当前位置:首页 >> 数学 >>

文科圆锥曲线专题练习及答案


文科圆锥曲线 1.设 F1F2 是椭圆 E :

x2 y 2 3a ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, ?F2 PF 1 是底角为 30 的等腰三 2 2 a b
角形,则 E 的离心率为( )

( A)

1 2

( B)

2 3

(C )

? ?

(D)

? ?
想,是简单题. ∴ 2c ?

【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 0 【解析】∵△ F2 PF 1 是底角为 30 的等腰三角形, ∴ ?PF2 A ? 600 , | PF2 |?| F1F2 |? 2c ,∴ | AF2 | = c ,

3 3 a ,∴ e = , 2 4

2.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 2 ? 16x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的 实轴长为( )

( A)

2

( B) 2 2

(C ) ?

(D) ?
2 2 2

【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系,是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为: x ? 4 ,设等轴双曲线方程为: x ? y ? a ,将 x ? 4 代入等轴双曲线方程解 得 y = ? 16 ? a2 ,∵ | AB | = 4 3 ,∴ 2 16 ? a2 = 4 3 ,解得 a =2, ∴ C 的实轴长为 4,故选 C. x2 y 2 3.已知双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2.若抛物线 C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距 a b 离为 2,则抛物线 C2 的方程为 (A) x 2 ?
8 3 y 3

(B) x 2 ?

16 3 y 3

(C) x 2 ? 8 y

(D) x2 ? 16 y

考点:圆锥曲线的性质 解析:由双曲线离心率为 2 且双曲线中 a,b,c 的关系可知 b ? 3a ,此题应注意 C2 的焦点在 y 轴上,即(0,p/2) 到直线 y ? 3x 的距离为 2,可知 p=8 或数形结合,利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点,焦距为 4 ,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 (A) 16 12
(C)

x2 y 2 ? ?1 (B) 12 8
(D)

x2 y 2 ? ?1 8 4

x2 y 2 ? ?1 12 4

【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦距和准线求 解参数 a, b, c ,从而得到椭圆的方程。 【解析】因为 2c ? 4 ? c ? 2 ,由一条准线方程为 x ? ?4 可得该椭圆的焦点在 x 轴上县 以 b ? a ? c ? 8 ? 4 ? 4 。故选答案 C
2 2 2

a2 ? 4 ? a 2 ? 4c ? 8 ,所 c

P 在 C 上, | PF1 |? 2 | PF2 | ,则 cos ?F1PF2 ? 5.已知 F 1 、 F2 为双曲线 C : x ? y ? 2 的左、右焦点,点
2 2

(A)

1 4

(B)

3 5

(C)

3 4

(D)

4 5

【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦 半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可。 【解析】解:由题意可知, a ? 2 ? b,?c ? 2 ,设 | PF 1 |? 2 x,| PF 2 |? x ,则 | PF 1 | ? | PF 2 |? x ? 2a ? 2 2 ,故

| PF1 |? 4 2,| PF2 |? 2 2 , F1F2 ? 4 ,利用余弦定理可得
PF12 ? PF22 ? F1F22 (4 2)2 ? (2 2)2 ? 42 3 cos ?F1PF2 ? ? ? 。 2PF1 ? PF2 4 2? 2 2 ? 4 2
6. 如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点。若 M,O,N 将椭圆长轴四等分, 则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A.3

B.2

C.

3

D.

2

【命题意图】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质,通过对两者公交点求解离心率的关系. 【解析】设椭圆的长轴为 2a,双曲线的长轴为 2 a ? ,由 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则 2a ? 2 ? 2a? ,即 a ? 2 a ? , 又因为双曲线与椭圆有公共焦点,设焦距均为 c,则双曲线的离心率为 e? ?

c c e? a ? 2. ,e ? , ? a? a e a?

7.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) 。若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 , 则 | OM |? ( A、 2 2 ) B、 2 3 C、 4 D、 2 5

[解析]设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则焦点坐标为(

p p ,0 ),准线方程为 x= ? , 2 2

? M在抛物线上, ? M到焦点的距离等于到准 线的距离,即 p 2 p 2 2 ? (2 - ) ? y0 ? (2 ? ) ?3 2 2 解得:p ? 1, y 0 ? 2 2 ? 点M(2,2 2),根据两点距离公式 有: ?| OM |? 2 2 ? (2 2 ) 2 ? 2 3
[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点,F 为抛物线的焦点,d 为点 M 到准线的距离). 8.对于常数 m 、 n ,“ mn ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 的曲线是椭圆”的(
2 2

) D、既不充分也不必要条件

A、充分不必要条件 【答案】B.

B、必要不充分条件

C、充分必要条件

? m ? 0, ? 【 解 析 】 方 程 mx ? ny ? 1 的 曲 线 表 示 椭 圆 , 常 数 常 数 m, n 的 取 值 为 ? n ? 0, 所 以 , 由 mn ? 0 得 不 到 程 ? m ? n, ?
2 2

mx2 ? ny2 ? 1 的曲线表示椭圆,因而不充分;反过来,根据该曲线表示椭圆,能推出 mn ? 0 ,【点评】本题主要
考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征,可以知道常数 m, n 的取值情况. 属于中档题.

x2 y 2 9.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列, a b
则此椭圆的离心率为 A.

1 4

B.

5 5

C.

1 2

D.

5-2

【解析】本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了函数与方程,转化与化归思想. 利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知: AF 1 ? a ?c,F 1F 2 ? 2c , F 1B ? a ? c .又已知 AF 1 ,F 1 F2 ,

F1B 成等比数列,故 (a ? c)(a ? c) ? (2c)2 ,即 a2 ? c2 ? 4c2 ,则 a 2 ? 5c 2 .故 e ?

c 5 5 .即椭圆的离心率为 . ? a 5 5

【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关 a , c 的方程,然后化为有关 a , c 的齐次式方程,进而转化为 只含有离心率 e 的方程,从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴,短轴 长及其标准方程的求解等. 10.已知双曲线 C :

x2 y 2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 a2 b2
D.

A.

x2 y2 x2 y 2 x2 y 2 =1 B. =1 C. =1 20 5 5 20 80 20

x2 y2 =1[ 20 80

x2 y 2 【解析】设双曲线 C : 2 - 2 =1 的半焦距为 c ,则 2c ? 10, c ? 5 . a b
又? C 的渐近线为 y ? ?
2 2 2

b b x ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,?1 ? ?2 ,即 a ? 2b . a a

又 c ? a ? b ,? a ? 2 5,b ? 5 ,? C 的方程为

x2 y2 =1. 20 5

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算能力,是近年 来常考题型.

x2 y 2 11.已知双曲线 2 =1 的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于 a 5
A

3 14 14

B

3 2 4

C

3 2

D

4 3 c 即可。 a

分析:本题考查的知识点为圆锥曲线的性质,利用离心率 e ?

2 解答:根据焦点坐标 (3,0) 知 c ? 3 ,由双曲线的简单几何性质知 a ? 5 ? 9 ,所以 a ? 2 ,因此 e ?

3 .故选 C. 2

二 、填空题

x2 y 2 ? 1(a 为定值,且 a ? 5) 的的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 B , ?FAB 的周长的 12.椭圆 2 ? a 5 2 最大值是 12,则该椭圆的离心率是______。【答案】 , 3 c 2 2 2 [解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得 a=3 , 又? a ? c ? 5 ? c ? 2,? e ? ? a 3
[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. 13.)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 【解析】由

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 ,则 m 的值为 ▲ .【答案】2。 m m ?4

x2 y2 ? 2 ? 1 得 a= m,b= m2 ? 4,c= m ? m2 ? 4 。 m m ?4

c m ? m2 ? 4 ∴ e= = = 5 ,即 m2 ? 4m ? 4=0 ,解得 m =2 。 a m
14 右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 米.

【解析】建立如图所示的直角坐标系,使拱桥的顶点 O 的坐标为(0,0), 设 l 与抛物线的交点为 A、 B ,根据题意,知 A (-2,-2), B (2,-2). 设抛物线的解析式为 y ? ax ,
2

则有 ? 2 ? a ? ?? 2? ,∴ a ? ? .
2

1 2

1 ∴抛物线的解析式为 y ? ? x 2 2

水位下降 1 米,则 y ? -3,此时有 x ? 6 或 x ? ? 6 .

∴此时水面宽为 2 6 米. 15.设 P 为直线 y ? 的离心率 e ?

b x2 y 2 x 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支的交点, F1 是左焦点, PF1 垂直于 x 轴,则双曲线 3a a b

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 有 相 同 的 渐 近 线 , 且 C1 的 右 焦 点 为 16. 已 知 双 曲 线 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与 双 曲 线 C 2 : 4 16 a b

F ( 5,0) ,则 a ?
【解析】双曲线的

b?

x2 y2 x2 y2 b b ? ? 1 渐近线为 y ? ?2 x ,而 2 ? 2 ? 1 的渐近线为 y ? ? x ,所以有 ? 2 ,b ? 2a , a a 4 16 a b

又双曲线

x2 y2 ? ? 1 的 右 焦 点 为 ( 5,0) , 所 以 c ? 5 , 又 c 2 ? a 2 ? b 2 , 即 5 ? a 2 ? 4a 2 ? 5a 2 , 所 以 a2 b2

a 2 ? 1, a ? 1, b ? 2 。
三、解答题 17.已知椭圆错误!未找到引用源。(a>b>0),点 P(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。)在椭圆上。 (I)求椭圆的离心率。 (II)设 A 为椭圆的右顶点,O 为坐标原点,若 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线 OQ 的斜率的值。

【解析】(Ⅰ) 点 P(

5 2 a, a) 在椭圆上 5 2

1 2 1 2 a a b2 5 b2 3 6 ? 5 2 ? 2 2 ? 1 ? 2 ? ? e2 ? 1 ? 2 ? ? e ? a b a 8 a 8 4
(Ⅱ) 设 Q(a cos ? , b sin ? )(0 ? ? ? 2? ) ;则 A( a, 0)

AQ ? AO ? a 2 (1 ? cos ? ) 2 ? b 2 sin 2 ? ? a 2 ? 3cos 2 ? ? 16cos ? ? 5 ? 0 ? cos ? ?
直线 OQ 的斜率 kOQ ?

1 3

b sin ? ?? 5 a cos ?

x2 y 2 18..在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的左焦点为 F1 (?1,0) ,且点 P(0,1) 在 C1 上. a b
(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 相切,求直线 l 的方程. 【答案】 【解析】(1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1 (?1,0) ,所以 c ? 1 ,

1 x2 y 2 点 P(0,1) 代入椭圆 2 ? 2 ? 1 ,得 2 ? 1 ,即 b ? 1 , b a b
所以 a ? b ? c ? 2 ,
2 2 2

所以椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,

? x2 ? ? y2 ? 1 ,消去 y 并整理得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 , ?2 ? y ? kx ? m ?
因为直线 l 与椭圆 C1 相切,所以 ? ? 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 2) ? 0 , 整理得 2k ? m ? 1 ? 0
2 2



? y2 ? 4x ,消去 y 并整理得 k 2 x2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 。 ? ? y ? kx ? m
因为直线 l 与抛物线 C2 相切,所以 ? ? (2km ? 4)2 ? 4k 2 m2 ? 0 , 整理得 km ? 1 ②

? 2 ? 2 ?k ? ?k ? ? 综合①②,解得 ? 2 或? 2 。 ?m ? 2 ?m ? ? 2 ? ?
所以直线 l 的方程为 y ?

2 2 x? 2 或 y ?? x? 2 。 2 2

19.【2102 高考北京文 19】(本小题共 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 2 + 2 =1(a>b>0)的一个顶点为 A (2,0),离心率为 , 直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交与不同的 2 a b 2

两点 M,N (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)当△AMN 的面积为

10 时,求 k 的值 3

【考点定位】此题难度集中在运算,但是整体题目难度确实不大,从形式到条件的设计都是非常熟悉的,相信平时对 曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。

? a?2 ? x2 y 2 2 ? c ? ? 1. 解:(1)由题意得 ? 解得 b ? 2 .所以椭圆 C 的方程为 ? 4 2 ? 2a 2 2 2 ?a ? b ? c ? ? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 (2)由 ? x 2 y 2 得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 4 ? 0 . ?1 ? ? ?4 2
4k 2 2k 2 ? 4 设点 M,N 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? k ( x1 ?1) , y2 ? k ( x2 ?1) , x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

2 (1 ? k 2 )(4 ? 6k 2 ) 所以|MN|= ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) = (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] = . 1 ? 2k 2 |k| ) 由因为点 A(2,0)到直线 y ? k ( x ? 1 的距离 d ? , 1 ? 2k 2
2 2 2 2

所以△AMN 的面积为 S ?

1 | k | 4 ? 6k 2 | k | 4 ? 6k 2 10 . 由 ,解得 k ? ?1 . | MN | ?d ? ? 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 3

20.【2012 高考湖南文 21】(本小题满分 13 分) 在直角坐标系 xOy 中,已知中心在原点,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程 【答案】 【解析】(Ⅰ)由 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 ? 0 ,得 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 .故圆C的圆心为点

1 的椭圆 E 的一个焦点为圆 C:x2+y2-4x+2=0 的圆心.[ 2

(2,0), 从而可设椭圆E的方程为
c ? 2, e ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), 其焦距为 2c ,由题设知 a 2 b2

c 1 ? ,? a ? 2c ? 4, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 12. 故椭圆E的方程为: a 2

x2 y 2 ? ? 1. 16 12
21.【2012 高考陕西文 20】(本小题满分 13 分)

已知椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率。 4

(1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程。

??? ?

??? ?

y 2 x2 ? 1? a ? 2 ? , 【解析】(Ⅰ)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2 ? a 4
a2 ? 4 3 3 a ? 4. ? 其离心率为 2 ,故 a 2 ,则

. 故椭圆 C2 的方程为 16 ? 4 ? 1 (Ⅱ)解法一: A, B 两点的坐标分别为 ? xA,yA ?, ? xB,yB ? , 由 AB ? 2OA 及(Ⅰ)知, O,A,B 三点共线且点 A, B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y ? kx .

y2

x2

??? ?

??? ?

将 y ? kx 代入

x2 4 2 ? ? y 2 ? 1 中,得 1 ? 4k 2 x 2 ? 4 ,所以 x A , 4 1 ? 4k 2

?

?

y 2 x2 16 2 ? + ? 1 中,得 ? 4 ? k 2 ? x 2 ? 16 ,所以 xB 将 y ? kx 代入 , 4 ? k2 16 4
又由 AB ? 2OA ,得 x B ? 4 x A ,即
2 2

??? ?

??? ?

16 16 ? . 2 4?k 1 ? 4k 2

解得 k ? ?1 ,故直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ? x . 解法二: A, B 两点的坐标分别为 ?x A , y A ?, ?x B , y B ? ,

由 AB ? 2OA 及(Ⅰ)知, O,A,B 三点共线且点 A, B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y ? kx .

将 y ? kx 代入

x2 4 2 ? ? y 2 ? 1 中,得 1 ? 4k 2 x 2 ? 4 ,所以 x A , 4 1 ? 4k 2 16k 2 16 2 y ? , , B 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

?

?

2 又由 AB ? 2OA ,得 x B ?

??? ?

??? ?

y2 x2 4? k2 ? ?1 ? 1 ,即 4 ? k 2 ? 1 ? 4k 2 , 将 x , y 代入 2 中,得 16 4 1 ? 4k
2 B 2 B

解得 k ? ?1 ,故直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ? x


相关文章:
文科圆锥曲线测试题(带详细答案)
文科圆锥曲线测试题(带详细答案)_数学_高中教育_教育专区。高二数学测试题 2013.3.1 一.选择题 1. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方...
文科数学 圆锥曲线专题练习
文科数学 圆锥曲线专题练习_数学_高中教育_教育专区。选自2013年考题 适合 北京高考...2?MF2 F1 ,则该椭圆的离心率等于___ 【答案】 3 ?1 x2 y 2 ? ? ...
2015年高考文科数学圆锥曲线专题测试及答案
2015年高考文科数学圆锥曲线专题测试及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。...5 2015 高考数学圆锥曲线练习一、选择题 1、等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点...
高三数学文科圆锥曲线大题训练(含答案)_图文
高三数学文科圆锥曲线题训练(含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三数学文科圆锥曲线题训练(含详细解答) 1.已知椭圆 C : x2 ? 4 y 2 ? 16 ...
文科数学-圆锥曲线专题练习
文科数学-圆锥曲线专题练习_数学_高中教育_教育专区。高考文科数学圆锥曲线专题...1 ___. 【答案】 3 ?1 21. (2013 年高考福建卷(文) )椭圆 ? : x2...
2015年高考文科试题解析分类圆锥曲线汇编老师用
2015年高考文科试题解析分类圆锥曲线汇编老师用_高二数学_数学_高中教育_教育专区...( D) ? 【答案】C 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的...
圆锥曲线文科高考习题含答案
圆锥曲线文科高考习题答案_数学_高中教育_教育专区。1 设 F1F2 是椭圆 E :...31.【2012 高考湖北文 21】 (本小题满分 14 分) 2 2 设 A 是单位圆 x...
圆锥曲线基础练习题(文科)
圆锥曲线基础练习题(文科)_数学_高中教育_教育专区。1.椭圆 C : 1 x2 y2 ? 2 ? 1, ( m ? 0) 的离心率 e ? ,则 m 的值为: 2 12 m 2.若双...
圆锥曲线练习题(文科)
圆锥曲线练习题(文科)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线练习一、选择题 1. 直线 y ? x ? 1 上的点到圆 C: x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4...
高二文科圆锥曲线专题复习(含答案)
高二文科圆锥曲线专题复习(含答案)_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线文科专题复习...高二文科圆锥曲线方程练... 7页 5下载券 高二文科圆锥曲线复习 2页 1下载券...
更多相关标签: