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2012艺术生高考数学复习学案3


§83 数系的扩张与复数的四则运算⑴
【考点及要求】了解数系的扩充过程;理解复数的基本概念、代数表示法及复数相等的充 要条件。理解复数代数形式的四则运算法则,能进行复数代数形式的四则 运算。 【基础知识】 1.数的扩展:数系扩展的脉络是: → → ,用集合符号 表示为 ,实际上前者是后者的真子集. ? ? 2.复数的概念及分类:⑴概念:形如 a ? bi(a, b ?

R) 的数叫做 它的 和 . ,②若 a ? bi(a, b ? R) 为虚数, ; ; ; ,其中 a与b 分别为

⑵分类:①若 a ? bi(a, b ? R) 为实数,则 则

,③若 a ? bi(a, b ? R) 为纯虚数,则

⑶复数相等:若复数 a ? bi ? c ? di(a, b, c, d ? R) ? ⑷共轭复数: a ? bi与c ? di(a, b, c, d ? R)共轭 ?

3.复数的加、 减、 乘、 除去处法则: 设 || z ? z1 | ? |z ? z| |) 2 |? 2a(a为正常数,2a<|z1 -z2 则 ⑴加法: z1 ? z2 ? (a ? bi) ? (c ? di) = ⑵减法: z1 ? z2 ? (a ? bi) ? (c ? di) = ⑶乘法: z1 ? z2 ? (a ? bi) ? (c ? di) = ⑷乘方: z ? z ?
m n

; ; ; ; ( z1 ? z2 ) ?
n

; (z ) ?
m n



⑸除法:

z1 a ? bi z1 a ? bi ? ? ? ? z2 c ? di z2 c ? di





4.复平面的概念:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 , 叫做实 轴, 叫做虚轴; 实轴上的点表示 , 除原点外, 虚轴上的点都表示 5.复数的模:向量 OZ 的模叫做复数 z ? a ? bi(a, b ? R) 的 记作 (或 ) ,即 | z |?| a ? bi | =
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.

(或

) , ;

复数模的性质:⑴ | z1 | ? | z2 |?| z1 ? z2 |?| z1 | ? | z2 | ;⑵ | z |2 ?| z |2 ?| z 2 |?| z 2 |? z ? z ; 6. 常见的结论: ⑴ i的运算律:i ⑵ (1 ? i)2 ? ⑶ 设?= ?
4n

?1 ,i4n?1=i,i4n+2 =-1,i4n+3 =-i,i4n+4 =1,in +in+1 +in+2 +in+3 =0 ;
1? i ? 1? i




1? i ? 1? i
;? =
2

; ;1 ? ? ? ? =
2

1 3 ? i, 则? 3= 2 2



例 1.已知:复数 z ? (a 2 ? 7a ? 6) ? (a 2 ? 5a ? 6)i(a ? R) ,试求实数 a 分别取什么值 时,复数 z 分别为: ⑴实数;⑵虚数;⑶纯虚数;⑷复数 z 在复平面上对应的点在 x 轴上方;

.

§84 数系的扩张与复数的四则运算
【基础训练】 1.若复数 z ? m(m ? 1) ? (m2 ?1)i 是纯虚数,则实数 m 的值为 2.复数 z ? .

?1? i ? 1 在复平面内所对应的点在 1? i

. .

3.如果 z1 、 z2 ? C 且满足 | z1 |?| z2 |?| z1 ? z2 |? 1 ,则 | z1 ? z2 |?

§87 命题的四种形式及充分条件与必要条件
【考点及要求】了解四种命题的形式及相互之间的关系;理解必要条件、充分条件与充要 条件的意义,会分析四种命题的相互关系. 【基础知识】 1.原命题: 若 p则q ; 逆命题为: ; 否命题为: ; 逆否命题为: ;

2. 四种命题的真假关系:两个命题互为逆否命题,它们有 中真命题或假命题的个数必为 个.
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的真假性;四种命题

3. 充分条件与必要条件: ⑴如果 p ? q, 则p是q 的 ⑵如果 p ? q, q ? p,则p是q ⑶如果 ⑷如果 ⑸如果 例 1.填空: ⑴ A ? B 是(A∩C) ? (B∩C)成立的 ⑵在空间四点中,无三点共线是四点共面的 条件. 条件. 条件. , q是p ; , 则p是q 的充分而不必要条件; , 则p是q 的必要而不充分条件; , 则p是q 的既不充分也不必要条件; ;

⑶“在△ABC 中,A=60°,且 cosB+cosC=1”是“△ABC 是等边三角形”的

§89 逻辑连接词及全称、存在量词⑴
【考点及要求】了解逻辑连接词“或” 、 “且” 、 “非”的含义,学会用它们正确表示相关的 数学命题;常用的全称、存在量词及全称、存在性命题的基本形式,对全 称、存在性命题的否定。 【基础知识】 1.常见词语的否定:如: “等于、大于、小于、是、都是、至多一个、至少一个、任意的、 所有的、至多 n 个、任意两个、或、且”的否定分别是: 2.复合命题形式的真假判别方法; p q 非p P或q P且q 真 真 真 假 假 真 假 假 3.命题的否定与否命题的区别,全称性命题的否定为存在性命题,存在性命题的否定为 全称性命题.

例 4. 已 知 命 题 P : 方 程 x ? m x ? 1? 0 有两个不等的负实根。命题 Q:方程
2

无实根。若“ P 或 Q”为真, “P 且 Q”为假,求实数 m 的取值范围。 4 x2 ? 4 ( m ? 2)x+1 =0

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§95 平面的性质与直线的位置关系
【考点及要求】 1.掌握平面的基本性质,能够画出空间两条直线的各种位置关系,能够根据图形想 象它们的位置关系。 2.掌握两条直线平行和垂直关系的有关概念,并能用上述概念进行论证和解决有关 问题。 【基本训练】 1.下列命题中,正确的是 ( ) A 首尾相接的四条线段在同一平面内 B 三条互相平行的线段在同一平面内 C 两两相交的三条直线在同一平面内 D 若四个点中的三个点在同一直线上,那么这四个点在同一平面内 2. “a,b 为异面直线”是指:①a∩b = Φ ,但 a 不平行于 b;②a ? 平面α ,b ? 平面 β 且 a∩b =Φ ;③a ? 平面α ,b ? 平面β 且α ∩β =Φ ;④a ? 平面α ,b ? 平面α ;⑤不 存在任何平面α ,能使 a ? α 且 b ? α 成立.上述结论中,正确的有( ) A ①④⑤ B ①③④ C ②④ D ①⑤ 3.正方体的一条对角线与正方体的棱可组成异面直线的有________对. 4.在空间四边形 ABCD 中,E、H 分别为 AB、AD 的中点,F∈BC,G∈CD,且 CF: CB = CG:CD = 2:3,那么四边形 EFGH 是______________;若 BD = 6cm,四边形 EFGH 的面积为 28cm2,则 EH 与 FG 间的距离为______________. 5.如图所示的水平放置的平面图形的直观图,所表示的图形 ABCD 是( ) A. 任意梯形 B. 直角梯形 C. 任意四边形 D.平行四边形

【典型例题讲练】 例 1.已知:如图,不共面的三条直线 a,b,c 相交于点 P,A∈a,B∈a,C∈b,D∈c. 求证:AD 与 BC 是异面直线.

例 2.三个平面α ,β ,γ 两两相交,a,b,c 是三条交线. (1)若 a∩b = P,求证:a,b,c 三线共点; (2)若 a∥b,用反证法证明直线 a,b,c 互相平行.
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例 3.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a. (1)求异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小; (2)若 P、Q、R 分别是棱 CC1,A1D1,A1B1 的中点, 求过这三点的截面的周长.

【课堂小结】 【课堂检测】 1.如果 a,b 是异面直线,P 是不在 a,b 上的任意一点,下列四个结论:①过 P 一定 可作直线 l 与 a,b 都相交;②过 P 一定可作直线 l 与 a,b 都垂直;③过 P 一定可作平面α 与 a,b 都平行;④过 P 一定可作直线 l 与 a,b 都平行. 其中正确的结论有_______个. 2.①互相垂直的两条直线,有且只有一个公共点;②经过一点有且只有一条直线垂 直于已知直线;③垂直于同一直线的两条直线互相平行;④两条平行线之一垂直一直线, 则另一条也垂直此直线. 上述命题中,正确命题有_________个. 3.设 a,b,c 是空间三条直线,a∥b,a 与 c 相交,则 b 与 c 必 ( ) A 相交 B 异面 C 平行 D 不平行 4.A,B,C 为空间三点,经过这三点 ( ) A 能确定一个平面 B 能确定无数个平面 C 能确定一个或无数个平面 D 能确定一个平面或不能确定平面 5.下列推理错误的是 ( ) A A∈ l ,A∈α ,B∈ l ,B∈α ? l ? α B A∈α ,A∈β ,B∈α ,B∈β ? α ∩β = AB C l ? α ,A∈ l ? A ? α D A、B、C∈α ,A、B、C∈β 且 A、B、C 不共线 ? α 与β 重合 6.一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有下 列结论:①AB⊥EF ②AB 与 CM 成 600 ③EF 与 MN 是异 面直线 ④MN∥CD,其中正确的是 ( ) A ①② B ③④ C ②③ D ①③ 7.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 D1C1、C1B1 的中点,AC∩BD = P, A1C1∩EF = Q. 求证: (1)D、B、F、E 四点共面; (2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点,则 P、Q、R 三点共线. 8.空间四边形 ABCD 中,若 AB=BC=CD=DA=AC=BD,E、F、G、H 分别是 AB、BC、
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CD、DA 的中点,则四边形 EFGH 的形状是 A.平行四边形 B.长方形 【课后作业】

C.菱形

( D.正方形



§96 直线与平面的位置关系
【考点及要求】 1.了解空间线面平行、垂直的有关概念,能正确判断空间线面的各种位置关系. 2.理解空间线面平行、垂直的判定定理. 3.理解空间线面平行、垂直的性质定理并能加以证明. 【基本训练】 1.直线 a⊥平面α ,直线 b∥α ,则 a 与 b 的关系是( ) A a∥b B a⊥b C a、b 一定相交 D a、b 一定异面 2.若直线 l ∥平面α ,则下列命题中正确的是( ) A l 平行于α 内的所有直线 B l 平行于α 内的唯一确定的直线 C l 平行于任一条平行于α 的直线 D l 平行于过 l 的平面与α 的交线 3. “直线 l 垂直于平面α 内的无数条直线”是“ l ⊥α ”的( ) A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既是充分条件又是必要条件 4.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与 AD1 垂直的平面之一是( ) A 平面 DD1C1C B 平面 A1DB C 平面 AB1C1D D 平面 A1DB1 5.已知 a、b、c 是直线,β 是平面,给出下列命题:①若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c;② 若 a∥c,b⊥c,则 a⊥b;③若 a∥β ,b ? β ,则 a∥b;④若 a 与 b 异面,且α ∥β ,则 b 与 β 相交;⑤若 a 与 b 异面,则至多有一条直线与 a 、 b 都垂直 . 其中真命题有 _______________. 6.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,经过其对角线 BD1 的平面分别与棱 AA1,CC1 相交于 E、F 两点,则四边形 EBFD1 的形状为______________. 【典型例题讲练】 例 1.如图,ABCD,ABEF 均为平行四边形,M,N 分别为对角线 AC,FB 的中点。 求证:MN∥平面 CBE.

例 2、已知:如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点, AD⊥平面 ABC,AE⊥BD 于 E,AF⊥CD 于 F,求证:BD⊥
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平面 AEF.

例 3、已知,如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BB1 的中点,O 是底面正方形 ABCD 的中心. 求证:OE⊥平面 ACD1.

【课堂小结】 【课堂检测】 1.对于平面α 和共面的直线 m、n,下列命题中真命题是 ( ) A 若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α B 若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n C 若 m ? α ,n∥α ,则 m∥n D 若 m、n 与α 所成角相等,则 m∥n 2.已知正△ABC 的边长为

4 3 ,则到三个顶点的距离都为 1 的平面有 ( 3
C 5个 D 7个



A 1个 B 3个 3.如图所示,直角三角形 ABC 的直角顶点 C 在平面α 内,斜边 AB∥α ,并且 AB 与平面α 间的 距离为 6 ,A 与 B 在α 内的射影分别为 A1、B1,

且 A1C = 3,B1C = 4,则 AB = ________________, ∠A1CB1 = ______________. 4.α ,β 是两个不同的平面,a、b 是两条不同的直线,给出四个论断: ①α ∩β = b ②a ? β ③a∥b ④a∥α 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题 _________________(写序号即可). 5.已知 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M 为 PB 的中点,求证:PD∥平面 MAC.

6.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,O 是底 ABCD 对角线的交点.求证: (1)C1O∥面 AB1D1;
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(2)A1C⊥面 AB1D1.

§95 平面的性质与直线的位置关系
【考点及要求】 1.掌握平面的基本性质,能够画出空间两条直线的各种位置关系,能够根据图形想 象它们的位置关系。 2.掌握两条直线平行和垂直关系的有关概念,并能用上述概念进行论证和解决有关 问题。 【基本训练】 1.下列命题中,正确的是 ( ) A 首尾相接的四条线段在同一平面内 B 三条互相平行的线段在同一平面内 C 两两相交的三条直线在同一平面内 D 若四个点中的三个点在同一直线上,那么这四个点在同一平面内 2. “a,b 为异面直线”是指:①a∩b = Φ ,但 a 不平行于 b;②a ? 平面α ,b ? 平面 β 且 a∩b =Φ ;③a ? 平面α ,b ? 平面β 且α ∩β =Φ ;④a ? 平面α ,b ? 平面α ;⑤不 存在任何平面α ,能使 a ? α 且 b ? α 成立.上述结论中,正确的有( ) A ①④⑤ B ①③④ C ②④ D ①⑤ 3.正方体的一条对角线与正方体的棱可组成异面直线的有________对. 4.在空间四边形 ABCD 中,E、H 分别为 AB、AD 的中点,F∈BC,G∈CD,且 CF: CB = CG:CD = 2:3,那么四边形 EFGH 是______________;若 BD = 6cm,四边形 EFGH 的面积为 28cm2,则 EH 与 FG 间的距离为______________. 5.如图所示的水平放置的平面图形的直观图,所表示的图形 ABCD 是( ) A. 任意梯形 B. 直角梯形 C. 任意四边形 D.平行四边形

【典型例题讲练】 例 1.已知:如图,不共面的三条直线 a,b,c 相交于点 P,A∈a,B∈a,C∈b,D∈c. 求证:AD 与 BC 是异面直线.

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例 2.三个平面α ,β ,γ 两两相交,a,b,c 是三条交线. (1)若 a∩b = P,求证:a,b,c 三线共点; (2)若 a∥b,用反证法证明直线 a,b,c 互相平行.

例 3.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a. (1)求异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小; (2)若 P、Q、R 分别是棱 CC1,A1D1,A1B1 的中点, 求过这三点的截面的周长.

【课堂小结】 【课堂检测】 1.如果 a,b 是异面直线,P 是不在 a,b 上的任意一点,下列四个结论:①过 P 一定 可作直线 l 与 a,b 都相交;②过 P 一定可作直线 l 与 a,b 都垂直;③过 P 一定可作平面α 与 a,b 都平行;④过 P 一定可作直线 l 与 a,b 都平行. 其中正确的结论有_______个. 2.①互相垂直的两条直线,有且只有一个公共点;②经过一点有且只有一条直线垂 直于已知直线;③垂直于同一直线的两条直线互相平行;④两条平行线之一垂直一直线, 则另一条也垂直此直线. 上述命题中,正确命题有_________个. 3.设 a,b,c 是空间三条直线,a∥b,a 与 c 相交,则 b 与 c 必 ( ) A 相交 B 异面 C 平行 D 不平行 4.A,B,C 为空间三点,经过这三点 ( ) A 能确定一个平面 B 能确定无数个平面 C 能确定一个或无数个平面 D 能确定一个平面或不能确定平面 5.下列推理错误的是 ( ) A A∈ l ,A∈α ,B∈ l ,B∈α ? l ? α B A∈α ,A∈β ,B∈α ,B∈β ? α ∩β = AB C l ? α ,A∈ l ? A ? α D A、B、C∈α ,A、B、C∈β 且 A、B、C 不共线 ? α 与β 重合 6.一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有下 列结论:①AB⊥EF ②AB 与 CM 成 600 ③EF 与 MN 是异 面直线 ④MN∥CD,其中正确的是 ( ) A ①② B ③④ C ②③ D ①③ 7.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 D1C1、C1B1 的中点,AC∩BD = P,
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A1C1∩EF = Q. 求证: (1)D、B、F、E 四点共面; (2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点,则 P、Q、R 三点共线. 8.空间四边形 ABCD 中,若 AB=BC=CD=DA=AC=BD,E、F、G、H 分别是 AB、BC、 CD、DA 的中点,则四边形 EFGH 的形状是 ( ) A.平行四边形 B.长方形 C.菱形 D.正方形 【课后作业】

§96 直线与平面的位置关系
【考点及要求】 1.了解空间线面平行、垂直的有关概念,能正确判断空间线面的各种位置关系. 2.理解空间线面平行、垂直的判定定理. 3.理解空间线面平行、垂直的性质定理并能加以证明. 【基本训练】 1.直线 a⊥平面α ,直线 b∥α ,则 a 与 b 的关系是( ) A a∥b B a⊥b C a、b 一定相交 D a、b 一定异面 2.若直线 l ∥平面α ,则下列命题中正确的是( ) A l 平行于α 内的所有直线 B l 平行于α 内的唯一确定的直线 C l 平行于任一条平行于α 的直线 D l 平行于过 l 的平面与α 的交线 3. “直线 l 垂直于平面α 内的无数条直线”是“ l ⊥α ”的( ) A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既是充分条件又是必要条件 4.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与 AD1 垂直的平面之一是( ) A 平面 DD1C1C B 平面 A1DB C 平面 AB1C1D D 平面 A1DB1 5.已知 a、b、c 是直线,β 是平面,给出下列命题:①若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c;② 若 a∥c,b⊥c,则 a⊥b;③若 a∥β ,b ? β ,则 a∥b;④若 a 与 b 异面,且α ∥β ,则 b 与 β 相交;⑤若 a 与 b 异面,则至多有一条直线与 a 、 b 都垂直 . 其中真命题有 _______________. 6.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,经过其对角线 BD1 的平面分别与棱 AA1,CC1 相交于 E、F 两点,则四边形 EBFD1 的形状为______________. 【典型例题讲练】 例 1.如图,ABCD,ABEF 均为平行四边形,M,N 分别为对角线 AC,FB 的中点。 求证:MN∥平面 CBE.

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例 2、已知:如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点, AD⊥平面 ABC,AE⊥BD 于 E,AF⊥CD 于 F,求证:BD⊥ 平面 AEF.

例 3、已知,如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BB1 的中点,O 是底面正方形 ABCD 的中心. 求证:OE⊥平面 ACD1.

【课堂小结】 【课堂检测】 1.对于平面α 和共面的直线 m、n,下列命题中真命题是 ( ) A 若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α B 若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n C 若 m ? α ,n∥α ,则 m∥n D 若 m、n 与α 所成角相等,则 m∥n 2.已知正△ABC 的边长为

4 3 ,则到三个顶点的距离都为 1 的平面有 ( 3
C 5个 D 7个



A 1个 B 3个 3.如图所示,直角三角形 ABC 的直角顶点 C 在平面α 内,斜边 AB∥α ,并且 AB 与平面α 间的 距离为 6 ,A 与 B 在α 内的射影分别为 A1、B1,

且 A1C = 3,B1C = 4,则 AB = ________________, ∠A1CB1 = ______________. 4.α ,β 是两个不同的平面,a、b 是两条不同的直线,给出四个论断: ①α ∩β = b ②a ? β ③a∥b ④a∥α 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题 _________________(写序号即可). 5.已知 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M 为 PB 的中点,求证:PD∥平面 MAC.

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6.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,O 是底 ABCD 对角线的交点.求证: (1)C1O∥面 AB1D1; (2)A1C⊥面 AB1D1.

§97 平面与平面的位置关系(1)
【考点及要求】 1.掌握两个平面平行、垂直的判定定理; 2.掌握两个平面平行、垂直的性质定理,并能进行论证和解决有关问题. 【基本训练】 1.以下命题: ①垂直于同一条直线的两个平面平行; ②一个平面内的两相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行,则这两个平面 平行 ③与同一条直线成等角的两个平面平行; ④一个平面上不共线三点到另一平面的距离相等,则这两个平面平行; ⑤两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行,则这两个平面平行. 其中正确命题的序号是______________. 2.已知 m、n 是直线,α ,β ,γ 是平面,给出下列命题: ①若α ⊥β ,α ∩β = m,n⊥m,则 n⊥α 或 n⊥β ; ②若α ∥β ,α ∩γ = m,β ∩γ = n,则 m∥n; ③若 m 不垂直于α ,则 m 不可能垂直于α 内的无数条直线; ④若α ∩β = m,m∥n,且 n ? α ,n ? β ,则 n∥α 且 n∥β . 其中所有正确的命题序号是_____________. 3.已知平面α ∥β ,直线 a ? α ,点 P∈β ,则平面β 内过点 P 的直线中 ( ) A 不存在与 a 平行的直线 B 不一定存在与 a 平行的直线 C 有且只有一条与 a 平行的直线 D 有无数条与 a 平行的直线 4.已知 PA⊥正方形 ABCD 所在的平面,垂足为 A,连结 PB,PC,PD,AC,BD, 则互相垂直的平面有 ( ) A 5对 B 6对 C 7对 D 8对 5.在正四面体 P-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下面四个结论中, 不成立的是 ( ) A BC∥平面 PDF B DF⊥平面 PAE C 平面 PDF⊥平面 ABC D 平面 PAE⊥平面 ABC 6.如图,直线 AC,DF 被三个平面α ,β ,γ 所截,若 AC 与α 成 30°角,AB = 4,BC = 12,DF = 10,则平面β ,γ 间距 离为__________,DE = __________,EF = _________.
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【典型例题讲练】 例 1.已知:平面α ∥平面β ,AB,CD 是异面直线, A∈α ,C∈α ,B∈β ,D∈β ,E,F 分别为 AB,CD 的 中点,求证:EF∥α ∥β .

例 2.如图,△ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD∥CE,且 CE = CA = 2BD,M 是 EA 中点. 求证: (1)DE = DA; (2)平面 MBD⊥平面 ECA; (3)平面 DEA⊥平面 ECA.

【课堂小结】 【课堂检测】 1.若α ,β 表示平面,a,b 表示直线,则 a∥α 的一个充分条件是( A α ⊥β ,且 a⊥β C a∥b,且 b∥α B α ∩β = b,且 a∥b D α ∥β ,且 a ? β ) B 必要但不充分条件 D 既不充分也不必要条件 ) )

2. 平面α ⊥平面β , α ∩β = l , 点 P∈α , 点 Q∈ l , 那么 PQ⊥ l 是 PQ⊥β 的 ( A 充分但不必要条件 C 充要条件

3.设α ,β 为两个不同的平面, l ,m 为两条不同的直线,且 l ? α ,m ? β ,有如 下的两个命题:①若α ∥β ,则 l ∥m;②若 l ⊥m,则α ⊥β . 那么 ( A ①是真命题,②是假命题 C ①②都是真命题 B ①是假命题,②是真命题 D ①②都是假命题

4.如图,已知四边形 ABCD 是正方形,PA⊥平面 ABCD,
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则图中所有互相垂直的平面共有 A.8 对 B.7 对 C.6 对 D.5 对





5.设平面α ∥β ,A、C∈α ,B、D∈β ,直线 AB 与 CD 交于 S,若 AS = 18,BS = 9,CD = 34,则 CS = _____________.

§98 平面与平面的位置关系(2)
例 3.已知:如图,平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 ABC,E 是点 A 在平面 PBC 内的射影. (1)求证:PA⊥平面 ABC; (2)当 E 为△PBC 的垂心时,求证:△ABC 是直角三 角形.

例 4.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,B1C1 = A1C1,AC1⊥A1B,M,N 分别是 A1B1,AB 的中点(如图). (1)求证:C1M⊥平面 A1ABB1; (2)求证:A1B⊥AM; (3)求证:平面 AMC1∥平面 NB1C.

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【课后作业】 1.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD. 底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足 _______________________时,平面 MBD⊥平面 PCD.

2.如图,ABCD,ABEF 均为平行四边形,M,N 分别为对角线 AC,FB 上的点,且有 求证:MN∥平面 CBE.

AM AC ? , FN BF

3.如图,M,N,P 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BC,CC1,CD 的中点,求 证:平面 A1AP⊥平面 MND.

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4.如图(1)四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,如 图(2)将△ABD 沿对角线 BD 折起, 记折起后点 A 的位置为 P, 且使平面 PBD⊥平面 BCD. 求证:平面 PBC⊥平面 PDC.

5.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N、P 分别是 C1C、B1C1、C1 D1 的中 点. 求证: (1)AP⊥MN; (2)平面 MNP∥平面 A1BD.

§99-100 三视图与直观图
【考点及要求】 1.了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图) ,了解三视图、直观图与它 们所表示的立体模型之间的内在联系。 2.能画出简单空间图形及实物的三视图与直观图,能识别三视图所表示的立体模型, 会用斜二测画法画出它们的直观图。 【基本训练】 1.①平行投影得到的图形与原图形全等;②中心投影得到的图形与原图形相似;③ 三视图中俯视图的上,下,左,右对应物体的后,前,左,右;④物体惟一确定它的三视 图.其中正确的叙述有( ) A.1 个 B .2 个 C .3 个 D.4 个 2.水平放置的圆柱形物体的三视图是 ( )

3.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如 果直角三角形的直角边长为 l,那么这个几何体的体积为 ( )

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A 1

B

1 2

C

1 3

D

1 6


4.已知△ABC 的水平放置的直观图是等腰的 Rt△A'B'C' , 且∠A'= 90°,A'B'= A 2 5.一个三棱锥各棱长均相等,球内切于这个三棱锥,过球心所作截面图不可能是

2 (如图),则△ABC 的面积是( B 2 2 C 4 2 D 1

6.由正方体木块搭成的几何体的三视图如下,则该几何体由_____块小正方体木块搭 成

【典型例题讲练】 例 1.如图,是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.

例 2.如图所示是水平放置的某平面四边形 OABC 的直观图,其中 A(2,0),B(1,1), C(0,1),O(0,0),试判断该四边形的形状,并求其面积.

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例 3.下图是一个几何体的三视图,尺寸如图所示,求该几何体的表面积(不考虑接触 点).

【课堂小结】 【课堂检测】 1.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AA1,D1C1 的中心,G 是正方 形 BCC1B1 的中心,则空间四边形 AEFG 在该正方体的面上的正投影不可能是 ( )

2.下面是一个物体的三视图,该物体是所给结果中的





A.正方体 B.长方体 C.圆锥 D.四棱锥 3.如图一个空间几何体的正视图,侧视图,俯视图是全等的等腰直角三角形,且直 角边的边长为 1,那么这个几何体的体积等于 ( ) A C

1 24 1 6

1 12 1 D 3
B
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4.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底面为 450,腰和上底长均为 1 的

等腰梯形,则这个平面图形的面积是 A

( C 1+ 2 D 2+ 2



1 2 + 2 2

B 1+

2 2

5.如图下左图所示,正四面体 D—ABC(四个面是全等的等边三角形,每个顶点在底 面的投影是这个等边三角形的中心),S 为 AD 的中点,Q 为 BC 上异于中点和端点的任一 点,则△SQD 在四个面的射影可能是_______________(把你认为正确的序号都填上,正四 面体及在四个面的射影如下右图所示,射影为①②③④中阴影部分三角形).

6.四面体 PABC 中,PA、PB、PC 两两垂直,则 P 在平面 ABC 的正投影是△ABC 的 ___________. 7.某建筑物由相同的若干个房间组成,该楼的三视图如下图所示,试问: (1)该楼有几层,共有多少个房间? (2)画出此楼的大致现状.

8.用单位立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如下图所示,求它的体积的 最小值与最大值.

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9.一个几何体的三视图如图所示:其中,正视图中△ABC 的边长是 2 的正三角形, 俯视图为正六边形,请画出该几何体的直观图,并求出它的体积.

§ 101-102 抽样方法
【考点及要求】 1.通过实际问题情境理解随机抽样的必要性和重要性,并了解从总体中抽取样本的 三种基本方法; 2.通过实例了解分布的意义和作用,会用样本的频率分布估计总体。 【基本训练】 1.在下列问题中,各采用什么抽样方法抽取样本较为合适? (1)从 20 台彩电中抽取 4 台进行质量检查; (2)科学会堂有 32 排座位, 每排有 40 个座位(座位号为 0l 一 40), 一次报告会坐满了听 众,会后为了听取意见,拟留下 32 名听众进行座谈; (3)实验中学有 180 名教工,其中有专职教师 144 名,管理人员 12 名,后勤服务人员 24 名,今从中抽取一个容量为 15 的样本. 2.为了了解某次数学竞赛中 1000 名学生的成绩,从中抽出一容量为 100 的样本,则 每个样本被抽到的概率是 3.一个单位有职工 360 人,其中业务人员 276 人,管理人员 36 人,后勤人员 48 人, 为了了解职工的住房情况,要从中抽取一个容量为 30 的样本,若采用分层抽样的抽样方 法,则应从后勤人员中抽取 人 4.一个总体中有 100 个个体,随机编号为 0,l,2,?,99,依编号顺序平均分成 l0 个小组,组号依次为 l,2,3,?,l0.现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本,规 定如果在第 l 组中随机抽取的号码为 m, 那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个 位数字相同.若 m=6,则在第 7 组中抽取的号码是 . 5.将容量为 100 的样本数据,按由小到大排列分成 8 个小组,如下表所示: 组号 频数 1 10 2 13 3 14 4 14 5 15 6 13 7 12 8 9

第 3 组的频率和累积频率分别为 6.下图是容量为 100 的样本的频率分布直方图,试根据图中的数据回答下列问题:

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(1)样本数据落在[2,6)内的频率为 ; (2)样本数据落在[6,10)内的频数为 . 【典型例题】 例 1.一批产品中,有一级品 100 个,二级品 60 个,三给品 40 个,分别用系统抽样 和分层抽样方法,从这批产品中抽取一个容量为 20 的样本。 例 2.在学校开展的综合实践活动中,某班进行了小制作评比,作品上交时间为 5 月 1 日至 30 日,评委会把同学们上交作品的件数按 5 天一组分组统计.绘制了频率分布直方 图(如图所示),已知从左到右各长方形的高的比为 2:3:4:6:4:l,第三组的频数为 12, 请解答下列问题: (1)本次活动共有多少件作品参加评比? (2)哪组上交的作品数最多?有多少件? (3)经过评比,第四组和第六组分别有 10 件、2 件作品获奖,问这两组哪组获奖率最 高?

例 3.为了考察某校的教学水平,将抽查这个学校高三年级部分学生的本学年考试成 绩进行考察.为了全面地反映实际问题,采取以下三种方式进行(已知该校高三年级共有 14 个教学班,并且每个班 内的学生都已经按随机方式编好了学号,假定该校每班人数都 相同). ①从全年级 14 个班中任意抽取一个班,再从该班中任意抽取 14 人,考察他们的学习 成绩; ②每个班都抽取 1 人,共计 14 人,考察这 14 个学生的成绩; ③把学校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别。从中抽取 100 名学 生进行考查 (已知若按成绩分,该校高三学生中优秀学生有 105 名,良好学生有 420 名,
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普通学生有 175 名). 根据上面的叙述,试回答下列问题: (1)上面三种抽取方式中,其总体、个体、样本分别指什么?每一种抽取方式抽取的样 本中,其样本容量分别是多少? (2)上面三种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法? (3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.

三、课堂检测 四、课后作业

作业
1.某单位有职工 100 人,不到 35 岁的有 45 人,35 岁到 49 岁的 25 人,剩下的为 50 岁以上的人,现在抽取 20 人进行分层抽样,各年龄段人数分别是 2.从存放号码分别为 l,2,?,l0 的卡片的盒子中,有放回地取 100 次,每次取一 张卡片并记下号码,统计结果如下:

则取到的号码为奇数的频率是 3.将一个总体的 100 个个体编号为 0,1,2,3,?,99,并依次将其分为 10 个小组, 组号为 0,1,?,9,要用系统抽样的方法抽取一个容量为 10 的样本,规定如果在第 0 组 (号码为 0—9)随机抽取的号码为 2,则所抽取的 10 个号码为

4.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人,并根据所得数据画了样 本的频率分布直方图(如右图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系, 要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查, 则在[2500, 3000)(元)月收 入段应抽出 人.

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5.采用简单随机抽样,从含有 6 个个体的总体中抽取一个容量为 3 的样本,每个个 体被抽到的可能性为 6.一个容量为 32 的样本,已知某组样本的频率为 0.125,则该组样本的频数为 7.为了了解参加运动会的 2000 名运动员的年龄情况,从中抽取 100 名运动员。就这 个问题,以下几种说法(1)2000 名运动员是总体; (2)每个运动员是个体; (3)所抽取 的 100 名运动员是一个样本; (4)样本容量为 100; (5)每个运动员被抽到的概率相等; (6)这个抽样可采用按年龄进行分层抽样。其中正确的序号有:

8.一个单位有职工 160 人,其中业务员 120 人,管理人员 16 人,后勤服务人员 24 人。为了了解职工的某种情况,从中抽取一个容量为 20 的样本,用分层抽样的方法抽取 样本,并写出过程。

9. 如图所示的是某单位职工年龄(取正整数)的频数分布直方图, 根据图形提供的信息, 回答下列问题: (1)该单位共有职工多少人? (2)不小于 38 岁但小于 44 岁的职工人数占总人数的百分比是多少? (3)如果 42 岁的职工有 4 人,那么年龄在 42 岁以上的职工有多少人?
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§ 103-104 用样体估计总体
【考点及要求】 1.会根据实际问题的需求,合理地选取样本,掌握从样本数据中提取基本的数字特 征的方法; 2.理解样本数据平均数、方差及标准差的意义和作用,能用样本特征数估计总体的 情况。 【基本训练】 1.已知一组数据为 20、30、40、50、50、60、70、80,其平均数、中位数和众数分 别为 2.已知 5 个数据 3,5,7,4,6,则该样本标准差为 3. 如果数据 x1 , x2 ,?, xn 的平均数为 x , 方差为 S2, 则 2 x1 ? 3,2 x2 ? 3,?,2 xn ? 3 的 平均数和方差分别为 4.某商贩有 600 千克苹果出售,有以下两个出售方案: ①分成甲级 200 千克,每千克售价 2.40 元,乙级 400 千克,每千克售价 1.20 元; ②分成甲级 400 千克,每千克售价 2.00 元,乙级 200 千克,每千克售价 1.00 元。 两种出售方案的平均价格分别为 x1 和 x2 ,则 x1 与 x2 的关系为 5.期中考试以后,班长算出了全班 40 个人数学成绩的平均分为 M,如果把 M 当成

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一个同学的分数,与原来的 40 个分数一起,算出这 41 个分数的平均值为 N 那么

M 为 N

6.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9,已知这组数据的 平均数为 10,方差为 2,则 | x ? y | 的值为 例题讲解 例 1.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下: 甲的得分:12,15,24,25,3l,31,36,36,37,39,44,49,50; 乙的得分:8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,59. (1)制作茎叶图,并对两名运动员的成绩进行比较; (2)计算上述两组数据的平均数和方差,并比较两名运动员的成绩和稳定性; (3)能否说明甲的成绩一定比乙好,为什么?

例 2.为了解某校初中毕业男生的体能状况,从该校初中毕业班学生中抽取若干名男 生进行铅球测试,把所得数据(精确到 0.1 米)进行整理后,分成 6 组画出频率分布直方图 的一部分(如下图)已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第 6 小组的频数是 7. (1)请将频率分布直方图补充完整; (2)该校参加这次铅球测试的男生有多少人? (3)若成绩在 8.0 米以上(含 8.0 米)的为合格,试求这次铅球测试的成绩的合格率; (4)在这次测试中, 你能确定该校参加测试的男生铅球成绩的众数和中位数各落在哪个 小组内吗?

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三、课堂检测 四、课后作业 五、巩固练习

作业
1.如果两组数 x1 , x2 ,?, xn 和 y1 , y 2 ,?, y n 的样本平均数分别是 x 和 y ,那么一组数

x1 ? y1 , x2 ? y2 ,?, xn ? yn 的平均数是
2.某班有 50 名学生,某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是 70 分,标准差 是 S,后来发现记录有误,某甲得 70 分误记为 40 分,某乙 50 分误记为 80 分,更正后重 新计算得标准差为 S1,则 S 与 S1 之间的关系是 3. 一组数据中的每一个数据都减去 80, 得一组新数据, 若求得新数据的平均数是 1.2, 方差是 4.4,则原来数据的平均数是 ,方差是 .

4.某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜,这亩地西瓜约 600 个,在西 瓜上市时随机摘了 10 个成熟的西瓜,称得如下: 西瓜质量(单位:千克) 5.5 西瓜数量(单位:个) 则这 10 个西瓜的平均质量是 1 5.4 2 5.0 3 4.9 2 4.6 1 4.3 1 千克。

千克,这亩地西瓜产量约是

5.已知一个样本 1,3,2,5,x,若它的平均数是 3,则这个样本的标准差为
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6.一教练员出了一份含有 3 个问题的测验卷,每个问题 1 分。班级中 30%的学生得 了 3 分;50%的学生得了 2 分;10%的同学得 1 分;另外还有 10%的学生没得分。 (1)如果班级中有 10 人,平均分是多少? (2)不告诉你班级中有多少人,你能算出平均得分吗?

7.下面是一个班在一次测验时的成绩,分别计算男生和女生的成绩和平均值,中位 数以及众数。试分析一下这个班级学习情况。 男生:55,55,61,65,68,68,71,72,73,74,75,78,80,81,82,87,94 女生:53,66,70,71,73,73,75,80,80,82,82,83,84,85,87,88,90, 93,94,97。

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8.某鱼塘放养鱼苗 10 万条,根据这几年的经验知道,鱼苗成活率为 95%,一段时间 后准备打捞出售,第一次从网中取出 40 条,称得平均每条鱼重 2.5kg;第二次网出 25 条, 称得平均每条鱼重 2.2kg;第三次网出 35 条,称得平均每条鱼重 2.8kg,请你根据这些数 据,估计鱼塘中的鱼的总重量约是多少?

§ 105-106 回归分析与独立性检验
【考点及要求】 1.了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用;了解假设检验的基本思想,掌握用卡 方统计量进行独立性检验的操作方法; 2.了解线性回归的基本思想、方法及初步应用。 【基本训练】 1.下列关系中,带有随机性相关关系的是 (1)正方形的边长与面积之间的关系; (2)水稻产量与施肥之间的关系; (3)人的身高与年龄之间的关系; (4)降雪量与交通事故的发生率之间的关系。 2.回归分析中,相关指数 r2 的值越大,说明随机误差平方和 。 2 3.随机变量 X 的值 k,其值越大,说明两个分类变量间有关系的可能性 ________________.
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? ? 2 ? 2.5x , 则 变 量 x 增 加 一 个 单 位 时 , y 就 4.设有一个回归方程为 y
__________________(平均增加/平均减少)____________个单位. 5.若由一个 2×2 列联表中的数据计算得 ? 2 =4.013,那么有 个变量有关系。 6.线性回归方程 y ? bx ? a 过定点 7.实验测得四组(x,y)的值(1,2) , (2,3) , (3,4) , (4,5) ,则 y 与 x 之间的回 归直线方程为 【典型例题】 例 1 某厂的生产原料耗费 x 与销售额 y(单位:百万元)之间有如下的对应关系: x y 2 30 4 40 6 50 8 70
?

的把握认为两

(1)问 x 与 y 之间是否具有线性相关关系,若有,则求其回归直线方程; (2)若实际销售额不少于 50 百万元,则原料耗费应该不少于多少?

例 2 某班主任对全班 50 名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查, 统计 数据如下表所示:

(I)如果随机抽查这个班的一名学生, 那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少? 抽到不太积极参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少? (Ⅱ)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是 否有关?并说明理由.

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例 3 为了对 2006 年我市中考成绩进行分析,在 60 分以上的全体同学中随机抽出 8 位,他们的数学(已折算为百分制)、物理、化学分数对应如下表,

(1)若规定 85 分(包括 85 分)以上为优秀,求这 8 位同学中数学和物理分数均为优秀的 概率; (2)用变量 y 与 x 、 z 与 x 的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度; (3)求 y 与 x 、 z 与 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01),并用相关指数比较所求回 归模型的效果.

作业
1.r 是相关系数,则下列结论正确的个数有 (1) r ? [?1,?0.75] 时,两变量负相关很强; 关很强; (3) r ? (?0.75,?0.3] 或 [0.3,0.75) 时,两变量相关性一般; (4)r=0.1 时,两变量相关很弱。 2. 若施化肥量 x 与水稻产量 y 的回归直线方程 y ? 5 x ? 250 , 当施化肥量为 80kg 时, 预计的水稻产量为 3.有 300 人按性别和是否色弱分类如下表 男 正常 色弱 142 13
2
?

个。 (2) r ? [0.75,1] 时,两变量正相

女 155 5 ,根据
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由此表可求得 ? 的值约为

, 可以有 95%的把握认为

色弱与性别有关。 4.对于线性相关系数 r ,下列说法正确的是 (1) | r |? (0, ?) ,|r|越大,相关程度越高;反之,相关程度越低 (2) | r |? (??, ?) ,r 越大,相关程度越高;反这,相关程度越低 (3) | r |? 1 , | r | 越接近于 1,相关程度越高; | r | 越接近于 0,相关程度越低 (4) | r |? 1 , | r | 越接近于 1,相关程度越低; | r | 越接近于 0,相关程度越高 5、某猪场用 80 头猪检验某种疫苗是否有预防效果,结果是注射疫苗的 44 头中有 12 头发病,32 头未发病;未注射的 36 头中有 22 头发病,14 头未发病,则相应的列联表是 合计

合计 注射疫苗的猪的发病率为____________,未注射疫苗的猪的发病率为___________。 6、有一组 y 与 x 的数据 x y -5 5 -3 3 -1 1 0 0 1 1 3 3 5 5

问 y 与 x 的样本相关系数 r 是多少?这是否说明 y 与 x 没有关系?

7. 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元) , 有如下的统计资料: 使用年限 x 维修费用 y 2 2.2
?

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

若由资料知 y 与 x 呈线性相关关系。 试求: (1)线性回归方程 y ? bx ? a 的回归系数 a , b ; (2)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少?

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8.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的 生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据:

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b x ? a ; (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回 归方程,预测生产 l00 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
? ?

§ 107-108.古典概型
【考点及要求】 1.了解随机事件的统计规律性和随机事件概率的意义;了解概率的统计定义以及频 率与概率的区别。 2.理解古典概型,掌握古典概型的概率计算公式。 【基本训练】 1.在 10 件同类产品中有 8 件正品和 2 件次品,现从中任意抽出 3 件,则以下几个事 件:①3 件都是正品 ②至少有 1 件是正品 ③3 件都是次品 ④至少有 1 件是次品。其 中为随机事件的有__________________.(填序号) 2.书架上有 6 本语文书,9 本数学书,从中任取一本,则取出的书是语文书的概率为 ________________. 3.从数字 1、2、3、4、5 中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大 于 40 的概率是_______________. 4.先后抛掷三枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率为_______________. 5.一个三位数字的密码锁,每位上的数字都可在 0 到 9 这十个数字中任选,某人忘 记了密码的最后一个号码,开锁时在对好前两位数码后,随意拨动最后一个数字恰好能开 锁的概率为_______________. 6.在 9 张卡片上分别写着数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9,将它们混和后,再任意 排成一排,则得到的九位数能被 2 或 5 整除的概率是_______________.
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7.从鱼塘中打一网鱼共 m 条,做上记号后放回塘中,又打了一网鱼共 n 条,其中 k 条有记号,估计鱼塘中鱼的条数为_________________. 【典型例题】 例 1、某批乒乓球产品质量检查结果如下表所示: 抽取球数 优等品数 优等品频率 (1)计算表中乒乓球优等品的频率; (2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率约是多少? 50 45 100 92 200 194 500 470 1000 954 2000 1902 5000 4740

例 2、每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数 1,2,3,4,5,6). (1)连续抛掷 2 次,求向上的数不同的概率; (2)连续抛掷 2 次,求向上的数之和为 6 的概率.

例 3、 将一个各面上均涂有颜色的正方体锯成 27 个同样大小的小正方体, 从这些小正 方体中任取一个,求下列事件的概率:
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(1)三面涂有颜色; (2)恰有两面涂有颜色; (3)恰有一面涂有颜色; (4)至少有 一面涂有颜色.

例 4、盒中有 10 个晶体管,其中 2 个是次品,每次随机地抽取 1 只,做不放回抽样, 连续抽两次,求下列事件的概率. (1)2 个都是正品; (2)1 个正品,1 个次品; (3)第二次抽取的是次品.

三、课堂检测 四、课后作业 五、巩固练习

作业
1. 某厂产品的合格率约为 98%, 该厂生产的 8000 件产品中不合格产品约有_________ 件。 2.盒中有 3 只螺丝钉,其中有 1 只是坏的,现从盒中随机地抽取 2 只螺丝灯,则两 只都是好的概率为______________. 3. 把两封不同的信投入 A、 B 两个邮箱, A、 B 两邮箱中各有 1 封的概率为____________. 4.甲、乙、丙三人随意坐在一排座位上,乙正好坐在中间的概率为____________. 5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子,向上的点数分别为 x、y,则 log2xy = 1 的概率为
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_______________. 6.某学生做两道选择题,已知每道题均有 4 个选项,其中有且只有一个正确答案, 该学生随意填写两个答案,则两个答案都选错的概率为_____________. 7.袋中有红、黄、白、黑颜色不同大小相同的四个小球. (1)从中任取一球,求取出白球的概率; (2)从中任取两球,求取出的是白球、红球的概率; (3)从中先后各取一球,求先后取出的分别是红球、白球的概率.

8.某射手在同一条件下进行射击,结果如下表: 射击次数 n 击中靶心次数 m 击中靶心频率 10 8 50 20 100 48 200 90 500 220 800 360

m n

(1)计算表中各个击中靶心的频率; (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少? (3)这个射手射击 1600 次,估计击中靶心的次数约是多少?
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9.某班数学兴趣小组有男生和女生各 2 名,现从中任选 2 名学生去参加校数学竞赛, 求: (1)恰好有一名参赛学生是男生的概率; (2)至少有一名参赛学生是男生的概率; (3)至多有一名参赛学生是男生的概率.

§ 109-110.几何概型
【考点及要求】 1.了解随机数的概念和意义,了解用模拟方法估计概率的思想;了解几何概型的基 本概念、特点和意义,理解并能运用几何概型的概率计算公式。
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2.了解互斥事件、对立事件的概念,了解两个互斥事件概率的加法公式并会用相关 公式进行简单的概率计算。 【基本训练】 1.从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球,则下列各组的两个事件中①至 少有 1 个白球;都是白球;②至少有 1 个白球;至少有 1 个红球;③恰有 1 个白球;恰有 2 个白球;④至少有 1 个白球;都是红球. 其中互斥而不对立的两个事件是 ____________________. 2.某厂的三个车间的职工代表在会议室开会,第一、二、三车间的参会人数分别是 10、12、9,一个门外经过的工人听到代表在发言,则发言人是第二或第三车间职工代表 的概率为__________. 3.某工厂的产品中,任取一件是二级品的概率是 7%,是三级品的概率是 3%,除二 级品、三级品外其余都是一级品和次品,并且一级品数是次品数的 9 倍,则出现一级品的 概率是_____________. 4.某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成,现从中选出 2 人担任正副班长,则至少有 1 名女生当选的概率为___________. 5.在 1×104km2 的海域中有 40km2 的大陆架储藏着石油,假如在海域中任意一点钻 探,钻到油层面的概率是_____________. 6.取一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断, 那么剪得两段的长都不小于 1m 的概率是__________. 7.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 内任意取点, 则该点落在四棱锥 B1-ABCD 内部的概率是 _______________. 【典型例题】 例 1.经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下: 排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5 人及 5 人以上 0.04

(1)至多 2 人排队等候的概率是多少? (2)至少 3 人排队等候的概率是多少?

例 2.如右图,设 M 为线段 AB 的中点,在线段 AB 上任取一点 C,求 AC,CB,AM 三条线段能构成三角形的概率.
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例 3.将两颗骰子投掷一次,求: (1)向上的点数之和是 8 的概率; (2)向上的点数 之和不小于 8 的概率; (3)向上的点数之和不超过 10 的概率.

例 4.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头 的时刻是等可能的. 如果甲船停泊时间为 4 小时,乙船停泊时间为 2 小时,求它们中的任 意一艘都不需要等待码头空出的概率.

三、课堂检测 四、课后作业
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五、巩固练习

作业
1.同时抛掷两枚骰子,则至少有一个 5 点或 6 点的概率为_____________. 2.某人睡午觉醒来,发觉手表停了,他打开收音机,想听电台报时,假定电台每小 时报时一次,则他等待的时间短于 10 分钟的概率为____________. 3.长为 4、宽为 3 的矩形 ABCD 的外接圆为圆 O,在圆 O 内任意取点 M,则点 M 在 △ABC 内的概率是___________. 4.如图,甲、乙、丙三人玩转盘游戏,规定指针指向 A 区域甲胜,指针指向 B 区域乙胜,指针指向 C 区域丙胜. 甲或乙取胜的概率是____________. 5.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 内有—个内切球 D,则在正方体 ABCD-A1B1C1D1 内 任取点 M, 点 M 在球 O 内的概率是____________. 6.从数字 1,2,3,4,5 中随机抽取 3 个数字(不允许重复)组成一个三位数,其 各位数字之和等于 9 的概率为______________. 7.某单位 36 人中 A 型血 12 人,B 型血 10 人,AB 型血 8 人,O 型血 6 人,如果从 这个单位随机地找出两人,那么这两人具有不同血型的概率为______________. 8.把一颗骰子投掷 2 次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 a,第二次出现 的点数为 b,试就方程组 ?

?ax ? by ? 3 解答下列问题: ?x ? 2 y ? 2

(1)求方程组只有一个解的概率; (2)求方程组只有正整数解的概率.

9.在半径为 1 的圆周上随机取三点 A,B,C,求三角形 ABC 是锐角三角形的概率.

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10. 某班数学兴趣小组有男生和女生各 2 名, 现从中任选 2 名学生去参加校数学竞赛, 求: (1)恰好有一名参赛学生是男生的概率; (2)至少有一名参赛学生是男生的概率; (3)至多有一名参赛学生是男生的概率.

11.正四面体 ABCD 的体积为 V,P 是正四面体 ABCD 内部的一点.

1 V”的事件为 X,求概率 P(X) ; 4 1 1 (2)设“VP-ABC≥ V 且 VP-BCD≥ V”的事件为 Y,求概率 P(Y). 4 4
(1)设“VP-ABC≥

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