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1 流体运动的基本概念和基本方程


1 流体运动的基本 概念和基本方程
★流体运动的基本概念和基本方程 ☆ 湍流基础 ☆ 扩散理论 ☆ 剪切流中的离散 ☆ 射流基础

本章内容
1 连续介质假设
2 描述流体运动的两种方法 3 流体运动的几个基本概念 4 流体运动的连续性方程

5 流体微团运动
6 势流及速度势函数
14:08 1 流体运动的基本概念和基本方程 2

本 章 内 容 (续)
7 流函数及流网
8 势流叠加原理 9 几个简单的平面势流 10 有涡流动,涡量方程

12 边界层概念与边界层方程

14:08

1 流体运动的基本概念和基本方程

3

1.1 连续介质假设
1.1.1 流体结构与运动特点 1.1.2 研究流体宏观运动的两种途径 1.1.3 连续介质假设的合理性与适用范围

14:08

1 流体运动的基本概念和基本方程

4

1.1.1 流体结构与运动特点
㈠微观上(在时间或空间上), 其结构与运动的不均匀
性、离散性和随机性。
?

流体是大量分子组成。其分子间真空距离远大于分子本 身的尺寸。每个分子均在无休止地做着不规则运动(布 朗运动), 相互之间经常发生碰撞, 交换着动量和能量。

㈡宏观上, 其结构和运动的均匀性、连续性和确定性。
?

人们通过仪器测量或肉眼观察到该特点,而大多数工程 应用问题,也只需了解许多分子的大体或平均影响。

14:08

1.1 连续介质假设

5

1.1.2 研究流体宏观运动的两种途径
?

研究流体宏观运动的两种途径通常有
㈠统计物理法 ㈡解析法

14:08

1.1 连续介质假设

6

㈠统计物理法
——从分子和原子运动出发,采用统计平均方法建立宏观

物理量所满足的方程,并确定流体的性质。采用该方法 可导出热力学三大定律,在气体分子运动论方面,对分 子碰撞作某些简化后可导出正确的宏观方程。但某些分 子输运系数还不能准确导出。至于液体输运方程的理论 迄今为止还不完善。可见,此法直接,但不能为流体力 学提供充分的理论依据。

14:08

1.1.2 研究流体宏观运动的两种途径

7

㈡解析法和连续介质假设
⑴解析法
——以连续介质假设为基础,认为流体质点连续地充满 流体所在空间。流体质点所具有的宏观物理量(如压 力、速度、温度等)满足一切应遵循的物理定律及物 理性质,如牛顿定律,质量守恒定律、能量转换与守 恒定律,热力学定律等,以及扩散、粘性、热传导等 输运性质。但流体的某些物理常数和关系还必须通过 实验确定。

14:08

1.1.2 研究流体宏观运动的两种途径

8

⑵连续介质假设
——认为流体所占有的空间可近似地看作是由“流体质 点”连续无间隙地充满着。

⑶流体质点
——微观上充分大(包括足够多的分子数目等),宏观上 充分小(与所研究对象比较而言)的分子团。

14:08

1.1.2 研究流体宏观运动的两种途径

9

1.1.3 连续介质假设的合理性与适用范围
㈠合理性:事实上,从体积上(或从特征长度)来说,
宏观小微观大,时间的宏观短微观长的条件可以办得 到,如0℃时,1atm下,
?

气体分子数
约2.7×1019/cm3→2.7×1010/(10?9cm3) 分子碰撞次数 约1029/(sec· 3 )→1014/(10?6sec· ?6cm3 ) cm 10

?

14:08

1.1 连续介质假设

10

㈡适用范围:
?

研究导弹和卫星在高空飞行的稀薄气体力学(Rarefied

Gas Mechanics)中,分子间距离远远大于物体的特征尺 寸,分子团就不能看作是“质点”了;
?

激波流动中,激波尺寸与分子自由程同阶,激波内流动

只能看作分子而非连续介质了。

14:08

1.1.3 连续介质假设的合理性与适用范围

11

由此
微观物理量

??? ? ?
统计平均

宏观物理量:

粒子碰撞的动量?压强; 粒子的平均动能?温度; 粒子的平均自由程?密度。

14:08

1.1.3 连续介质假设的合理性与适用范围

12

1.2 描述流体运动的方法
1.2.1 Lagrange法
1.2.2 Euler法(★)

14:08

1 流体运动的基本概念和基本方程

13

1.2.1 Lagrange法
?

Lagrange描述亦称随体(或物质)描述, 其着眼于流体质点, 将流体质点的物理量看作随流体质点及时间变化,即将流 体质点的物理量表示为Lagrange坐标及时间的函数。若以 f表示流体质点的某一物理量,其Lagrange描述的数学表 达为

? f ? f (a, b, c, t ) ? f ( R, t )

?

某一时刻t, 任一流体质点在空间某一位臵的位矢可表示为 ? ? ? ? r ? r (a, b, c, t ) ? r ( R, t ) 其中(a,b,c)作为流体质点的标记(或标识),称这组数(a,b,c) 为Lagrange坐标或随体坐标。

14:08

1.2 描述流体运动的方法

14

同样,流体质点的速度和加速度可以分别表示为 ? ? ?r (a , b, c , t ) v? ?t


? ? ? r ( a , b, c , t ) a? ?t 2
2

14:08

1.2.1 Lagrange法

15

1.2.2 Euler法
?

Euler描述亦称空间描述,它着眼于空间点,认为流体的 物理量随空间点及时间而变化,即它将流体物理量表示为 Euler坐标及时间的函数。由此,流体的各种物理量,诸 如压强、密度、速度等都可以表示为空间变量的函数: ? ? p ? p( r , t ) ? ? ? ? ? ? (r , t ) ? ? ? ?v ? v ( r , t ) ?

?

若以f表示流体的一个物理量,其Euler描述的数学表达为 ? f ? F ( x, y, z , t ) ? F ( r , t )
1.2 描述流体运动的方法 16

14:08

?

由于Euler描述实际上提供了任一物理量的场,如速度场、 压强场等,因此运用场论这个数学工具来研究流体力学成 为很自然的事。因此,在流体力学中,空间描述成为主要 的描述方法。 Lagrange法和Euler法的区别:
?

?

前者以流体质点为着眼点,x,y,z是流体质点标号的运动 坐标; 后者是以空间点为着眼点,x,y,z是不同流体质点通过固 定空间点的坐标。

?

?试比较Lagrange法和Euler法,两种方法及其数 学表达式有何不同?
14:08 1.2.2 Euler法 17

1.3 流体运动的几个基本概念
1.3.1 恒定流动和非恒定流动 1.3.2 流线与迹线 1.3.3 流管、流束和过流断面 1.3.4 流量和平均流速

14:08

1 流体运动的基本概念和基本方程

18

1.3.1 恒定流动和非恒定流动
?

恒定流(Steady Flow)
u ? u( x , y , z ) p ? p( x , y , z )


? ?0 ?t
?

非恒定流(Unsteady Flow)
u ? u( x , y , z , t ) p ? p( x , y , z , t )



? ?0 ?t
1.3 流体运动的几个基本概念 19

14:08

1.3.2 流线与迹线
⑴迹线(Path Line)
——某一流体质点在连续时间内所经过空间各点的连线, 亦即流体质点的运动轨迹。经dt,流体质点由P?Q,其 位移
dx ? u x dt? ? dy ? u y dt ? ? dz ? uz dt ?

由此可以得到迹线微分方程
dx dy dz ? ? ? dt ux u y uz
14:08 1.3 流体运动的几个基本概念 20

⑵流线(Stream Line)
——某时刻速度场中所作的一条曲线,其上各流体质点的 速度方向与该点相切。设某时刻流线上某点A上流速为 ? ? u ? ux , uy , uz , 有一微小位移 dr ? ?dx, dy, dz? , 当B?A ? ? 时, u 与 dr 重合, 则 ? ? u ? dr ? 0

?

?

即有
dx dy dz ? ? ux u y uz

——流线微分方程
14:08 1.3.2 流线与迹线 21

突扩管内流动

绕流

⑶流线的性质
? ? ?

恒定流中,流体质点的迹线与流线重合;

流线不能相交,不能转折(但驻点与奇点除外);
流线为某时刻无数质点方向的描述,而迹线为相继时间 内某一流体质点运动的组合。
1.3.2 流线与迹线 22

14:08

驻 点

奇点(源)

奇点(汇)

14:08

1.3.2 流线与迹线

23

1.3.3 流管、流束和过流断面
⑴流面(Stream Surface)
——经过流场中任一(不与流线重合的)线段上的无数流线 所组成的曲面。

⑵流管(Stream Tube)
——由经过流场中任一(不与流线重合的)封闭曲线上的无 数流线所组成的管状曲面。

⑶流束(Stream Beam)
——流管中全部流体(亦即流管内流线的总和)。

14:08

1.3 流体运动的几个基本概念

24

⑷过流断面(Cross Section)
——与流束各流线相互垂直的横断面,或者说,垂直于流 束各点速度方向的曲面。

流面
14:08 1.3.3 流管、流束和过流断面

流管
25

1.3.4 流量和平均流速
⑴流量(Flow Rate)
——单位时间内流过某一过流断面上流体量。有体积流量、 质量流量和重量流量等。
dQ ? dV ? udA dt

积分,得
Q ? ? dQ ? ? udA
A A

14:08

1.3 流体运动的几个基本概念

26

⑵平均流速(Mean Velocity)
——实际流动中,流–固、流–流间存在着附着力、黏性力 等作用,使总流过流断面上各点流速不均匀。为方便计 算,引入一假想速度——平均流速,即按此流速流经已 知过流断面上的流量与实际流量相等,表示为
Q ? vA ? ? udA
A

由此得

? udA v?
A

A

14:08

1.3.4 流量和平均流速

27

1.4 流体运动的连续性方程
1.4.1 流体运动的连续性微分方程
1.4.2 连续性方程

14:08

1 流体运动的基本概念和基本方程

28

1.4.1 流体运动的连续性微分方程
质量守恒定律 ? 连续性微分方程
dm ?0 dt
?

对于流体中任一微元六面体, 可叙述为: 流出六面体流体质量≡它的质量减少量 条件:不可压缩流体,即? = const.。
1.4 流体运动的连续性方程 29

?

14:08

z
d?

?u dz ? ? ? uz ? z ? rd?dr ?z 2 ? ?

?

r

dr

?u d? ? ? ? u? ? ? ?drdz ?? 2 ? ?

?u dr ?? dr ? ? ? ur ? r ?? r ? ?d?dz ?r 2 ?? 2? ?

dz

C(r,?,z)

·
?u d? ? ? ? u? ? ? ?drdz ?? 2 ? ?

?u dr ?? dr ? ? ? ur ? r ?? r ? ?d?dz ?r 2 ?? 2? ?

?u dz ? ? ? uz ? z ? rd?dr ?z 2 ? ?
14:08 1.4.1 流体运动的连续性微分方程 30

⑴柱坐标系中的连续性微分方程
?

质量流出量 设C(r,?,z)点的速度为(ur,u?,uz),由泰勒级
数展开,可得到各表面上的流速,如r方向
?ur ?ur dr ? ? uin ? ur ? ?r ( rin ? r ) ? ur ? ?r 2 ? ? ? u ? u ? ?ur ( r ? r ) ? u ? ?ur dr r ex r ? ex ?r ?r 2 ?

dt内, r方向表面的质量变化为
?ur dr dr ? ?M inflow ? ( ur ? ?r 2 )(r ? 2 )d?dz?dt ? ? ?u dr dr ?M ? ( ur ? r )(r ? )d?dz?dt ? outflow ?r 2 2 ?
14:08 1.4.1 流体运动的连续性微分方程 31

dt内,r向的质量流出量为
?M r ? M outflow - M inflow ? ?ur ? ( ur dr ? r dr )d?dz?dt ?r

? ( rur ) drd?dz?dt ?r

同样地,可得其它方向的质量流出量为
?u? ?M ? ? drd?dz?dt ?? ?u z ?M z ? rdrd?dz?dt ?z

根据质量守恒定律,该微元体质量总流出量应为该流体 微元内流体的总减少量,即有
14:08 1.4.1 流体运动的连续性微分方程 32

?? ? ? (rur ) ?u? ?uz ? ?M ? ? ? ? ? rdrd?dz?dt ? ? ?t rdrd?dzdt r?? ?z ? ? r?r

对于不可压缩流体,?=const.,上式右端应为零。且各 项同除以rdrd?dzdt,得
? ( rur ) ?u? ?uz ? ? ?0 r?r r?? ?z

——不可压缩流体的连续性微分方程

14:08

1.4.1 流体运动的连续性微分方程

33

⑵直角坐标系中的连续性微分方程
同前推导过程,可以推导出下列形式
?ux ?u y ?uz ? ? ?0 ?x ?y ?z


? divu ? 0

14:08

1.4.1 流体运动的连续性微分方程

34

1.4.2 连续性方程
?

流场中任取一元流,dt时间内其质量增量应为零,即
dM ? ( ? 2 u2dA2 ? ?1u1dA1 )dt ? 0
?1=?2=?=const.

u1dA1 ? u2dA2

——一元流连续性微分方程

14:08

1.4 流体运动的连续性方程

35

u1dA1 ? u2dA2
对于总流,积分

?

A1

u1dA ? ? u2dA ? Q
A2

用平均流速概念

v1 A1 ? v2 A2

总流连续性方程
vA ? const.
1 A
1.4.2 连续性方程 36

v?
14:08

1.5 流体微团运动
1.5.1 流体微团运动的速度分解定理
1.5.2 亥姆霍兹速度分解定理的意义

14:08

1 流体运动的基本概念和基本方程

37

1.5.1 流体微团运动的速度分解定理
A(x,y,z)点流速为
?ux ( x, y, z ) ? ?u y ( x, y, z ) ? ? uz ( x , y , z )

B(x+dx,y+dy,z+dz) A(x,y,z)

B(x+dx,y+dy,z+dz)点流速为
?u ?u ?u ? uBx ? u x ? x dx ? x dy ? x dz ? ?x ?y ?z ? ?u y ?u y ?u y ? dx ? dy ? dz ? uBy ? u y ? ?x ?y ?z ? ? ?u ?u ?u uBz ? uz ? z dx ? z dy ? z dz ? ?x ?y ?z ?
14:08 1.5 流体微团运动 38

第一式右端 ?

1 ?u y 1 ?uz dy ? dz 2 ?x 2 ?x

?u ? ?u x 1 ? ?u x ?u y ? 1 ? ?u ?dy ? ? x ? z ?dz uBx ? u x ? dx ? ? ? ?x 2 ? ?y ?x ? 2 ? ?z ?x ? ? ? ?u ? 1 ? ?u y ?u x ? 1 ? ?u ?dy ? ? x ? z ?dz ? ? ? 2 ? ?x ?y ? 2 ? ?z ?x ? ? ? ?u y ?u ? 1 ? ?u y ?uz ? 1 ? ?u ? ?dz ? ? y ? x ?dx dy ? ? ? 类似地, uBy ? u y ? ?y 2 ? ?z ?y ? 2 ? ?x ?y ? ? ? ?
1 ? ?uz ?u y ? 1 ? ?u y ?u x ? ? ? ? ?y ? ?z ?dz ? 2 ? ?x ? ?y ?dx ? ? ? 2? ? ? ? ?u z 1 ? ?u z ?u x ? 1 ? ?u z ?u y ? uBz ? uz ? dz ? ? ? ?dx ? ? ? ?y ? ?z ?dy ? ?z 2 ? ?x ?z ? 2? ? ?u ? 1 ? ?u 1 ? ? u ?u y ? ?dy ? ? x ? z ?dx ? ? z ? ? ?y 2 ? ?z ?x ? 2? ?z ? ?
14:08 1.5.1 流体微团运动的速度分解定理 39

引入符号

?u x 1 ? ?u z ?u y ? 1 ? ?u ?u ? ? ?, ? x ? ? z ? y ? ?x ? , ?x ? ? ? ?x 2 ? ?y ?z ? 2 ? ?y ?z ? ? ? ? ?u ?u ? ?u ? 1 ? ?u 1 ? ?u ? y ? y , ? y ? ? x ? z ?, ? y ? ? x ? z ? ?y 2 ? ?z ?x ? 2 ? ?z ?x ? ?u ?u ? ?u ? 1 ? ?u 1 ? ?u ? z ? z , ? z ? ? y ? x ?, ? z ? ? y ? x ? ?z 2 ? ?x ?y ? 2 ? ?x ?y ? ? ? ? ?

?uBx ? ux ? ? x dx ? ? z dy ? ? y dz ? ? z dy ? ? y dz ? ?uBy ? u y ? ? y dy ? ? x dz ? ? z dx ? ? x dz ? ? z dx ? ?uBz ? uz ? ? z dz ? ? y dx ? ? x dy ? ? y dx ? ? x dy
——亥姆霍兹速度分解定理

14:08

1.5.1 流体微团运动的速度分解定理

40

1.5.2 亥姆霍兹速度分解定理的意义
D2
d?

d?

d?
2

14:08

1.5 流体微团运动

41

?

各方向速度分量列表如下: 点 A B C D x方向速度分量 y方向速度分量

ux
?u x ux ? dy ?y ?u x ux ? dx ?x ?ux ?ux ux ? dx ? dy ?x ?y
uy ?

uy
?u y ?y dy

uy ?

?u y ?x

dx

uy ?

?u y ?x

dx ?

?u y ?y

dy

㈠平移运动 各点均含ux、uy ,即经过dt,ABCD→A1B1C1D1。
14:08 1.5.2 亥姆霍兹速度分解定理的意义 42

㈡变形运动
⑴线变形
?ux dx,即经过dt,边长AC C点沿x方向分速度比A点快 ?x ?ux dxdt,即由A1C1 成为A1C2,以单位时 在x方向要拉长 ?x

间单位长度表示为 ?ux ?ux ?x ? dx dt dxdt ? ?x ?x ?u y ?u y 同理 ?y ? dx dt dxdt ? ?y ?y 其中?x、 ?y分别称为微团在x、y方向的线变形 或线变率 (rate of linear deformation)。微团由ABCD→A1B2C2D2。
14:08 1.5.2 亥姆霍兹速度分解定理的意义 43

⑵角变形

在y方向C点在分速度比A点快

?u y ?x

dx,即经过dt,AC

(即A1C2)逆时针偏转d?角。同理, 在x方向B点比A点快
?u x dy ,即经过dt,AB(A1B2)顺时针偏转d?角。考虑 ?y

到d?、d?均是很小的量,则

d? ? tand? ?

??u

y

?x dxdt

?

dx ? (?ux ?x )dxdt
略去二阶微量

d? ?

?u y ?x

dt

14:08

1.5.2 亥姆霍兹速度分解定理的意义

44

同理,

d? ?

?u x dt ?y

经过dt时间,矩形ABCD的角度变化为
? ?u y ?u x ? d? ? d? ? ? ? ?x ? ?y ?dt ? ? ? d ?? ? ? ? ? ?u y ?ux ? ?? ? ?x ? ?y ? ? 2? z ? dt ? ?



1 ? ?u y ?u x ? ?z ? ? ? ?x ? ?y ? ? 2? ?

——微团在xOy平面上的角变形(rate of angular)亦称 绕z轴的剪切角速度(shear angular velocity)。 同理,可以写出?x、?y。
14:08 1.5.2 亥姆霍兹速度分解定理的意义 45

㈢旋转运动 一般地, d??d?, 流体微团在xOy平面上除产生剪切变形外, 还要绕z轴的旋转。∠B1A1C1等分角线A1D1,经过dt时间转 到B'A1C'的角等分线A1E,扫过的角度为
d? ? 1 1 (?B ' A1C ? ? ?B1 A1C1 ) ? d? ? ?90? ? (d? ? d? ) ? 90?? ? d? 2 2 1 1 ? ?u y ?ux ? ? (d? ? d? ) ? ? ? ?x ? ?y ?dt ? 2 2? ?

d? 1 ? ?u y ?ux ? ? ? ? ?x ? ?y ? ? ? z ? dt 2 ? ?

——流体微团绕z轴的旋转角速度(angular velocity)。同理, 可得?x、?y。
14:08 1.5.2 亥姆霍兹速度分解定理的意义 46

?

从以上分析可知,流体微团运动速度包括

平移速度
线变形和角变形引起的速度增量

转动引起的速度增量
即流体微团运动包括 平移运动

线变形与角变形运动
旋转运动

14:08

1.5.2 亥姆霍兹速度分解定理的意义

47

1.6 势流及速度势函数
㈠势流(Potential flow)
——流场中流体微团若不存在绕自身旋转的流动, 即处处 ? ? ? 0 ,称为势流或无旋流动(Irrotational flow)。否则, 称为有旋流动(Rotational flow)或旋涡流动(Vortex flow)。 ㈡速度势函数(velocity potential) ⑴势流的流速场应满足下列条件:
? i ? ? ?? ?x ux ? j ? ?y uy ? k ? ?u z ?u y ? ?? ? ?z ? ?y ?z uz ?u x ?u z ? ?z ?x ?u y ?u x ? ? ??0 ?x ?y ?

由高数知, 上式是存在某一函数?(x,y,z)全微分的充要条件。
14:08 1 流体运动的基本概念和基本方程 48

⑵确定速度势函数 无旋是存在某一函数?(x,y,z)全微分的充要条件,且必然 存在下列关系
d? ? ux dx ? uy dy ? uz dz

?称为速度势函数(velocity potential),简称速度势。存 在速度势函数?的流动为有势流动,简称势流。据全微
分理论,应有
?? ?? ?? d? ? dx ? dy ? dz ?x ?y ?z

比较上两式,有
?? ?? ?? ux ? , uy ? , uz ? ?x ?y ?z
14:08 1.6 势流及速度势函数 49

⑶用矢量形式
? ?? ? ?? ? ?? ? u? i? j? k ? ?? ?x ?y ?z

⑷圆柱坐标系中
?? ?? ?? ur ? , u? ? , uz ? ?r r?? ?z

㈢拉普拉斯方程(Laplace’s equation)
?

对于不可压流体,连续性方程可写成
? 2? ? 2? ? 2? ? 2 ? 2 ?0 2 ?x ?y ?z

——拉普拉斯方程。满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数 (Harmonic function)。求解势函数,就归结于求解拉普拉 斯方程。
14:08 1.6 势流及速度势函数 50

1.7 流函数及流网
㈠流函数(Stream function) ——流线的函数。所有的流场都应有流线,亦即都应存在 着流函数。
?

势函数只有在无旋流动中存在,故流函数比势函数更具 普遍性,是研究流场的重要工具。

14:08

1 流体运动的基本概念和基本方程

51

㈡确定流函数
?

平面流动中,流线微分方程为
dx dy ? ux u y



ux dy ? uy dx ? 0

在不可压缩流体平面流动中,应满足
?ux ?u y ? ?0 ?x ?y ?ux ? (? u y ) ? ?x ?y



由高数可知,上述连续性方程是(-uydx+uxdy)成为某 函数?全微分的充要条件,则有
14:08 1.7 流函数及流网 52

?? ?? d? ? dx ? dy ? ? u y dx ? ux dy ?x ?y


?

?? ?? ? ?uy , ? ux ?x ?y
d? ? ux dy ? uy dx ? 0
积分



? ? ? ux dy ? u y dx ? const .
表明,?(x,y)=const.的曲线即为流线,由此可得到流 线簇。等流函数线亦即流线。
?

极坐标系中,
?? ?? ? ? u? , ? ur ?r r??

14:08

1.7 流函数及流网

53

?



?? ?? d? ? dx ? dy ? ? u y dx ? ux dy ?x ?y

1 ?u y ?ux ? )?0 及平面势流中, ? z ? ( 2 ?x ?y
? 2? ? 2? ? 2 ?0 2 ?x ?y

即流函数满足拉普拉斯方程,也是调和函数。
?

对于不可压平面有旋流动,有
? 2? ? 2? ? 2 ? ?2? z 2 ?x ?y

14:08

1.7 流函数及流网

54

㈢等势线和流线的关系 对比势函数与流函数之间的关系
?? ?? ux ? ? ?x ?y ?? ?? uy ? ?? ?y ?x
两者交叉相乘

?

?? ?? ?? ?? ? ?x ?x ?y ?y



?? ?x ? ? ?? ?y

?? ?y ?? ?x
55

14:08

1.7 流函数及流网

?? ?x ? ? ?? ?y
?? ?? dx ? dy ? 0 ?x ?y

?? ?y ?? ?x
?? ?? dx ? dy ? 0 ?x ?y

?? dy ? ? ?x ?? dx ?y

?? dy ? ? ?x ?? dx ?y

1 ? dy ? ?? ? ? ? dy ? ? dx ?? ? c1 ? ? ? dx ?? ?c2

即在平面势流中,等势线⊥流线。
14:08 1.7 流函数及流网 56

㈣流网(flow net)
——利用等势线与流线相互正交的性质,在平面上由等势 线簇和流线簇组成的正交网格。如
?

对?(x,y)=C2的C2~?1, ?1+??, ?1+2??, ……, 绘入流场, 得出一系列流线, 即流线簇; 再对?(x,y)=C1的C1~?1, ?1+??, ?1+2??, ……, 绘入同一

?

流场, 得出一系列等势线, 即等势线簇。
?

这两簇等差的等值函数线相互正交,组成了流网。

14:08

1.7 流函数及流网

57

闸门下出流的流网

14:08

1.7 流函数及流网

58

㈤流网的性质
? ?

组成流网的流线与等势线互相垂直; 相邻两流线的流函数之差等于该两流线间的单宽流量, 即流线簇不仅能表征流场的流速方向,也能表征流速的 大小。

?

流网中每一网格的相邻边长维持一定的比例(证略)。

14:08

1.7 流函数及流网

59

1.8 势流叠加原理
?

势流叠加后的流动仍然是势流
?

平面势流问题就归结于在具体的边界条件下求解势函数 或流函数所满足的拉普拉斯方程。拉普拉斯方程是线性

的,故几个势函数或流函数的线性叠加仍然能满足拉普 拉斯方程,即几个势流叠加后的流动仍然是势流。(证 略)

14:08

1 流体运动的基本概念和基本方程

60

?

势流叠加后的流速等于每个势流流速之矢量和
将?对x取偏导数,得

?? ??1 ?? 2 ? ? ?? ?x ?x ?x


ux ? ux1 ? ux2 ? ?
同理,

uy ? uy1 ? uy2 ? ?

14:08

1.8 势流叠加原理

61

1.9 几个简单的平面势流
㈠均匀直线流动
?

整个流场中速度为 u∞且与x轴夹角为?, 其速度分量为
? u x ? u? cos ? ? ? u y ? u? sin ?
u∞ uy ux

14:08

1 流体运动的基本概念和基本方程

62

?

则其势函数为
? ? ? d? ? ? u x dx ? u y dy
? ? u? cos?dx ? u? sin?dy ? xu? cos? ? yu? sin?

?

流函数为
? ? ? d? ? ? ux dy ? u y dx
? ? xu? sin? ? yu? cos?

14:08

1.9 几个简单的平面势流

63

?

当流动平行y轴,?= ?/2,ux= 0,则
?? ? u? y ? ?? ? ? u? x

?

当流动平行x轴,?= 0,uy= 0,则

?? ? u? x ? ?? ? u? y
?

采用极坐标时,上式可写成

?? ? ar cos? ? ?? ? ar sin?
14:08 1.9 几个简单的平面势流 64

㈡源流和汇流
⑴流体通过O点垂直于平面 沿极半径r均匀地四散流出,

称其为源流。O点为源点。 垂直单位长度流量为Q称 为源流强度。由连续性方 程可得
Q ? ? ur ? 2?r ? ? u? ? 0 ?

14:08

1.9 几个简单的平面势流

65

?

其势函数和流函数分别为
Q Q ? ? ? ur dr ? ? u? rd? ? ? dr ? ? 0 ? rd? ? ln r 2?r 2?

Q Q ? ? ? ur rd? ? ? u? dr ? ? d? ? ? 0 ? dr ? ? 2? 2?
?

直角坐标系下
Q ? ?? ln x2 ? y2 ? ? 2? ? ?? ? Q arctan y ? 2? x ?

——源流流线为从源点向外射出的射线,而等势线则为

同心圆周簇。
14:08 1.9 几个简单的平面势流 66

⑵当流体反向流动,即流体从四方向某点汇合则称其为汇

流。汇流流量称为汇流强度,其流函数和势函数分别为
Q ? ?? ? ? 2? l n r ? ? ?? ? ? Q ? ? 2? ?

及直角坐标系下,
Q ? ??? ln x 2 ? y 2 ? ? 2? ? ?? ? ? Q arctan y ? 2? x ?

14:08

1.9 几个简单的平面势流

67

㈢环流
⑴流场中各流体质点均绕 c O点以辐向流速 u? ? r 作圆周运动,因而流线 为同心圆簇,而等势线

则为O发出的射线簇,
这称为环流。则
? ? ?? ? ? 2? ln r ? ? ?? ? ? ? ? 2? ?

——源流的流函数 环流势函数, Q
14:08 1.9 几个简单的平面势流

?, 并考虑流动方向。
68

⑵速度环量通常是对封闭周边写出的,在环流的情况下,是 沿某一流线写出的速度环量称为环量强度:
Γ ? ? u? rd? ? 2?ru? ? const.
0 2?

⑶环流速度为

? ur ? 0 ? ? ?? Γ ? u? ? r?? ? 2?r ?

1 由此, ? ? ,O点为奇点。 u r
注意:环流为圆周流动,而非有旋流动。这是因为除原 点以外,各流体质点均无旋转角速度。
14:08 1.9 几个简单的平面势流 69

㈣直角内的流动
设其速度势为

? ? a( x 2 ? y 2 )
则其速度分量为
?? ? ? 2ax ?ux ? ?x ? ?u y ? ?2ay ?

流函数为

? ? ? 2axdy ? 2aydx ? 2axy
这是双曲线族,且
14:08 1.9 几个简单的平面势流 70

?

>0, x、y同号, 流线在一、三象限; =0, x=y=0, 坐标轴就是流线,称为零流线, O为驻点; <0, x、y异号, 流线在二、四象限。

由?=a(x2-y2)可以看出,在y=0的轴上,|x|↑~?↑。 说明流动方向是沿x轴向外(如上图)。 其极坐标的表达式为
?? ? 2ar 2 sin? cos? ? ar 2 sin2? ? ? ? ar 2 (cos2 ? ? sin2 ? ) ? ar 2 cos 2? ?

14:08

1.9 几个简单的平面势流

71

当转角角度为?,其流函数和势函数分别为
? ?? ? ? ?? ? ar sin ? ? ? ? ?? ? ar ? cos ? ? ? ? ? 其中零流线为?=0和?=?,相当于转角的固体壁面线。

?=45°和?=225°时的流线形状图
14:08 1.9 几个简单的平面势流 72

? ?? ? ? ? 1 ?? 由于?=225? >180? ,在 ur ? ? ar cos 中, r的 ?r ? ? π ?1 ? α 指数 ? 1 为负值, 则在转角点r→0处, ? ? , ur ? ? , r ?

显然不可能。故实际上在转角处出现流动分离, 分离后形 旋涡。

14:08

1.9 几个简单的平面势流

73

1.10 有涡流动,涡量方程
1.10.1 涡线、涡量和速度环量

1.10.2 涡量方程

14:08

1 流体运动的基本概念和基本方程

74

1.10.1 涡线、涡量和速度环量
A. 有涡流动
? ? ——流场中某一区域内,当其涡量 ? ? rotv ? 0 时,称该

区域的流动为有涡流动,亦称有旋流动。其中涡量
? i ? ? ? ? ? ??v ? ?x ux ? j ? ?y uy ? k ? ?z uz

? ? u z ?u y ? ? ? ? u x ? u z ? ? ? ?u y ?u x ? ? ?? ? ?y ? ? z ? i ? ? ? z ? ?x ? j ? ? ? x ? ?y ? k ? ? ? ? ? ? ? ? ?

14:08

1.10 有涡流动,涡量方程

75

B. 涡线
——对于同一时刻,其上任一点切线方向与该点流体涡量 方向一致的曲线。涡线微分方程为 ? ? Ω ? dl ? 0 即 C. 涡面 ——同一时刻,通过某一不与涡线重合的曲线上点的涡 线所组成的曲面。 D. 涡管
dx dy dz ? ? ? x ? y ?z

——同一时刻,通过某一不与涡线重合的封闭曲线上点 的涡线所组成的管状曲面。
14:08 1.10.1 涡线、涡量和速度环量 76

E. 涡通量

? ? ——流场中某一曲面A上涡通量为 J ? ?? Ω ? ndA。
A

F. 涡管强度

——某时刻通过流场中涡管的任横截面A的涡通量。涡管 强度与横截面A的取法无关。
G. 速度环量 ——某时刻速度沿流场中某一封闭曲线L的线积分 ? ? Γ ? ? v ? ds。逆时针为“+”。且有
s

? ? ? ? ? ? Γ ? ? v ? dl ? ?? ? ? v ? ndA ? ?? ? ? ndA ? J
L A A


14:08

dΓ Ωn ? dA
1.10.1 涡线、涡量和速度环量 77

H. 涡管强度守恒定理 在同一时刻同一涡管的各个截面上的涡通量均相同, 亦 即涡管强度守恒, 与截面的选取无关。
?

说明: ①同一涡管, 截面积与涡量或流体旋转角速度成反比; ②涡管截面积不可能收缩为零, 即涡管不能在流体中产 生或终止, 只能在流体中形成环形涡环, 或始于、终于 边界, 或伸展至无穷远。

14:08

1.10.1 涡线、涡量和速度环量

78

1.10.2 涡量方程
?

环境中较简单的旋涡运动有水中的立轴旋涡和大气中的龙 卷风等。这些单个或几个孤立的旋涡较易分析。复杂的有 涡流动原则上可从粘性流体运动基本方程组求解,这些方 程是以流速作为基本变量,用流速分布来描述运动的。 另外有以涡量作为基本变量,用涡量分布来描述有涡流动 的方程,称为涡量方程。 在此只讨论不可压缩流体的情况。

?

?

14:08

1.10 有涡流动,涡量方程

79

A. 涡量的连续性方程
对涡量
? Ω ? Ωx ? i ? Ωz ? ?x ux ? j ? ?y uy ? k ? ?z uz

?

Ωy

?

取散度,有
? ?Ω x ? Ω y ?Ω z ??Ω ? ? ? ?x ?y ?z
2 2 ? 2 uz ? u y ? 2 u x ? 2 uz ? u y ? 2 u x ? ? ? ? ? ? ?0 ?y?x ?z?x ?z?y ?x?y ?x?z ?y?z

——对于不可压缩流体,以涡量表示的连续性方程与以速度 表示的连续性方程有相同形式。
14:08 1.10.2 涡量方程 80

B. 涡量的运动方程
不考虑质量力时,不可压缩流体的N–S方程为

? ? ? Du ?u ? 1 2? ? ? ( u ? ? )u ? ? ?p ? ?? u Dt ?t ?
经推导,消去压力项,可得出以涡量形式表示的运动方 程为

? ? ? ? ? ? 2? DΩ ?Ω ? ? ? ( u ? ? ) Ω ? ( Ω ? ? )u ? u? Ω Dt ?t
涡量与流体变形的相互 作用而引起的涡量变化

14:08

1.10.2 涡量方程

81

1.11 边界层概念与边界层方程
1.11.1 低雷诺数与高雷诺数的流动
1.11.2 边界层概念 1.11.3 边界层微分方程 1.11.4 边界层动量积分方程

14:08

1 流体运动的基本概念和基本方程

82

1.11.1 低雷诺数与高雷诺数的流动
?

先讨论低雷诺数流动与高雷诺数流动的差别。方便起见, 使用不可压缩流体定常流动且不考虑质量力作用的粘性流 体运动方程
? ? ? 1 ( u ? ? )u ? ? ?p ? ?? 2 u

? 采用特征量L、U,各变量的相应无量纲量为 uy ux x y p ? ? x? ? y? ? ux ? uy ? p? ? L L U U ?U 2 无量纲的运动方程为
? ? ? 1 ( u ? ? )? u? ? ?(?p)? ? (? 2 u)? Re
14:08 1.11 边界层概念与边界层方程 83

A. 低雷诺数的流动??蠕动
? ? 1 2? ( u ? ? )? u? ? ?(?p)? ? (? u)? Re
Re??1时,粘性力项??惯性力项, 忽略后者

1 2? ? (?p)? ? (? u)? ? 0 Re
恢复为有量纲式

? ?p ? ?? u
2

即压力差与粘性力平衡,这类流动称为蠕动。其流动中 粘性力影响可至相当大的距离。
14:08 1.11.1 低雷诺数与高雷诺数的流动 84

B. 高雷诺数的流动
? ? 1 2? ( u ? ? )? u? ? ?(?p)? ? (? u)? Re
Re很大时, 粘性力项??惯性力项, 忽略前者

? ? (u ? ?)?u? ? ?(?p)?
恢复有量纲形式

? ? 1 ( u ? ? )u ? ? ? p

?

这是理想流体的运动方程,即在高雷诺数的条件下,实 际流体的运动可近似地按理想流体来分析。
14:08 1.11.1 低雷诺数与高雷诺数的流动 85

1.11.2 边界层概念
①边界层概念
?

高Re情况下,流体运动方程可近似地按理想势流处理, 这样导致固体边界上有u?0,即可以有滑动。但实际情 况下,无论Re多么大,实验观测证实,物面上无滑动的 边界条件u=0始终存在,故两者矛盾。

14:08

1.11 边界层概念与边界层方程

86

?

1904年普朗特提出边界层理论解决了这个矛盾。他根据 高Re的特点,设想:流动可以分成两个区域来研究,在 固壁附近的薄层内,须考虑粘性的影响,称该薄层为边 界层。而在边界层以外区域,则可以看作是理想流体流 动区域。正是由于粘性力作用被限制在一薄层内,粘性 流体动力学方程可大大简化。

边界层的概念
14:08 1.11.2 边界层概念 87

②边界层的形成及其性质
U?

U?
层流边界层

U?

湍流边界层

14:08

1.11.2 边界层概念

88

?

边界层的转化(捩)
——边界层由层流转变为湍流的现象。
?

边界层转化大致发生的位臵

Re xk ?

U ? xk

?

? ( 3.5 ~ 5.0) ? 105

xk—层流转变为湍流点到平板前缘间的距离。
?

若参考长度取流态转化点的边界层厚度?k,则

Re? k ? 3000~ 3500

14:08

1.11.2 边界层概念

89

说明:普朗特的边界层概念与理论最初是根据不可压缩流
体沿固壁作层流运动提出的,以后得到极大发展和广泛应 用。
?
? ? ?

首先,被推广至湍流,出现了湍流边界层。
其次,被应用于自由剪切流,如射流、尾流等。 上世纪30年代以后被用来研究可压缩粘性流体的运动。 更为重要的是动量、热量与质量输运现象是很相似的, 边界层的概念与理论目前已成为研究流体三种输运现象

的强有力工具。

14:08

1.11.2 边界层概念

90

1.11.3 边界层微分方程
?

不可压缩粘性流体定常平面流动,不计质量力作用时,运 动基本方程为
? ? 2 ux ? 2 ux ? ?ux ?ux 1 ?p ux ? uy ?? ?? ? ? ?x 2 ? ?y 2 ? ? ?x ?y ? ?x ? ? ? ? 2uy ? 2uy ? ?u y ?u y 1 ?p ? ux ? uy ?? ?? ? ? 2 2 ? ? ?x ?x ?y ? ?y ?y ? ?
?ux ?u y ? ?0 ?x ?y

14:08

1.11 边界层概念与边界层方程

91

?

由边界层内流动特点知, ?<<L, 流动尺度上y<<x, 流速分量 上uy<<ux, 逐个分析比较方程中各项的量级, 忽略小量的项 后, 可得不可压缩定常平面流动的边界层方程组为
?ux ?ux ? 2 ux 1 ?p ux ? uy ?? ?? ?x ?y ? ?x ?x 2 ?p ?0 ?y
?ux ?u y ? ?0 ?x ?y

14:08

1.11.3 边界层微分方程

92

?

从第二个式子可见边界层内法向压强基本不变,它等于

边界层外在边界上的压强pe,亦即可用势流区的计算结 果,边界层中的压强成为已知量,方程组第一式和第三 式就只有ux、uy两个未知量了。
?

对于非定常流动,只需在方程第一式左边增加 ?u x 项即
?t

可。

14:08

1.11.3 边界层微分方程

93

1.11.4 边界层动量积分方程
?

绕流物体的阻力作用,主要表现在附面层内流速降低,引 起动量变化。可通过分析阻力和附面层动量变化的关系, 导出附面层的动量方程。

Ⅰ. 取坐标系(如图):

14:08

1.11 边界层概念与边界层方程

94

Ⅱ. 在附面层内取微分控制体ABDCA,将其放大,x轴便
成为一直线(如图)。微段BD长为dx,AC为附面层外边 界。AB、CD垂直于物体表面。

Ⅲ. 假设:
?
? ?

不计质量力;
流动为恒定的平面流动; dx无限小。

14:08

1.11.4 边界层动量积分方程

95

Ⅳ. 附面层动量方程
根据动量定理

K CD ? K AB ? K AC ? Fx
合外力在x轴向投影 单位时间内通过AC流体动量在x轴向投影

单位时间内通过AB流体动量在x轴向投影
单位时间内通过CD流体动量在x轴向投影

14:08

1.11.4 边界层动量积分方程

96

?

取垂直于幕面宽度为1, 通过AB、CD和AC的质量流 量分别为
?QAB ? ? ?ux dy
0

?

?QCD

? ? ( ?Q AB ) ? ? ? ? ?Q AB ? dx ? ? ?ux dy ? ? ? ?ux dy ?dx ? 0 ? ?x ?x ? 0

?Q AC ? ?QCD ? ?Q AB

? ? ? ? ? ?0 ?u x dy ?dx ? ? ? ?x

14:08

1.11.4 边界层动量积分方程

97

?

通过AB、CD和AC的动量流量分别为
2 K AB ? ? ?ux dy 0

?

K CD

? ?K AB ? ? ? 2 ? 2 ? K AB ? dx ? ? ?ux dy ? ? ?0 ?ux dy ?dx 0 ? ?x ?x ?

K AC

? ? ? ? ?Q AC U ? U ? ?0 ?u x dy ?dx ? ? ?x ?

附面层外边界上速度在x轴上的投影

14:08

1.11.4 边界层动量积分方程

98

?

表面力Px
PAB ? p?
PCD ?PAB ?p ? ? ? PAB ? dx ? ? p ? dx ??? ? d? ? ?x ?x ? ?
PAC 1 ?p ? ? ? ? p? dx ?d? 2 ?x ? ?
?, 忽略高阶小量

TAC ? ? 0dx
?p ? 1 ?p ? ? ? Px ? p? ? ? p ? dx ?(? ? d? ) ? ? p ? dx ?d? ? ? 0 dx ?x ? 2 ?x ? ? ? ?p ? ? dx? ? ? 0 dx ?x
14:08 1.11.4 边界层动量积分方程 99

附面层动量方程为
d ? 2 d ? dp ?0 ?ux dy ? U dx ?0 ?ux dy ? ?? dx ? ? 0 dx
这是“动量积分”方程。要解它,还须解决:
dp ? 用理想流体的势流理论求出 和U; dx

? 假定附面层内的速度分布: ux=f1(y); ? 确定?0与?的关系:?0=f2(y),可根据附面层内的速度 分布求得。

14:08

1.11.4 边界层动量积分方程

100



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