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2014年全国新课标二卷数学2 理科含详解精准


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内蒙古示范大学

王霖普

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷Ⅱ) 数学(理科部分)
第Ⅰ卷(选择题 共 48 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.设集合 M={0,1,2} ,N=

?x | x2 ? 3x ? 2≤ 0? ,则 M ? N =( A. {1} B. {2} C. {0,1}

D

) D. {1,2}

2.设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1 ? 2 ? i ,则 z1 z2 ? ( A. - 5 B. 5 C. - 4+ i ) D. 5 D. - 4 - i

A



3.设向量 a,b 满足|a+b|= 10 ,|a-b|= 6 ,则 a ? b = (A A. 1 B. 2 C. 3

4.钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=(

2

B

) D. 1

A.

5

B.

5

C. 2

5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良学科网的概率是 0.75,连续两为优良的概率 是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的 概率是(

A

) B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45

A. 0.8

6.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的 是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体 毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( A.

C



17 27

B. 5

9

C. 10

27

D.

1 3

7.执行右图程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S= ( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

D



8. 设曲线 y=ax-ln(x+1) 在点 (0,0) 处的切线方程为 y=2x ,则 a= (

D
A. 0

) B. 1 C. 2 D. 3

1

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? x ? y ? 7≤0 ? 9.设 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1≤0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( B ?3 x ? y ? 5≥0 ?
A. 10 B. 8 C. 3 D. 2



10.设 F 为抛物线 C: y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则 △OAB 的面积为(D A. ) B.

3 3 4

9 3 8

C.

63 32

D. 9

4

11.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成 的角的余弦值为( A. 1

C

) B. 2 C.

10

5

30 10

D.

2 2
2

2 12.设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x .若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m 的取值范围 m

是( A.

C

) B.

? ??, ?6? ? ? 6, ??

? ??, ?4? ? ? 4, ??

C.

? ??, ?2? ? ? 2, ??

D. ? ??, ?1? ? ? 4, ??

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,学科网每个试题考生 必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答.
二.填空题 13. ? x ? a ? 的展开式中, x 7 的系数为 15,则 a=__ 3
10

5 ______.(用数字填写答案) 40

14.函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值为___1______. 15. 已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ??? 单调递减, f ? 2? ? 0 . 若 f ? x ?1? ? 0 ,则 x 的取值范围是 ______ (-1,3)____. 16. 设点 M ( x0 ,1 ) ,若在圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 上存在点 N ,使得∠ OMN=45 °,则 x0 的取值范围是 _ ?- 1,1? _______. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1 .

2

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(Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

(Ⅰ) an?1 ? 3an ? 1

(1) (2)

(an?1 ? q) ? 3(an ? q) an?1 ? q ? 3an ? 3q an?1 ? 3an ? 2q

(3)

由(1) (3)式得 q ? 1 由(2)式得

2

an ?1 ? q ?3 an ? q

an ?1 ? 1 2 ?3 即 1 an ? 2

(an ? 1 )是以a1 ? 1 为首相, 3为公比的等比数列 2 2

(an ? 1 )=(a1 ? 1 )3n ?1 2 2 an = 1(3n ? 1) 2

1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 (Ⅱ) 证明: a1 a2 an 2
2 ? 2 ? …+ 2 ? 3 即证:1 3 -1 32 -1 3n -1 2 2 ? 2 ? …+ 2 ? ( 2 ? 2 ? 2 ) ? ( 2 ? 2 ? 31 -1 32 -1 3n -1 31 -1 32 -1 33 -1 33 34
2 ? 2 ? …+ 2 ? ( 2 ? 2 ? 2 ) ? ( 2 ? 2 ? 31 -1 32 -1 3n -1 31 -1 32 -1 33 -1 33 34 2 ? 2 ? …+ 2 ? (1 ? 2 ? 2 ) ? 1 ? 3 31 -1 32 -1 3n -1 8 26 9 2
证毕

2 ) 3n-1
2 ) 3n-1

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积.

3

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(Ⅰ)设 AC 中点为 O,AB 中点为 M,AP 中点为 N 连接 MN、NE、E0、OM 易证 NEOM 是平行四边形

‖ MN,又 EO ? 平面EAC E0 ‖ MN PB
PB∥平面 AEC (Ⅱ)以 A 为原点建立以 AD 为 x 轴的空间直角坐标系

? ? A(0, 0, 0) E ? 3 ,0, 1 ? 2? ? 2

C

?

3 ,a , 0 B ? 0 ,a , ? 0

?

面EAD的法向量为AB= ? 0, a,0 ?
设面 AEC 的法向量为

? ? AE ? ? 3 ,0, 1 ? AC ? 2? ? 2
AC ? m ? 0 AE ? m ? 0

?

3, a, 0

?

m=

?

3, ?3 , ?3 a

?
a?3 2

cos 60 ? m AB m AB

VE ? ACD ? 1 S底 ? h = 1 AD ? DC ? 1 h ? 3 8 3 3 2
19. (本小题满分 12 分) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况, 并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

4

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b?

?

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t ? t ?
i ?1 i
?

n

2

? ? ? y ? bt ,a

? (Ⅰ) y ? b t ? a
?

带入数据 b ?

? ?t
i ?1

n

i

?t
i

?? yi ? y ?
?t

? ?t
i ?1

n

?

2

?1 2

? ? 2.3 ? ? y ? bt a
? = 1 t ? 2.3 y ? bt ? a 2
(Ⅱ)当 t=9 时 y=6.8 千元 20. (本小题满分 12 分)
2 x2 ? y ? 1? a ? b ? 0? 的左右焦点, 设F , 分别是椭圆 M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直, 直线 MF1 F 1 2 2 2
?

a

b

与 C 的另一个交点为 N. (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率;

4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F 1 N ,求 a,b. (Ⅰ)由M、C点可知直线的斜率又为k ? 已知 k ? 3
2 联立可得 b ? 3

y2 ? y1 b 2 ? x2 ? x1 2ac

4

2ac

4

4b2 ? 6 c 即 4(1 ? e2 ) ? 6e a2 a

得e ? 1

2

2 (Ⅱ)设直线方程 y ? b x ? 2

2ac

(1)

令 y=0,得 x ? ?4ac 2

b

由 x ? ?c 联立得 4a ? b2
2 x2 ? y ? 1 a 2 b2

(2)

(3)
2 2

) x 2 ? 8a x ? 4a 2 ? a 2b2 ? 0 联立(2) (3) (b2 ? 4a 2 c c
由韦达定理 x1 x2 ?

?8a 2c 4a 2 ? b2c 2

(4)

5

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c 由 MN ? 5 F 1 N 得 x1 x2 ? ?
由(2) (4) (5)得 3a ? c 2 又

2

(5) (6) (7)

a 2 ? b2 ? c 2

由(2) (6) (7)得 a ? 7

b?2 7

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? = e x ? e ? x ? 2 x (Ⅰ)讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)设 g ? x ? ? f ? 2x ? ? 4bf ? x ? ,当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 ,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142 ?

2 ? 1.4143 ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001)

(Ⅰ) 在x ? R单调递增 (Ⅱ)由罗比达法则得 b 的最大值为 2 (Ⅲ)由泰勒展开得 ln2=0.693

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,同按所做的第一题计分,做答时请写清题号.

22.(本小题满分 10)选修 4—1:几何证明选讲 如图,P 是

O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与

O 相交

于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交 (Ⅰ)BE=EC; (Ⅱ)AD ? DE=2 PB 2

O 于点 E.证明:

23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点, x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为

? ? 2 cos? ,

6

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? ?. ? ?? ?0, ?
? 2?
(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程, 确定 D 的坐标. (Ⅰ)

x =cos? +1 y ? sin ?
3 1 3 1 , ? ) 或 (1 ? , ) 2 2 2 2

(Ⅱ) (1 ?

24. (本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? = x ? 1 ? x ? a (a ? 0)

a

(Ⅰ)证明: f ? x ? ≥ 2; (Ⅱ)若 f ? 3? ? 5 ,求 a 的学科网取值范围.

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