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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-2教案:第4章 拓展资料:复数问题的六种简求策略


复数问题的六种简求策略 复数是初等数学与高等数学的一个重要衔接点, 它涉及到高中数学的很多分支, 是每年高考中必考的内 容,为帮助同学们掌握这部分内容,本文介绍几种简求复数题的常用方法,供参考。 一、特殊值法 对于含有参数范围的题目,可选定参数范围内一特值代入,进行估算,可排除干扰支,确定应选支。 例 1.当

2 3

<m<1 时,复数

z=(3m-2)+(m-1)i 在复平面上对应的点位于( B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限



A.第一象限 分析:由于

2 3

<m<1,取 m=

3 4

,则 z=

1 1 ? i,对应的点在第四象限,故选 D。 4 4

二、运用特殊等式

记牢一些常用的特殊等式,如(1±i) =±2i, (?
2

1 3 3 ± i ) =1 等,有助于复数运算题的快速解决。 2 2

例 2.计算(1-i) · (?
6

1 3 97 ? i) 2 2

解:原式=[(1-i ) ] · (?
2 3

1 3 96 1 3 ? i ) ·( ? ? i) 2 2 2 2 1 3 3×32 1 3 ? i ) ·( ? ? i) 2 2 2 2

=(-2i) · (-

3

=8i· (?

1 3 ? i )=-4 3 -4i 2 2

三、运用共轭复数的性质 共轭复数的性质很多,如 z 为实数 ? z= z ,z 为纯复数 ? z=- z ,z·z =|z| 等,若能灵活运用,可简
2

化解题。 例 3.设复数 z 满足|z|=2,求|z -z+4|的最大值和最小值。 解析: 由|z|=2, 得|z| =z·z =4, 则|z -z+4|=|z -z+z·z |=|z (z-1+ z ) |=2| (z -1+ z |, 若设 z=a+bi (-2≤a≤2,
2 2 2 2

-2≤b≤2) ,则|z -z+4|=2|a+bi-1+a-bi|=2|2a-1|。 ∴当 a=

2

1 2

时,|z -z+4|min=0,当 a=-2 时,|z -z+4|max=10

2

2

四、两边同取模 如果一个复数等式中,一边能够表示成实部和虚部,采用两边取模后,可将虚数问题转化为实数问题。

-1-

例 4.设复数 z 满足关系式 z+| z |=2+ i,那么 z 等于( A. ?

) D.

3 +i 4

B.

3 4

-i

C. ?

3 ?i 4

3 ?i 4
(2? | z |)2 ? 1 ,解得

分析:原关系式可化为 z=2-| z |+i,又|z|=| z |且为实数,两边取模得|z|= |z|=

5 4

,则 z=2-

5 4

+i=

3 4

+ i,故应选 D。

五、运用整体思想 有些复数问题,若从整体上去观察、分析题设的结构特征,充分利用复数的有关概念和性质,对问题进 行整体处理,可得妙解。 例 5.求同时满足下列条件的所有复数 z①z + 解析:观察给出式,可设 μ=z+

10 10 是实数,且 1<z+ ≤6,②z 的实部与虚部均为整数。 z z
μz+10=0,则△=μ -40<0,
2

10 2 ,则 μ∈R,且 1<μ≤6,整理得 z z

由求根公式得 z=

?
2

±

40 ? ? 2 2

i 由条件②知

? 2

是整数,则 μ=2,或 4 或 6,当 μ=2 时,z=1±3i,当 μ=4 时,

z=2±

,当 μ=6 时,z=3±i 故满足条件的复数 z=1±3i,或 z=3±i。 6 i(不合题意,舍去) 六、活用复数的几何意义 在深刻理解复数几何意义的基础上,将复数问题转化为几何问题,借助几何图形的直观化可快速解题。 例 6.已知 z1、z2∈C,且|z1|=1,若 z1+z2=2i,则|z1-z2|的最大值是( A.6 B.5 C.4 D.3 )

分析: 由|z1|=1, 且 z1=2i-z2 知|z2-2i|=1, 根据模的几何意义知 z1、z2 分别在单位圆及以 2i 为圆心的圆上, 则 z1、z2 对应的两点间距离|z1-z2|的最大值为两圆的连心线长加上两圆的半径长即|z1-z2| max =2+2=4,故选 C。

-2-


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