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辽宁省五校协作体2013届高三上学期期中考试数学理试题


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辽宁省五校协作体 2013 届高三上学期期中考试数学理试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分, 共 60 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设全集 U=R,集合 P= ? x | y ? ln( x ?

1)? ,集合 Q= y | y ? x ,则集合 P∩ Cu Q 为( ) A.{x︱-1﹤x≤0,x∈R} B.{x︱-1﹤x﹤0,x∈R} C.{x︱x﹤0,x∈R} D.{x︱x>-1,x∈R} 2.下列命题中错误的个数是( ) ①命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 则 x=1”的否命题是“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 则 x≠1” ②命题 P: ?x0 ? R ,使 sin x0 ? 1 ,则 ? P : ?x0 ? R ,使 sin x0 ? 1 ③若 P 且 q 为假命题,则 P、q 均为假命题 ? ④ "? ? ? 2k? (k ? Z )" 是函数 y ? sin(2 x ? ? ) 为偶函数的充要条件 2 A.1 B.2 C.3 D.4 1 3.曲线 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 与直线 y= 围成的封闭图形的面积是( ) 2 ? ? A. 3 ? B. 2 ? C. 2 ? 3 D. ? ? 3 3 3 4 若点 P (cos ? ,sin ? ) 在直线 y ? ?2 x 上,则 sin 2? ? 2 cos 2? =( A. ?
7 5

?

?

)

B. ?

14 5

C.

4 5

D. ?2

5.已知 m、n 是两条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面,下列命题中错 误的是( ) A. 若 m ? ? , m ? ? 则 ? ∥ ? B. 若 ? ∥ ? , ? ∥ ? 则 ? ∥ ?

C. 若 m ? ? , n ? ? , m ∥n 则 ? ∥ ? D. 若 m、n 是异面直线, m ? ? , n ? ? , m ∥ ? ,n∥ ? 则 ? ∥ ? 6. 已知数列 ?an ? 是等差数列,an ? 0 若 2 lg a2 ? lg a1 ? lg a4 , 则 A.
15 17

a7 ? a8 的值是 ( a8 ? a9



B.1 或

15 17

C.

13 15

D.1 或

13 15

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?x ? y ? 0 ? 7 若实数 x、y 满足条件 ? x ? y ? 0 ,则 2 x ? 4 y 的最大值是( ) ?y ?1 ?
A.3 B.4 C. 6 D.8 8. 已 知 函 数 f ( x) 的 导 函 数 为 f ' ( x) ? 5 ? cos x, x ? (?1,1) 且 f (0) ? 0 若

f (1 ? x) ? f (1 ? x 2 ) ? 0 ,则 x 的取值范围为(
A (0,1) B (1, 2 )

) D(1, 2 )∪

C (?2, ? 2)

(? 2, ?1)

? 9. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? )(? ? 0) 的图像与 x 轴的交点的横坐标构成一个公差为 6 ? 的等差数列,要得到函数 g ( x) ? A cos ? x 的图像,只需将 f ( x) 的图像( ) 2 ? ? A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 6 3 2? 2? C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 3
10 . 函 数 f ( x) ? 1 ? log a x (a ? 0, a ? 1) 的 图 像 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线
1 1 ) ? 的最小值为( m n A1 B2 C3 D4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11.已知非零向量 a 、 b 、 c 满足 a ? b ? c ? 0 ,向量 a 与 b 的夹角为 1200 ,且
mx ? ny ? 2 ? 0 上,其中 mn>0,则

? ? ? ? b ? 2 a ,则向量 a 与 c 的夹角为(
A 600 B. 1500 C 1200 D 900



12.已知函数 f ( x) 在定义域 R 内可导,若 f ( x) ? f (4 ? x) 且 ( x ? 2) f ' ( x) ? 0 ,记
1 ) a ? f (0), b ? f ( ), c ? f (3) ,则 a 、b、c 的大小关系是( 2 A a?c?b B c?b?a C a?b?c D b?a?c 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二 填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的横线 上) 13.如图所示是一个几何体的三视图(单位:cm) ,主视图和左视图是底边长为

4cm,腰长为 2 2 的等腰三角形,俯视图是边长为 4 的正方形,则这个几何体的 表面积是__________
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主视图

左视图

??? ? ??? ? 14.在△ABC 中,已知 AB ? (cos180 , cos 720 ) , BC ? (2 cos 630 , 2 cos 27 0 )
ABC 的面积为__________________

俯视图

则△

15. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn , 已知数列 ?sn ? 是首项和公比都为 3 的等比数列, 则数列 ?an ? 的通项公式为 an =_____________________ 16.已知函数 f ( x) 满足下面关系:
f (x ? ) ? f (x ? ) 2 2 给出下列四个命题:



?

?

⑵当 x ? ? 0, ? ? 时 f ( x) ? ? cos x

①函数 f ( x) 为周期函数

②函数 f ( x) 为奇函数 ④方程 f ( x) ? lg x 的解的个数是 8

③函数 f ( x) 的图像关于 y 轴对称

其中正确命题的序号是:_______________(把正确命题的序号都填上) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) ? 已知 f ( x) ? 2sin 2 ? x ? 2 3 sin ? x sin( ? ? x)(? ? 0) 最小正周期为 ? 2 (1).求函数 f ( x) 的单调递增区间及对称中心坐标
? 2? ? (2).求函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围。 ? 3 ?

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ,满足 sn ? 2an ? n (1)求数列 ?an ? 的通项公式 (2)设 bn ? (2n ? 1)(an ? 1) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 35. (本小题满分 12 分) 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 , AB ∥ CD , ∠ ABC= 900 ,
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AB=PB=PC=BC=2CD,平面 PBC⊥平面 ABCD (1)求证:AB⊥平面 PBC (2)求平面 PAD 和平面 BCP 所成的二面角(小于 900 )的大小。 (3)在棱 PB 上是否存在点 M 使 CM∥平面 PAD? PM 若存在,求 的值。若不存在,请说明理由。 PB 20. (本小题满分 12 分) 若 a、b、c 是△ABC 三个内角 A、B、C 所对边,且 a sin A sin B ? b cos 2 A ? 3a (1)求
b a

(2)当 cos C ?

3 时,求 cos( B ? A) 的值 3

32.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax( x ? 1) (1)试确定 f ( x) 的单调区间 (2)设函数 g ( x) ?
x 1 ( x ? 1) ,试证明:当 a ? ( ,1) 时(e 为自然对数的底 ln x e

数) g ( x) ? f ( x) ? 2 恒成立。 22.(本小题满分 10 分)设函数 f ( x) ? tx 2 ? 2t 2 x ? t ? 1( x ? R, t ? 0) 28. 求 f ( x) 的最小值 h(t ) 29. 若 h(t ) ? ?2t ? m 对 ?t ? (0, 2) 恒成立,求实数 m 的取值范围。

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2012——2013 学年度上学期省五校协作体高三期中考试

数学试题答案(理科)

0 ? f ( x) ? 3

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∴ Tn ? 2 ? (2n ? 1) ? 2

n ?1

(12 )

19.解: (1)证明:因为∠ABC= 900 ,所以 AB⊥BC。 因为平面 PBC⊥平面 ABCD,平面 PBC∩平面 ABCD=BC AB ? 平面 ABCD,所以 AB⊥平面 PBC ( 2 ) 取 BC 的 中 点
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(1 分)

(3 分) O ,





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PO

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因为 MN∩CN=N,PA∩AD=A 所以平面 MNC∥平面 PAD 因为 CN ? 平面 MNC 所以 CM∥平面 PAD 20.由正弦定理得 sin A sin B ? sin B cos A ? 3 sin A
2 2

(10 分) ( 12 分) (2 分)

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当 x ? e 时 h?( x) ? 0 ,因此 h( x) 在(1,e)内单调递减,在(e,+ ? )内单调递增,得 h( x) 在 x ? e 处

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30.

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