“变”中找“定”——浅析平面向量几何法

?

３ ２? 　

中学教研 （ 数 学） 　

“ 变＂ 中 找 “ 定＂ 　
— —

浅析平面 向量几 何法　
（ 云和中学 浙江云和 ３ ２ ３ ６ ０ ０ ） 　

●周 荣 阳　

物质世界中的万事万物都处在相互作用 的普　 遍

联系之中， 都处在不断产生、 不断消亡的运动、 变　 化和 发展 的永 恒过 程 之 中 ， 运 动是 永 恒 的 、 静 止 是　 相对 的 ， 运 动 和静 止 之 间存 在 普 遍 的联 系． 在数 学　 中也是如此 ， 我们经常会遇到一些变化和运动 的问 　 题， 而合理 的分 析 和利 用 变化 中 的不 变性 ， 让“ 变” 　 与“ 定” 有机地结合起来 ， 对 于 解 决 问题 往 往 能 起　 到一 针见 血 的作用 ． 下 面 结合平 面 向量几 何法 的教　 学 实践浅 析 “ 变” 与“ 定” 之 间 的对立 统一 关 系． 　 平 面 向量 丰 富 了高 中数学 内容 ， 同时作 为工具　 性知识 ， 可 以 与 很 多 知 识 联 系． 平 面 向 量 具 有 双　 “ 二维” 性， 即本 身 有 方 向 、 大小 ， 运 算有代 数、 几　 何， 大大地提高了学生学 习这块知识 的能力要求． 　 在高 考 中大多 以选 择题 和填空 题 的形式 出 现 ， 题目 　 灵活、 多变 ， 部分题 目以能力立意命题 ， 要求学生有　 定 的数形结 合 思想 和 能力． 教 师在平 面 向量 的课 　 堂教 学 和复 习 中经常 会用 到 向量 的几何 法 ， 渗透 数　 形结合的思想 ， 但学生对于数形结合能力的掌握却　 不 一定 到位 ， “ 光 有 思 想 没 有 能力 ” 是 很 多 学 生 在　 学 习平 面 向量 时的 困惑． 　 在平 面 向量 的几 何法 中 ， 紧扣 向量 运动 变化 中　 的定性 ， 结合定值 ， 合理作 图， 可以使很多抽象的问　 题 变得 直 观 、 具体 ， 易 于 切 中要 害 ， 立 竿 见 影． 平 面　 向量的几何运算 中往往涉及长度、 夹角 、 和、 差、 数　 量积 、 投 影等 概念 和知 识 点 ， 如 能把 握 上 述 量 中的　 不 变量 ， 就可 以轻 松地 在 变化 和运 动 中求解 一类定　 值 和最值 问题 ． 　 １ 　 向量 的长 度为 定值 问题　 在平 面 向量 的教 学 中 ， 有 这 样 的 问题 ： 把平 面　 内所有的单位 向量移到同一起点 ， 则终点构成什么　 样 的 图形 ？答 案是 单位 圆． 这 类 问题 中向量 的方 向　
一

（ ２ ） 若平面向量 ａ ， ｂ满足 Ｊ 　 ａ 　 Ｉ ＝ １ ， ｌ 　 ｂ 　 ｌ ≤１ ， 且　
１ 　

以ｎ ， ｂ为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的 面 积 为 ÷ ， 则　
二　

＜ ａ， ｂ＞的范 围是— — ． 　

（ ２ ０ １ １ 年浙江省数 学高考理科试题 ） 　

分析　 （ １ ） 向量　 ＝（ 　 Ｃ Ｏ Ｓ Ｏ ￣ ， Ａ－ ｓ ｉ ｎ ｏ ｔ ） 是 变　
量， 但ｌ 　 ｌ － 　 是定值 ， 可知点 Ａ的轨迹是 以点 Ｃ 　
为圆心、 半 径 为　 的 圆 （ 如 图 １所 示 ） ， 当 直 线　 与ｏＣ相 切 时， 易得　 与 Ｄ 西 夹 角 的取 值 范 围 为　
［ １ ５ 。 ， ７ ５ 。 ］ ． 　

图 １ 　

图２ 　

（ ２ ） 如图 ２ ， 设０ ， ４ ＝ａ ， 　 ＝ｂ ， 向量 ０ 　 是变量 ， 　
１ 　

但结合以 口 ， ｂ 为邻边的平行 四边形的面积为÷ ， 知　
二　 １ 　

点Ｂ到直线 Ｏ Ａ的 距离为 ÷（ 定值） ， 故 　 ４ ， Ｂ的轨迹　
二　

是与直线 Ｏ Ａ平行 的直线 Ｂ Ｃ或 Ｂ 　 ｃ ， ． 由Ｉ ｂ 　 ｌ ≤１ 可　 知点 日在 以 ０为圆心 、 半 径 为 １的 圆 上或 圆 内． 综　 合考虑 ， 可 知 动 点　 的 轨 迹 为 线 段 Ｂ Ｃ 或 线 段　 Ｂ 　 ｃ 　 ， 易 得 ＜口 ， ｂ＞的 最 小 值 为 ／ＢＯ Ａ ＝３ ０ 。 ， 最 大　 值 为　 Ｃ Ｏ Ａ＝１ ５ ０ 。 ． 　
２ 　 ２个 向量 的夹角 为定 值 问题　

平 面 向量 的方 向一 般不 单 独考 查 ， 但 ２个 或 多　
个平 面 向量 放在 一 起 研究 时 ， 由于 有 了参 照 物 ， 就　

可 以研究 ２个 向量 的夹 角 问题． 当 ２个 向量 的夹 角　

任意变化 ， 而长度 为定值 ， 可 以结合到定点 的距离　 等于定值的点 的轨迹为圆 ， 数形结合几何作图， 利　 用 圆的性 质解 决 问题． 　
例１ （ １ ） 已知 向量 ｏ Ｂ＝（ ０ ， ２ ） ， ｏ ｄ：（ ２ ， ２ ） ， 　
＝

（ Ｚｃ ｏ ｓ ， ￣ ， ４ ￣ － ｓ ｉ ｎ ａ ） ， 则　 与ｏ ｔ ｉ 夹角的取值范围　
． 　

是　

为定值时 ， 可以结合 同弧（ 弦） 所对 的圆周角 相等　 作 出点的轨迹 ， 数形结合解决问题． 　 例２ 　（ １ ） 已知平 面 向量　 ， 　（ 　 ≠Ｏ ， 　≠ 　） 满　 足Ｉ 卢Ｉ ＿１ ， 且　 与 ｐ— 　 的夹 角 为 １ ２ ０ 。 ， 则Ｉ 　ｌ 的取　 值 范 围是 — — ． 　 （ ２ ０ １ ０年浙 江省 数 学 高考 理科 试题 ） 　

第１ ０期　

周荣 阳： “ 变” 中找 “ 定” 　

?３ ３? 　

（ ２ ） 已知 ａ， ｂ是 平 面 内 的 ２个 单 位 向量 ， ａ? 　

例３ 　 （ １ ） 在 平 行 四边 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中， Ａ Ｂ ＝２ ， 　
Ｊ　

ｂ＝一 ÷， 若向量 ｃ满足 ＜ 口一 ｃ ， ６一 ｃ＞＝ ６ ０ 。 ， 求　 Ａ Ｄ＝１ ， ／ ＿Ｄ Ａ Ｂ＝ 　 ， Ｅ为 线 段 Ｃ Ｄ上 任意 一点 ， 则　
ｌ ｃ Ｉ 的最大 值． 　

Ａ Ｅ 　 ? Ｂ 　 的最小值为一

　
Ｌ ＡＯＢ ： 　
Ｊ　

（ ２ ０ １ １ 年全 国数 学高考试题） 　 分析 （ １ ） 如 图 ３所 示 ， 令Ａ Ｂ＝ 　， Ａ ｅ＝卢， 则　 Ｂ ｅ＝ 卢一 　 因 为　 与　 一 　 的夹角 为 １ ２ ０ 。 ， 所 以　
／Ａ Ｂ Ｃ＝６ ０ 。 ．又 Ｉ 　 Ａ Ｃ 　 Ｉ＝１ ， 且 线段 Ａ Ｃ 所 对 的 角　

（ ２ ）已知　 ：４， 一 Ｏ Ｂ ：２

， 一 ＯＣ

： 　

，

Ｏ Ａ 　 ＋Ｙ 　 Ｏ Ｂ 　 ， 且　 ＋２ ｙ＝１ ， 则Ｉ 　 Ｄ ｅ 　 Ｉ 的 最 小 值 是　 分 析　 （ １ ） 如图５ ， 向量 Ａ Ｅ 与Ｂ Ｅ都 是 变 量 ， 但　 Ａ 　的运 动轨 迹是 定量 ， 可 以结 合 共 线 向 量定 理． 设　 Ｄ Ｅ＝ｔ Ａ Ｂ（ ０ ≤￡ ≤１ ） ， Ａ Ｂ， Ａ Ｄ的长 度是 定 值 ， 夹 角 也　

ＬＡ Ｂ Ｃ＝６ ０ 。 ， 结 合 同 弦 所 对 的 圆周 角 相 等 可 知 点　 Ｂ 的轨 迹 是 以线 段 Ａ Ｃ为弦 的圆 （ 除 去 点　 与 点　 Ｃ ） ， ｌ 　Ｉ 的最 大值 为 圆的直径 ， 即　
Ｉ ＡＣＩ
＝ 　 …

是定值 ， 可以直接计算数量积． 把Ａ 百 ， Ａ 　 作 为一组　
＝ 　 ， 　

基底 来 表示 不定 向量Ａ Ｅ 与Ｂ Ｅ， 即　
．－ －－ －

＋

— — — ? ｝

— — —　

— — 　

— — 　

— — ０ 　

故

０ ＜Ｉ 　ｌ ≤ ÷√ ３ ． 　

Ａ Ｅ＝ Ａ Ｄ＋ｔ 　 Ａ Ｂ， Ｂ Ｅ＝ Ａ Ｄ＋（ ｔ 一１ ） Ａ Ｂ， 　

则 　

． 赢： 　 ＋ （ ２ ￡ 一 １ ） 　 ． 　 ＋ （ ｔ ｚ 一 ￡ ） 　 ： 　
４ ｆ ２ — ２ ｔ ≥ 一＿． １ 　

Ｂ　 Ｄ　 Ｅ 　 ｃ 　 Ｂ　

Ａ　

图３ 　

图４ 　

图５ 　

图 ６ 　

（ ２ ） 如图 ４ ， 与第 （ １ ） 小题 同理 ， 设ｏ Ａ ＝口 ， 　
— — — 　 — — — 　

（ ２ ） 显 然这 个 问题 可 以用 代 数 运 算 来 解 决 ， 不　

１ 　

Ｏ Ｂ＝ｂ ， Ｏ Ｃ＝ ｃ ， 由 ａ? ｂ＝一÷ 可 知 ＬＡ Ｏ Ｂ＝１ ２ ０ 。 ． 　 由 ＜ａ—ｃ ， ｂ—ｃ＞ ＝ ６ ０ 。 ， 可知 ／ ＿ Ａ Ｃ Ｂ＝ ６ ０ 。 ， 于 是 点　
， 　 ，

妨从几何角度再次认识本题蕴含 的价值． 由题意可　 知 向量 Ｄ ｅ 是变量 ， 且 不 能 直 接 判 断 出终 点 Ｃ 的运　
动 轨迹 ， 而　 ＋２ ｙ＝１是定 值 ， 结 合 三 点 共线 和　 ＋ 　 ２ ｙ＝１可 以将原 式 Ｄ ｅ＝ 　Ｏ Ａ 　 ＋ Ｙ 　 Ｄ 雪进 行 简 单 地 处　
理． 即　
一

ｃ， Ｄ共 圆． 当Ｏ Ｃ为直 径 时 ， Ｉ ｃ Ｉ 最大 ， 易得 ｌ ｃＩ 　

最 大为 ２ ． 　
３ 平面 向量基 本定 理 和三 点共 线 问题　

平 面 内任 意 ２个 非 零 不 共 线 向量 都 可 以作 为　
一

Ｏ ０ Ｃ 　Ｏ ＝ 　 一＋ Ａ 　 ＋ 　? ２ ｙ 。 （ ｆ 　 ＋ 一 　 Ｏ Ｂ ） ｌ ， 　

组基 底 ， 平 面 内任 意 一个 向量 都 可 以 由这 一组 基　

从 这 个 式 子很 容 易 发 现点 Ｃ， Ａ与 线 段 Ｏ Ｂ 的 中点　 Ｂ 　共线 ． 当Ｏ ＣＬＡ Ｂ 　时 （ 如图 ６ ） ， Ｉ Ｏ ＣＩ 最小 ， 从几　 何 角 度解 释 了本题 的背景 ， 使原 题 变得 鲜 活 、 直观． 　 结合 解 三角形 或 点到 直线 的距 离 公 式 可 得 ｌ 　 Ｏ Ｃ 　 Ｉ 的　 最小 值 为÷　 ． 　
４ 　 向量 数量 积 问题 中投影 为 定值 问题　

底 唯 一线性 表示 ， 平 面 向量 基本 定理 中蕴含 着基 底　

的思想 和意 识． 特 别 是 在 一 些 数 量 积运 算 中 ， 把 已　

知信息最多 的２个向量作为一组基底 ， 先将要进行　 数 量 积运算 的 ２个 向量 转换 成用 基底 线 性表 示 ， 再　
用 基底 线性 表 示结 果来 进行 数 量积 运算 ， 可 以起 到　 以不 变应 万变 的效 果． 平 面 向量 基本 定 理 的一种 特　 殊情况 ， 当 向量 的起 点 相 同 ， 基 底 线 性 表 示 的系 数　 和为 １ 时， 就有 了 ３个 向量 的终 点 在 同一直 线上 的　 三点 共线 问题 ． 这 类 问题 要求对 线 性表 示 的系数 有　 敏锐 的观察 力 和 简 单 的处 理 技 巧 ， 只要 方 法 到 位 ， 　 就可 以将 代数 运算 转换 成 几何 运算 ， 减 少不 必要 的　 化简 过程 ， 较 好地 从几 何 角度理 解 和诠 释 问题 的背　
景． 　

向量 的数量 积运 算包 括几 何 法 和坐 标法 ， 在 几　 何法 中 ， ａ? ｂ＝Ｉ ａ 　 ｌ 　 ｌ ｂ 　 ｌ 　 Ｃ Ｏ Ｓ＜ ａ， ｂ＞， 可 以看 出运 算　 中需 要 知道 ２个 向量 的模 和 ２个 向量 的 夹 角 等 基　

本量 ， 但如果模或夹角不定时 ， 就很难利用公式来　 解决 问题了． 在向量数量积 的运算 中， 我们往往会　 忽略数量积的几何意义 ， ｌ ｂ 　 Ｉ 　 Ｃ Ｏ Ｓ ＜ ａ ， ｂ＞的几何意　 义 为 向 量　 在 向 量 ａ 方 向 上 的 投 影 ，因 此　

?

３ ４? 　

中学教研 （ 数 学） 　

ｌ 口ｌ Ｉ ｂＩ 　 ｃ ｏ ｓ ＜ｎ ， ｂ＞的几 何 意 义便 是 向量 ａ的模 与　 向量 ｂ在 向量 口方 向上投 影 的乘 积． 在部 分模 和夹　

而 这个 公式 可 以更加 形 象地 记 忆 为 “ 积 化 和差 ” 公　 式． 在平 面 向量 求 数量 积 的 问题 中 ， 若 ２个 向量 都　

角都是变量的问题 中若 能合理地运用数量积 的几　 何 意义 ， 则 能使 运 动 问题 变得 直观 、 具体 　
Ｂ　

是变量 ， 而 ２个 向量 的和或差 为 定值 ， 可 以利 用　 “ 积化 和差 ” 公 式减 少变 量个 数 或 转 化 成 为 研 究 定　
值 问题． 　
例５ 　（ １ ） 如图 ９ ， 在 ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， 　 是Ｂ Ｃ 的 中　

点， Ａ 　＝ ３ ， Ｂ Ｃ＝１ ０， ￣ Ｉ Ｊ Ａ Ｂ? Ａ Ｃ＝
—

． 　
—

口　

（ ２ ０ １ ２年 浙 江省数 学 高考理 科 试题 ） 　

Ｂ　

图７ 　

图 ８ 　

例４ 　 （ １ ）已 知 口 是 平 面 内 的 单 位 向 量 ， 　

＜ 口 ， ｂ＞＝＜ 口 ， 口 一 ｂ＞， 求 口? ｂ的值． 　 （ ２ ） 如图 ７ ， 在 ｏＯ 中 ， 若弦 Ａ Ｂ＝３ ， Ａ Ｃ＝５ ， 求　 Ａ Ｄ? Ｂ Ｃ 的值． 　
（ ２ ０ １ ２年浙 江省 数 学 高考 调研 试题 ） 　
分析 （ １ ） 向量 口的长 度 为 已知量 ， 但 向量 ｂ 　 的长 度是未 知 变量 ， 且 ２个 向量 的夹 角也 是未 知变　

图９ 　

图 ｌ Ｏ 　

（ ２ ） 设 ＡＡ Ｂ Ｃ， Ｐ ｏ是 边 Ａ Ｂ上 一定点， 满 足　
１ —— 　

Ｐ ｏ Ｂ ： ÷Ａ Ｂ ， 且对于边们 上任一点 Ｐ ， 恒有Ｐ Ｂ? 　
Ｐ Ｃ≥ 　 Ｂ? Ｐ ０ Ｃ， 则　
Ａ．／ ＡＢＣ ＝９ ０。 　

（ 　
Ｂ． 　 ＢＡＣ ＝９ ０。 　

） 　

量． 女 Ⅱ 图８ ， 令Ｄ Ａ＝口 ， Ｏ Ｂ＝ 　， 由 ＜口 ， ｂ＞＝ ＜ 　， 口一 　
ｂ＞可知 ， 向量 ｂ的终点 Ｂ在 线段 Ｏ Ａ的 中垂线 上． 　

Ｃ． ＡＢ ＝ 　Ｃ 　

Ｄ． ＡＣ ：ＢＣ 　

结合 向量数量积的几何意义中投影 的概念可知 ， 向　 量 ｂ在向量 口方向上的投影为　
１ 　

分析

（ ２ ０ １ ３ 年浙江省数学高考理科试题 ） 　 （ １ ） 在这个 问题 中， Ａ 百， Ａ ｃ 都是变量 ， 但　
， 　 一 　 ：

－ Ａ － － Ｂ － ＋＋Ａ — Ｃ ：２ 　 — Ａ Ｍ

Ｉ ｂ Ｉ ｃ ０ ｓ ＜ 口 ， ６＞＝ ÷（ 定值） ， 　
二 　

蔬， 向量劢 ， 蔬 的模都 　

是定值 ， 结合“ 积化和差” 公式 ， 得　

１ 　

因此　

口? ｂ ＝ｌ ８ ｌ ｌ ｂ 　 ｌ 　 ｃ ０ ｓ ＜ ｎ ， ｂ ＞＝ ÷． 　
二　

— Ａ Ｂ． ? 　 Ａ 　 Ｃ ： ＝ ｛ｆ ÷ｆ （ 　 Ａ Ｂ ＋ Ａ ｃ Ｃ ） 　 ｚ 一 （ 　 Ａ 一 Ｂ — 一 　 Ａ — Ｃ ） 　 ｚ ］ Ｉ ： ＝ 　
÷（ ｌ４ ］ — Ａ — 　 　一ｌ ＭＩ — ｃ — — 　 　 Ｉ 　 ） ＝一 １ ６ ． 　
（ ２ ） 如图 ｌ Ｏ ， 　， Ⅳ分 别是 线段 Ｂ Ｃ， Ａ Ｂ 的 中点 ， 　

（ ２ ） ｏ０的 ３条 弦 中 ， Ｉ Ａ 　 ＝ ３， Ｊ Ａ ＣＩ ＝ ５， 作 为　 已知 量可 以将Ａ 雪， Ａ ｅ 作 为一组 基底 ， 则　
— —

＿＋

— —　

—— 　

Ｃ ＝ＡＣ —Ａ　 ． 　

从 而　

Ａ Ｏ? Ｂ Ｃ＝ Ａ Ｏ ?（ Ａ Ｃ—Ａ Ｂ ）＝ 　
— — 　 －－－ －－

Ｐ 是动点， 从而菇 ， 　 都是变量， 但赢 一 　 ： 蔬　
是 定量 ， Ｐ 百＋Ｐ Ｃ＝２砌 是 变 量 ， 结合 “ 积化和差 ” 　 公式 ， 得　
一

＋　

． －－－ ＋

— —　

ＡＤ ?ＡＣ —ＡＤ ? Ａ　． 　

向量Ａ Ｄ是 未 知 变 量 ， 结 合垂径定理可知 ， Ｙ－ ６ 在Ａ ｅ 　
方 向上 的投 影 为　
— 　

‘　

Ｐ Ｂ ． 　： ÷ ［ （ 赢＋ Ｐ ｃ ） 　 一 （ 商一 　） 　 ］ ： 　
÷（ ４ Ｉ 葡Ｉ 　 一 ｌ 蔬ｌ 　 ） ． 　
叶　

Ｉ Ａ ＤＩ ｃ ｏ ｓ ／Ｏ Ａ Ｃ＝ － ｇ 　 － （ 定值） ， 　
二　

Ａ Ｏ 在Ａ Ｂ 方 向上 的投 影为　
—

一

　

， １ 　

ｌ Ａ ＤＩ 　 ｃ ｏ ｓ 　Ｏ Ａ Ｂ＝ － － ｉ ｆ － 　 （ 定值） ， 　
二　

将 双 变量 问题 转 换成 单 变 量 问题 ， 可知当 Ｉ 　

Ｉ 最　

小时 ， 船 ? Ｐ Ｃ 最小 ， 而Ｉ 肼 Ｉ 最小时 ， 　 上Ａ Ｂ， 结合　

故　

． 赢： ８ ． 　

５ 数量 积运 算 中 ２个 向量 的和 或差 为定 值 问题　 极化 恒 等式 是泛 函分析 中的知识 ， 它 表示 内积　

题意可知　 。 上Ａ Ｂ ． 又Ｃ Ｎ／ ／ 　 ， 从而 Ｃ Ｎ上Ａ Ｂ ， 　 且 Ⅳ为线 段 Ａ Ｂ的中点 ， 于是 Ａ Ｃ＝ Ｂ Ｃ ． 　
“ 变” 与“ 定” 是对立的， “ 变” 与“ 定” 又 是 统 一　 的． 合理地处理好 “ 变” 与“ 定” 之 间对立统 一的关　 系， 能更 深刻 地理 解数 学 ， 更 科 学地 看 待 变化 ， 更 清　
晰 地认 识世 界． 　

可以由它诱导出的范数来表示． 极化恒等式在高中 　
平 面 向量 中的简 化应 用 为恒 等式　

? Ｙ ＝ ÷［ （ 　＋ ｊ ， ） 　一 （ Ｘ — Ｙ ） 。 ］ ，