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数学思想方法讲座(闸北新王牌)一stu


第十六讲

数学思想方法讲座一

一、 考点演绎 集合的思想,就是利用集合的并集(类分) 、并集(求同) 、补集(互补)的思想来解决 问题.运用集合的思想解决数学问题时,要善于将数学问题转化为集合模型. 法国数学家笛卡尔说过:“把你所考虑的每一个问题按照可能和需要,分成若干部分, 使它们更易于求解.”讲的就是数学问题中常用的分类讨论思想,在高考数学中也是共通的 一个考点,分类讨论在于对我们必须加以注意的事物给以适当的整理和分类,使之条理化. 二、 例题精讲 I 集合思想 例 1、命题 p : 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 , q : x 2 ? 3ax ? 2a 2 ? 0 ,若 p 是 q 的必要而非充分条件,求 实数 a 的取值范围.

例 2、设 A ?

?? x, y ? | y

2

? x ? 1 ? 0? , B ? ?? x, y ? | 4 x 2 ? 2 x ? 2 y ? 5 ? 0? ,

C ? ?? x, y ? | y ? kx ? b? ,是否存在 k、b ? N ,使得 ? A ? B ? ? C ? ? ,证明此结
论.

II 分类与整合的思想 例 4、试讨论 k 取不同值时,由方程 kx ? y ? 4 所表示的曲线的类型.
2 2

例 5、四面体的顶点及各棱的中点共有 10 个点,从这 10 个点中取出 4 个点,以这 4 个点为 顶点再作四面体,这样的四面体最多有 个.

例 6、 已知实系数一元二次方程 2 x ? 3ax ? a ? a ? 0 ? a ? R ? 有两根 x1 、x2 , 求 | x1 | ? | x2 |
2 2

的值. (用含 a 的解析式表示)

例 7、已知函数 f ( x) ? ax 2 ?

1 (a, b ? R) . x?b

(1)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)当 b ? 0 时, f ( x) ?

1 a ? 2 在 (0,1] 上恒成立,求 a 的取值范围. 4

例 8、已知函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x . (1)求函数 f ( x) 的定义域和值域; (2)设 F ( x) ?

a ,求 F ( x) 在 a ? 0 时的最大值 g (a) ; ?? f 2 ( x) ? 2 ? ? ? ? f ( x) ( a 为实数) 2

(3)对(2)中 g (a) ,若 ?m2 ? 2tm ? 2 ? g ( a) 对 a ? 0 所有的实数 a 及 t ? [?1,1] 恒成 立,求实数 m 的取值范围.

三、

易错警示

已知椭圆 x 2 ?

y2 ? a 2 ? a ? 0 ? 和点 A ? ?1,1? , B ? 2, 4 ? ,若线段 AB 与椭圆没有公共点,求 2

实数 a 的取值范围.

四、高考预测 若四面体各棱长是 1 或 2, 且该四面体不是正四面体, 则其体积的值是 须写出一个可能的值)

. (只

五、方法总结 分类讨论的应用非常广泛,常见的主要是函数、方程、不等式问题中参量的取值分类、 解析几何中参量的取值变换导致的几何意义不同的分类、 立体几何中点线面位置关系的分类、 概率统计中实际问题的分类,基本涵盖了高中数学的几大版块.分类讨论的关键在于: (1) 选取分类对象只能按同一个标准; (2) 分类讨论的情况必须完备无遗漏; (3) 分类的情况之间不得有交集; (4) 最后按实际问题整合,当讨论参数时各种情况如有相同可合并,若分类讨论的 对象为变量时则需根据具体情况分析,比如:恒成立问题一般需取交集,有解 问题则常取并集.

六、 实战演练 一、填空题 1、等比数列 ?an ? , a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n ,设 Tn ? 是 .

Sn , lim Tn ? 1 ,则公比 q 的范围 Sn ? 1 n??

2、已知函数 f ? x ? ? ? 范围是

? ?? 2 ? a ?? x ? 1? ? ? log a x


? x ? 1? ,在区间 ??, ?? 上是增函数,则 a 的取值 ? ? ? x ? 1?

3、不等式 x ? m ?1 成立的充分而不必要条件是 2 ? x ? 3 ,则实数 m 的取值范围 是 .

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,P 为椭圆上一点.已知 P、F1、F2 是一个直角 9 4 PF1 三角形的三个顶点,且 PF1 ? PF2 ,则 的值为________. PF2
4、设 F1、F2 为椭圆 5、 已知 0 ? b ? 1 ? a , 若关于 x 的不等式 ? x ? b ? ? ? ax ? 的解集中的整数恰有 3 个, 则a 的
2 2

取值范围是



? an ? ,当an为偶数时, 6、 已知数列 ?an ? 满足:a1 ? m(m 为正整数) ,an ?1 ? ? 2 若 a6=1 , ? ?3an ? 1,当an为奇数时。
则 m 所有可能的取值为__________. 二、选择题 7、如果对一切实数 x,总有 x ? 1 ? kx 成立,则实数 k 的取值范围是( A、 ? ?1, 0? B、 ? ?1, 0? C、 ? ?1, 0 ? D、 ? 0,1? ) . )

8、若集合 P ? ?1, 2,3, 4? , Q ? ? x | 0 ? x ? 5, x ? R? ,则“ x ? P ”是“ x ? Q ”的( A.充分非必要条件 C.充分必要条件 B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) .

? x2 ? 4 x x ? 0 ? 9、函数 f ( x) ? ? ,则不等式 f ( x) ? ?5 的解集是( 2 ? ?4 x ? x x ? 0
A. R C. ? ?1,5 ? B. (?1,

??)

D. ? ?1, 0 ?

三、解答题
2 10、函数 y ? sin( x ? 2ax ? 1) ? 0 ? x ? 1? 的值域为 ? ?1,1? ,求正实数 a 的取值范围.

2 11、 设a?R , 二次函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? 2a. 若 f ( x) ? 0 的解集为 A,B ? ? x |1 ? x ? 3? ,

且 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围.

12、已知动直线 l 与椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 交于 P ? x1 , y1 ? 、Q ? x2 , y2 ? 两不同点,且△OPQ 3 2

的面积 S?OPQ =

6 ,其中 O 为坐标原点. 2

(1)证明 x12 ? x2 2 和 y12 ? y2 2 均为定值; (2)设线段 PQ 的中点为 M,求 | OM | ? | PQ | 的最大值; (3) 椭圆 C 上是否存在点 D,E,G, 使得 S?ODE ? S?ODG ? S ?OEG ? 的形状;若不存在,请说明理由.

6 ?若存在, 判断△DEG 2


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