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3 2?
中学教研 ( 数 学)
“ 变" 中 找 “ 定"
— —
浅析平面 向量几 何法
( 云和中学 浙江云和 3 2 3 6 0 0 )
●周 荣 阳
物质世界中的万事万物都处在相互作用 的普 遍联系之中, 都处在不断产生、 不断消亡的运动、 变 化和 发展 的永 恒过 程 之 中 , 运 动是 永 恒 的 、 静 止 是 相对 的 , 运 动 和静 止 之 间存 在 普 遍 的联 系. 在数 学 中也是如此 , 我们经常会遇到一些变化和运动 的问 题, 而合理 的分 析 和利 用 变化 中 的不 变性 , 让“ 变” 与“ 定” 有机地结合起来 , 对 于 解 决 问题 往 往 能 起 到一 针见 血 的作用 . 下 面 结合平 面 向量几 何法 的教 学 实践浅 析 “ 变” 与“ 定” 之 间 的对立 统一 关 系. 平 面 向量 丰 富 了高 中数学 内容 , 同时作 为工具 性知识 , 可 以 与 很 多 知 识 联 系. 平 面 向 量 具 有 双 “ 二维” 性, 即本 身 有 方 向 、 大小 , 运 算有代 数、 几 何, 大大地提高了学生学 习这块知识 的能力要求. 在高 考 中大多 以选 择题 和填空 题 的形式 出 现 , 题目 灵活、 多变 , 部分题 目以能力立意命题 , 要求学生有 定 的数形结 合 思想 和 能力. 教 师在平 面 向量 的课 堂教 学 和复 习 中经常 会用 到 向量 的几何 法 , 渗透 数 形结合的思想 , 但学生对于数形结合能力的掌握却 不 一定 到位 , “ 光 有 思 想 没 有 能力 ” 是 很 多 学 生 在 学 习平 面 向量 时的 困惑. 在平 面 向量 的几 何法 中 , 紧扣 向量 运动 变化 中 的定性 , 结合定值 , 合理作 图, 可以使很多抽象的问 题 变得 直 观 、 具体 , 易 于 切 中要 害 , 立 竿 见 影. 平 面 向量的几何运算 中往往涉及长度、 夹角 、 和、 差、 数 量积 、 投 影等 概念 和知 识 点 , 如 能把 握 上 述 量 中的 不 变量 , 就可 以轻 松地 在 变化 和运 动 中求解 一类定 值 和最值 问题 . 1 向量 的长 度为 定值 问题 在平 面 向量 的教 学 中 , 有 这 样 的 问题 : 把平 面 内所有的单位 向量移到同一起点 , 则终点构成什么 样 的 图形 ?答 案是 单位 圆. 这 类 问题 中向量 的方 向
一
( 2 ) 若平面向量 a , b满足 J a I = 1 , l b l ≤1 , 且
1
以n , b为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的 面 积 为 ÷ , 则
二
< a, b>的范 围是— — .
( 2 0 1 1 年浙江省数 学高考理科试题 )
分析 ( 1 ) 向量 =( C O S O  ̄ , A- s i n o t ) 是 变
量, 但l l - 是定值 , 可知点 A的轨迹是 以点 C
为圆心、 半 径 为 的 圆 ( 如 图 1所 示 ) , 当 直 线 与oC相 切 时, 易得 与 D 西 夹 角 的取 值 范 围 为
[ 1 5 。 , 7 5 。 ] .
图 1
图2
( 2 ) 如图 2 , 设0 , 4 =a , =b , 向量 0 是变量 ,
1
但结合以 口 , b 为邻边的平行 四边形的面积为÷ , 知
二 1
点B到直线 O A的 距离为 ÷( 定值) , 故 4 , B的轨迹
二
是与直线 O A平行 的直线 B C或 B c , . 由I b l ≤1 可 知点 日在 以 0为圆心 、 半 径 为 1的 圆 上或 圆 内. 综 合考虑 , 可 知 动 点 的 轨 迹 为 线 段 B C 或 线 段 B c , 易 得 <口 , b>的 最 小 值 为 /BO A =3 0 。 , 最 大 值 为 C O A=1 5 0 。 .
2 2个 向量 的夹角 为定 值 问题
平 面 向量 的方 向一 般不 单 独考 查 , 但 2个 或 多
个平 面 向量 放在 一 起 研究 时 , 由于 有 了参 照 物 , 就
可 以研究 2个 向量 的夹 角 问题. 当 2个 向量 的夹 角
任意变化 , 而长度 为定值 , 可 以结合到定点 的距离 等于定值的点 的轨迹为圆 , 数形结合几何作图, 利 用 圆的性 质解 决 问题.
例1 ( 1 ) 已知 向量 o B=( 0 , 2 ) , o d:( 2 , 2 ) ,
=
( Zc o s ,  ̄ , 4  ̄ - s i n a ) , 则 与o t i 夹角的取值范围
.
是
为定值时 , 可以结合 同弧( 弦) 所对 的圆周角 相等 作 出点的轨迹 , 数形结合解决问题. 例2 ( 1 ) 已知平 面 向量 , ( ≠O , ≠ ) 满 足I 卢I _1 , 且 与 p— 的夹 角 为 1 2 0 。 , 则I l 的取 值 范 围是 — — . ( 2 0 1 0年浙 江省 数 学 高考 理科 试题 )
第1 0期
周荣 阳: “ 变” 中找 “ 定”
?3 3?
( 2 ) 已知 a, b是 平 面 内 的 2个 单 位 向量 , a?
例3 ( 1 ) 在 平 行 四边 形 A B C D 中, A B =2 ,
J
b=一 ÷, 若向量 c满足 < 口一 c , 6一 c>= 6 0 。 , 求 A D=1 , / _D A B= , E为 线 段 C D上 任意 一点 , 则
l c I 的最大 值.
A E ? B 的最小值为一
L AOB :
J
( 2 0 1 1 年全 国数 学高考试题) 分析 ( 1 ) 如 图 3所 示 , 令A B= , A e=卢, 则 B e= 卢一 因 为 与 一 的夹角 为 1 2 0 。 , 所 以
/A B C=6 0 。 .又 I A C I=1 , 且 线段 A C 所 对 的 角
( 2 )已知 :4, 一 O B :2
, 一 OC
:
,
O A +Y O B , 且 +2 y=1 , 则I D e I 的 最 小 值 是 分 析 ( 1 ) 如图5 , 向量 A E 与B E都 是 变 量 , 但 A 的运 动轨 迹是 定量 , 可 以结 合 共 线 向 量定 理. 设 D E=t A B( 0 ≤£ ≤1 ) , A B, A D的长 度是 定 值 , 夹 角 也
LA B C=6 0 。 , 结 合 同 弦 所 对 的 圆周 角 相 等 可 知 点 B 的轨 迹 是 以线 段 A C为弦 的圆 ( 除 去 点 与 点 C ) , l I 的最 大值 为 圆的直径 , 即
I ACI
= …
是定值 , 可以直接计算数量积. 把A 百 , A 作 为一组
= ,
基底 来 表示 不定 向量A E 与B E, 即
.- -- -
+
— — — ? }
— — —
— —
— —
— — 0
故
0 <I l ≤ ÷√ 3 .
A E= A D+t A B, B E= A D+( t 一1 ) A B,
则
. 赢: + ( 2 £ 一 1 ) . + ( t z 一 £ ) :
4 f 2 — 2 t ≥ 一_. 1
B D E c B
A
图3
图4
图5
图 6
( 2 ) 如图 4 , 与第 ( 1 ) 小题 同理 , 设o A =口 ,
— — — — — —
( 2 ) 显 然这 个 问题 可 以用 代 数 运 算 来 解 决 , 不
1
O B=b , O C= c , 由 a? b=一÷ 可 知 LA O B=1 2 0 。 . 由 <a—c , b—c> = 6 0 。 , 可知 / _ A C B= 6 0 。 , 于 是 点
, ,
妨从几何角度再次认识本题蕴含 的价值. 由题意可 知 向量 D e 是变量 , 且 不 能 直 接 判 断 出终 点 C 的运
动 轨迹 , 而 +2 y=1是定 值 , 结 合 三 点 共线 和 + 2 y=1可 以将原 式 D e= O A + Y D 雪进 行 简 单 地 处
理. 即
一
c, D共 圆. 当O C为直 径 时 , I c I 最大 , 易得 l cI
最 大为 2 .
3 平面 向量基 本定 理 和三 点共 线 问题
平 面 内任 意 2个 非 零 不 共 线 向量 都 可 以作 为
一
O 0 C O = 一+ A + ? 2 y 。 ( f + 一 O B ) l ,
组基 底 , 平 面 内任 意 一个 向量 都 可 以 由这 一组 基
从 这 个 式 子很 容 易 发 现点 C, A与 线 段 O B 的 中点 B 共线 . 当O CLA B 时 ( 如图 6 ) , I O CI 最小 , 从几 何 角 度解 释 了本题 的背景 , 使原 题 变得 鲜 活 、 直观. 结合 解 三角形 或 点到 直线 的距 离 公 式 可 得 l O C I 的 最小 值 为÷ .
4 向量 数量 积 问题 中投影 为 定值 问题
底 唯 一线性 表示 , 平 面 向量 基本 定理 中蕴含 着基 底
的思想 和意 识. 特 别 是 在 一 些 数 量 积运 算 中 , 把 已
知信息最多 的2个向量作为一组基底 , 先将要进行 数 量 积运算 的 2个 向量 转换 成用 基底 线 性表 示 , 再
用 基底 线性 表 示结 果来 进行 数 量积 运算 , 可 以起 到 以不 变应 万变 的效 果. 平 面 向量 基本 定 理 的一种 特 殊情况 , 当 向量 的起 点 相 同 , 基 底 线 性 表 示 的系 数 和为 1 时, 就有 了 3个 向量 的终 点 在 同一直 线上 的 三点 共线 问题 . 这 类 问题 要求对 线 性表 示 的系数 有 敏锐 的观察 力 和 简 单 的处 理 技 巧 , 只要 方 法 到 位 , 就可 以将 代数 运算 转换 成 几何 运算 , 减 少不 必要 的 化简 过程 , 较 好地 从几 何 角度理 解 和诠 释 问题 的背
景.
向量 的数量 积运 算包 括几 何 法 和坐 标法 , 在 几 何法 中 , a? b=I a l l b l C O S< a, b>, 可 以看 出运 算 中需 要 知道 2个 向量 的模 和 2个 向量 的 夹 角 等 基
本量 , 但如果模或夹角不定时 , 就很难利用公式来 解决 问题了. 在向量数量积 的运算 中, 我们往往会 忽略数量积的几何意义 , l b I C O S < a , b>的几何意 义 为 向 量 在 向 量 a 方 向 上 的 投 影 ,因 此
?
3 4?
中学教研 ( 数 学)
l 口l I bI c o s <n , b>的几 何 意 义便 是 向量 a的模 与 向量 b在 向量 口方 向上投 影 的乘 积. 在部 分模 和夹
而 这个 公式 可 以更加 形 象地 记 忆 为 “ 积 化 和差 ” 公 式. 在平 面 向量 求 数量 积 的 问题 中 , 若 2个 向量 都
角都是变量的问题 中若 能合理地运用数量积 的几 何 意义 , 则 能使 运 动 问题 变得 直观 、 具体
B
是变量 , 而 2个 向量 的和或差 为 定值 , 可 以利 用 “ 积化 和差 ” 公 式减 少变 量个 数 或 转 化 成 为 研 究 定
值 问题.
例5 ( 1 ) 如图 9 , 在 AA B C中 , 是B C 的 中
点, A = 3 , B C=1 0,  ̄ I J A B? A C=
—
.
—
口
( 2 0 1 2年 浙 江省数 学 高考理 科 试题 )
B
图7
图 8
例4 ( 1 )已 知 口 是 平 面 内 的 单 位 向 量 ,
< 口 , b>=< 口 , 口 一 b>, 求 口? b的值. ( 2 ) 如图 7 , 在 oO 中 , 若弦 A B=3 , A C=5 , 求 A D? B C 的值.
( 2 0 1 2年浙 江省 数 学 高考 调研 试题 )
分析 ( 1 ) 向量 口的长 度 为 已知量 , 但 向量 b 的长 度是未 知 变量 , 且 2个 向量 的夹 角也 是未 知变
图9
图 l O
( 2 ) 设 AA B C, P o是 边 A B上 一定点, 满 足
1 ——
P o B : ÷A B , 且对于边们 上任一点 P , 恒有P B?
P C≥ B? P 0 C, 则
A./ ABC =9 0。
(
B. BAC =9 0。
)
量. 女 Ⅱ 图8 , 令D A=口 , O B= , 由 <口 , b>= < , 口一
b>可知 , 向量 b的终点 B在 线段 O A的 中垂线 上.
C. AB = C
D. AC :BC
结合 向量数量积的几何意义中投影 的概念可知 , 向 量 b在向量 口方向上的投影为
1
分析
( 2 0 1 3 年浙江省数学高考理科试题 ) ( 1 ) 在这个 问题 中, A 百, A c 都是变量 , 但
, 一 :
- A - - B - ++A — C :2 — A M
I b I c 0 s < 口 , 6>= ÷( 定值) ,
二
蔬, 向量劢 , 蔬 的模都
是定值 , 结合“ 积化和差” 公式 , 得
1
因此
口? b =l 8 l l b l c 0 s < n , b >= ÷.
二
— A B. ? A C : = {f ÷f ( A B + A c C ) z 一 ( A 一 B — 一 A — C ) z ] I : =
÷( l4 ] — A — 一l MI — c — — I ) =一 1 6 .
( 2 ) 如图 l O , , Ⅳ分 别是 线段 B C, A B 的 中点 ,
( 2 ) o0的 3条 弦 中 , I A = 3, J A CI = 5, 作 为 已知 量可 以将A 雪, A e 作 为一组 基底 , 则
— —
_+
— —
——
C =AC —A .
从 而
A O? B C= A O ?( A C—A B )=
— — --- --
P 是动点, 从而菇 , 都是变量, 但赢 一 : 蔬
是 定量 , P 百+P C=2砌 是 变 量 , 结合 “ 积化和差 ” 公式 , 得
一
+
. --- +
— —
AD ?AC —AD ? A .
向量A D是 未 知 变 量 , 结 合垂径定理可知 , Y- 6 在A e
方 向上 的投 影 为
—
‘
P B . : ÷ [ ( 赢+ P c ) 一 ( 商一 ) ] :
÷( 4 I 葡I 一 l 蔬l ) .
叶
I A DI c o s /O A C= - g - ( 定值) ,
二
A O 在A B 方 向上 的投 影为
—
一
, 1
l A DI c o s O A B= - - i f - ( 定值) ,
二
将 双 变量 问题 转 换成 单 变 量 问题 , 可知当 I
I 最
小时 , 船 ? P C 最小 , 而I 肼 I 最小时 , 上A B, 结合
故
. 赢: 8 .
5 数量 积运 算 中 2个 向量 的和 或差 为定 值 问题 极化 恒 等式 是泛 函分析 中的知识 , 它 表示 内积
题意可知 。 上A B . 又C N/ / , 从而 C N上A B , 且 Ⅳ为线 段 A B的中点 , 于是 A C= B C .
“ 变” 与“ 定” 是对立的, “ 变” 与“ 定” 又 是 统 一 的. 合理地处理好 “ 变” 与“ 定” 之 间对立统 一的关 系, 能更 深刻 地理 解数 学 , 更 科 学地 看 待 变化 , 更 清
晰 地认 识世 界.
可以由它诱导出的范数来表示. 极化恒等式在高中
平 面 向量 中的简 化应 用 为恒 等式
? Y = ÷[ ( + j , ) 一 ( X — Y ) 。 ] ,