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2012年高三理科数学第一轮复习不等式(2)不等式的解法


2012 年高三理科数学第一轮复习不等式(2)不等式的解法 考纲要求 1、从实际情境中抽象出一元二次不等式模型; 2、一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系; 3、解一元二次不等式。 4、解分式不等式 5、解高次不等式 命题规律 解不等式是高考的热点内容,几乎每年都会考。有时会涉及简单的绝对值不等式,各种 题型都有。在选择题或填空题中常与集合等结合,在解答题中常与函数

、数列、解析几何、 导数等综合命题。解答题中含字母参数的不等式较多,需要对字母参数进行分类讨论。 考点解读 考点 1 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤是: (1)化为标准形式; (2)确定判别式 Δ 的符号; (3)若 Δ≥0, 则求出该不等式对应的二次方程的根,若 Δ<0,则对应的二次方程无根;(4)结合二次函数 的图象得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式,则 可立即写出不等式的解集. 考点 2 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式的一般步骤: (1)二次项若含有参数应讨论是等于 0,小于 0,还是大于 0,然后将不等式转化为二次项系 数为正的形式. (2)判断方程的根的个数,讨论判别式 Δ 与 0 的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定 解集形式.

考点 3 不等式恒成立问题 不等式 ax2+bx+c>0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a=0 时,b=0,c>0;当
? ?a>0, a≠0 时,? 不等式 ax2+bx+c<0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a=0 时,b ? ?Δ<0; ?a<0, ? =0,c<0;当 a≠0 时,? ?Δ<0. ?

考点 4 分式不等式、高次不等式的解法 分式不等式不能两边直接同时乘以分母,而是移项后转化为分子分母的乘积与 0 的大 小关系。注意分母不为 0 的讨论
f (x) g (x) ? 0 ? f (x)g (x) ? 0



f (x) g (x)

? 0 ? f (x)g (x) ? 0

? f (x)g (x) ? 0 ? 0 ? ? g (x) ? g (x) ? 0 f (x)



? f (x)g (x) ? 0 ? 0 ? ? g (x) ? g (x) ? 0 f (x)

解高次不等式时,使用数轴穿根法。其步骤是: (1)将的最高次项的系数化为正数, (2)将 f ? x ? 分解为若干个一次因式的积或二次不可分 因式之积, (3)在数轴上上从小到大依次标根,从右上方依次穿根,奇次根穿过,偶次根不 穿。 考点 5 含绝对值不等式的解法 含绝对值不等式通过化归,去掉绝对值号,变成不含绝对值符号不等式。脱去绝对符 号的方法有: (1)化归法,化为|x|<a 或|x|>a(a>0)型。 (2)零点分段法,找绝对值为零的点,分段讨论。 (3)数形结合。 (4)平方法,化为一元二次不等式。

考点突破 考点 1 一元二次不等式的解法 典例 1
?x2+2x,x≥0, ? 已知函数 f(x)=? 2 解不等式 f(x)>3. ? ?-x +2x,x<0,

解题思路

对 x 分 x≥0、x<0 进行讨论从而把 f(x)>3 变成两个不等式组.

?x≥0, ?x<0, ? ? 解题过程 由题意知? 2 或? 2 解得:x>1. ? ? ?x +2x>3 ?-x +2x>3,

故原不等式的解集为{x|x>1}. 易错点拨 分类讨论的时候要注意分类条件的限制。 变式 1 函数 f(x)= 2x2+x-3+log3(3+2x-x2)的定义域为________. ?2x2+x-3≥0, ? 点拨 依题意知? 2 ? ?3+2x-x >0,

?x≤-3或x≥1, ? 2 解得? ?-1<x<3. ?
∴1≤x<3. 故函数 f(x)的定义域为[1,3). 答案 [1,3) 考点 2 含参数的一元二次不等式的解法 典例 1 求不等式 12x2-ax>a2(a∈R)的解集.

解题思路 先求方程 12x2-ax=a2 的根,讨论根的大小,确定不等式的解集. 解题过程 ∵12x2-ax>a2,∴12x2-ax-a2>0, 即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0, a a 得:x1=- ,x2= . 4 3 a a? a a ? ①a>0 时,- < ,解集为?x|x<-4或x>3?; 4 3 ? ? ②a=0 时,x2>0,解集为{x|x∈R 且 x≠0}; a a? a a ? ③a<0 时,- > ,解集为?x|x<3或x>-4?. 4 3 ? ? a a? ? 综上所述:当 a>0 时,不等式的解集为?x|x<-4或x>3?;
? ?

当 a=0 时,不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠0}; a a? ? 当 a<0 时,不等式的解集为?x|x<3或x>-4?.
? ?

易错点拨 在有的题目中需要讨论二次项系数是否为 0,解题过程中注意判断判别式。 变式 1 解关于 x 的不等式(1-ax)2<1 答案 由(1-ax)2<1,得 a2x2-2ax<0,即 ax(ax-2)<0, 当 a=0 时,x∈?. 2 当 a>0 时,由 ax(ax-2)<0,得 a2x?x-a?<0, ? ? 2 即 0<x< . a 2 当 a<0 时, <x<0. a 综上所述:当 a=0 时,不等式解集为空集;
? 2 ? 当 a>0 时,不等式解集为?x?0<x<a ?; ? ? ? ? 2 ? 当 a<0 时,不等式解集为?x?a <x<0?. ? ? ?

考点 3 不等式恒成立问题 典例 1 已知不等式 ax2+4x+a>1-2x2 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解题 思路 化为 标准形式 ax2 +bx+ c> 0 后分 a = 0 与 a≠0 讨论 . 当 a≠0 时 , 有
?a>0, ? ? 2 ? ?Δ=b -4ac<0.

解题过程 原不等式等价于(a+2)x2+4x+a-1>0 对一切实数恒成立,显然 a=-2 时,解 集不是 R,因此 a≠-2,

?a+2>0, ? 从而有? 2 ? ? ?Δ=4 -4?a+2?a-1?<0, ? ? ?a>-2, ?a>-2, 整理,得? 所以? ? ? ? ??a-2?a+3?>0, ?a<-3或a>2,

所以 a>2. 故 a 的取值范围是(2,+∞). 易错点拨 容易遗失对二次项系数的讨论。恒成立的时候,可以结合二次函数来考虑,转化 为最值和已知值的比较。 变式 1 已知 f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范 围. 答案 法一 f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为 x=a. ①当 a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增, f(x)min=f(-1)=2a+3.要使 f(x)≥a 恒成立, 只需 f(x)min≥a, 即 2a+3≥a,解得-3≤a<-1; ②当 a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2, 由 2-a2≥a,解得-1≤a≤1. 综上所述,所求 a 的取值范围为[-3,1]. 法二 令 g(x)=x2-2ax+2-a,由已知,得 x2-2ax+2-a≥0 在[-1,+∞)上恒成立,

?Δ>0, ? 即 Δ=4a -4(2-a)≤0 或?a<-1, ?g?-1?≥0. ?
2

解得-3≤a≤1. 所求 a 的取值范围是[-3,1]. 考点 4 分式不等式、高次不等式的解法 典例 1 解下列关于 x 的不等式: (1) ? x ? 1 ? ? x ? 1 ?? x ? 2 ? ? 0 ; (2)
2

3x ? 5 x ? 2x ? 3
2

? 2

解题思路 (1)利用数轴穿根法直接写解集; (2)移项,通分,因式分解,转化为整式不 等式再写解集. 解题过程 (1)原不等式的解集为 ? ? 1,1 ? ? ?1, 2 ? ;

(2)原不等式 ?

? x ? 1 ?? 2 x ? 1 ? ? ? x ? 1 ?? x ? 3 ?
2 ??

? ? x ? 1 ?? 2 x ? 1 ?? x ? 1 ?? x ? 3 ? ? 0 0 ? ? ? x ? 1且 x ? 3

1 解集为 ? ? ? , 3 ? ? [ ? 1, ] ? ? 1, ? ?

易错点拨 高次的系数一定要保证为正, 在解分式不等式的时候分母正负不确定, 不能直接

两边同时乘以分母以化简。 变式 1 解关于 x 的不等式: (1) x ? ?a ? a
2 2

?x ? a

3

? 0 ;(2)

a ( x ? 1) x?2

>1
2

答案 (1)原不等式等价于 ? x ? a ?? x ? a

?? 0 ,a

2

? a ? a ?a ? 1?

2 ①当 a ? a ? 1 ? ? 0 , a ? 1 或 a ? 0 时,解集为 ? ? ? , a ? ? ?a , ?? ? ;

②当 a ? a ? 1 ? ? 0 , a ? 1 或 a ? 0 时,解集为 ? ? ? , a ? ? ? a , ?? ? ; ③当 a ? a ? 1 ? ? 0 , 0 ? a ? 1 时,解集为 ?? ? , a (2) 原不等式可化为
( a ? 1) x ? ( 2 ? a ) x ? 2
2

? ? ? a , ?? ? ;

>0,

? ①当 a ? 1 时,原不等式解集为 ? 2, ? ?

②当 a>1 时,原不等式与(x- 由于
a?2 a ?1 ? 1? 1 a ?1 ?1? 2
a ?2 a ?1

a ?2 a ?1

)(x-2)>0 同 解

∴原不等式的解为(-∞,

)∪(2,+∞)
a ?2 a ?1

③当 a<1 时,原不等式与(x- 由于
a?2 a ?1 ?1? 1 a ?1

)(x-2) <0 同解
a?2 a ?1 ?1? 1 a ?1 ? 2 ,解集为(
a ?2 a ?1

,若 a<0,
1 a ?1 1 a ?1

,2);

若 a=0 时,

a?2 a ?1

?1?

? 2 ,解集为 ? ; ? 2 ,解集为(2,
a ?2 a ?1

若 0<a<1,

a?2 a ?1

?1?

)

? 综上所述:当 a ? 1 时,原不等式解集为 ? 2, ? ? ;

当 a>1 时解集为(-∞,

a ?2 a ?1

)∪(2,+∞); );

当 0<a<1 时,解集为(2, 当 a=0 时,解集为 ? ; 当 a<0 时,解集为(
a ?2 a ?1

a ?2 a ?1

,2)

考点 5 含绝对值不等式的解法 典例 1 求下列不等式的解集: (1) | 4 x ? 3 |? x ? 1 (2)

| 3 x ? 5 |? 2 x ? 1

解题思路 利用绝对值定义或者零点分段讨论法,把绝对值去掉再处理

解题过程 (1) ∵ | 4 x ? 3 |? x ? 1 ∴ ? ( x ? 1) ? 4 x ? 3 ? 即?
?? x ? 1 ? 4x ? 3 ?4x ? 3 ? x ? 1

x ? 1,

由①得 由②得

x ?
x ?

2 5
4 3

, .
{x | 2 5 ? x ? 4 3 }

∴原不等式的解集为

.

(2) ∵|3x+5|>2x-1, ∴3x+5>2x-1, ① 或 3x+5<-(2x-1) ② 由①得 x>-6, 由②得 x< ?
4 5

.

∴原不等式的解集为{x|x∈R}. 易错点拨 去掉绝对值符号的时候,一定要注意是否等价变形。 变式 1 (1)解方程: | x ? 3 | ? | x ?
2 |? 6

(2)解不等式: | x ? 1 | ? | x ?
5 2

2 |? 5

答案 解(1)零点为 3,-2,分三段讨论. 当 x<-2,方程为 3-x-(x+2)=6,x= ? ;

当-2≤x≤3,方程为 3-x+x+2=6,5=6,无解; 当 x>3,方程为 x-3+x+2=6,x= ∴ 方程的解集为{ ?
5 7

7 2

.

,

}.

2 2

(2)零点为 1,-2,分三段讨论. 当 x<-2,不等式为(1-x)-(x+2)<5,x>-3, ∴-3<x<-2; 当-2≤x≤1,不等式为(1-x)+(x+2)<5,3<5, ∴-2≤x≤1; 当 x>1,不等式为(x-1)+(x+2)<5,x<2, ∴1<x<2. ∴不等式的解集为{x|-3<x<2}.

综合突破 突破 1 不等式与导数结合考查 典例 1 设函数 f(x)=(x-a)2ln x,a∈R. (1)若 x=e 为 y=f(x)的极值点,求实数 a; (2)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x∈(0,3e],恒有 f(x)≤4e2 成立. 注:e 为自然对数的底数. 解题思路 本题对于(1)问的解答要注意对于结果的检验, 因为 f′(x0)=0, 0 不一定是极值点; x 对于(2)问的解答可以采用分离参数求最值的方法进行突破,这样问题就转化为单边求最值,

相对分类讨论求解要简单的多. ?x-a?2 a 解题过程 (1)求导得 f′(x)=2(x-a)ln x+ =(x-a)(2ln x+1- ). x x a 因为 x=e 是 f(x)的极值点,所以 f′(e)=(e-a)?3-e?=0,解得 a=e 或 a=3e.经检验,符合 ? ? 题意,所以 a=e 或 a=3e (2)①当 0<x≤1 时,对于任意的实数 a,恒有 f(x)≤0<4e2 成立. ②当 1<x≤3e 时,由题意,首先有 f(3e)=(3e-a)2ln(3e)≤4e2, 解得 3e- 2e 2e ≤a≤3e+ ln?3e? ln?3e?

a 由(1)知 f′(x)=x-a?2ln x+1-x?. ? ? a 令 h(x)=2ln x+1- ,则 h(1)=1-a<0,h(a)=2ln a>0, x 2e 3e+ 1 ? ln?3e? ? a 且 h(3e)=2ln(3e)+1- ≥2 ln(3e)+1- =2 ln 3e- >0 3e 3e 3 ln 3e? ? 又 h(x)在(0,+∞)内单调递增,所以函数 h(x)在(0,+∞)内有唯一零点,记此零点为 x0,则 1<x0<3e,1<x0<a. 从而,当 x∈(0,x0)时,f′(x)>0;当 x∈(x0,a)时,f′(x)<0;当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0.即 f(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,a)内单调递减,在(a,+∞)内单调递增. 所以要使 f(x)≤4e2 对 x∈(1,3e]恒成立,只要
2 2 ? ?f?x0?=?x0-a? ln x0≤4e ,?1? ? 成立. 2 2 ?f?3e?=?3e-a? ln?3e?≤4e ,?2? ?

a 由 h(x0)=2ln x0+1- =0,知 a=2x0ln x0+x0.(3) x0 将(3)代入(1)得 4x2ln3x0≤4e2.又 x0>1,注意到函数 x2ln3x 在(1,+∞)内单调递增,故 1<x0≤e. 0 再由(3)以及函数 2xln x+x 在(1,+∞)内单调递增,可得 1<a≤3e. 由(2)解得,3e- 所以 3e- 2e 2e ≤a≤3e+ . ln?3e? ln?3e?

2e ≤a≤3e. ln?3e? 2e ≤a≤3e. ln?3e?

综上,a 的取值范围为 3e-

典例 2 设函数 f(x)=ax3-3x+1, 若对于任意 x∈[-1,1], 都有 f(x)≥0 成立, 求实数 a 的值. 解题过程 (1)若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)=1>0 恒成立. 3 1 3 1 (2)若 x>0,即 x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≥ 2- 3.设 g(x)= 2- 3,则 g′(x)= x x x x

3?1-2x? , x4 1 1 1 ∴g(x)在区间?0,2?上单调递增,在区间?2,1?上单调递减.∴g(x)max=g?2?=4,从而 a≥4. ? ? ? ? ? ? 3 1 (3)若 x<0,即 x∈[-1,0)时,f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≤ 2- 3. x x 3?1-2x? 3 1 设 h(x)= 2- 3,则 h′(x)= , x x x4 ∴h(x)在[-1,0)上单调递增. ∴h(x)min=h(-1)=4,从而 a≤4. 综上所述,实数 a 的值为 4. 突破 2 含参型不等式与集合等结合考查 4 典例 1 已知函数 f(x)= ,g(x)=x2-3ax+2a2,若不存在 x 使得 f(x)>1 和 g(x)<0 6+x-x2 同时成立,试求 a 的取值范围. 解题思路 将问题转化为不等式组的解集为空集, 分别求解不等式, 再求解集为空集的充要 条件。 解题过程 由题设可知,不等式组 ? 4 2>1, ① ?6+x-x 的解集为空集, ?

? ?x2-3ax+2a2<0(a<0). ②

4 由①得: -1>0. 6+x-x2 即(x+1)(x+2)(x-2)(x-3)<0, ∴-2<x<-1 或 2<x<3.③ 由②得:(x-a)(x-2a)<0, (1)当 a ? 0 时,②的解集为空集,满足条件 (2)当 a ? 0 时,②的解集 a ? x ? 2 a ④ 不等式组③④的解集为?, ?
?a ? 0 ?2a ? 2

或 a ? 3 ,即 0 ? a ? 1 ,或 a ? 3

(3)当 a ? 0 时,②的解集 2a<x<a.⑤ 不等式组③⑤的解集为?,则 ?a<0 ? 1 a≤-2 或? ,即 a≤-2 或- ≤a<0. 2 ? ?2a≥-1 故所求 a 的取值范围是 ? ? ? , 2 ? ? [ ? ?
1 2 ,1] ? ? 3, ? ? ?

快乐训练 1、函数 y ?
log (x
2

1 2

? 1 ) 的定义域为

2、二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:

x y

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

则不等式 ax2+bx+c>0 的解集是
2 3、若不等式 x ? bx ? c ? 0 的解集是 { x x ? 3 或 x ? ? 1} ,则 b=

c=

.

4、若关于 x 的不等式 a x ? a x ? a ? 1 ? 0 , 的解集为 R,则 a 的取值范围是
2

5、不等式 a x ? b x ? 2 ? 0 解集为 ?
2

1 2

? x ?

1 3

,则 a、b 值分别为

6、若函数 f(x) = 7、解不等式:

2

x ? 2 ax ? a

2

? 1 的定义域为 R,则 a 的取值范围为

(1) ? 3 x ? 4 x ? 4 ? 0
2

(2)
2

1 2

x ? x?
2

3 2

? 0 1 2 x
2

(3) ? x ? 1 ? ? x ? 3 ? ? 2 x ? x ? 2

(4) ? 4 ? ?

? x?

3 2

? ?2

8、已知 M 是关于 x 的不等式 2x2+(3a-7)x+3+a-2a2<0 解集,且 M 中的一个元素是 0,求 实数 a 的取值范围,并用 a 表示出该不等式的解集.

提高训练 1、不等式
x?3 x?2

<0 的解集为(

) C、 ? x x ? ? 2 或 x ? 3? D、 ? x x ? 3 ?

A、 ? x ? 2 ? x ? 3?
x ? x?6
2

B、 ? x x ? ? 2 ?

2、不等式

x ?1

> 0 的解集为(

) B、 ? x x< ? 2, 或 1< x< 3? D、 ? x ? 2< x< 1, 或 1< x< 3?

A、 ? x x< ? 2 , 或 x> 3? C、 ? x ? 2< x< 1, 或 x> 3?

1 3、 已知集合 A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9}, B={x∈R|x=4t+ -6, t∈(0, +∞)}, 则集合 A∩B t 等于( ) B.{x|-2<x≤5} C.{x|-2<x<5} D.{x|-2≤x<5}

A.{x|-2≤x≤5}

4、已知 p:关于 x 的不等式|x-2|+|x+2|>m 的解集为 R;q:关于 x 的不等式 x2+mx+4>0 的解集为 R.则 p 成立是 q 成立的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5、函数 y ? 6、不等式
2 x

x ? x ? 12 ?
2

49 ? x 的定义域为
2

? x ? 1 的解集为

7、已知集合 A ? ? x lo g 2 x ? 2 ? , B ? ( ? ? , a ) ,若 A ? B 则实数 a 的取值范围是 ? c , ?? ? , 其中 c =
2 8、关于 x 的不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ( ? ? , ?

1

1 ) ? ( , ?) ? 2 3

,则 ab ?

超越训练 1 、 设 平 面 点 集 A ? { ( x , y ) | ( y ? x )( y ?
A ? B 所表示的平面图形的面积为(
1 x ) ? 0} , B ? { ( x , y ) | ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1} , 则
2 2

) C. ?
7 4

A. ?
4

3

B. ?
5 ? 0 的解集为(

3

D.

?
2

2、不等式

x ?1 2x ?1
2

) C. ( ? ? . ?
1 2 ) ? [1, ? ? )

A. ( ? 1 ,1]

B. [ ?

1 2

,1]

D. ( ? ? . ?

1 2

] ? [1, ? ? )

3、设 a ? R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1]( x 2-ax-1)≥0,则 a=______________. 4、若不等式 x 2
? kx ? k ? 1 ? 0

对 x ? (1, 2 ) 恒成立,则实数 k 的取值范围是______.


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