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二项式定理教学设计(沈琦)


《二项式定理(一) 》教学设计
贵州省铜仁第一中学 沈琦

一、教学内容解析
《1.3.1 二项式定理》是《普通高中课程标准实验教科书-数学》选修 2-3 第一章 第三部分第一节的内容, 这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续, 也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理,一方面是因为它的证明要用 到计数原理,可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变 量及分布做准备。 二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、 近似计算 问题的一种方法,并能解释集合的子集个数问题;再者,二项式定理不仅仅是初中多 项式乘法的拓展,它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例,在 组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用,因此这节课在高中数 学中有着十分重要的作用。通过本课的教学,进一步提高学生的归纳演绎能力,让学 生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。 教材中的二项式定理主要包括:定理本身,通项公式,二项式系数的性质等.通 过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识,同时在求展开式、其通项、证恒等式、 近似计算等方面形成技能或技巧;进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用;重 视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。 二项式定理本身是教学重点,因为它是后面各种应用的基础.通项公式,二项式 系数的性质,特殊化方法等意义重大而深远,所以也应该是重点。 二项式定理的证明是一个教学难点.这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地 运用组合数的性质。

二、学情分析
学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识,已经具备了一定的 归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够,研究问 题的方法和能力有待提高,有些学生容易粗心,对细节知识的把握还不够好。本节课
1

二项式定理的推导运用了先猜想后证明,由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此 本堂课采用小组讨论学习,让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识 的产生、发展和演变过程,提高学生分析解决问题的能力。 在教学中,努力把表现的机会让给学生,以发挥他们的自主精神;尽量创造让学 生活动的机会,以让学生在直接体验中建构自己的知识体系;尽量引导学生的发展和 创造意识,以使他们能在再创造的氛围中学习。

三、教学目标设置
1.知识技能目标 (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广。 (2)理解并掌握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理。 (3)掌握对简单的二项式进行展开,能够对项的系数与二项式系数进行区分,并 能求出指定项。 2.过程与方法目标 通过学生经历二项式定理的形成过程,培养学生观察、分析、归纳的能力,以及 化归的意识与方法迁移的能力,体会归纳-猜想-论证的思想方法,发展探究能力。 3.情感、态度、价值观目标 培养学生自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会数 学语言的简捷和严谨。

四、教学重点、难点
重点:用两个计数原理分析 (a ? b) 3 的展开式得到二项式定理;掌握二项展开式的 通项公式;能应用它解决一些简单问题。 难点:用两个计数原理分析推导 (a ? b) 3 的展开式;用两个计数原理证明二项式定 理。

2

五、教学过程
教 学 程 序 问 题 设计意图 师生活动

引出问题:如果今天是星期五,14 天后的这 一天是星期几呢?23 天后的这一天呢? 师生归纳:比如 23=7×3+2,所以 23 天后是 星期日。 算法:用各个数除以 7,看余数是多少, 再用五加余数来推算 师:再过 82016 天后是星期几,你知道吗? 不 方 便 求 出 82016 除 以 的 余 数 , 可 以 利 用 8=7+1,得到 82016=(7+1)2016=? 如果不用计算器的话,此时就需要研究

提出问题激 发学生探索 让学生用计 欲望, 并引出 算器计算 课题

(a ? b)n ? ?(n ? N * )
从特殊开始 由(a+b) =a+b (a+b)2=(a+b)×(a+b)=a2+2ab+b2; (a+b)3=(a+b)2×(a+b)=?
3 3 2 2 3 创 设 结果: (a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b
1

体会多项式 乘法计算过 程 , 加深对因 式展开原理 的理解。

与学生一同 计算,得到计 算结果,为后 面做铺垫。

问 题 探究一:通过组合思想来分析(a+b)3 的展开 情 境 式 (a ? b) 3 ? (a ? b)(a ? b)(a ? b) 展开后 引 入 ①项的形式为: a 3 , a 2b, ab2 , b 3 新 课 ②项的系数,考虑 b ,
a 3 :每个都不取 b 的情况有 1 种,即 C3 ,
0

则 a 前的系数为 C
3
2

0 3 1 3
2

考察学生对 因式展开的 各项形式及 系数的理解。

学生说出自 己的思路,老 师做分析与 讲解为后面 猜想做铺垫。

恰有 1 个取 b 的情况有 C 种, 则a b前 a b: 的系数为 C
1 3 2

恰有 2 个取 b 的情况有 C3 种, 则 b2 前 ab 2 : 的系数为 C3
2
3

b 3 :恰有 3 个取 b 的情况有 C3 种,则 b 3 前

的系数为 C3 所以
0 3 1 2 2 3 3 (a ? b) 3 ? C3 a ? C3 a b ? C3 ab2 ? C3 b

3

3

学生先观察 总结特点: 1. 项 数 是 指 探究二:观察展开式中的项数、指数变化以 数加 1; a b 及系数变化, 你发现了什么?由此猜想 ( + ) 让 学 生 通 过 2.字母 a 按降 4 n ,(a+b) 的展开式中项数,指数变化及系数 特 例 去 观 察 幂排列,字母 变化又如何呢?并试着写出他们的展开式。 相 同 之 处 与 b 按照升幂排 回答:
(a ? b) ? C a ? C a b ? C a b ? C ab ? C b
4 0 4 4 1 3 4 2 2 2 4 3 4 3 4 4 4

不同之处, 以 列,二者指数 及不同之处 之和是二项 的处理方法, 式指数; 3 、 从而提出猜 每一项的系 想。 数有上面的 问题 2 给出, 这很好的突 破了本节的 难点。

0 n 1 n?1 r n?r r (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ??? Cn a b ??

?C b (n ? N )
n n n *

探究三: 对于猜想 (a ? b)
n 1 n?1 ? Cn0an ? Cn a b ? Cn2an?2b2 ? ...

r n?r r n n ?Cn a b ? ... ? Cn b 我们如何进行证明呢?

师生讨论证 让 学 生 体 会 明思路,通过 利用组合思 阅读课本上 想 从 特 殊 到 的证明过程, 一般, 对猜想 老 师 最 后 做 给 出 严 谨 的 出方法归类, 理 解 如 何 用 明的思路。并 “说理” 的方 留 下 课 下 演 式阐述证明 练二项式定 过程。 理的数学归 纳法证明。

证明: 每个 (a ? b) (a ? b) n 是 n 个 (a ? b) 相乘, 在相乘时,有两种选择,选 a 或选 b,由分 步计数原理可知展开式共有 2 n 项(包括同类

项) , 其中每一项都是 a n?r b r (r ? 0,1,?n) 的形 证明过程。 并 提示学生证 式, 对于每一项 a n?r b r , 它是由 r 个 (a ? b) 选 了 b,n-r 个 (a ? b) 选了 a 得到的,它出现 的次数相当于从 n 个 (a ? b) 中取 r 个 b 的组
r 合数 Cn ,将它们合并同类项,就得二项展开

式,这就是二项式定理.

4

观察二项展开式中的项数、指数以及系数有 何特点,谁最具代表性? (1)项:二项展开式共有 n ? 1 项; (2)次数:各项的次数都等于 n; 字母 a 按降幂排列,次数由 n 递减到 0;字 母 b 按升幂排列,次数由 0 递增到 n 思 考
k (3)二项式系数: Cn (k ?{0,1,2,? ? ?, n})

学生继续总 结这三点,以 考察学生的 强化已有的 观察力, 以及 认识,同时老 分 析 问 题 的 师强调:二项 能力。 式系数,与二 项展开式系 数的区别。 对二项式定 理的简单应 用, 同时也是 告诉学生二 项式定理在 解决问题时 的方法: 赋值 或是赋表达 式。 学生自主完 成,老师进行 检查,通过投 影仪将学生 的结果进行 展示,错误时 做出点拨与 分析。 学生提出解 决思路,老师 破 解 疑 惑 让 点评分析,怎 学 生 感 受 计 么才能被 7 整

观 察 (4)二项展开式的通项: T = C k a n?k b k k ?1 n 学 习 特殊的情况 新 课 1.用-b 代替 b.
n (a ? b) 写出 的展开式

2.令 a=1,b=2x.
( 1 ? 2 x)的展开式 写出
5

今天是星期五, 再过 82016 天后是星期几,你 知道吗?

82016 ? (7 ? 1)2016
破 解 疑 惑
? C 20167 2016 ? C 20167
0

1

2015

?? ?

C

2015 2016

7?

C
2015

2016 2016

算 的 简 单 与 除好计算呢 ? 快捷, 增强对 联 想 二 项 式 数学学习的 定理的表达 热情, 形式,问题得 到解决,留为 课下计算。 熟悉二项式

? 7(C 20167 2015 ?

0

C

1

7 2014 ? ? ? 2016

C

)?1 2016

即8

2016

除以 7 余数是 1。
2016

故再过 8

天后的那一天是星期六。

5 精 讲 再探索对于 ( 1 ? 2 x) 的展开式

定理, 以及对 教 师 板 演 过 二项式系数, 程,给学生以 展开式系数, 示范,为后面 以及 x 的系数 步 骤 的 整 洁 问 题 的 理 解 做铺垫。 与记忆。
5

精 析 思考 1:展开式的第 2 项的系数是多少? 思考 2:展开式的第 2 项的二项式系数是多 巩 固 少? 新 知 思考 3:你能否直接求出展开式的第 2 项?

熟悉二项式 定理, 二项式 课堂练习 1、求 (2 x ? y)6 的展开式的第三项 反 馈 练 习 2、求 ( y ? 2 x) 的展开式的第三项
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系数, 二项展 学 生 自 主 练 开式系数, 以 习,反馈教学 及 通 项 的 初 效果,老师巡 步应用, 理解 视 做 个 别 辅 二 项 式 展 开 导。 式的项的顺 序。 学生说,教师 让 学 生 回 顾 课件演示,并

课 堂 本节课你学习了什么知识,他是怎么得到的 本节要点, 观 强调:二项式 小 结 呢?在学习这部分知识时要注意什么呢? 察学生掌握 系数与二项 情况。 展开式系数 的区别。 课本 37 页 习题 1.3 A 组 2、4 布 置 作 业 课后探究:用数学归纳法证明二项式定理 让学生巩固 本节课的所 学内容和知 识。

六、板书设计
1.3.1 二项式定理
0 n 1 n?1 r n?r r n n (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? ?? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N * )

例题 1 例题 2 练习 1 练习 2 作业:课本 37 页 习题 1.3 A 组 2、4 课后探究:用数学归纳法证明二项式定理 (根据课堂教学活动的推荐,反复使用。 )

(1)项:二项展开式共有 n ? 1 项; (2)次数:各项的次数都等于 n; 字母 a 按降幂排列,次数由 n 递减到 0; 字母 b 按升幂排列,次数由 0 递增到 n
k (3)二项式系数: Cn (k ?{0,1,2,? ? ?, n}) k n ?k k (4)二项展开式的通项: Tk ?1 = Cn a b

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