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2014版学海导航数学(理)总复习(第1轮)同步测控 第61讲 轨迹问题 Word版含答案]


第 61 讲 轨迹问题

1.方程 x2+xy=x 表示的曲线是( ) A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.一个点和一条直线 2.已知点 P 是直线 2x-y+3=0 上的一个动点,定点 M(-1,2),Q 是线段 PM 延长 线上的一点,且|PM|=|MQ|,则 Q 点的轨迹方程是( ) A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=

0 D.2x-y+5=0 → → → → 3.已知两点 M(-2, 0), N(2, 0), 点 P 为坐标平面内的动点, 满足|MN|? |MP|+MN? NP =0,则动点 P(x,y)的轨迹方程为( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=4x D.y2=-4x → → → 4.平面直角坐标系中,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足OC=λ1OA+λ2OB(O 为原点),其中 λ1,λ 2∈R,且 λ1+λ2=1,则点 C 的轨迹方程为__________. 5.已知实数 m,n 满足 m2+n2=1,则 P(m+n,m-n)的轨迹方程是____________. x2 y2 6.已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 为椭圆上一动点,延长 F1P 到 25 9 Q,使得|PQ|=|PF2|,则动点 Q 的轨迹方程是________________. 7.已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点, 焦点在 x 轴上, 它的一个顶点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1. (1)求椭圆 C 的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆 C 上的动点, M 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, =e(e 为椭圆 |OM| C 的离心率),求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

a a 8.在△ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B(- ,0),C( ,0),a>0,且满足 sin C 2 2 1 -sin B= sin A,则动点 A 的轨迹是( ) 2 2 2 16x 16y A. 2 - 2 =1 (y≠0) a 3a 16y2 16x2 B. 2 - 2 =1 (x≠0) a 3a 16x2 16y2 C. 2 - 2 =1 (y≠0)的左支 a 3a 2 16x 16y2 D. 2 - 2 =1(y≠0)的右支 a 3a

x2 y2 9.设 A1、A2 是椭圆 + =1 长轴的两个端点,P1、P2 是垂直于 A1A2 的弦的端点,则 9 4 直线 A1P1 与 A2P2 的交点 M 的轨迹方程是____________________.

10.(2012· 四川卷)如图,动点 M 与两定点 A(-1,0)、B(2,0)构成△MAB,且∠MBA =2∠MAB,设动点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; |PR| (2)设直线 y=-2x+m 与 y 轴交于点 P, 与轨迹 C 相交于点 Q、 R, 且|PQ|<|PR|, 求 |PQ| 的取值范围.

第 61 讲 1.C 2.D 3.B 4.x+2y-5=0 5.x +y2=2 6.(x+4)2+y2=100 7.解析:(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c, ? ? ?a-c=1 ?a=4 由已知得? ,解得? ,所以 b2=7, ?a+c=7 ?c=3 ? ? x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 16 7 (2)设 M(x,y),P(x,y1),其中 x∈[-4,4]. x2+y12 由已知得 2 2 =e2. x +y 3 而 e= ,故 16(x2+y12)=9(x2+y2).① 4 112-7x2 由点 P 在椭圆 C 上得 y12= ,代入①式并化简得 9y2=112, 16 4 7 所以点 M 的轨迹方程为 y=± (-4≤x≤4),轨迹是两条平行于 x 轴的线段. 3 1 8.D 解析:由正弦定理及 sin C-sin B= sin A, 2 1 得|AB|-|AC|= a, 2 故 A 点的轨迹是双曲线的右支且 y≠0. x2 y2 9. - =1 9 4 解析:(交轨法)由已知,A1(-3,0),A2(3,0). 设 P1(x1,y1),则 P2(x1,-y1),交点 M(x,y), y1 y 则由 A1、P1、M 三点共线,得 = .① x1+3 x+3 -y1 y 又 A2、P2、M 三点共线,得 = .② x1-3 x-3 -y12 y2 ①?②得 2 = 2 . x1 -9 x -9 2 2 -y12 4 x1 y1 又 + =1,即 2 = , 9 4 x1 -9 9 y2 4 x2 y2 从而 2 = ,即 - =1. 9 4 x -9 9 10.解析:(1)设 M 的坐标为 (x,y),显然有 x>0,y≠0. 当∠MBA=90°时,点 M 的坐标为(2,±3); 当∠MBA≠90°时,x≠2. 2tan ∠MAB 由∠MBA=2∠MAB,有 tan ∠MBA= , 1-tan 2∠MAB |y| 2 x + 1 |y| 即- = |y| x-2 1-( )2 x+1 化简得:3x2-y2-3=0,而又经过(2,±3). 综上可知,轨迹 C 的方程为 3x2-y2-3=0(x>1). ?y=-2x+m ? (2)由方程 ? 2 2 消去 y,可得 x2-4mx+m2+3=0.(*) ? 3 x - y - 3 = 0 ? 由题意,方程(*)有两根且均在(1,+∞)内,设 f(x)=x2-4mx+m2+3.
2

-4m - ? ? 2 >1 所以? , f(1)=1 -4m+m +3>0 ? ?Δ=(-4m) -4(m +3)>0
2 2 2 2

解得 m>1,且 m≠2. 设 Q、R 的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),由|PQ|<|PR|有 xR=2m+ 3(m2-1),xQ=2m- 3(m2-1), 2 |PR| xR 2m+ 3(m -1) 所以 = = |PQ| xQ 2m- 3(m2-1) 2+ = 2- 1 3(1- 2) m 1 3(1- 2) m 4

=-1+ 2-

, 1 3(1- 2) m 由 m>1,且 m≠2,有 4 1<-1+ <7+4 3, 1 2- 3(1- 2) m 4 且-1+ ≠7. 1 2- 3(1- 2) m |PR| 所以 的取值范围是(1,7)∪(7,7+4 3). |PQ|


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