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函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全


函数对称性、周期性和奇偶性规律
一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性:对于函数

y ? f ( x) ,如果存在一个不为零的常数

T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有

f ( x ? T ) ? f ( x) 都成立,那么就把函数 y ? f ( x) 叫做周期函数,不为

零的常数 T 叫做这个函数的周
期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义(略) ,请用图形来理解。 3、 对称性: 我们知道:偶函数关于 y(即 x=0)轴对称,偶函数有关系式 奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式 上述关系式是否可以进行拓展?答案是肯定的 探讨: (1)函数

f ( ? x) ? f ( x)

f ( x) ? f ( ? x) ? 0

y ? f ( x) 关于 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x)


f (a ? x) ? f (a ? x) 也可以写成 f ( x) ? f (2a ? x)
简证: 设点 ( x1 , y1 ) 在

f (? x) ? f (2a ? x)

y ? f ( x) 上, 通过 f ( x) ? f (2a ? x) 可知,y1 ? f ( x1 ) ? f (2a ? x1 ) ,

即点 (2a ? x1 , y1 )也在y 若写成: (2)函数

? f ( x) 上,而点 ( x1 , y1 ) 与点 (2a ? x1 , y1 ) 关于 x=a 对称。得证。
(a ? x) ? (b ? x) a ? b ? 2 2
对称

f (a ? x) ? f (b ? x) ,函数 y ? f ( x) 关于直线 x ?

y ? f ( x) 关于点 ( a, b) 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b


上述关系也可以写成 f (2a ? x) ? f (? x) ? 2b
简 证 : 设 点 ( x1 , y1 ) 在

f (2a ? x) ? f ( x) ? 2b f (2a ? x) ? f ( x) ? 2b 可 知 ,
, 所 以 点

y ? f ( x) 上 , 即 y1 ? f ( x1 )
, 所 以

,通过

f (2a ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 2b

f (2a ? x1 ) ? 2b ? f ( x1 ) ? 2b ? y1

(2a ? x1 ,2b ? y1 ) 也在 y ? f ( x) 上,而点 (2a ? x1 ,2b ? y1 ) 与 ( x1 , y1 ) 关于 ( a, b) 对称。得
证。 若写成:

f (a ? x) ? f (b ? x) ? c ,函数 y ? f ( x) 关于点 (

a?b c , ) 2 2

对称

(3)函数

y ? f ( x) 关于点 y ? b 对称:假设函数关于 y ? b 对称,即关于任一个 x 值,都有两个

y

值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于 有可能会出现关于

y ? b 对称。但在曲线 c(x,y)=0,则

y ? b 对称,比如圆 c( x, y) ? x 2 ? y 2 ? 4 ? 0 它会关于 y=0 对称。

4、 周期性: (1)函数

y ? f ( x) 满足如下关系系,则 f ( x)的周期为 2T
B、

A、

f ( x ? T ) ? ? f ( x)

f (x ? T ) ?

1 1 或f ( x ? T ) ? ? f ( x) f ( x)

C、

T 1 ? f ( x) T 1 ? f ( x) f (x ? ) ? 或 f (x ? ) ? (等式右边加负号亦成立) 2 1 ? f ( x) 2 1 ? f ( x)

D、其他情形 (2)函数

y ? f ( x)

满足

f ( a ? x) ? f ( a ? x)



f (b ? x) ? f (b ? x)

,则可推出 即 可

f ( x) ? f (2a ? x) ? f [b ? (2a ? x ? b)] ? f [b ? (2a ? x ? b)] ? f [ x ? 2(b ? a)]
以得到

即可以得到 “如果函数在定义域内关于垂直于 x 轴两条直线对称, y ? f ( x) 的周期为 2(b-a),

则函数一定是周期函数” (3)如果奇函数满足

f ( x ? T ) ? ? f ( x) 则 可 以 推 出 其 周 期 是

2T , 且 可 以 推 出 对 称 轴 为

x?
上T

T ? 2kT (k ? z ) ,根据 f ( x) ? f ( x ? 2T ) 可以找出其对称中心为 (kT, 0) (k ? z ) (以 2
? 0)

如果偶函数满足

f ( x ? T ) ? ? f ( x) 则 亦 可 以 推 出 周 期 是

2T , 且 可 以 推 出 对 称 中 心 为

(

T ? 2kT ,0) (k ? z ) , 根据 f ( x) ? f ( x ? 2T ) 可以推出对称轴为 x ? T ? 2kT ( k ? z ) (以 2
? 0)

上T

(4)如果奇函数

y ? f ( x) 满足 f (T ? x) ? f (T ? x) ( T ? 0 ) ,则函数 y ? f ( x) 是以 4T 为周
y ? f ( x) 满足 f (T ? x) ? f (T ? x)( T ? 0 ) , 则函数 y ? f ( x)

期的周期性函数。 如果偶函数

是以 2T 为周期的周期性函数。

定理 3 :若函数

f ?x? 在

R 上满足

f (a ? x ) ? f ?a ? x ? ,且 f (b ? x ) ? f ?b ? x ? (其中

a ? b) ,则函数 y ? f ? x ? 以 2?a ? b? 为周期.

定理 4 :若函数

f ?x?在

R 上满足

f (a ? x ) ? ? f ?a ? x ? ,且 f (b ? x ) ? ? f ?b ? x ? (其中

a ? b) ,则函数 y ? f ? x ? 以 2?a ? b? 为周期.
且 f (b ? x ) ? ? f ?b ? x ? (其中 a ? b ) , f ? x ? 在 R 上满足 f (a ? x ) ? f ?a ? x ? ,

定理 5: 若函数 则函数

y ? f ? x ? 以 4?a ? b? 为周期.
y ? f ( x) 与 y ? ? f ( x) 关于 X 轴对称。
换种说法:

二、 两个函数的图象对称性 1、

y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? ? g ( x) ,即它们关于 y ? 0 对称。

2、

y ? f ( x) 与 y ? f (? x) 关于 Y 轴对称。
换种说法:

y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? g (? x) ,即它们关于 x ? 0 对称。

3、

y ? f ( x) 与 y ? f (2a ? x) 关于直线 x ? a 对称。
换种说法:

y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? g (2a ? x) ,即它们关于 x ? a 对称。

4、

y ? f ( x) 与 y ? 2a ? f ( x) 关于直线 y ? a 对称。

换种说法: 5、

y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? g ( x) ? 2a ,即它们关于 y ? a 对称。

y ? f ( x)与y ? 2b ? f (2a ? x) 关于点(a,b)对称。
换种说法:

y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? g (2a ? x) ? 2b ,即它们关于点(a,b)对称。
a?b 对称。 2

6、

y ? f (a ? x) 与 y ? ( x ? b) 关于直线 x ?

7、 函数的轴对称:

定理 1:如果函数 称.

y ? f ? x ? 满足 f ?a ? x ? ? f ?b ? x ? ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ? a ? b 对
2

推论 1:如果函数

y ? f ? x ? 满足 f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ? a 对称. y ? f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ?? x ? ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ? 0 (y 轴)对称.

推论 2:如果函数

特别地,推论 2 就是偶函数的定义和性质.它是上述定理 1 的简化.

8、 函数的点对称:

定理 2:如果函数 称.

y ? f ? x ? 满足 f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? ? 2b ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于点 ?a , b ? 对

推论 3:如果函数

y ? f ? x ? 满足 f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于点 ?a ,0? 对称.

推论 4:如果函数

y ? f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ?? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于原点 ?0,0? 对称.特别地,

推论 4 就是奇函数的定义和性质.它是上述定理 2 的简化.

三、总规律:定义在R上的函数 一定存在。 四、试题 1 .已知定义为 R 的函数

y ? f ? x ? ,在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中,只要有两条存在,则第三条

f ? x ? 满足 f ?? x ? ? ? f ? x ? 4? ,且函数 f ? x ? 在区间 ?2,??? 上单调递增 . 如果
).

x1 ? 2 ? x 2 ,且 x1 ? x 2 ? 4 ,则 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? 的值(A
A.恒小于 0 B.恒大于 0 C.可能为 0

D.可正可负.

分析:

f ?? x ? ? ? f ? x ? 4? 形似周期函数 f ? x ? ? f ? x ? 4? ,但事实上不是,不过我们可以取特殊值代入,通

过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者,先用

x ? 2 代替 x ,使 f ?? x ? ? ? f ? x ? 4? 变形为

f ?2 ? x ? ? ? f ? x ? 2? .它的特征就是推论 3.因此图象关于点 ?2,0? 对称. f ? x ? 在区间 ?2,??? 上单调递增,在
区间

?? ?,2? 上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.

? 2 ? x 2 ? 4 ? x1 ,且函数在 ?2,??? 上单调递增,所以 f ? x 2 ? ? f ?4 ? x1 ? ,又由 f ?? x ? ? ? f ? x ? 4? , f (4 ? x1 ) ? f ?? ? x1 ? 4?? ? f ? x1 ? 4 ? 4? ? ? f ? x1 ? ,



? f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? f ?4 ? x1 ? ? f ? x1 ? ? f ? x1 ? ? 0 .选 A.
当然,如果已经作出大致图象后,用特殊值代人也可猜想出答案为 A. 2:在 R 上定义的函数

f ( x) 是偶函数,且 f ( x) ? f (2 ? x) .若 f ( x) 在区间 [1, 2] 上是减函数,则 f ( x) ( B )

A.在区间 [ ?2, ?1] 上是增函数,在区间 [3, 4] 上是减函数 B.在区间 [ ?2, ?1] 上是增函数,在区间 [3, 4] 上是减函数 C.在区间 [ ?2, ?1] D.在区间 [ ?2, ?1] 分析:由 上是减函数,在区间 [3, 4] 上是减函数,在区间 [3, 4] 上是增函数 上是增函数

f ( x) ? f (2 ? x) 可知 f ( x) 图象关于 x ? 1 对称,即推论 1

的应用.又因为

f ( x) 为偶函数图象关于 x ? 0 对称, 可得到 f ( x ) 为周期函 f ( x) 在区间 [1, 2] 上是减函数,可得如右 f ( x)

数且最小正周期为 2,结合 草图.故选 B 3.定义在 R 上的函数

f ( x) 既是奇函数,又是周期函数, T
D )

是它的一个正周期.若将方程

f ( x) ? 0 在闭区间

?? T , T ? 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为(
A.0 分析: B.1 C.3

D.5

T T T T f (T ) ? f (?T ) ? 0 , f (? ) ? ? f ( ) ? f (? ? T ) ? f ( ) , 2 2 2 2 T T ∴ f ( ? ) ? f ( ) ? 0 ,则 n 可能为 5,选 D. 2 2

4.已知函数

f ? x ? 的图象关于直线 x ? 2 和 x ? 4 都对称,且当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? x .求 f ?19.5? 的

值. 分析:由推论 1 可知, 同样,

f ? x ? 的图象关于直线 x ? 2 对称,即 f ?2 ? x ? ? f ?2 ? x ? ,

f ? x ? 满足 f ?4 ? x ? ? f ?4 ? x ? ,现由上述的定理 3 知 f ? x ? 是以 4 为周期的函数.

? f ?19.5? ? f ?4 ? 4 ? 3.5? ? f ?3.5? ? f ?4 ? ?? 0.5?? ? f ?? 0.5? ,同时还知 f ? x ? 是偶函数,所以 f ?? 0.5? ? f ?0.5? ? 0.5 .

5.

f ? x ? ? f ?398 ? x ? ? f ? 2158 ? x ? ? f ?3214 ? x ? ,则 f ? 0 ? , f ?1? , f ? 2 ? ,?, f ?999? 中
B )个不同的值. B.177 C.183 D.199

最多有( A.165

分析:由已知

f ? x ? ? f ?398 ? x ? ? f ? 2158 ? x ? ? f ?3214 ? x ? ? f ? x ?1056?

? f ? x ?1760? ? f ? x ? 704? ? f ? x ? 352? . f ? x ? ? f ?398 ? x ? ? f ? 2158 ? x ? ? f ?3214 ? x ? ? f ? x ?1056?

又有

? f? ? 2158 ? ?1056 ? x ? ? ? ? f ?1102 ? x ? ? f ?1102 ? x ?1056? ? f ? 46 ? x ? ,

于是

f ( x) 有周期 352,于是 ? f ? 0? , f ?1? ,

, f ?999?? 能在 ? f ? 0? , f ?1? ,

, f ?351?? 中找到.



f ( x) 的图像关于直线 x ? 23 对称,故这些值可以在 ? f ? 23? , f ? 24? ,
? 199 对称,故这些值可以在 ? f ? 23? , f ? 24? ,

, f ?351?? 中找到.又 f ( x) 的

图像关于直线 x

, f ?199?? 中找到.共有 177 个.选 B.

6:已知

f ? x? ?
A

1? x , f1 ? x ? ? f ? ? f ? x ?? ? , f2 ? x ? ? f ? ? f1 ? x ? ? ? ,?, f n ?1 ? x ? ? f ? ? f n ? x ?? ? ,则 1 ? 3x
).

f2004 ? ?2? ? (
A. ?

1 7

B.

1 7

C.

?

3 5

D.3

分析:由

f ? x? ?

1? x x ?1 ? x ?1 ? ,知 f1 ? x ? ? , f2 ? x ? ? f ? ? ? x , f3 ? x ? ? f ? x ? . 1 ? 3x 3x ? 1 ? 3x ? 1 ? 1 . 7

f ( x) 为迭代周期函数,故 f3n ? x ? ? f ? x ? , f2004 ? x ? ? f ? x ? , f 2004 ? ?2 ? ? f ? ?2 ? ? ?
选 A.

7:函数

f ( x) 在

R 上有定义,且满足 .

f ( x) 是偶函数,且 f ? 0? ? 2005 , g ? x ? ? f ? x ?1? 是奇函数,则

f ? 2005? 的值为

解:

g ? ?x ? ? f ? ?x ?1? ? ?g ? x ? ? ? f ? x ?1?



f ? ?x ?1? ? ? f ? x ?1?

,令

y ? x ?1

,则

f ?? y ?? ,即有 f ? x ? ? f ? x ? 2? ? 0 ,令 an ? f ? x ? ,则 an ? an?2 ? 0 ,其中 a0 ? 2005 , ? ? ?f ? y2
a1 ? 0 , an ?
? 0.
或有

2005 ? n 2005 ? 2005 n 2005 i ? ? ?i ? ? , f ? 2005? ? a2005 ? i ? ? ?i ? ? ? ? 2 ? 2 ?

f ? x ? ? ? f ? x ? 2? ,得 f ? 2005? ? ? f ? 2003? ? f ? 2001? ? ? f ?1999? ?

? f ?1? ? 0 .
8.设函数

f ( x)(x ? R) 为奇函数, f (1) ?
B.1

1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2), 则 f (5) ? ( 2
C.

c



A.0

5 2

D.5

分析:答案为 B。先令 f(1)= f(--1+2)=f(--1)+f(2)=1/2,根据奇函数的定义可求得 f(--1)=--1/2,所以, f(2)=1,f(5)=f(3)+f(2)=f(1)+f(2)+f(2)=5/2,所以,答案为 c。 9. 设 f(x)是定义在 R 上以 6 为周期的函数,f(x)在(0,3)内单调递减,且 y=f(x)的图象关于直线 x=3 对称,则 下面正确的结论是 (A) ( B ) (B) (D)

f ?1.5? ? f ? 3.5? ? f ? 6.5? ;

f ?3.5? ? f ?1.5? ? f ? 6.5? ;

(C) f ? 6.5? ? f ? 3.5? ? f ?1.5? ;

f ?3.5? ? f ? 6.5? ? f ?1.5?

分析:答案为 B。做这种带周期性、单调性的试题,通常的做法是将 f(x)设成正弦或余弦函数,具体到本题,可将 f(x)设成正弦函数或余弦函数,令其周期为 6,通过平移使其满足在(0,3)内单调递减,根据图像,即可求出,答 案为 B。 10 .设函数

f ( x) 与 g ( x) 的定义域是 ? x ? R x ? ?1? , 函数 f ( x) 是一个偶函数, g ( x) 是一个奇函数,且
1 ,则 f ( x ) 等于(C) x ?1
B.

f ( x) ? g ( x) ?
A.

1 2 x ?1

2x 2 x2 ?1

C.

2 x ?1
2

D.

2x x ?1
2

分析:答案为 C. 本题是考察函数奇偶性的判定,并不难,根据奇偶性的定义,即可得出答案为 C 11 : 已 知 函 数 f(x) 在 ( - 1 , 1) 上 有 定 义 , f(
1 )= - 1, 当 且 仅 当 0<x<1 时 f(x)<0, 且 对 任意 x 、 y∈ ( - 1,1) 都 有 2

x? y f(x)+f(y)=f( 1 ? xy

),试证明: (1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减.
x? y )可令 x=y=0,得 f(0)=0, 1 ? xy

证明: (1)由 f(x)+f(y)=f(

令 y=-x,得 f(x)+f(-x)=f( x ? x )=f(0)=0. ∴ f(x)=-f(-x). ∴ f(x)为奇函数.
1? x2

(2)先证 f(x)在(0,1)上单调递减. 令 0<x1<x2<1,则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(

x 2 ? x1 1 ? x1 x 2 )

∵ 0<x1<x2<1,∴ x2-x1>0,1-x1x2>0,∴1 ? x x >0, 2 1 又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0,∴ x2-x1<1-x2x1,∴ 0<

x 2 ? x1

x 2 ? x1 x 2 ? x1 <1,由题意知 f( 1 ? x1 x 2 )<0, 1 ? x1 x 2
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即 f(x2)<f(x1). ∴ f(x)在(0,1)上为减函数,又 f(x)为奇函数且 f(0)=0 ∴ f(x)在(-1,1)上为减函数.
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12. 已知函数 y=f (x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=5,函数 y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数 又知 y=f (x)在[0,1]
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上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在 x=2 时函数取得最小值 ?5 . ①证明: f (1) ? f (4) ? 0 ;②求

y ? f ( x), x ?[1, 4] 的解析式;③求 y ? f ( x) 在[4,9]上的解析式.
f (1) ? f (4) ? 0

解:∵f (x)是以 5 为周期的周期函数,∴ f (4) ? f (4 ? 5) ? f (?1) , 又∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (1) ? ? f (?1) ? ? f (4) ,∴ ②当 x ?[1, 4] 时,由题意可设 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? 5 (a ? 0) , 由 f (1) ? f (4) ? 0 得 a(1 ? 2) ∴
2
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? 5 ? a(4 ? 2)2 ? 5 ? 0 ,∴ a ? 2 ,
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f ( x) ? 2( x ? 2)2 ? 5(1 ? x ? 4)

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③∵

y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (0) ? 0 ,

又知 y=f (x)在[0,1]上是一次函数,∴可设 f ( x) ? kx(0 ? x ? 1) ,而 f (1) ? 2(1 ? 2)2 ? 5 ? ?3 , ∴ k ? ?3 ,∴当 0 ? 从而当 ?1 ? ∴当 4 ?

x ? 1 时,f (x)=-3x,

x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?3x ,故 ?1 ? x ? 1 时,f (x)= -3x,.
f ( x) ? f ( x ? 5) ? 2[( x ? 5) ? 2]2 ? 5 ? 2( x ? 7)2 ? 5

x ? 6 时,有 ?1 ? x ? 5 ? 1 ,∴0.

当 6 ? x ? 9 时, 1 ? x ? 5 ? 4 ,∴



??3x ? 15, 4 ? x ? 6 f ( x) ? ? 2 ?2( x ? 7) ? 5, 6 ? x ? 9
x1,x2∈[0

13.设f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线x


1 2

] ,都有f(x1+x

)=f(x1) ·f(x2) ,且 f(1)=a>0. (Ⅰ)求f (

1 1 ), f ( ) ; 2 4

(Ⅱ)证明f(x)是周期函数;

1 ) ,求 an . 2n 1 (Ⅰ)解:因为对x ,x ∈[0, ] ,都有f(x 2
(Ⅲ)记 an =f(2n+
1 2



+x2)=f(x1) ·f(x2),

所以

x x x x f ( x) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? 0, x ? [0,1] 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ? f (1) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? [ f ( )]2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 f ( ) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? [ f ( )]2 2 4 4 4 4 4
f(1)=a>0,



1 1 f ( ) ? a2, f ( ) ? a4 2 4

1

1

(Ⅱ)证明:依题设y=f(x)关于直线x=1对称, 故f(x)=f(1+1-x) , 即f(x)=f(2-x) ,x∈R 又由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x) ,x∈R, ∴f(-x)=f(2-x) ,x∈R, 将上式中-x以x代换,得f(x)=f(x+2) ,x∈R 这表明f(x)是 R 上的周期函数,且 2 是它的一个周期. (Ⅲ)解:由(Ⅰ)知f(x)≥0,x∈[0,1] ∵

1 1 1 1 f ( ) ? f (n ? ) ? f [ ? (n ? 1) ? ] 2 2n 2n 2n

1 1 ) ? f [(n ? 1) ? ] ? ?? 2n 2n 1 1 1 1 ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? [ f ( )]n 2n 2n 2n 2n ? f(

1 f ( ) ? a2 2


1

1 f ( ) ? a 2n 2n

1

∵f(x)的一个周期是 2

1 1 ∴f(2n+ )=f( ),因此 an= a 2 n 2n 2n

1

函数对称性与周期性几个重要结论赏析
湖南 周友良 黄爱民 【大 中 小】【关闭】

对称性和周期性是函数的两个重要性质,下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决 抽象型函数的有关习题。

一、几个重要的结论
(一)函数图象本身的对称性(自身对称) 1、函数 线 对称。 满足 (T 为常数)的充要条件是 的图象关于直 满足 (T 为常数)的充要条件是 的图象关于直

2、函数 线 对称。

3、函数

满足

的充要条件是

图象关于直线

对称。 4、如果函数 等的常数),则 5、如果奇函数 期的周期性函数。 6、如果偶函数 满足 ( ),则函数 是以 2T 为周 满足 是以为 满足 且 为周期的周期函数。 ( ),则函数 是以 4T 为周 , ( 和 是不相

期的周期性函数。 (二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解) 1、曲线 2、曲线 3、曲线 与 与 与 关于 X 轴对称。 关于 Y 轴对称。 关于直线 对称。

4、曲线 5、曲线 6、曲线 7、曲线

关于直线 关于直线 关于直线 关于点

对称曲线为 对称曲线为 对称曲线为 对称曲线为

。 。 。 。

二、试试看,练练笔

1、 定义在实数集上的奇函数 则 2、已知函数 3、函数 4 、设函数 __________对称。 5、设函数 __________对称。 6、设 ________。 满足 与函数

恒满足

, 且

时,

,

,则

图象关于__________对称。

的图象关于关于__________对称。 ,则 的图象关于

的定义域为 R ,且满足

的定义域为 R,且满足 图象关于__________对称。 的定义域为 R,且对任意 ,有

,则

的图象关于

,则

图象关

于__________对称, 7、已知函数

关于__________对称。 对一切实数 x 满足 D、18 是偶函数,则 图象关于直线 对称;④ 图 对称;③若 与 ,且方程 有 5 个实根,

则这 5 个实根之和为( ) A、5 B、10 C、15 8、设函数

的定义域为 R,则下列命题中,①若 是偶函数,则 图象关于直线

象关于 y 轴对称;②若 ,则函数 图象关于直线 9、函数

对称,其中正确命题序号为_______。 和 ,当

定义域为 R,且恒满足

时,

,求

解析式。

10 、已知偶函数

定义域为 R ,且恒满足 中的根.

,若方程



上只有三个实根,且一个根是 4,求方程在区间 附参考答案: : : : :y 轴即

:①y 轴②

:①



:C

:②④

: :方程的根为 共 9 个根

抽象函数的对称性与周期性 一、抽象函数的对称性。 性质 1、若函数 y=f(x)关于直线 x=a 轴对称,则以下三式成立且等价: (1)f(a+x)=f(a-x)。 (2)f(2a-x)=f(x)。 (3)f(2a+x)=f(-x)。 性质 2、若函数 y=f(x)关于点(a,0)中心对称,则以下三式成立且等价: (1)f(a+x)=-f(a-x)。 (2)f(2a-x)=-f(x)。 (3)f(2a+x)=-f(-x)。 注:y=f(x)为偶函数是性质 1 当 a=0 时的特例,f(-x)=f(x)。 y=f(x)为奇函数是性质 2 当 a=0 时的特例,f(-x)=-f(x)。 二、复合函数的奇偶性。 性质 1、复数函数 y=f[g(x)]为偶函数,则 f[g(-x)]=f[g(x)]。 复合函数 y=f[g(x)]为奇函数,则 f[g(-x)]=-f[g(x)]。 性质 2、复合函数 y=f(x+a)为偶函数,则 f(x+a)=f(-x+a); 复合函数 y=f(x+a)为奇函数,则 f(-x+a)=-f(a+x)。 性质 3、复合函数 y=f(x+a)为偶函数,则 y=f(x)关于直线 x=a 轴对称。 复合函数 y=f(x+a)为奇函数,则 y=f(x)关于点(a,0)中心对称。 三、函数的周期性。 性质、若 a 是非零常数,若对于函数 y=f(x)定义域内的任一变量 x 点,有下 列条件之一成立,则函数 y=f(x)是周期函数,且 2|a|是它的一个周期。 ①f(x+a)=f(x-a),

②f(x+a)=-f(x), ③f(x+a)=1/f(x), ④f(x+a)=-1/f(x)。 四、函数的对称性与周期性。 性质 1、若函数 y=f(x)同时关于直线 x=a 与 x=b 轴对称,则函数 f(x)必为 周期函数,且 T=2|a-b|。 性质 2、若函数 y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数 f(x)必为周期函数,且 T=2|a-b|。 性质 3、若函数 y=f(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线 x=b 轴对称, 则函数 f(x)必为周期函数,且 T=4|a-b|。 五、复合函数的对称性。 性质 1、已知函数 y=f(x),则复合函数 y=f(a+x)与 y=f(b-x)关于直线 x=(b-a)/2 轴对称。 性质 2、已知函数 y=f(x),则复合函数 y=f(a+x)与 y=-f(b-x)关于点 ((b-a)/2,0)中心对称。 推论 1、已知函数 y=f(x),则复合函数 y=f(a+x)与 y=f(a-x)关于 y 轴 轴对称。 推论 2、已知函数 y=f(x),则复合函数 y=f(a+x)与 y=-f(a-x)关于原点 中心对称。 六、巩固练习 1、函数 y=f(x)是定义在实数集 R 上的函数,那么 y=-f(x+4)与 y= f(6-x)的图象( )。 A.关于直线 x=5 对称 C.关于点(5,0)对称 B.关于直线 x=1 对称 D.关于点(1,0)对称

2、设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时, f(x)=x,则 f(7.5)=( A.0.5 B.-0.5 )。 C.1.5 D.-1.5

3、设 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,且满足 f(10+x)=f(10-x),

f(20-x)=-f(20+x),则 f(x)是( A.偶函数,又是周期函数 C.奇函数,又是周期函数

)。

B.偶函数,但不是周期函数 D.奇函数,但不是周期函数

4、f(x)是定义在 R 上的偶函数,图象关于 x=1 对称,证明 f(x)是周期函数。 参考答案:D,B,C,T=2。


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