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带电粒子在磁场中的运动类型与方法


带电粒子在磁场中的运动类型与方法
【在匀强磁场中匀速圆周运动基本问题】找圆心、画轨迹是解题的基础。带电粒子垂直于磁场进 入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆周运动,抓住运动中的任两点处的速度,分别 作出各速度的垂线,则二垂线的交点必为圆心;或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出 圆心;再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角解答物理问题。 〖例 1〗 质量

为 m、 电荷量为 q 的带电粒子, 进入电势差为 U 的带窄缝的平行平板电极 S1 和 S2 间 电场时,其速度为 v0,经电场加速后,沿 ox 方向进入磁感应强度为 B、方向垂直纸面向外的 有界匀强磁场,ox 垂直平板电极 S2,当粒子从 p 点离开磁场时,其速度方向与 ox 方位的夹 角θ= 600,如图所示,整个装置处于真空中。 ⑴ 求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨道半径 R; ⑵ 求粒子在磁场中运动所用时间 t。

【磁场中轨道半径变化问题】导致轨道半径变化的原因有:① 带电粒子速度变化导致半径变化。 如带电粒子穿过极板速度变化;带电粒子使空气电离导致速度变化;回旋加速器加速带电粒子等。 ② 磁场变化导致半径变化。如通电导线周围磁场,不同区域的匀强磁场不同;磁场随时间变化。 ③ 动量变化导致半径变化。如粒子裂变,或者与别的粒子碰撞;④ 电量变化导致半径变化。如 吸收电荷等。总之,由 r = mv/qB 看 m、v、q、B 中某个量或某两个量的乘积或比值的变化就会导 致带电粒子的轨道半径变化。 〖例 2〗如图所示,在 x< 0 与 x > 0 的区域中,存在磁感应强度大小分别为 B1 与 B2 的匀强磁 场,磁场方向垂直于纸面向里,且 B1>B2。一个带负电的粒子从坐标原点 O 以速度 v 沿 x 轴 负方向射出,要使该粒子经过一段时间后又经过 O 点,B1 与 B2 的比值应满足什么条件?

【磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问题】带电粒子在磁场中运动的临界问题的

原因有:粒子运动范围的空间临界问题;磁场所占据范围的空间临界问题,运动电荷相遇的时空 临界问题等。审题时应注意恰好,最大、最多、至少等关键字 〖例 3〗两平面荧光屏互相垂直放置,在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为 x 轴和 y 轴,交 点 O 为原点,如图所示。在 y > 0,0 < x < a 的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场,在 y > 0,

x > a 的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场,两区域内的磁感应强度大小均为 B。在 O 点处有
一小孔,一束质量为 m、带电量为 q(q > 0)的粒子沿 x 轴经小孔射入磁场,最后打在竖直 和水平荧光屏上,使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值.已 知速度最大的粒子在 0 < x < a 的区域中运动的时间与在 x > a 的区域中运动的时间之比为 2: 5,在磁场中运动的总时间为 7T/12,其中 T 为该粒子在磁感应强度为 B 的匀强磁场中作圆周 运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围(不计重力的影响) 。

【有界磁场中的极值问题】寻找产生极值的条件:① 直径是圆的最大弦;② 同一圆中大弦对应 大的圆心角;③ 由轨迹确定半径的极值。 〖例 4〗如图所示,有一粒子源置于一平面直角坐标原点 O 处,以相同的速率 v0 向第一象限平面 内的不同方向发射电子,已知电子质量为 m,电量为 e。欲 使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为 B 的匀强磁场 后,都能平行于 x 轴沿 +x 方向运动,求该磁场方向和磁 场区域的最小面积 s。

【周期性和多解问题】多解形成原因:带电粒子的电性不确定形成多解;磁场方向不确定形成多 解;临界状态的不唯一形成多解,在有界磁场中运动时表现出来多解,运动的重复性形成多解。 〖例 5〗在半径为 r 的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场,磁感应强度为 B;一质量为 m 带电+q 的粒子以速度 v 从筒壁 A 处沿半径方向垂直于磁场射入筒中;若它在 筒中只受洛伦兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞, 欲使粒子与筒壁连续相 碰撞并绕筒壁一周后仍从 A 处射出;则 B 必须满足什么条件以及粒子 在磁场中的运动时间。

〖例 6〗 如图 1 所示, 第一象限范围内有垂直于 xoy 平面的匀强磁场, 磁感应强度为 B。 质量为 m, 电量大小为 q 的带电粒子在 xoy 平面里经原点 O 射入磁场中,初速度 v0 与 x 轴夹角θ = 600, 试分析计算: ⑴ 带电粒子从何处离开磁场?穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大?

⑵ 带电粒子在磁场中运动时间多长?

〖例 7〗一质量为 m,电量为 q 的负电荷在磁感应强度为 B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定 的光滑轨道做匀速圆周运动,若磁场方向垂直于它的运动平面,且作用在负电荷的电场力恰 好 是 磁 场 力 的 三 倍 , 则 负 电 荷 做 圆 周 运 动 的 角 速 度 可 能 是 ( A. )

4qB m

B.

3qB m

C.

2qB m

D.

qB m

〖例 8〗如图所示,A、B 为一对平行板,板长为 l,两板距离为 d,板间区域内充满着匀强磁场, 磁感应强度大小为 B,方向垂直纸面向里,一个质量为 m,带电量为 +q 的带电粒子以初速

v0,从 A、B 两板的中间,沿垂直于磁感线的方向射入磁场。求 v0 在什么范围内,粒子能从
磁场内射出?

〖例 9〗如图所示,在 x 轴上方有一匀强电场,场强为 E,方向竖直向下。在 x 轴下方有一匀强磁 场,磁感应强度为 B,方向垂直纸面向里。在 x 轴上有一点 P,离原点的距离为 a。现有一带 电量 +q 的粒子,质量为 m,从静止开始释放,要使粒子能经过 P 点,其初始坐标应满足什 么条件?(重力作用忽略不计)

【磁场的范围确定】 〖例 10〗电量为 q、质量为 m 的带正电粒子在 XOY 平面内沿着 Y = a 的直线以速度 v 经 Y 轴上 的 P 点射入 XOY 平面的第一象限。要求在第一象限内设置磁感应强度为 B 的一个圆形区域, 使带电粒子发生偏转,最后经 X 轴上的 M 点(XM = 2a)射出,且偏转角θ = 60°,如图所示。 试求能达到此目的的最小圆形磁场区域的半径(粒子的重力不计) 。

【在磁场中运动的最长时间】当带电粒子在磁场中做圆周运动时,若粒子做圆周运动的圆心角最 大,则它在磁场中运动的时间最长。 〖例 11〗如图所示,足够长的矩形区域 abcd 内充满磁感应强度为 B,方向垂直纸面向里的匀强磁 场,现从 ad 的中点 O 处,垂直磁场方向射入一速度为 v 的带正电粒子,v 与 ad 夹角为 30°。 已知粒子质量为 m,电量为 q,ad 边长为 l,不计粒子的重力 ⑴ 求要使粒子能从 ab 边射出磁场,v 的大小范围 ⑵ 粒子在磁场中运动的最长时间是多少?在这种情况下,粒子将从什么范围射出磁场? a b

O

v d

c

【求最大出射范围】在磁场中的粒子源发出的粒子,可能射出磁场,常存在一个最大的出射范围。 〖例 12〗如图所示,在真空中坐标 xoy 平面的 x>0 区域内,有磁感应强度 B = 1.0×10-2 T 的匀强 磁场,方向与 xoy 平面垂直,在 x 轴上的 P(10,0)点,有一放射源,在 xoy 平面内向各个 方向发射速率 v0 = 1.0×105m/s 的带正电粒子, 粒子质量 m = 1.0×10-26 kg,粒子的带正电量为

q = 1.0×10-18 C,试求带电粒子能打到 y 轴上的范围。 (不计重力的影响。 )

y/cm

(x,y) v0 P θ x/cm

o

10

〖例 13〗如图所示,在真空区域内存在着有界的匀强磁场,L1、L2 为磁场的边界线,磁场方向垂 直纸面向里,磁感强度 B = 1.0×10-2 T。L1、L2 之间的距离 d = 8cm.在 P 点有一放射源, L1 它可以在平行纸面的方向向各个方向发射速率 v = 1.0×105 m/s 的带正电粒子,粒子质量 m = B d 1.0×10-26 kg,粒子的带正电量为 q = 1.0×10-18 C,试求:在 L1 上哪个范围内有粒子从磁场 L2 P 中射出。 (不计重力的影响。 )

【求最大偏转角】带电粒子通过磁场后要发生偏转,如果粒子做圆周运动所对的圆心角最大,则 粒子运动的偏转角最大。 〖例 14〗一个质量为 m,带电量为+q 的带电粒子(不计重力) ,以初速 V0 沿 y 轴向+y 方向运动, 从图中 O 点处开始进入一个边界为圆形的匀强磁场中,已知磁场方向垂直于纸面于向外,磁 感应强度大小为 B,磁场边界半径 r。粒子进入磁场中将做匀速圆周运动,已知它做圆周运动 的轨道半径比圆形磁场的半径 r 大。 ⑴ 改变圆形磁场圆心的位置,可改变粒子在磁场中的偏转角度。求粒子在磁场中的最大偏转角 (用反三角函数表示) 。 ⑵ 当粒子在磁场中偏转角最大时,它从磁场中射出后沿直线前进一定能打到 x 轴上,求满足此 条件的 r 的取值范围。 y v0 o x

【可能出现的区域】 〖例 15〗在真空中半径 R = 3.0×10-2 m 圆周区域内,有一匀强磁场,磁感应强度 B = 0.2T,如

图所示。一些带正电的粒子以初速度 v = 3.0×105 m/s 从磁场边界上直径 ab 的一端 a 向着各 个方向射入磁场,且初速度方向与磁场方向垂直。已知粒子的比荷 q:m = 1.0×108 C/kg,不 计粒子重力, 则粒子在磁场中的运动半径 r 为多大?试用斜线画出该批粒子在磁场中可能出现 的区域。

〖例 16〗如图,在一水平放置的平板 MN 的上方有匀强磁场, 磁感应强度的大小为 B,磁场方向垂直于纸面向里。许多 质量为 m 带电量为+q 的粒子, 以相同的速率 v 沿位于纸面 内的各个方向,由小孔 O 射入磁场区域。不计重力,不计粒子间的相互影响。图中阴影部分 表示带电粒子可能经过的区域,其中 R = mv/qB。哪个图是正确的?( )

【求投掷角和投掷速度的最小值】 〖例 17〗一宇宙人在太空万有引力可以忽略不计)玩垒球,辽阔的太空球场的半侧有均匀电场 E,

另半侧有均匀有界磁场 B,电场与磁场的分界面为平面。电场方向与界面垂直,磁场方向垂直 于纸面向里,它的边界分别为 y = 0,y = a,x = -1.5a 和 x = 1.5a,如图所示。宇宙人位于分 界面的 O 点上,垒球的质量为 m,带的电荷量为 +q。 ⑴ 若宇宙人在 O 点以不同的初速度 v0 向 y 轴正方向投垒球, 垒球就会从 AB 界面或 AD 界面射出, 并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度θ的大小与 v0 的大小有关。试讨论垒球从 AB、AD 界 面射出时,v0 大小及偏转角度θ各在什么范围内? ⑵ 宇宙人是否能从 O 点以某个适当的投掷角(与界面所成的夹角)α投出垒球,使垒球在磁场中 y B 的运动轨迹有最大半径,并且垒球经过磁场、电场各一次回到 O 、v0 A点?如有可能,试计算α 的最小值。 B D O E C x

【有界磁场】 〖例 18〗如图所示,在倾角为 30°的斜面 OA 的左侧有一竖直档板,其上有一小孔 P,现有一质 量 m = 4×10-20kg,带电量 q = +2×10-14C 的粒子,从小孔以速度 v0 = 3×104m/s 水平射向磁 感应强度 B = 0.2T、方向垂直纸面向里的一正三角形区域.该粒子在运动过程中始终不碰及

竖直档板,且在飞出磁场区域后能垂直打在 OA 面上,粒子重力不计.求: ⑴ 粒子在磁场中做圆周运动的半径; ⑵ 粒子在磁场中运动的时间; ⑶ 正三角形磁场区域的最小边长. A P v0

30° O

参考答案: 〖例 1〗⑴设粒子离开电场时速度为 v,对加速过程有:qU = mv2/2 – mv02/2

粒子在磁场中有 qBv = mv2/R 解得 R =

m 2qU 2 ? v0 qB m

⑵ 粒子做圆周运动的回旋周期 T = 2πm/qB,t = T/6 =πm/3qB。 〖例 2〗粒子在整个过程中的速度大小恒为 v,交替地在 xy 平面内 B1 与 B2 磁场区域中做匀速圆周运动, 轨迹都是半个圆周。 设粒子的质量和电荷量 的大小分别为 m 和 q,圆周运动的半径分别为和 r2,有 r1 = mv/qB1、r2 =

mv/qB2;分析粒子运动的轨迹。如图所示,在 xy 平面内,粒子先沿半径为 r1 的半圆 C1 运动
至 y 轴上离 O 点距离为 2 r1 的 A 点,接着沿半径为 2 r2 的半圆 D1 运动至 y 轴的 O1 点,O1O 距离 d = 2(r2 – r1);此后,粒子每经历一次“回旋” (即从 y 轴出发沿半径 r1 的半圆和半径为 r2 的半圆回到原点下方 y 轴) ,粒子 y 坐标就减小 d。设粒子经过 n 次回旋后与 y 轴交于 On 点。 若 OOn 即 nd 满足 nd = 2r1; 则粒子再经过半圆 Cn+1 就能够经过原点, 式中 n = 1, 2, 3, …… 为回旋次数。由此解得 r1 :rn = n: (n + 1) ;综合上述各得 B1、B2 应满足的条件:B2:B1 =

n:(n + 1)

n = 1,2,3,……。

〖例 3〗粒子在磁感应强度为 B 的匀强磁场中运动半径为:r = mv/qB 速度小的粒子将在 x<a 的区域走完半圆,射到竖直屏 上。半圆的直径在 y 轴上,半径的范围从 0 到 a,屏 上发亮的范围从 0 到 2a。 轨道半径大于 a 的粒子开始 进入右侧磁场,考虑 r=a 的极限情况,这种粒子在右 侧的圆轨迹与 x 轴在 D 点相切(虚线) ,OD=2a,这是水平屏上发亮范围的左边界。速度最 大的粒子的轨迹如图中实线所示,它由两段圆弧组成,圆心分别为 C 和 C′,C 在 y 轴上,有 对称性可知 C′ 在 x=2a 直线上。设 t1 为粒子在 0<x<a 的区域中运动的时间,t2 为在 x>a 的 区域中运动的时间,由题意可知

t1 2 7 = t1 + t2 = T,由此解得:t1 = T/6、t2 = 5T/12。由 12 t2 5

t1、t2 式和对称性可得 ∠OCM = 600、 ∠M C′ N = 600 ; ∠M C′ P =3600×(5/12)= 1500,所
以∠N C′ P = 1500 – 600 = 900;即弧长 AP 为 1/4 圆周。因此,圆心 C′ 在 x 轴上。设速度 为最大值粒子的轨道半径为 R,有直角ΔCO C′ 可得 2Rsin600 = 2a,则 R =

2 3 a,由图 3

可知 OP=2a+R,因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标 x = 2[1 + 〖例 4〗由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径 R = mv0/Be 是确 定的,设磁场区域足够大,作出电子可能的运动轨道如图所示, 因为电子只能向第一象限平面内发射,所以电子运动的最上面一 条轨迹必为圆 O1,它就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所 连成的线必为以点 O 为圆心,以 R 为半径的圆弧 O1O2On。由于

3 ]a。 3

要求所有电子均平行于 x 轴向右飞出磁场,故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹 的最高点。如对图中任一轨迹圆 O2 而言,要使电子能平行于 x 轴向右飞出磁场,过 O2 作弦 的垂线 O2A,则电子必将从点 A 飞出,相当于将此轨迹的圆心 O2 沿 y 方向平移了半径 R 即 为此电子的出场位置。 由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧 O1O2On 沿 y 方向向上平移了半 径 R 后所在的位置即为磁场的下边界,图中圆弧 OAP 示。综上所述,要求的磁场的最小区域 为弧 OAP 与弧 OBP 所围。利用正方形 OO1PC 的面积减去扇形 OO1P 的面积即为 OBPC 的 面积;即 R2-πR2/4。根据几何关系有最小磁场区域的面积为 S=2(R2-πR2/4)=(π/2 -1) (mv0/Be)2。 〖例 5〗带电粒子在磁场中的运动时间分析:由于粒子从 A 处沿半径 射入磁场后必作匀速圆周运动,要使粒子又从 A 处沿半径方向射 向磁场,且粒子与筒壁的碰撞次数未知,故设粒子与筒壁的碰撞 次数为 n(不含返回 A 处并从 A 处射出的一次) ,由图可知α =

1 2? ? ? = ,其中 n 为大于或等于 2 的整数(当 n = 1 时即粒子必沿圆 O 的直径作直线 2 n ?1 n ?1
运动,表示此时 B = 0) ;由图知粒子圆周运动的半径 R,R = rtanα,再由粒子在磁场中的运 动半径 R = mv/qB 可求出 B = (mv/qr )cotα。粒子在磁场中的运动周期为 T = 2πm/qB,粒子 每碰撞一次在磁场中转过的角度由图得θ = π -2α =

n ?1 ? ,粒子从 A 射入磁场再从 A 沿 n ?1

半径射出磁场的过程中将经过 n+1 段圆弧,故粒子运动的总时间为:t =(n +1) (θ/2π)T,将前

面 B 代入 T 后与θ共同代入前式得。 〖例 6〗若带电粒子带负电,进入磁场后做匀速圆周运动,圆心为 O1,粒子向 x 轴偏转,并从 A 点离开磁场。若带电粒子带正电,进入磁场后做匀速圆周运动,圆心为 O2,粒子向 y 轴偏转, 并从 B 点离开磁场。不论粒子带何种电荷,其运动轨道半径均为 R = mv0/qB,如图,有 O1O = O2O = R = O1A = O2B;带电粒子沿半径为 R 的圆运动一周所用的时间为 T = 2πm/qB。 ⑴ 若粒子带负电,它将从 x 轴上 A 点离开磁场,运动方向发生的偏转角θ1 = 1200。A 点与 O 点相距: x ?

3R ?

3mv 0 。若粒子带正电,它将从 y 轴上 B 点离开磁场,运动方向发生 Bq

的偏转角θ2 = 600,B 点与 O 点相距: y ? R ?

mv 0 Bq
2?m ? ?1 ? ?T ? ? 360? ? 3Bq

⑵ 若粒子带负电,它从 O 到 A 所用的时间为 t1 ? ?

若粒子带正电,它从 O 到 B 所用的时间为 t 2 ? ?

?m ? ?2 ? . ?T ? ? 360? ? 3Bq

〖例 7〗A、C 〖例 8〗粒子射入磁场后受到洛仑兹力的作用,将做匀速圆周运动,圆周运动的 圆心在入射点的正上方。 要想使粒子能射出磁场区, 半径 r 必须小于

1 d(粒 4

子将在磁场中转半个圆周后从左方射出)或大于某个数值(粒子将在磁场 中运动一段圆弧后从右方射出) 。 图画出了两种临界情况的轨迹示意图。 当粒子从左边射出时, 若运动轨迹半径最大,则其圆心为图中 O1 点,半径 r1 ?

d 。因此粒子从左边射出必须满足 4 Bdq ;当粒子从右边射出时,若 4m

r ? r1 。由于 r ?

mv 0 qB



所以 v 0 ?

rBq m



即 v0 ?

运动轨迹半径最小,则其圆心为图中 O2 点,半径为 r2 。由几何关系可得

d? d l2 ? r22 ? ? r2 ? ? ? l 2 ,r2 ? ? ? 2? 4 d
r ? r2 ,即 v 0 ?

2

因此粒子从右边射出必须满足的条件是

(d 2 ? 4l 2 )qB 4dm

所以当 v 0 ?

Bdq (d 2 ? 4l 2 )qB 或 v0 ? 时,粒子可以从磁场内射出。 4m 4dm

〖例 9〗要使粒子能经过 P 点,其初始位置必须在匀强电场区域里。由于没有明确粒子所在位置, 讨论如下: (1)若粒子从 y 轴上由静止释放,在电场加速下进入磁场做半径为 R 的匀速圆周运动。由于 粒子可能偏转一个、二个……半圆到达 P 点, 故 a ? 2nR (n ? 1, 2 … ) ① 设释放处距 O 的距离为 y1 ,则有

12 qEy1?m② v 2

v2 Bqv ? m ③ R y1 ? B 2 qa 2 (n ? 1, 2 … ) 8n 2 mE

由①、②、③式有

(2)若粒子在电场中的起点坐标为( x,y 2 ) ,依题意,有 当 x ? a ,粒子不可能经过 P 点; 当 x ? a ,不论 y 2 取值如何,粒子均能经过 P 点; 当 x ? a ,则

a ? x ? 2nR(n ? 1, 2 … ) ,

B 2 q (a ? x ) 2 同理可得 y 2 ? (n ? 1, 2 … ) 。 8n 2 mE
〖例 10〗磁场的方向垂直纸面向外。由于带电粒子的速度和磁场都是确定的,所以带电粒子作圆 周运动的半径 r = mv / qB 也是确定的。将 X 轴和 Y 轴上的两个速度矢量(或反向)延长,与 X、Y 轴组成一个梯形,再画一个半径确定的 圆(轨迹) ,并将此圆移至坐标中与两速度矢 量相切(如下右图所示) ,过两切点作轨迹圆 的弦, 则最小圆形磁场的区域的圆直径就是此 弦的长度。弦的长度 AB 可根据几何关系求 得, 如上左图所示, 过两速度的矢量与圆轨迹 的切点 A、B 各作两条垂线 AO、BO 相交于 O 点,则∠AOB = θ = 60°,过 O 作弦 AB 的垂 线 OD,则∠DOB = θ / 2 = 30°, ∴ 弦 AB = 2r sin30°= r ,故能达到此目的的最小圆形磁场 区域的半径 R = r / 2 = mv / 2qB。 〖例 11〗过 O 点作速度 V 的垂线 OO1,则直线 OO1 即为粒子在磁场中做圆周运动圆心的集合。 如图所示,要使粒子能从 ab 边射出磁场必须满足下列 条件: a F O 2 O R2 V d O1 R1 c b

R1 ? L , BqV ? m
0

BqL V2 ,所以 V ? m R1

L L R2 ? R2 cos 60 ? , R2 ? 3 2 BqL BqL BqL ?V ? 同理: V ? ,所以 3m 3m m
因t ?

? ? 2?m m? ? T ,T ? , 所以 t ? ,与 V 无关。 ? 2? qB qB

当 R ? R2 时, ? ? 2? ?

?
3

?

5? 5?m ,t ? 3 3qB

当 R=R2 时,粒子从 F 点射出 OF=R2,当 R<R2 时,粒子将从 OF 之间射出。 所以,要使粒子能从 ab 边射出磁场,V 的大小范围是: 动的最长时间是: t ?

BqL BqL ?V ? ;粒子在磁场中运 3m m

5?m ,粒子将从 OF 之间射出。 3qB

〖例 12〗任取一个 V0 与 x 轴正向成θ的粒子研究,设其运动轨迹对应圆心的坐标为(x,y),由图可 知: x=10-Rsinθ, y=Rcosθ 由数学知识得: (x-10)2+y2=R2 又由 BqV0 ? m y/cm M P V0 θ x/cm

V m V0 得R ? ? 10cm R Bq

2 0

O N

所以有: (x-10)2+y2=102. 由于放射源在 P 点是在 xoy 平面内向各个方向发射速率相 同的粒子,而前面所选的粒子又具有任意性,故这些粒子运动轨迹所对的圆心的集合是以 P (10,0)点为圆心,半径为 10cm 的一个圆,如图所示。 因带电粒子在磁场中做圆周运动的半径已求出,故可用圆规画出带电粒子打到 y 轴上的上界 M 点和下界 N 点。显然 OM= 3R ? 10 3cm ,ON=R=10cm.即带电粒子能打到 y 轴上的范围 是:

? 10 ? y ? 10 3

mV V2 〖例 13〗 BqV ? m 得粒子在磁场中运动时的轨道半径为 R ? ? 0.1m ? 10cm R Bq
作出部分粒子在磁场中的运动轨迹如图 6 所示。 1与 L1 相切, 2与 L2 相切。 图中, 轨迹○ 轨迹○ 显然, 在 L1 上,只有在 a、b 之间的线段上才会有粒子 射出磁场。 L1 d L2
1 ○

O/ b O

R a
2 B ○

P

过 P 向 L1 引垂线于 O 点,由图示的几何关系可知:

bo ? ao ? R 2 ? ( R ? d ) 2 ? 4 6cm
故在 L1 上 a、b 两点间有粒子射出,且 a、b 之间的距离为:

ab ? 2ao ? 8 6cm

〖例 14〗 (1)粒子进入匀强磁场后做匀速圆周运动,设轨道半径为 R,根据牛顿第二定律得:

BqV0 ? m

V02 R

所以 R ?

m V0 . Bq

y V0 O r

粒子在半径为 r 的圆形磁场区域中运动,要想偏转角最大,应 使射入点 O,射出点 A,与磁场圆心 O/在同一条直线上,如图 所示。粒子在磁场中的最大偏转角为:

θ R

A φ r O/ θ R x

? ? ? ? 2? ? ? ? 2 arccos ? ? ? 2 arccos

r R

rBq m V0

(2)要想使粒子能打到 x 轴上,需要满足的条件是ф>900,即: r ?

2m V0 . 2 Bq

综上所述,r 的取值范围为:

2m V0 m V0 . ?r? 2 Bq Bq

〖例 15〗由 Bqv ?

mv 2 mv 得r ? ,代入数据得 r ? 1.5 ? 10?2 m .粒子在磁场中可能出现的区域是: qB r

在直径 ab 的下方,为一半径 r ? 1.5 ? 10?2 m 的半圆,而在直径 ab 的上方,由于粒子能到达的 最远点离 a 达 R ? 3.0 ? 10?2 m ,故其上方右边界为一以 a 为圆心,半径为 R ? 3.0 ? 10?2 m 的 圆弧,故该批粒子在磁场中可能出现的区域为图中的阴影部分。 评析:解本题的关键是确定粒子能够到达的右上边界,其实它是 a 粒子运动直径所扫过的区域。 〖例 16〗A b

v2 mv0 〖例 17〗 (1)如图所示,由 Bqv0 ? m 0 , r ? 可知,v0 最大时,r 也最大,故随着 v0 的减小, qB r

射出点在 AB 左半部界面上不断左移。当 r=a 时,v0 取得从 AB 界面飞出的最小值,即

a?

mv0 Bqa , v0 ? ,方向沿 AB 界面向左。 qB m
y

Bqa , ? ? 90 0 v0 ? m
当 0.75a ? r ? a 时,垒球从 AD 界面飞出。 由a ?

v0

φ φ 0.5a 0.75a

v0 x

mv0 mv0 qBa 0.75qBa , 0.75 ? 得 v01 ? , v02 ? qB qB m m

v0

所以

0.75qBa qBa ? v0 ? m m 0.5a cos ? ? ? 0.5 ,φ=600,所以 1200 ? ? ? 1800 a

(2)垒球可以在题设条件下,回到 O 点。设 v0 与 x 轴的夹角为α.如图所示,垒球在磁场中做圆 周运动,运动轨迹半径最大时,轨迹应与 AB 相切。由图可知 r+rcosα=a 所以 r ?

mv0 a q ? , 1 ? cos ? Bq 1 ? cos ?

y A r 1.5a r C v0 α D r α O v0 a B

设垒球从 C 点运动到 D 点所需要的时间为 t,则

qE t ? v0 sin ? m a 2 sin ? ? v0 c o s ?.2t 1? c o s ?
由上述二式解得
2 mv0 a ? 1 ? cos ? qE

所以 cos ? ?

mE qB 2 a ? mE

, ? ? arccos

mE qB 2 a ? mE

解得 v0 ?

qB 2 a ? mE mB

〖例 18〗 (1)由 qvB ? m 得:

2?m ? 2? ? 10?5 s ? 6.28 ? 10?5 s qB 5?m 5? 5 ? ? 10?5 s ? 5.23? 10?5 s (2)画出粒子的运动轨迹如图,可知 t ? T ,得: t ? 6 3qB 3 r? mv ? 0.3m qB T?

v2 2?r ,T ? v r

(3)由数学知识可得: L ?

2r ? r cos 30? 得: cos 30?
a e b P v0 f o1
60°

L?

mv 4 4 3 ?3 ( ? 1) ? ? 0.99m qB 3 10

A

g

c

30°

O


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