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21. 2012全国高中数学联赛(一试)


预赛试题集锦(2013) 高中竞赛
2012 年全国高中数学联赛(一试 A 卷)
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.设 P 是函数 y ? x ?

2 ( x ? 0) 的图象上任意一点,过 P 分别向直线 y ? x 和 y 轴作垂线,垂 x ??? ? ??? ? 足分别为 A, B ,则 PA ? PB 的值是.

/>
3 tan A 2.设 ?ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且满足 a cos B ? b cos A ? c ,则 的 5 tan B
值是. 3.设 x, y, z ? [0 , 1] ,则 M ? | x ? y | ? | y ? z | ? | z ? x | 的最大值是. 4.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A, B 是抛物线上的两个动点,且满足

?AFB ?

?
3

.设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N ,则

| MN | 的最大值是. | AB |

5.设同底的两个正三棱锥 P ? ABC 和 Q ? ABC 内接于同一个球,若正三棱锥 P ? ABC 的侧 面与底面所成的角为 45? ,则正三棱锥 Q ? ABC 的侧面与底面所成角的正切值是. 6.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ,若对任意的 x ? [a , a ? 2] , 不等式 f ( x ? a) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 a 的取值范围是. 7.满足

1 ? 1 ? sin ? 的所有正整数 n 的和是. 4 n 3

8.某情报站有 A, B, C , D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上 周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第 1 周使用 A 种密码,那么第 7 周也 使用 A 种密码的概率是.(用最简分数表示) 二、解答题(共 56 分)

1 3 1 9.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos 2 x ? a ? ? , a ? R 且 a ? 0 . 2 a 2
(Ⅰ)若对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a ? 2 ,且存在 x ? R ,使得 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

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预赛试题集锦(2013)

10. (本小题满分 20 分)已知数列 {an } 的各项均为非零实数,且对于任意的正整数 n ,
3 3 3 都有 (a1 ? a2 ? ? ? an )2 ? a1 . ? a2 ? ? ? an

(Ⅰ)当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a1 , a2 , a3 ; (Ⅱ)是否存在满足条件的无穷数列 {an } ,使得 a2013 ? ?2012 ?若存在,求出这样的 无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由.

11.(本小题满分 20 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,菱形 ABCD 的边长为 4 ,且

OB ? OD ? 6 .
(Ⅰ)求证: | OA | ? | OC | 为定值; (Ⅱ)当点 A 在半圆 M : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 (2 ? x ? 4) 上运动时,求点 C 的轨迹.

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