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“变”中找“定”——浅析平面向量几何法


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3 2?  

中学教研 ( 数 学)  

“ 变" 中 找 “ 定"  
— —

浅析平面 向量几 何法 
( 云和中学 浙江云和 3 2 3 6 0 0 )  

●周 荣 阳 

物质世界中的万事万物都处在相互作用 的普  遍

联系之中, 都处在不断产生、 不断消亡的运动、 变  化和 发展 的永 恒过 程 之 中 , 运 动是 永 恒 的 、 静 止 是  相对 的 , 运 动 和静 止 之 间存 在 普 遍 的联 系. 在数 学  中也是如此 , 我们经常会遇到一些变化和运动 的问   题, 而合理 的分 析 和利 用 变化 中 的不 变性 , 让“ 变”   与“ 定” 有机地结合起来 , 对 于 解 决 问题 往 往 能 起  到一 针见 血 的作用 . 下 面 结合平 面 向量几 何法 的教  学 实践浅 析 “ 变” 与“ 定” 之 间 的对立 统一 关 系.   平 面 向量 丰 富 了高 中数学 内容 , 同时作 为工具  性知识 , 可 以 与 很 多 知 识 联 系. 平 面 向 量 具 有 双  “ 二维” 性, 即本 身 有 方 向 、 大小 , 运 算有代 数、 几  何, 大大地提高了学生学 习这块知识 的能力要求.   在高 考 中大多 以选 择题 和填空 题 的形式 出 现 , 题目   灵活、 多变 , 部分题 目以能力立意命题 , 要求学生有  定 的数形结 合 思想 和 能力. 教 师在平 面 向量 的课   堂教 学 和复 习 中经常 会用 到 向量 的几何 法 , 渗透 数  形结合的思想 , 但学生对于数形结合能力的掌握却  不 一定 到位 , “ 光 有 思 想 没 有 能力 ” 是 很 多 学 生 在  学 习平 面 向量 时的 困惑.   在平 面 向量 的几 何法 中 , 紧扣 向量 运动 变化 中  的定性 , 结合定值 , 合理作 图, 可以使很多抽象的问  题 变得 直 观 、 具体 , 易 于 切 中要 害 , 立 竿 见 影. 平 面  向量的几何运算 中往往涉及长度、 夹角 、 和、 差、 数  量积 、 投 影等 概念 和知 识 点 , 如 能把 握 上 述 量 中的  不 变量 , 就可 以轻 松地 在 变化 和运 动 中求解 一类定  值 和最值 问题 .   1   向量 的长 度为 定值 问题  在平 面 向量 的教 学 中 , 有 这 样 的 问题 : 把平 面  内所有的单位 向量移到同一起点 , 则终点构成什么  样 的 图形 ?答 案是 单位 圆. 这 类 问题 中向量 的方 向 


( 2 ) 若平面向量 a , b满足 J   a   I = 1 , l   b   l ≤1 , 且 
1  

以n , b为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的 面 积 为 ÷ , 则 
二 

< a, b>的范 围是— — .  

( 2 0 1 1 年浙江省数 学高考理科试题 )  

分析  ( 1 ) 向量  =(   C O S O  ̄ , A- s i n o t ) 是 变 
量, 但l   l -   是定值 , 可知点 A的轨迹是 以点 C  
为圆心、 半 径 为  的 圆 ( 如 图 1所 示 ) , 当 直 线  与oC相 切 时, 易得  与 D 西 夹 角 的取 值 范 围 为 
[ 1 5 。 , 7 5 。 ] .  

图 1  

图2  

( 2 ) 如图 2 , 设0 , 4 =a ,   =b , 向量 0   是变量 ,  
1  

但结合以 口 , b 为邻边的平行 四边形的面积为÷ , 知 
二  1  

点B到直线 O A的 距离为 ÷( 定值) , 故   4 , B的轨迹 
二 

是与直线 O A平行 的直线 B C或 B   c , . 由I b   l ≤1 可  知点 日在 以 0为圆心 、 半 径 为 1的 圆 上或 圆 内. 综  合考虑 , 可 知 动 点  的 轨 迹 为 线 段 B C 或 线 段  B   c   , 易 得 <口 , b>的 最 小 值 为 /BO A =3 0 。 , 最 大  值 为  C O A=1 5 0 。 .  
2   2个 向量 的夹角 为定 值 问题 

平 面 向量 的方 向一 般不 单 独考 查 , 但 2个 或 多 
个平 面 向量 放在 一 起 研究 时 , 由于 有 了参 照 物 , 就 

可 以研究 2个 向量 的夹 角 问题. 当 2个 向量 的夹 角 

任意变化 , 而长度 为定值 , 可 以结合到定点 的距离  等于定值的点 的轨迹为圆 , 数形结合几何作图, 利  用 圆的性 质解 决 问题.  
例1 ( 1 ) 已知 向量 o B=( 0 , 2 ) , o d:( 2 , 2 ) ,  


( Zc o s ,  ̄ , 4  ̄ - s i n a ) , 则  与o t i 夹角的取值范围 
.  

是 

为定值时 , 可以结合 同弧( 弦) 所对 的圆周角 相等  作 出点的轨迹 , 数形结合解决问题.   例2  ( 1 ) 已知平 面 向量  ,  (   ≠O ,  ≠  ) 满  足I 卢I _1 , 且  与 p—   的夹 角 为 1 2 0 。 , 则I  l 的取  值 范 围是 — — .   ( 2 0 1 0年浙 江省 数 学 高考 理科 试题 )  

第1 0期 

周荣 阳: “ 变” 中找 “ 定”  

?3 3?  

( 2 ) 已知 a, b是 平 面 内 的 2个 单 位 向量 , a?  

例3   ( 1 ) 在 平 行 四边 形 A B C D 中, A B =2 ,  
J 

b=一 ÷, 若向量 c满足 < 口一 c , 6一 c>= 6 0 。 , 求  A D=1 , / _D A B=   , E为 线 段 C D上 任意 一点 , 则 
l c I 的最大 值.  

A E   ? B   的最小值为一

 
L AOB :  
J 

( 2 0 1 1 年全 国数 学高考试题)   分析 ( 1 ) 如 图 3所 示 , 令A B=  , A e=卢, 则  B e= 卢一   因 为  与  一   的夹角 为 1 2 0 。 , 所 以 
/A B C=6 0 。 .又 I   A C   I=1 , 且 线段 A C 所 对 的 角 

( 2 )已知  :4, 一 O B :2

, 一 OC

:  



O A   +Y   O B   , 且  +2 y=1 , 则I   D e   I 的 最 小 值 是  分 析  ( 1 ) 如图5 , 向量 A E 与B E都 是 变 量 , 但  A  的运 动轨 迹是 定量 , 可 以结 合 共 线 向 量定 理. 设  D E=t A B( 0 ≤£ ≤1 ) , A B, A D的长 度是 定 值 , 夹 角 也 

LA B C=6 0 。 , 结 合 同 弦 所 对 的 圆周 角 相 等 可 知 点  B 的轨 迹 是 以线 段 A C为弦 的圆 ( 除 去 点  与 点  C ) , l  I 的最 大值 为 圆的直径 , 即 
I ACI
=   …

是定值 , 可以直接计算数量积. 把A 百 , A   作 为一组 
=   ,  

基底 来 表示 不定 向量A E 与B E, 即 
.- -- -



— — — ? }

— — — 

— —  

— —  

— — 0  



0 <I  l ≤ ÷√ 3 .  

A E= A D+t   A B, B E= A D+( t 一1 ) A B,  

则  

. 赢:   + ( 2 £ 一 1 )   .   + ( t z 一 £ )   :  
4 f 2 — 2 t ≥ 一_. 1  

B  D  E   c   B 

A 

图3  

图4  

图5  

图 6  

( 2 ) 如图 4 , 与第 ( 1 ) 小题 同理 , 设o A =口 ,  
— — —   — — —  

( 2 ) 显 然这 个 问题 可 以用 代 数 运 算 来 解 决 , 不 

1  

O B=b , O C= c , 由 a? b=一÷ 可 知 LA O B=1 2 0 。 .   由 <a—c , b—c> = 6 0 。 , 可知 / _ A C B= 6 0 。 , 于 是 点 
,   ,

妨从几何角度再次认识本题蕴含 的价值. 由题意可  知 向量 D e 是变量 , 且 不 能 直 接 判 断 出终 点 C 的运 
动 轨迹 , 而  +2 y=1是定 值 , 结 合 三 点 共线 和  +   2 y=1可 以将原 式 D e=  O A   + Y   D 雪进 行 简 单 地 处 
理. 即 


c, D共 圆. 当O C为直 径 时 , I c I 最大 , 易得 l cI  

最 大为 2 .  
3 平面 向量基 本定 理 和三 点共 线 问题 

平 面 内任 意 2个 非 零 不 共 线 向量 都 可 以作 为 


O 0 C  O =   一+ A   +  ? 2 y 。 ( f   + 一   O B ) l ,  

组基 底 , 平 面 内任 意 一个 向量 都 可 以 由这 一组 基 

从 这 个 式 子很 容 易 发 现点 C, A与 线 段 O B 的 中点  B  共线 . 当O CLA B  时 ( 如图 6 ) , I O CI 最小 , 从几  何 角 度解 释 了本题 的背景 , 使原 题 变得 鲜 活 、 直观.   结合 解 三角形 或 点到 直线 的距 离 公 式 可 得 l   O C   I 的  最小 值 为÷  .  
4   向量 数量 积 问题 中投影 为 定值 问题 

底 唯 一线性 表示 , 平 面 向量 基本 定理 中蕴含 着基 底 

的思想 和意 识. 特 别 是 在 一 些 数 量 积运 算 中 , 把 已 

知信息最多 的2个向量作为一组基底 , 先将要进行  数 量 积运算 的 2个 向量 转换 成用 基底 线 性表 示 , 再 
用 基底 线性 表 示结 果来 进行 数 量积 运算 , 可 以起 到  以不 变应 万变 的效 果. 平 面 向量 基本 定 理 的一种 特  殊情况 , 当 向量 的起 点 相 同 , 基 底 线 性 表 示 的系 数  和为 1 时, 就有 了 3个 向量 的终 点 在 同一直 线上 的  三点 共线 问题 . 这 类 问题 要求对 线 性表 示 的系数 有  敏锐 的观察 力 和 简 单 的处 理 技 巧 , 只要 方 法 到 位 ,   就可 以将 代数 运算 转换 成 几何 运算 , 减 少不 必要 的  化简 过程 , 较 好地 从几 何 角度理 解 和诠 释 问题 的背 
景.  

向量 的数量 积运 算包 括几 何 法 和坐 标法 , 在 几  何法 中 , a? b=I a   l   l b   l   C O S< a, b>, 可 以看 出运 算  中需 要 知道 2个 向量 的模 和 2个 向量 的 夹 角 等 基 

本量 , 但如果模或夹角不定时 , 就很难利用公式来  解决 问题了. 在向量数量积 的运算 中, 我们往往会  忽略数量积的几何意义 , l b   I   C O S < a , b>的几何意  义 为 向 量  在 向 量 a 方 向 上 的 投 影 ,因 此 

?

3 4?  

中学教研 ( 数 学)  

l 口l I bI   c o s <n , b>的几 何 意 义便 是 向量 a的模 与  向量 b在 向量 口方 向上投 影 的乘 积. 在部 分模 和夹 

而 这个 公式 可 以更加 形 象地 记 忆 为 “ 积 化 和差 ” 公  式. 在平 面 向量 求 数量 积 的 问题 中 , 若 2个 向量 都 

角都是变量的问题 中若 能合理地运用数量积 的几  何 意义 , 则 能使 运 动 问题 变得 直观 、 具体  
B 

是变量 , 而 2个 向量 的和或差 为 定值 , 可 以利 用  “ 积化 和差 ” 公 式减 少变 量个 数 或 转 化 成 为 研 究 定 
值 问题.  
例5  ( 1 ) 如图 9 , 在 AA B C中 ,   是B C 的 中 

点, A  = 3 , B C=1 0,  ̄ I J A B? A C=


.  


口 

( 2 0 1 2年 浙 江省数 学 高考理 科 试题 )  

B 

图7  

图 8  

例4   ( 1 )已 知 口 是 平 面 内 的 单 位 向 量 ,  

< 口 , b>=< 口 , 口 一 b>, 求 口? b的值.   ( 2 ) 如图 7 , 在 oO 中 , 若弦 A B=3 , A C=5 , 求  A D? B C 的值.  
( 2 0 1 2年浙 江省 数 学 高考 调研 试题 )  
分析 ( 1 ) 向量 口的长 度 为 已知量 , 但 向量 b   的长 度是未 知 变量 , 且 2个 向量 的夹 角也 是未 知变 

图9  

图 l O  

( 2 ) 设 AA B C, P o是 边 A B上 一定点, 满 足 
1 ——  

P o B : ÷A B , 且对于边们 上任一点 P , 恒有P B?  
P C≥   B? P 0 C, 则 
A./ ABC =9 0。  

(  
B.   BAC =9 0。  

)  

量. 女 Ⅱ 图8 , 令D A=口 , O B=  , 由 <口 , b>= <  , 口一  
b>可知 , 向量 b的终点 B在 线段 O A的 中垂线 上.  

C. AB =  C  

D. AC :BC  

结合 向量数量积的几何意义中投影 的概念可知 , 向  量 b在向量 口方向上的投影为 
1  

分析

( 2 0 1 3 年浙江省数学高考理科试题 )   ( 1 ) 在这个 问题 中, A 百, A c 都是变量 , 但 
,   一   :

- A - - B - ++A — C :2   — A M

I b I c 0 s < 口 , 6>= ÷( 定值) ,  
二  

蔬, 向量劢 , 蔬 的模都  

是定值 , 结合“ 积化和差” 公式 , 得 

1  

因此 

口? b =l 8 l l b   l   c 0 s < n , b >= ÷.  
二 

— A B. ?   A   C : = {f ÷f (   A B + A c C )   z 一 (   A 一 B — 一   A — C )   z ] I : =  
÷( l4 ] — A —    一l MI — c — —     I   ) =一 1 6 .  
( 2 ) 如图 l O ,  , Ⅳ分 别是 线段 B C, A B 的 中点 ,  

( 2 ) o0的 3条 弦 中 , I A   = 3, J A CI = 5, 作 为  已知 量可 以将A 雪, A e 作 为一组 基底 , 则 
— —

_+

— — 

——  

C =AC —A  .  

从 而 

A O? B C= A O ?( A C—A B )=  
— —   --- --

P 是动点, 从而菇 ,   都是变量, 但赢 一   : 蔬 
是 定量 , P 百+P C=2砌 是 变 量 , 结合 “ 积化和差 ”   公式 , 得 


+ 

. --- +

— — 

AD ?AC —AD ? A .  

向量A D是 未 知 变 量 , 结 合垂径定理可知 , Y- 6 在A e  
方 向上 的投 影 为 
—  

‘ 

P B .  : ÷ [ ( 赢+ P c )   一 ( 商一  )   ] :  
÷( 4 I 葡I   一 l 蔬l   ) .  
叶 

I A DI c o s /O A C= - g   - ( 定值) ,  
二 

A O 在A B 方 向上 的投 影为 




 

, 1  

l A DI   c o s  O A B= - - i f -   ( 定值) ,  
二 

将 双 变量 问题 转 换成 单 变 量 问题 , 可知当 I  

I 最 

小时 , 船 ? P C 最小 , 而I 肼 I 最小时 ,   上A B, 结合 

故 

. 赢: 8 .  

5 数量 积运 算 中 2个 向量 的和 或差 为定 值 问题  极化 恒 等式 是泛 函分析 中的知识 , 它 表示 内积 

题意可知  。 上A B . 又C N/ /   , 从而 C N上A B ,   且 Ⅳ为线 段 A B的中点 , 于是 A C= B C .  
“ 变” 与“ 定” 是对立的, “ 变” 与“ 定” 又 是 统 一  的. 合理地处理好 “ 变” 与“ 定” 之 间对立统 一的关  系, 能更 深刻 地理 解数 学 , 更 科 学地 看 待 变化 , 更 清 
晰 地认 识世 界.  

可以由它诱导出的范数来表示. 极化恒等式在高中  
平 面 向量 中的简 化应 用 为恒 等式 

? Y = ÷[ (  + j , )  一 ( X — Y ) 。 ] ,  


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