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2、3、2 平面向量的正交分解及坐标表示 练习二 一、 选择题

1、若向量 a = (1,1), b = (1,-1), c =(-1,2),则 c 等于( A、 ?

?

?

?

?

) D、 ?

1 ? 3 ? a+ b 2

2

B、

1 ? 3 ? a ? b 2 2

C、

3 ? 1 ? a ? b 2 2

3 ? 1 ? a+ b 2 2
( )

2、已知,A(2,3) ,B(-4,5) ,则与 AB 共线的单位向量是 A、 e ? (?

3 10 10 3 10 10 3 10 10 , )或( ,? ) , ) B、 e ? (? 10 10 10 10 10 10
D、 e ? (?6,2)或(6,2) ( D、20 )

C、 e ? (?6,2)

3、已知 a ? (1,2),b ? (?3,2), k a ? b与a ? 3b 垂直时 k 值为 A、17 B、18 C、19

4、已知向量 OP =(2,1), OA =(1,7), OB =(5,1),设 X 是直线 OP 上的一点(O 为坐标原点), 那么 XA ? XB 的最小值是 A、-16 B、-8 C、0 D、4 ( )

5、若向量 m ? (1, 2), n ? (?2, 1) 分别是直线 ax+(b-a)y-a=0 和 ax+4by+b=0 的方向向量,则 a, b 的值分别可以是 A、 -1 ,2 ( B、 -2 ,1 C、 1 ,2 ,sin ? ) D、 2,1 ( )

6、若向量 a=(cos ? ,sin ? ),b=(cos ? A、a 与 b 的夹角等于 ? - ? C、a∥b

),则 a 与 b 一定满足

B、(a+b)⊥(a-b) D、a⊥b

7、设 i , j 分别是 x 轴, y 轴正方向上的单位向量, OP ? 3 cos?i ? 3sin ?j , ? ? (0, 若用 来表示 OP 与 OQ 的夹角,则 等于 ( A、 ? B、 )

? ?

?

?

?
2

? ), OQ ? ?i 。

?
2

??

C、

?
2

??

D、 ? ? ?

OP2 ? ?2 ? sin ? , 2 ? cos ? ? ,则向量 P 8、设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP 1 ? ?cos? , sin ? ? , 1P 2
长度的最大值是( A、 2 二、填空题 9、已知点 A(2,0),B(4,0),动点 P 在抛物线 y =-4x 运动,则使 AP ? BP 取得最小值的点 P 的坐
2

) C、 3 2 D、

B、 3

标是



10、把函数 y ? 3 cos x ? sin x 的图象,按向量 a ? ? ?m, n ? (m>0)平移后所得的图象关于 y 轴对 称,则 m 的最小正值为__________________、 11、已知向量 OA ? (?1,2),OB ? (3, m),若OA ? AB, 则m ? 三、解答题 12、求点 A(-3,5)关于点 P(-1,2)的对称点 A 、 13、平面直角坐标系有点 P (1, cos x), Q ? (cos x,1), x ? [?
/



? ?

, ]. 4 4

(1)求向量 OP和OQ 的夹角 ? 的余弦用 x 表示的函数 f ( x) ; (2)求 ? 的最值、 14、设 OA ? (2 sin x, cos2x), 其中 x∈[0, OB ? (? cos x, 1), (1)求 f(x)= OA· OB 的最大值和最小值; (2)当 OA ⊥ OB ,求| AB |、 15、已知定点 A(0 ,1 ) 、 B(0 , ? 1) 、 C (1, 0 ) ,动点 P 满足:
? ?? ? ??

? ]、 2

AP? BP ? k | PC | 2 、
? ?? ? ??

? ??

(1)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的图形; (2)当 k ? 2 时,求 | AP ? BP | 的最大值和最小值、

答案: 一、 选择题

1、B;2、B;3、C;4、B;5、D;6、B;7、D;8、C 二、 填空题

9、(0,0)

10、 m ? 11、4

5? 6

三、解答题
? ?3 ? x ? ?1 ? ? x ?1 ? 2 / A 12、解:设 (x,y) ,则有 ? ,解得 ? 、所以 A/ (1,-1) 。 ? y ? ?1 ? 5? y ? 2 ? ? 2
x 13、解: (1)? OP ? OQ ? 2 cos x, | OP || OQ |? 1 ? cos2 x, cos? ? OP ? OQ ? 2 cos 2 ? f ( x) (2) | OP | ? | OQ | 1 ? cos x

cos ? ? f ( x) ?

2 cos x ? 1 ? cos 2 x

2 cos x ? 1 cos x

且 x ? [?

? ?

2 , ] ,? cos x ? [ ,1] 4 4 2

2 ? cos x ?

1 3 2 ? cos x 2

2 2 2 2 2 2 ; ? f ( x) ? 1, 即 ? cos? ? 1 ? max ? arccos 3 3 3

? min ? 0
14、解:⑴f(x)= OA· OB = -2sinxcosx+cos2x= 2 cos( 2 x ?

?
4

)、

? ? ? 5? , ∴ ≤2x+ ≤ 、 4 2 4 4 ? ? ∴当 2x+ = ,即 x=0 时,f(x)max=1; 4 4 ? 3 当 2x+ =π ,即 x= π 时,f(x)min= - 2 、 8 4 ? ? ? ⑵ OA ? OB 即 f(x)=0,2x+ = ,∴x= 、 4 2 8
∵0≤x≤ 此时| AB | ? (2 sin x ? cos x) 2 ? (cos 2 x ? 1) 2

= 4 sin 2 x ? cos 2 x ? 4 sin x cos x ? (cos 2 x ? 1) 2 =

7 7 ? cos2 x ? 2 sin 2 x ? cos2 2 x 2 2

=

7 7 ? ? ? ? cos ? 2 sin ? cos2 2 2 4 4 4
=
1 16 ? 3 2 、 2

15、解:( 1 )

设动点 P 的坐标为 ( x , y ) ,

则 AP ? ( x , y ? 1) , BP ? ( x , y ? 1) , PC ? (1 ? x , y ) 、 ∵ AP? BP ? k | PC | 2 ,∴ x 2 ? y 2 ? 1 ? k ( x ? 1) 2 ? y 2 , 即 (1 ? k ) x 2 ? (1 ? k ) y 2 ? 2kx ? k ? 1 ? 0 。 若 k ? 1 ,则方程为 x ? 1 ,表示过点 (1, 0 ) 且平行于 y 轴的直线、 若 k ? 1 ,则方程为 ( x ?
1 的圆、 |1? k |
k 2 1 2 k ) ? y2 ? ( ) ,表示以 ( , 0 ) 为圆心,以为半径 1? k 1? k 1? k
? ?? ? ?? ? ??

? ??

? ??

? ??

?

?

( 2 ) 当 k ? 2 时,方程化为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 、
? ??

AP ? BP ? ( x , y ? 1) ? ( x , y ? 1) ? ( 2 x , 2 y )
? ?? ? ??

? ??

∴ | AP ? BP |? 2 x 2 ? y 2 、 又∵ ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 ,∴ 令 x ? 2 ? cos? , y ? sin ? ,则

| AP ? BP |? 2 x 2 ? y 2 ? 2 5 ? 4 cos?
∴当 cos ? ? 1时, | AP ? BP | 的最大值为 6 ,当 cos ? ? ?1 时,最小值为 2 。
? ?? ? ??

? ??

? ??


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