新敞 特级教师 源头学子小屋
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新疆奎屯
· 2007·

27
王新敞
奎屯 新疆

?再认识!
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
y P

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a y
F2 P

不 同 点




F1

O

F2

x

O

F1

x

焦点坐标 相 同 点 定 义

F1 ? -c , 0 ?,F2 ? c , 0 ?

F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
a 2 = b2 + c 2

a、b、c 的关系
焦点位置的判断

分母哪个大,焦点就在哪个轴上
28

求法:

一定焦点位置;二设椭圆方程;三求a、b的值.

例3 设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0). 直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是 ? 4 ,求 9 点M的轨迹方程.
y

M

A

o

B x

29

练习1 平面内有两个定点的距离是8,写出到 这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程。
(1)判断:1)和是常数;2)常数大于两个定点之 间的距离。故点的轨迹是椭圆。 (2)取过两个定点的直线做 x 轴,它的线段垂 直平分线做 y 轴,建立直角坐标系,从而保证 方程是标准方程。 (3)根据已知求出a、c,再推出a、b

写出椭圆的标准方程。
30

思考与讨论
方程
x2 y2 + =1 ,分别求方程满足 25-m 16+m

下列条件的m的取值范围: ①表示一个圆;

②表示一个椭圆;
③表示焦点在x轴上的椭圆。

31


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