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系统时频域性能分析与PID校正


Chp.6

系统性能分析与校正

基本要求
(1) 了解系统时域性能指标、频域性能指标和综合性能指标的 概念; 了解频域性能指标和时域性能指标的关系。 (2) 了解系统校正的基本概念。 (3) 掌握增益校正的特点; 熟练掌握相位超前校正装置、相位 滞后校正装置和相位滞后— 超前校正装置的模型、频率特性 及有关量的概念、求法及意

义;掌握各种校正装置的频率特 性设计方法; 熟练掌握各种校正的特点。 (4) 掌握PID 校正的基本规律及各种调节器的特点;掌握PID 调节器的工程设计方法。 (5) 掌握反馈校正、顺馈校正的定义、基本形式、作用和特点。

重点与难点
本章重点 (1) 各种串联无源校正装置的模型、频率特性及有关量的概念、 求法及意义; 各种校正装置的特点及其设计方法。 (2) PID 校正的基本规律及各种调节器的特点;PID 调节器 的工程设计方法。 (3) 反馈校正、顺馈校正的定义、基本形式、作用和特点。 本章难点 (1) 各种串联无源校正装置的设计。 (2) PID 调节器的工程设计方法。

§1 系统性能指标
系统首先应稳定,只有稳定性还不能正常工作,还必须满足给 定的性能指标才能正常工作。 分类: 时域性能指标(瞬态、稳态) 频域指标 综合性能指标(误差准则) 一、时域指标: 在单位阶跃输入下,对二阶振荡系统给出 1、上升时间tr: 2 1??
tr ?

? ?? ?d
t ?

? ? arctg

?

?
2

?n 1??
?

2、峰值时间tp:
p

?

n

1??

2

系统性能指标
4 ts ? 3、调整时间ts: ? ? ts ? 3 ( ? ? 0 . 02 )
n

? ?n

( ? ? 0 . 05 )

4、最大超调量MP:
M
p

?

??
1? ?
2

? e
2

5、振荡次数N: N

?

2

1??

??
1 .5 1??
2

( ? ? 0 . 02 )

N ?

??

( ? ? 0 . 05 )

系统性能指标
6、稳态指标: (1)误差:e1(t)=xor(t)-x0(t) E1(s)=Xor(s)-X0(s) (2)偏差:ε(t)=xi(t)-h(t)x0(t) E(s)=Xi(s)-H(s)X0(s) (3)误差和偏差的关系: 控制系统应力图使x0(t) →xor(t),当X0(s)= Xor(s)时, 存在E(s)= H(s) E1(s) 结论: 求出偏差后即可求出误差E(s); 若单位反馈H(s)=1,则E(s)= E1(s); 闭环系统的误差包括瞬态误差和稳态误差,稳态误差不仅与系统特 征有关,也与输入和干扰信号特性有关。

系统性能指标
(4)稳态偏差εss:
因为,E(s)=Xi(s)-H(s)X0(s) 1 即 E (s) ? X i (s)
1 ? G (s)H (s)

由终值定理,
? ss ? lim ? ( t ) ? lim sE ( s ) ? lim
t? ? s? 0

s 1 ? G (s)H (s)

s? 0

X i (s)

阶跃输入下,Xi(s)=1/s
? ss ? lim
s 1 ? G (s)H (s)
s? 0

?

1 s

?

1 1 ? lim G ( s ) H ( s )
s? 0

?

1 1? kp

无偏系数
位置无偏系数kp:
k p ? lim G ( s ) H ( s )
s? 0

速度无偏系数kv:
k v ? lim sG ( s ) H ( s )
s? 0

? ss ? lim

1 sG ( s ) H ( s )

s? 0

加速度无偏系数ka:
k a ? lim s G ( s ) H ( s )
2 s? 0

? ss ? lim

1 s G (s)H (s)
2

s? 0

无偏系数
7、Gk(s)对稳态偏差的影响: 不同系统结构(Gk(s)的“型”号),则无偏系数和稳态 偏差亦不同。 k (? 1 s ? 1)( ? 2 s ? 1) ? (? m s ? 1)
G k (s) ? G (s)H (s) ? s (T1 s ? 1)( T 2 s ? 1) ? (T n ? v s ? 1)
v

(1)系统型号对εss和kp的影响:(阶跃信号输入) 0型系统v=0:k ? lim G ( s ) ? G ( 0 ) H ( 0 ) ? k
p s? 0 k

(有差系统) ? ss

?

1 1? k

稳态位置偏差为有限值

Ⅰ型系统v=1及v>1: (无差系统) k p ? lim G k ( s ) ? 0 ? ss ? 0
s? 0

无偏系数
(2) 系统型号对kv的影响:(速度信号输入) 0型v=0: k ? lim sG ( s ) H ( s ) ? 0 ? ss ? lim
v s? 0

1 sG ( s ) H ( s )

s? 0

? ?

Ⅰ型v=1: k v ? lim sG ( s ) H ( s ) ? k
s? 0

? ss ? lim

1 sG ( s ) H ( s )

s? 0

?

1 k

Ⅱ型及以上:kv=∞ εss=0

(3)系统型号对ka的影响:(加速度输入) 0型:ka=0 εss=∞ Ⅰ型:ka=0 εss=∞ Ⅱ型:ka=k εss=1/k

系统误差

系统误差
讨论:a) kp、kv、ka反映系统减少或消除εss的能力; b)应根据系统承受输入情况选择系统的型号; c)k值的重要作用:k 大有利于减少εss,但k太大不 利于系统稳定性。 例:如图,求系统在单位阶跃、单位恒速、单位恒加速下的 稳态误差。

二、频域性能指标
1、谐振频率ωr: ? r 2、谐振峰值Mr: M
? ? n 1 ? 2?
r

2

( 0 ? ? ? 0 . 707 )
( 0 ? ? ? 0 . 707 )

?

1 2? 1??
2

3、截止频率ωb:? b ? ? n (1 ? 2? 2 ) ? 2 ? 4? 2 ? 4?

4

4、相位裕量γ:γ=180o+∠G(jωc)H(jωc) 2? 对二阶系统,? ? arctg 4 2 1 ? 4? ? 2? 5、幅值裕量kg:
kg ? 1

对二阶系统,
?g ? ?n
1 ? 4?
4

G ( j?
2

g

) H ( j?

g

)

? 2?

三、时域和频域指标的关系
1、Mp和Mr的关系: Mp 、N(时)和Mr、γ都只与阻尼比δ有关,反映系统的阻尼特性和系 统的相对稳定性。
M
p

? exp( ? ?

M M

r

? ?

M M

2 r 2 r

?1 ?1



r

Mr=1.2~1.5,对应Mp=20%~30%,过渡过程较平稳; Mr>2,则Mp>40%,平稳性很差。 2、tp、ts(时)与ωr的关系:
? rt p ? ?
1 ? 2? 1??
2 2

(? ? 0 . 707 )
2

? rts ?

( 3 ~ 4 ) 1 ? 2?

?

(? ? 0 . 707 )

对一定δ,tp、ts均与ωr成反比,ωr高的系统,反映速度快。

时域和频域指标的关系
3、tp、ts(时)与ωb的关系:
? bt p ? ? bts ?
(1 ? 2? ) ?
2

2 ? 4? 1??

2

? 4?

4

(3 ~ 4 )

?

(1 ? 2? ) ?
2

2 ? 4?

2

? 4?

4

δ一定,tp、ts(时)与ωb成反比,即频带越宽,响 应速度越快。

综合性能指标(误差准则)
综合性能指标是系统性能的综合测度。它们是系统误 差e(t)的某个函数的积分。在系统参数取最优值时, 这些 指标将取极值,从而可以通过选择适当的参数得到综合性 能指标最优的系统。 综合性能指标主要有以下三种形式:
1、误差积分性能指标:

适用于无超调系统。

综合性能指标
2、误差平方积分性能指标:
适用于有超调系统,其特点是,重视大的误差,忽略小的 误差。根据这个指标设计的系统, 能使大的误差迅速减小, 但系统容易产生振荡。 3、广义误差平方积分性能指标:

其特点是不容许大的动态误差和大的误差变化率长期 存在。根据这个指标设计的系统, 过渡过程结束快, 而且 其变化也比较平稳。

§2 系统校正
一、基本概念: 系统各项性能指标要求往往互相矛盾,应首先满足主 要性能指标,其他指标采取折衷方案,加上必要校正。 1、定义:在系统中增加新的环节,以改善系统性能。

从频域观点说,校正就是改变系统频率特性曲线的形 状,以改善系统性能。

系统校正分类

2、系统校正分类
(1)串联校正:在前向通道中串联校正环节Gc(s)。 位置:低功率部分。 分为:增益校正, 相位超前校正, 相位滞后校正, 相位超前—滞后校正。 (2)并联校正:校正环节与前向通道Gc(s)的某些环节并联。 分为:反馈校正,复合校正。

无源校正和有源校正
串联校正可以分为无源校正和有源校正。 1、无源校正:包括增益调整、相位超前校正、相位滞后校正 以及相位滞后— 超前校正等四种方式。 特点:结构简单;本身没有放大作用;输入阻抗低,输出 阻抗高。 由于单纯采用增益调整,不能同时保证系统的稳定性和 系统稳态精度都得到改善,往往在提高系统的稳定性的同时, 降低了系统响应的准确性,或者相反。因此,一般不采用单 纯的增益调整。 2、有源校正:一般由运算放大器和电阻、电容组成的反馈网 络联结而成。常称为调节器。 如:P调节器、PD调节器、PI调节器、PID调节器。广 泛应用于工程控制系统,系统控制精度高。

二、相位超前校正
可提高系统相对稳定性和响应速度,但稳态性能改善 不大。 在系统剪切频率ωc附近(或稍大)加入一些超前相角 (使相位裕量增大),使系统有较大增益k又不致影响系统 稳定性。 1、相位超前环节Gc(s): 例:运放组成的PD调节器,R—C电网。

相位超前校正
G c (s) ? U 0 (s) U i (s) ?? ? Ts ? 1
G c ( j? ) ? ? ?
G c ( j? ) ?

? Ts ? 1 jT ? ? 1
1 ? (T ? )
2

? ?

R2 R1 ? R 2

?1

T ? R1C

j? T ? ? 1
1 ? (? T ? )

?

2

? G c ( j ? ) ? ? ? arctgT ? ? arctg ? T ? ? 0

讨论: 1)低频ω→0,G(jω)≈α,相当于比例环节; 中频(ω较小),G(jω)≈α(jωT+1),比例微分环节; 高频ω→∞,G(jω)≈1,不起校正作用; →高通滤波器

相位超前校正
2)φ>0,Gc(jω)相位超前; 3)Gc(jω)是上半圆,圆心:[1/2(1+α),j0], 半径:1/2(1-α) 4)最大相位超前角φm:
sin ? m ? 1?? 2 1?? 2 ? 1?? 1??

α对φm的影响 5)φm所对应的频率ωm:
?? ?? ? ?? G c ( j ? ) ?? ? 0 得

?m ?

1 T

?

相位超前校正
6)相位超前环节的Bode图: ωT1=1/T ωT2=1/αT

可见,φm在对数幅频特性[+20]段存在,将使系统ωc 的增大,且增大ωr、ωb,即加大了系统带宽,加快了系统 响应速度;另外,在ω=ωm处,产生φm,增加了系统相位 裕量。 2、用Bode图进行相位超前校正(略)

三、相位滞后校正
改善稳态性能而基本不影响动态性能。 目的:减少稳态误差,不影响稳定性和快速性。 措施:加大低频段增益 →采用相位滞后环节。 1、相位滞后环节:(R-C网络)
Gc (s) ? U 0 (s) U i (s) ? Ts ? 1

? Ts ? 1

? ?

R1 ? R 2 R2

?1

T ? R 2C

G c ( j? ) ?
G c ( j? ) ?

jT ? ? 1 j? T ? ? 1
1 ? (T ? )
2

1 ? (?T? )

2

? G c ( j ? ) ? ? ? arctgT ? ? arctg ? T ? ? 0

相位滞后校正
讨论:1)低频ω→0,G(jω)≈1, 不起校正作用; 中频(ω较小),
G c (s) ? Ts ? 1

? Ts

比例积分+微分环节;

高频ω→∞, ,比例环节; ? →低通滤波器 2)φ<0,Gc(jω)相位滞后;

G c (s) ?

1

相位滞后校正
3)Gc(jω)是下半圆,圆心:[β+1/β,j0],半径:β-1/2β
sin ?
?? ?? ?
m

?

? ?1 ? ?1
? 0 得

?? G c ( j ? ) ??

?m ?

1 T

?

4)最大相位滞后角φm: 5)φm所对应的频率ωm:

相位滞后校正
6)相位滞后环节的Bode图: ωT1=1/βT ωT2=1/T 7)β和T的取值:

相位滞后环节的根本目的并不是相位滞后,而是使得 大于1/T的高频段的增益全部下降,并且保证在这个频段 的相位变化很小。为此β和T的取值应很大,但具体实现 较困难。 βmax=20 Tmax=7~8,一般选β=10 T=3~5

2、用Bode图进行相位滞后校正
例:Ⅰ型 G ( s ) ?
k s ( s ? 1)( 0 . 5 s ? 1)

设计指标:1)单位恒速输入时,ess=0.2 2) 相位裕量γ=40o, 增益裕量kg(dB)≥10dB 解: a)确定开环增益k k=1/ ess=1/0.2=5 b)画G(s)的Bode图, c)分析G(s)的Bode图,确定β值。(β=10) d)确定T:为使校正前后系统在ωc处相位变化不大,滞后校正环节的转 角频率1/T应低于ωc的5~10倍,一般取5倍。 →T=10 1 ? j? T 1 ? j10 ? e)校正环节为 G c ( j ? ) ? ? 1 ? J ?? t 1 ? j100 ?
f)校正后的开环传递函数 G c ( j ? ) G ( j ? ) ?
5 (10 s ? 1) s (100 s ? 1)( s ? 1)( 0 . 5 s ? 1)

四、相位滞后-超前环节
需同时改善动态特性和稳态性能时使用。 例:R-C网络
G C (s) ? ( R 1 C 1 s ? 1)( R 2 C 2 ? 1) ( R 1 C 1 s ? 1)( R 2 C 2 s ? 1) ? R 1 C 2 s

T1=R1C1 T2=R2C2 R1C1+R2C2+R1C2=T1/β+βT2 (β>1)
G c (s) ? ( ( T 1 s ? 1)( T 2 s ? 1) T1 ? ( 1 ? T1 s ? 1 T1 )( ? T2 s ? 1 )

?

s ? 1)( ? T 2 s ? 1)

?

?

?1

?T2 s ? 1

相位滞后-超前环节
Bode图:

?1 ?

1 T1T 2

对应幅值

G ( j? )

? ?? 1

?

T1 ? T 2 T1 ? T 2 ? T 3

T3 ? R1C 2

可见,0<ω≤ω1 环节起滞后作用; ω1<ω<∞ 环节起超前校正作用

PID 校正
一、PID 控制规律 如图 所示,所谓PID 控制规律,就是一种对偏差信号ε( t )进行比例、积 分和微分变换的控制规律, 即

校正装置的传递函数为 PID校正是常用的有源校正装置。PID 校正相对上节所述的无源 校正环节具有更为广泛的应用范围。

P 调节器
P 调节器的传递函数为。

引入比例校正可以提高系统的开环增益而不影 响其相位。因此在串联校正中,采用比例校正装置 可以提高系统的开环增益,减少稳态误差,提高系 统响应的快速性,但会降低其稳定性,故在系统校 正中很少单独使用。

PD 调节器
PD 调节器的传递函数为

采用PD 调节器可以提高系统的相位裕度,提 高系统的稳定性;增加系统的幅值穿越频率, 提 高系统响应的快速性。但系统的高频增益上升, 抗干扰能力减弱。

PI 调节器
PI 调节器的传递函数为

引入PI 调节器后,系统的型次提高,使系统 的稳态误差得以消除或减少,改善了系统的稳态 性能。但由于校正后系统相位裕度有所下降,所 以系统的稳定性变差,因此,只有原系统的稳定 裕度相当足够大时才被采用。

PID 调节器
PID 调节器的传递函数为

通过选择PID 各部分的参数, 使积分部分发 生在系统频率特性的低频段,以提高系统的稳态 性能;而使微分部分发生在系统频率特性的高频 段, 以改善系统的动态性能。

PID 调节器工程设计方法
在工程上常采用两种最优模型来设计PID 调节器。 1. 二阶系统最优模型 典型二阶系统的开环传递函数为

其开环频率特性Bode 图如图所示。 其闭环传递函数为

当阻尼比ξ=0.707 时, 超调量MP=4.3%,调节时间为ts=6T, 故ξ=0.707的阻尼比成为工程最优阻尼比, 此时转折频率1/T=2ωc, 要保证ξ=0.707并不容易, 通常取0.5≤ ξ ≤0.8 。

PID 调节器工程设计方法
2. 三阶系统最优模型 三阶系统最优模型的开环频率特性 Bode 图如图所示。

由图可见, 这个模型既保证了中频段斜率为-20dB/dec, 又使低频段具有更大的斜率,提高了系统的稳态精度。其性 能比二阶最优模型高。因此工程上常常采用这种模型。 低频斜率大,型次高,稳态精度高。

PID 调节器工程设计方法的步骤

(1) 根据系统的要求, 选择采用何种最优模型; (2) 确定某一控制规律的串联校正装置的形式; (3) 按最优性能的要求, 选择校正装置的参数; (4) 校验。


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